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专题24 电磁感应中双导体棒与线框运动模型
等间距不受外力双棒模型（7-10 题）...........................................................................................4
等间距受外力双棒模型（11-14 题）.............................................................................................6
不等间距不受外力双棒模型（15-17 题）.....................................................................................8
不等间距受力双棒模型（18-19 题）...........................................................................................10
线框模型的图像问题（20-22 题）...............................................................................................11
线框模型的动力学和功能关系问题（23-25 题）.......................................................................13
1.
（2023•北京）如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向
下的匀强磁场并最终完全穿出，线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（ ）
A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
2.
（多选）（2023•辽宁）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右
两侧导轨间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B。已知
导体棒MN 的电阻为R、长度为d，导体棒PQ 的电阻为2R、长度为2d，PQ 的质量是MN 的2
倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L 的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在
各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良
好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（ ）
1
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A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B．PQ 速率为v 时，MN 所受安培力大小为4 B
2d
2v
3 R
C．整个运动过程中，MN 与PQ 的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN 的电荷量为BLd
3 R
3.
（2023•湖南）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨
及其所构成的平面均与水平面成θ 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁
感应强度大小为B。现将质量均为m 的金属棒a、b 垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间
的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨
电阻忽略不计，重力加速度为g。
（1）先保持棒b 静止，将棒a 由静止释放，求棒a 匀速运动时的速度大小v0；
（2）在（1）问中，当棒a 匀速运动时，再将棒b 由静止释放，求释放瞬间棒b 的加速度大小
a0；
（3）在（2）问中，从棒b 释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速
度v 的大小，以及时间t0内棒a 相对于棒b 运动的距离Δx。
4.
（2023•上海）如图（a），线框cdef 位于倾斜角θ＝30°的斜面上，斜面上有一长度为
D 的矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为0.5T，已知线框边长cd＝D＝0.4m，m
＝0.1kg，总电阻R＝0.25Ω，现对线框施加一沿斜面向上的力F 使之运动，ed 边离开磁场后撤
去F。斜面上动摩擦因数μ= √3
3
，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度g 取
9.8m/s2）；
2
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（1）求外力F 大小；
（2）求cf 长度L；
（3）求回路产生的焦耳热Q。
5.
（2023•广东）光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，
宽度均为h，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间t 的变化如图（b）所示，0～
τ 时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，边长
为h 的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd 边与磁场边界平行。t＝0 时，线框
ab 边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v 向右运动。在τ 时刻，ab 边运动到距区域Ⅰ的左边界h
2
处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在τ～2τ 时间
内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ～3τ 时间内，Ⅱ区磁感应强度也线
性减小到0。求：
（1）t＝0 时线框所受的安培力F；
（2）t＝1.2τ 时穿过线框的磁通量Φ；
（3）2τ～3τ 时间内，线框中产生的热量Q。
6.
（2023•新课标）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光
滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应
强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
3
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（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁
场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度
大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导
轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度运动，
进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过
程中，电阻R1产生的热量。
等间距不受外力双棒模型（7-10 题）
7.
（2023•开封二模）如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内
的足够长的平行且光滑的金属导轨，导体棒ab 的质量为m、电阻为2R，导体棒cd 的质量为
2m、电阻为R，均静止在导轨上，现给导体棒ab 以初速度v0向右滑动。运动过程中，导体棒
ab、cd 始终与导轨垂直并接触良好，关于导体棒ab、cd 组成的系统，下列说法正确的是（
）
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
8.
（多选）（2023•青岛二模）如图，水平面上有两条相距为L 的足够长光滑平行金属
4
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导轨，在导轨上相隔某一距离垂直导轨静置长度均为L 的金属棒a 和b，垂直导轨的虚线MN
右侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，匀强磁场磁感应强度为B，导轨左端接有电压传感器。
现让金属棒a、b 分别以速度v0、3v0向右运动，t＝0 时刻金属棒b 经过MN 进入磁场区域，当
金属棒a 刚进入磁场时，电压传感器的示数U = 4 BLv0
3
。已知金属棒a、b 材质相同，a、b 棒
的质量分别为2m、m，a 棒电阻为R。导轨电阻不计，不考虑电压传感器对电路的影响，磁场
区域足够大，下列说法正确的是（ ）
A．从t＝0 时刻开始，电压传感器的示数逐渐减小
B．改变a、b 两棒间初始距离，不会改变两棒的最终速度
C．当金属棒a 刚进入磁场时，a、b 两棒间的距离为3mv0 R
B
2 L
2
D．整个过程中金属棒a 上产生的焦耳热为17
18 m v0
2
9.
（多选）（2023•辽宁一模）如图所示，水平面上固定着两根相距L 且电阻不计的足
够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，铜棒a，b 的长度均等于导轨间
距，a，b 两棒的电阻不为零，质量均为m，铜棒平行放置在导轨上且始终与导轨接触良好。
现给铜棒a 一个平行导轨向右的初速度v0，下列说法正确的是（ ）
A．若此后运动过程中两棒不发生碰撞，则最终va＜vb
B．若此后运动过程中两棒发生弹性碰撞，则最终va＜vb
C．若此后运动过程中两棒不发生碰撞，则回路中产生的总焦耳热为1
4 mv0
2
5
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D．若此后运动过程中两棒发生弹性碰撞，则回路中产生的总焦耳热为1
4 mv0
2
10. （2023•包头一模）如图，在大小为B 的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中
有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab 和cd，两棒彼此平行，
构成一矩形回路。导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。
两导体棒与导轨的动摩擦因数均为μ。初始时刻ab 棒静止，给cd 棒一个向右的初速度v0，重
力加速度为g，以上物理量除v0未知外，其余的均已知。求：
（1）当cd 棒速度v0满足什么条件时？导体棒ab 会相对于导轨运动；
（2）若v0已知且满足第（1）问的条件，从ab 棒开始运动到速度最大，用时为t，求ab 棒的最
大速度；
（3）若v0 已知且满足第（1）问的条件，从ab 棒开始运动到速度最大，cd 棒产生的焦耳热为
Q，用字母v1表示ab 棒的最大速度，用v2表示此时cd 棒的速度。ab 棒达到最大速度时，cd 棒
的位移是多少？
等间距受外力双棒模型（11-14 题）
11. （2023•仓山区校级模拟）如图所示，足够长的平行金属导轨竖直放置在垂直于导轨
平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a 和b 垂直于导轨放置，导体棒与导轨紧密接
触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b 的速度达到v 时，再释放a，经过时间t 后，a 的速度
也达到v，重力加速度为g，不计一切摩擦。以下说法中正确的是（ ）
6
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A．释放a 之前，b 运动的时间等于t
B．释放a 之前，b 下落的高度小于v
2
2g
C．释放a 之后的时间t 内，a 下落的加速度小于g
D．a 和b 的加速度最终都等于g
12. （2023•和平区校级模拟）如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为θ，导体棒
ab、cd 用绝缘细线栓连，处于水平状态，在平行于斜面向上的恒力F 作用下静止于轨道，一范
围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出）。磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒
ab、cd 接入电路的电阻分别为R 和2R。剪断细线，经t 时间ab 达到最大速度。已知导体棒ab
质量为2m，导体棒cd 质量为m。下列说法正确的是（ ）
A．在任意时刻，ab 与cd 速度大小之比为1：1
B．ab 的最大速度为mgRsinθ
B
2l
2
C．在0 到t 时间内，流过ab 的电荷量为mg(B
2l
2t -2mR)sinθ
2B
2l
2
D．在0 到t 时间内，ab 上滑的距离为mgRtsinθ
2B
2l
2
13. （2022•皇姑区校级模拟）如图所示，相距为L 的两条足够长的平行金属导轨右端连
7
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接有一定值电阻R，整个装置被固定在水平地面上，整个空间存在垂直于导轨平面向下的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，两根质量均为m，电阻都为R，与导轨间的动摩擦因数都为μ 的
相同金属棒MN、EF 垂直放在导轨上。现在给金属棒MN 施加一水平向左的作用力F，使金属
棒MN 从静止开始以加速度a 做匀加速直线运动，若重力加速度为g，导轨电阻不计，最大静
摩擦力与滑动摩擦力相等．则下列说法正确的是（ ）
A．从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动经历的时间为t= 3 μmgR
B
2 L
2α
B．若从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动经历的时间为T，则金属棒EF 开始运动时，
水平拉力F 的瞬时功率为P＝（ma+μmg）aT
C．若从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动经历的时间为T，则此过程中流过电阻R 的
电荷量为BaT
2
3 R
L
D．从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动的过程中，两金属棒的发热量相等
14. （2023•五华区校级模拟）某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系
统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就
避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长
的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN 和PQ，磁感应强度B＝0.5T 的匀强磁场与导轨所
在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图为模型俯视图，导轨间的距
离L＝1.0m，每根金属棒质量均为m＝1.0kg，电阻都为R＝5.0Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑
动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0 时刻，两金属棒都处于静止状态，现有
一与导轨平行、大小为F＝2.0N 恒力作用于金属棒MN 上，使金属棒MN 在导轨上滑动，经过
t＝10s，金属棒MN 的加速度a＝1.6m/s2，求：
（1）此时金属棒PQ 的加速度是多少？
（2）此时两金属棒的速度各是多少？
（3）金属棒MN 和PQ 的最大速度差是多少？
8
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不等间距不受外力双棒模型（15-17 题）
15. （多选）（2023•湖北模拟）如图所示，光滑的平行金属导轨固定在绝缘的水平面上，
导轨处在垂直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的距离为2L，右侧导轨间的距离为L，导体棒
a、b 垂直放置于导轨之间，且与导轨接触良好，导体棒a、b 的电阻相等，ma＝4mb。第一次
将导体棒b 固定在右侧导轨上，使导体棒a 以初速度v0开始向右运动，直至回路中的感应电流
变为0；第二次导体棒b 未被固定且静止在右侧导轨上，使导体棒a 仍以初速度v0开始向右运
动，直至回路中的感应电流也变为0。已知前后两次回路中的感应电流变为0 时，导体棒a 仍
处在左侧导轨上，不计导轨的电阻。下列说法中正确的是（ ）
A．第二次导体棒a 和导体棒b 组成的系统动量守恒
B．第一次回路中产生的焦耳热是第二次的2 倍
C．第一次通过回路的电荷量是第二次的2 倍
D．第一次导体棒a 动量的变化量是第二次的5 倍
16. （多选）（2023•潍坊二模）如图所示，两宽度不等的光滑平行金属导轨水平固定放
置，窄轨间距为L、宽轨间距为2L，导体棒ab、cd 分别垂直放置在两导轨上，质量均为m、
电阻均为R。导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B.已知两导轨均足
够长、电阻不计。现让两导体棒均以大小为v0的初速度平行于导轨水平向右运动，运动过程
中棒始终与导轨垂直且接触良好，ab 棒始终未滑离窄轨。在导体棒运动的过程中，下列说法
正确的是（ ）
9
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A．导体棒ab 的最大速度为6 v0
5
B．导体棒ab 产生的焦耳热最多为mv0
2
10
C．通过导体棒ab 的电荷量最多为m v0
5 BL
D．回路中的最大电流为BLv0
2 R
17. （2022•江西开学）如图，两光滑平行等长金属轨道的水平部分处于竖直向上的匀强
磁场中，其中bc 段的磁感应强度大小为2B，宽度为2l，cd 段的磁感应强度大小为B、宽度为
l，重力加速度为g。将质量均为m 的金属棒P 和Q 分别放置于轨道上的ab 和cd 段，已知P 棒
和Q 棒接入电阻为R 和R
2
，P 棒位于距水平轨道高h 的地方，放开P 棒，使其自由下滑，运动
过程中P 棒和Q 棒始终垂直于金属轨道，两部分水平轨道均足够长。
（1）若Q 棒固定，求从P 棒下滑到停止运动的过程P 棒所产生的焦耳热；
（2）若Q 棒不固定，求P 棒和Q 棒各自的最终速度大小。
不等间距受力双棒模型（18-19 题）
18. （2022 春•沙坪坝区校级月考）如图，光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分
的宽度为2l，PQ 部分的宽度为l，金属棒a 和b 的质量分别为2m 和m，其电阻大小分别为2R
10
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和R，a 和b 分别静止在MN 和PQ 上，垂直导轨相距足够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁
场中，磁感应强度为B。现对a 棒施加水平向右恒力F 作用，两棒运动时始终保持平行且a 总
在MN 上运动，b 总在PQ 上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的（ ）
A．回路感应电动势为零
B．流过a 的电流大小为F
3 Bl
C．金属棒a 和b 均做匀速直线运动
D．金属棒a 和b 均做加速度相同的匀加速直线运动
19. （2023•广西模拟）如图所示，M1N1P1Q1和M2N2P2Q2为在同一水平面内足够长的金属
导轨，处在磁感应强度B 为1T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。导轨的M1N1段与M2N2段
相互平行，距离为L＝1m；P1Q1段与P2O2段也是平行的，距离为0.5m。质量m 均为0.1kg 的
金属杆a、b 垂直于导轨放置，一根不可伸长的绝缘轻绳一端固定在金属杆b 上，另一端绕过
光滑定滑轮与质量m 也为0.1kg 的重物c 相连，重物c 放置在地面上，绝缘轻绳的水平部分与
P1Q1平行且足够长（重物c 始终不与滑轮相撞），对a 杆施加一水平向左大小为4N 的恒力F
使其从静止开始运动。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，轨道足
够长使b 杆始终在宽度为0.5m 的轨道部分运动，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为
0.5Ω，重力加速度g 取10m/s2。
（1）若将重物c 锁定在地面上，求a 杆的最终速度的大小；
（2）若将重物c 解除锁定，从a 杆开始运动到重物c 刚要离开地面时，共经历时间0.25s，求此
11
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过程回路产生的总焦耳热；
（3）若将重物c 解除锁定，求a 杆运动全过程中回路的最大电流（结果保留三位有效数字）。
线框模型的图像问题（20-22 题）
20. （2023 春•扬州期中）如图甲所示，abcd 是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，
金属线框的质量为m，电阻为R，在金属线框的下方有一匀强磁场区域，MN 和PQ 是匀强磁
场区域的水平边界，并与线框的bc 边平行，磁场方向垂直于线框平面向里。现使金属线框从
MN 上方某一高度处由静止开始下落，如图乙是金属线框由开始下落到bc 刚好运动到匀强磁
场PQ 边界的v
t
﹣图像，图乙中数据均为已知量。重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法
正确的是（ ）
A．金属线框刚进入磁场时感应电流方向沿adcba 方向
B．金属线框的边长v1（t2
t
﹣1）
C．MN 和PQ 之间的距离为v1（t2
t
﹣1）
D．磁场的磁感应强度为√
mgR
v1
21. （2023 春•万州区校级期中）如图所示，水平面内存在两个磁感应强度大小相等、方
向相反且垂直于水平面的有界匀强磁场，磁场宽度均为a、在水平面内有一边长也为a 的等边
三角形金属框MNH，在外力作用下沿水平向右方向匀速通过这两个磁场区域。已知运动过程
中金属框的MN 边始终与磁场边界线垂直，若规定逆时针方向为电流的正方向，则从图示位置
开始，线框中的感应电流i 随线框移动距离x 变化的图像中可能正确的是（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
22. （2023•市中区校级模拟）如图甲所示，一正方形单匝金属线框放在光滑水平面上，
水平面内两条平行直线MN、QP 间存在垂直水平面的匀强磁场，t＝0 时，线框在水平向右的
外力F 作用下紧贴MN 从静止开始做匀加速运动，外力F 随时间t 变化的图线如图乙实线所示，
已知线框质量m＝1kg、电阻R＝2Ω，则（ ）
A．磁场宽度为3m
B．匀强磁场的磁感应强度为√2T
13
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C．线框穿过QP 的过程中产生的焦耳热等于4J
D．线框穿过MN 的过程中通过导线内某一横截面的电荷量为√2C
线框模型的动力学和功能关系问题（23-25 题）
23. （2023 春•天宁区校级月考）如图所示，相距为d 的两条水平虚线L1、L2之间是方向
水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B，正方形单匝线圈abcd 边长为L（L＜d），质量为m，
电阻为R。将线圈从磁场上方高h 处由静止释放，cd 边刚进入磁场时速度为v0，cd 边刚离开磁
场时速度也为v0。关于线圈穿越磁场的过程（从cd 边刚进入磁场一直到ab 边离开磁场），下
列说法正确的是（ ）（重力加速度为g）
A．线圈刚进入磁场时，cd 边的电压为BL√2gh
4
B．感应电流所做的功为mgd
C．线圈的最小速度一定为mgR
B
2 L
2
D．线圈的最小速度一定为 √2 g(h+ L-d )
24. （2023 春•渝中区校级期末）某航空爱好者利用所学知识设计了一个在地球上回收返
回舱的电磁缓冲装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓返回舱和地面间的冲击力。如图甲
所示，在返回舱的底盘安装有均匀对称的4 台电磁缓冲装置，每台电磁缓冲结构示意图如图乙
所示。在缓冲装置的底板上，沿竖直方向固定着两个光滑绝缘导轨PQ、MN。导轨内侧，安装
电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。导轨内
的缓冲滑块K 由高强度绝缘材料制成，滑块K 上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为
R，匝数为n，ab 边长为L。假设整个返回舱以速度v0与地面碰撞后，滑块K 立即停下，不反
弹。此后在线圈与轨道的磁场作用下使舱体减速，从而实现缓冲。返回舱质量为m，地球表面
的重力加速度为g，一切摩擦阻力不计，缓冲装置质量忽略不计。则以下说法正确的是
14
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（ ）
A．滑块K 的线圈中最大感应电流的大小I max = BLv0
R
B．若缓冲装置向下移动距离H 后速度减为v，则此过程中每个缓冲线圈abcd 中通过的电量
q =n
2 BLH
R
C．若缓冲装置向下移动距离H 后速度减为v，则此过程中每个缓冲线圈abcd 中产生的焦耳热是
Q = 1
4 (mgH + 1
2 mv0
2- 1
2 mv
2)
D．若要使缓冲滑块K 和返回舱不相碰，且缓冲时间为t，则缓冲装置中的光滑导轨PQ 和MN
长度至少d = (mgt +m v0)R
n B
2 L
2
25. （2023•浙江模拟）如图甲所示，间距为L 的两条足够长光滑平行绝缘导轨放置在水
平面内，导轨间有竖直方向且等间距间隔的匀强磁场区，磁感应强度大小为B，磁场宽度及间
距均为2L。导轨上有一边长为L 的正方形金属框abcd，质量为m，ab、cd 边与导轨平行，
ab、bc、ad、cd 边电阻相等均为R。金属框在沿导轨方向的恒定拉力F（大小未知）作用下由
静止开始向右沿导轨运动，经过一段距离后进入第一个磁场区。从bc 边进入第一个磁场区至
bc 边离开第一个磁场区过程中，测得ad 两端的电压随时间变化图像如图乙所示。
（1）求恒力F 的大小？
（2）设Δt1＝t1
0
﹣，Δt2＝t2
t
﹣1，比较Δt1和Δt2的大小并求Δt1？
（3）在图丙中画出bc 边离开第一个磁场至刚进入第二个磁场过程中ad 两端的电压随时间变化
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图像（标出时间和电压值，以bc 边离开第一个磁场开始计时）；
（4）金属框从静止开始到离开第二个磁场区的过程中F 所做的功？
16
