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第 44 讲 电磁感应中的“单双杆＋导轨”模型
——划重点之精细讲义系列
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查
的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“杆＋导
轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、
竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等．
考点一 单杆水平式模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为
B,棒 ab 长为 L,质量为 m,初速度为
物理模型 零，拉力恒为F,水平导轨光滑，除电
阻R外，其他电阻不计
设运动过程中某时刻棒的速度为v,由牛顿第二定律知棒ab的加
动态分析 速度为 ，a、v同向，随速度的增加，棒的加速
度a减小，当a = 0时，v最大， 恒定
运动形式 匀速直线运动
收尾状态 力学特征 a=0 v恒定不变
电学特征 I恒定
【典例1】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定
在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水
平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良
好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
【典例2】U形光滑金属导轨水平放置，如图所示为俯视图，导轨右端接入电阻 R＝0.36 Ω，其他部分无电阻，导轨间距为L＝0.6 m，界线MN右侧有匀强磁场，磁感应强度
为B＝ T．导体棒ab电阻为零，质量m＝1 kg.导体棒与导轨始终垂直且接触良好，在距离
界线MN为d＝0.5 m处受恒力F＝1 N作用从静止开始向右运动，到达界线PQ时恰好匀速，
界线PQ与MN间距也为d.
(1)求匀速运动时的速度v的大小；
(2)求导体棒在MN和PQ间运动过程中R的发热量Q.
【典例3】如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，两导轨间距
为L，左端接一电源，其电动势为E、内阻为r，有一质量为m、长度也为L的金属棒置于
导轨上，且与导轨垂直，金属棒的电阻为R，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应
强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中．
(1)若闭合开关S的同时对金属棒施加水平向右恒力F，求棒即将运动时的加速度和运
动过程中的最大速度；
(2)若开关S开始是断开的，现对静止的金属棒施加水平向右的恒力 F，一段时间后再
闭合开关S；要使开关S闭合瞬间棒的加速度大小为，则F需作用多长时间．
考点二 单杆倾斜式模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B,
导轨间距L,导体棒质量m,电阻R,导轨
物理模型
光滑，电阻不计(如图)
棒ab释放后下滑，此时a=gsinα,棒ab速度v↑→感应电动势
动态分析
E=BLv↑→电流 ↑→安培力F=BIL↑→加速度a↓,当安培力
F=mgsinα时，a=0,v最大
运动形式 匀速直线运动
收尾状态 力学特征
a = 0 v最大
电学特征 I恒定
【典例4】如图所示，平行金属导轨宽度为d，一部分轨道水平，左端接电阻R，倾斜
部分与水平面成θ角，且置于垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为 B，现将一质量
为m、长度也为d的导体棒从导轨顶端由静止释放，直至滑到水平部分(导体棒下滑到水平
部分之前已经匀速，滑动过程中与导轨保持良好接触，重力加速度为 g)．不计一切摩擦力，
导体棒接入回路电阻为r，则整个下滑过程中( )
A．导体棒匀速运动时速度大小为
B．匀速运动时导体棒两端电压为
C．导体棒下滑距离为s时，通过R的总电荷量为
D．重力和安培力对导体棒所做的功大于导体棒获得的动能
【典例5】如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜
面上，顶部接有一阻值R＝3 Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1 m．整个装置处于
磁感应强度B＝2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上．质量m＝1 kg的金属棒ab置
于导轨上，ab在导轨之间的电阻r＝1 Ω，电路中其余电阻不计．金属棒 ab由静止释放后
沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好．不计空气阻力影响．已知金属棒 ab与
导轨间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.(1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度v ；
m
(2)求金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率P ；
R
(3)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的焦耳热总共为1.5
J，求流过电阻R的总电荷量q.
【典例6】如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距L，导轨平面与
水平面的夹角θ＝30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．
长为L的金属棒垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为
m、电阻为R.两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻也为R.现闭合开关K，给金属
棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为 F＝2mg的恒力，使金属棒由
静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．重力加速度为
g，求：
(1)金属棒能达到的最大速度v ；
m
(2)灯泡的额定功率P ；
L
(3)若金属棒上滑距离为s时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑 2s的过程中，
金属棒上产生的电热Q.
1
初态 v≠0 v＝0
0 0
示意
图
阻尼式 电动式 发电式 充电式
情景 质量为 m，电阻 轨 道 水 平 光 轨道水平光滑， 轨道水平光滑，单杆ab质量
说明 不计的单杆ad以 滑，杆 ad 质量 单杆 ab 质量为 为m，电阻不计，两平行导一定初速度 v 在 m，电阻不计，
0 为 m，电阻不
光滑水平轨道上 两平行导轨间距
计，两平行导 轨间距为L，拉力F恒定
滑动，两平行导 为L，拉力 F恒
轨间距为L
轨间距为L 定
Δt时间内流入电容器的电荷
量Δq＝CΔU＝CBLΔv
运动
分析 当E ＝E时，v 电流I＝＝CBL＝CBLa
导体杆做加速度 感 当a＝0时，v最
最 大 ， 且 v
越来越小的减速 ＝，最后以v m 大，即v m ＝时， 安培力F 安 ＝BLI＝CB2L2a
运动，最终杆静 m 杆开始匀速运动
止 匀速运动 F－F 安 ＝ma，a＝
所以杆以恒定的加速度匀加
速运动
电能转化为动 外力做功转化为
能量 动能全部转化为 能和内能， 动能和内能： 外力做功转化为电能和动
分析
内能：mv
0
2＝Q 能：W
F
＝E
电
＋mv2
E ＝mv 2＋Q W ＝mv 2＋Q
电 m F m
考点三 双杆模型
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图
质量m＝m 电阻r＝r 质量m＝m 电阻r＝r
1 2 1 2 1 2 1 2
长度L＝L 长度L＝2L
1 2 1 2
运动分析
杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速
稳定时，两杆的加速度均为零，两
运动，稳定时，两杆的加速度均为零，
杆的速度之比为1∶2
以相等的速度匀速运动
能量
一部分动能转化为内能，Q＝－ΔE
分析 k(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨
示意图
质量m ＝m 电阻r ＝r 长度L 摩擦力F ＝F 质量m ＝m 电
1 2 1 2 1 f1 f2 1 2
＝L 阻r＝r 长度L＝L
2 1 2 1 2
开始时，若F≤2F，则PQ杆先变加
运动分析 f
速后匀速运动，MN杆静止。若F＞
开始时，两杆做变加速运动；稳定
2F ，PQ 杆先变加速后匀加速运
f
时，两杆以相同的加速度做匀加速
动，MN杆先静止后变加速最后和
运动
PQ杆同时做匀加速运动，且加速度
相同
能量 外力做功转化为动能和内能， 外力做功转化为动能和内能(包括电
分析 W ＝ΔE＋Q 热和摩擦热)，W ＝ΔE＋Q ＋Q
F k F k 电 f
【典例7】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 θ＝30°的斜面上，导轨
电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线
为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场
的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量m＝0.1 kg，电阻R＝0.1 Ω 的金属
1 1
条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m ＝0.4 kg、电阻R ＝0.1 Ω
2 2
的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，
ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2.问：
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab
上产生的热量Q是多少．【典例8】如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°角固定放置，
导轨间连接一阻值为6 Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n间有一与导轨
所在平面垂直、磁感应强度为 B的匀强磁场．导体棒a的质量为m ＝0.4 kg，电阻R ＝3
a a
Ω；导体棒b的质量为m ＝0.1 kg，电阻R ＝6 Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接
b b
触良好．a、b从开始相距L ＝0.5 m处同时由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿
0
过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场(g取10 m/s2，不计a、b之间电流的相互
作用)．求：
(1)当a、b分别穿越磁场的过程中，通过R的电荷量之比；
(2)在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；
(3)磁场区域沿导轨方向的宽度d；
(4)在整个过程中产生的总焦耳热．
一、单选题
1．（2023·浙江·统考高考真题）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过
两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过
开关S可与直流电源 或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向
上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细
杆与竖直方向的夹角固定点 ；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过
程中（ ）A．电源电动势 B．棒消耗的焦耳热
C．从左向右运动时，最大摆角小于 D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
2．（2022·重庆·高考真题）如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间
连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在
垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做
匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示。其中，第一次对应直线
①，初始拉力大小为F，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉
0
力大小为2F，两直线交点的纵坐标为3F。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之
0 0
比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n可
能为（ ）
A．k = 2、m = 2、n = 2 B．C． D．
3．（2023·重庆·统考高考真题）如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U
型金属导轨。质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度
进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，速度大小变
为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆
在磁场中运动的此段时间内（ ）
A．流过杆的感应电流方向从N到M
B．杆沿轨道下滑的距离为
C．流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为
二、多选题
4．（2023·辽宁·统考高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、
右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。
已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是
MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放
弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与
导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧伸展过程中、回路中产生顺时针方向的电流B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为
C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为
5．（2023·山东·统考高考真题）足够长U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为 ，
电阻不计。质量为 、长为 、电阻为 的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩
形回路并始终接触良好，I和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为
和 ，其中 ，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与
质量为 的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻MN、CD同时
分别进入磁场区域I和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行。MN的速度
，CD的速度为 且 ，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小
取 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的方向向上 B． 的方向向下 C． D．
三、解答题
6．（2023·湖南·统考高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距
为 ，两导轨及其所构成的平面均与水平面成 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上
的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ．现将质量均为 的金属棒 垂直导轨放置，每根
金属棒接入导轨之间的电阻均为 。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属
棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为 。（1）先保持棒 静止，将棒 由静止释放，求棒 匀速运动时的速度大小 ；
（2）在（1）问中，当棒 匀速运动时，再将棒 由静止释放，求释放瞬间棒 的加速度
大小 ；
（3）在（2）问中，从棒 释放瞬间开始计时，经过时间 ，两棒恰好达到相同的速度 ，
求速度 的大小，以及时间 内棒 相对于棒 运动的距离 。
7．（2022·福建·高考真题）如图（a），一倾角为 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其
顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，
其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘
细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，
滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从 开始，H在水平向右拉力作用下向
右运动； 时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定．G在 后的速度一时间图线如
图（b）所示，其中 段为直线．已知：磁感应强度大小 ， ，G、H和
A的质量均为 ，G、H的电阻均为 ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；
H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好： ， ，重力加速度大小取 ，图（b）中e为自然常数，
．求：
（1）在 时间段内，棒G的加速度大小和细绳对A的拉力大小；
（2） 时，棒H上拉力的瞬时功率；
（3）在 时间段内，棒G滑行的距离．
8．（2023·全国·统考高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分
的间距为 ，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方
向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 。一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属
棒P静止在导轨上。导轨上质量为 的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为 的速度向P运
动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导
轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。
不计空气阻力。求
（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。9．（2023·山西·统考高考真题）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为
R，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强
0
磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终
与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框
的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R =
1
2R，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的
0
初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。
求在金属框整个运动过程中，电阻R 产生的热量。
110．（2023·浙江·统考高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，
它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并
形成闭合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。导轨
长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场
近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小 （其中k为常量），
方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小
，方向与B 相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v 进入导
1 0
轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为
M，导轨间距 ，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻
力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。1．如图，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金
属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E ；若磁感应强度增为2B，
1
其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E.则通过电阻R的电流方向及E 与E 之比
2 1 2
E∶E 分别为( )
1 2
A．c→a,2∶1 B．a→c,2∶1
C．a→c,1∶2 D．c→a,1∶2
2．(多选)如图，水平放置的金属导体框abcd，ab、cd边平行、间距为l，导体框内均
有垂直于框面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，一单位长度电阻为r的金属杆MN，与导
轨成θ角，以速度v沿平行于cd的方向匀速滑动，金属杆滑动过程中与导轨接触良好，导
轨框电阻不计，则( )
A．M点电势低于N点电势
B．闭合回路中磁通量的变化率为Blv
C．金属杆所受安培力的方向与运动方向相反
D．金属杆所受安培力的大小为
3．如图所示，两根间距为l的光滑平行金属导轨与水平面夹角为 α，图中虚线下方区
域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上．两金属杆质量均为 m，
电阻均为R，垂直于导轨放置．开始时金属杆ab处在距磁场上边界一定距离处，金属杆cd
处在导轨的最下端，被与导轨垂直的两根小柱挡住．现将金属杆 ab由静止释放，金属杆
ab刚进入磁场便开始做匀速直线运动．已知重力加速度为g，则( )A．金属杆ab进入磁场时感应电流的方向为由a到b
B．金属杆ab进入磁场时速度大小为
C．金属杆ab进入磁场后产生的感应电动势为
D．金属杆ab进入磁场后，金属杆cd对两根小柱的压力大小为零
4．CD、EF是两条水平放置的电阻可忽略的平行金属导轨，导轨间距为 L，在水平导
轨的左侧存在磁感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场
区域的长度为d，如图所示．导轨的右端接有一电阻R，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．
将一阻值也为R的导体棒从弯曲轨道上h高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右
边界处．已知导体棒与水平导轨接触良好，且动摩擦因数为 μ，则下列说法中正确的是(
)
A．电阻R的最大电流为
B．流过电阻R的电荷量为
C．整个电路中产生的焦耳热为mgh
D．电阻R中产生的焦耳热为mg(h－μd)
5．(多选)如图所示，足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0＜θ＜90°)，
其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电
阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab棒
接入电路的部分的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，棒的速度大小为
v，则金属棒ab在这一过程中( )
A．a点的电势高于b点的电势
B．ab棒中产生的焦耳热小于ab棒重力势能的减少量
C．下滑的位移大小为
D．受到的最大安培力大小为sin θ
6．(多选)如图甲所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为 L，一
端通过导线与阻值为R的电阻连接．导轨上放一质量为m的金属杆，金属杆、导轨的电阻
均忽略不计，匀强磁场垂直导轨平面向下．用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，
杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，金属杆做匀速运动时的速度 v也会变化，v
和F的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )A．金属杆在匀速运动之前做匀加速直线运动
B．流过电阻R的电流方向为a→R→b
C．由图象可以得出B、L、R三者的关系式为＝
D．当恒力F＝3 N时，电阻R消耗的最大电功率为8 W
7．（多选）在图中，EF、GH为平行的金属导轨，其电阻不计，R为电阻，C为电容
器，AB为可在EF和GH上滑动的导体棒。有匀强磁场垂直于导轨平面。若用I 和I别表示
1
图中该处导线中的电流，则当AB棒（ ）
A．匀速滑动时，I = 0，I = 0 B．匀速滑动时，I ≠ 0，I = 0
1 2 1 2
C．减速滑动时，I ≠ 0，I≠ 0 D．减速滑动时，I = 0，I = 0
1 2 1 2
8．（多选）如图，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，左右两侧导轨的间距分别为
l、2l，导轨间存在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量分别为m、2m的导体棒
a、b均垂直导轨放置，回路总电阻保持不变。a、b两棒分别以 、 的初速度同时向右
运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持接触良好，a总在窄轨上运动，b总在宽轨
上运动，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a棒的加速度始终等于b棒的加速度
B．a棒的加速度始终大于b棒的加速度
C．稳定时a棒的速度大小为D．稳定时a棒的速度大小为
9．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为 ，宽度为 ，电阻忽略不
计，其上端接一小灯泡，电阻为 。导体棒 垂直于导轨放置，质量为 ，电阻
为 ，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5。在整个导轨间存在着垂直
于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为 。将导体棒由静止释放，运动 后，小灯泡稳
定发光，此后导体棒的运动速度保持不变，（重力加速度 取 ， ，
），求：
（1）导体棒速度为 时棒所受的安培力大小和方向；
（2）导体棒匀速运动时的速度大小；
（3）导体棒从静止到匀速的过程中通过小灯泡的电量。
（4）导体棒从静止到匀速的过程中整个电路产生的焦耳热。
10．如图所示，间距 的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹角 ，在其顶端
与阻值为 的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长
且在 处平滑连接， 至 间是光滑绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导
通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场，水平轨道处有竖直向上。磁感应强度大小为 的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为 ，
两棒接入电路部分的电阻均为 ，初始时刻，导体棒1放置在倾斜轨道上，且距离 足
够远，导体棒2静置于水平轨道上，已知倾斜轨道与导体棒1间的动摩擦因数 ，
。现将导体棒1由静止释放，运动过程中未与导体棒2发生碰撞。 ，
，重力加速度 ，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计。
下列说法正确的是（ ）
A．导体棒1滑至 瞬间的速度大小为
B．导体棒1滑至 瞬间，导体棒2的加速度大小为
C．稳定时，导体棒2的速度大小为
D．整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为0.32C
11．如图1所示，两光滑平行导轨固定且与水平面的夹角θ=30°，底端接有一阻值为R
的电阻，质量为m、有效阻值为 的金属棒与导轨接触良好，被细绳拉住，与导轨及电阻
R构成一个边长为L的正方形回路，空间中存在方向垂直于导轨平面向上的磁场，其磁感
应强度B随时间t变化的关系如图2所示，在t 时刻，细绳刚好被拉断，此时磁感应强度大
0
小达到B，金属棒沿斜面向下运动0.5L达到最大速度，重力加速度为g，导轨电阻不计，
0
下列说法正确的是（ ）A．0.5t 时刻，细绳的拉力为
0
B．细绳断裂瞬间电路总功率为
C．金属棒下落的最大速度为
D．金属棒沿导轨向下运动0.5L的过程中电阻R上产生的热量为
12．如图所示，MN、PQ是两根间距为L且电阻不计的足够长平行金属导轨，左侧弧
形部分光滑，右侧水平部分粗糙且处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与水
平导轨平面夹角为 ，导轨右端接一阻值为R的定值电阻。一质量为m、长度为L的金属
棒，垂直导轨放置，与水平导轨间的动摩擦因数为 。现让其从导轨左端h高处由静止释
放，进入磁场后经时间t停止运动。已知金属棒电阻为R，与导轨间接触良好，且始终与磁
场垂直，则金属棒进入磁场区域后（ ）
A．定值电阻R产生的焦耳热为
B．金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越小
C．定值电阻R两端的最大电压为
D．金属棒在磁场中运动的距离为
13．如图所示，足够长的光滑金属导轨水平固定于竖直向上的匀强磁场中，窄轨的间
距为 ，宽轨的间距为L，两根完全相同的导体棒 、 垂直于导轨静止放置并与导轨接触良好，导体棒的长度均为L，现使导体棒 瞬间获得一个向右的初速度开始运动，
已知导体棒 在到达宽窄导轨的连接处之前就已经匀速运动，经过足够长的时间，两根
导体棒都在宽轨上匀速运动，不考虑导体棒 经过宽窄导轨的连接处时速度的变化。下
列说法中正确的是（ ）
A．导体棒 前后两次匀速运动的速率之比为3：2
B．导体棒 前后两次匀速运动的速率之比为1：2
C．导体棒 分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，通过回路的电荷量之比为1：3
D．导体棒 分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，回路中产生的焦耳热之比为5：9
14．如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨 、 水平放置， 两侧导轨
所在空间区域，导轨间距分别为 和 ，磁感应强度分别为 和 ，方向分别为竖直向
上和竖直向下， ， ，电阻均为R、质量均为m的导体棒a、b垂
直导轨放在 左右两侧，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻．现给导体棒b一个水
平向右的瞬时冲量I，关于a、b两棒此后整个运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两棒组成的系统动量守恒
B．a、b两棒最终都将以大小为 的速度做匀速直线运动
C．整个过程中，a棒上产生的焦耳热为D．整个过程中，通过a棒的电荷量为
15．如图所示，间距为L的足够长光滑平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘水平面上，
质量均为m的金属棒ab、cd垂直放在导轨上，两金属棒接入电路的电阻均为R，垂直于导
轨的虚线ef左侧有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，虚线ef
的右侧没有磁场，给金属棒ab一个水平向右的初速度v，已知cd棒到达ef前已匀速运动，
0
ab、cd棒不会发生相碰，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，ab棒出磁场时
速度刚好为零，则下列说法正确的是（ ）
A．cd棒最终速度为零
B．cd棒从静止运动到ef过程中通过的电荷量为
C．整个过程，金属棒ab中产生的焦耳热为
D．整个过程，金属棒ab克服安培力做的功为
16．如图所示，在匀强磁场中竖直放置两条足够长的平行导轨，磁场方向与导轨所在
平面垂直，磁感应强度大小 ，两导轨间距L＝1.0m，两水平金属棒a和b接入电
路的电阻都为R＝2.0Ω，质量分别为 和 ，它们始终与导轨接触良
好，并可沿导轨无摩擦滑动。若将b棒固定，用一竖直向上的恒力F拉a棒，稳定后a棒
向上匀速运动，此时再释放b棒，b棒恰能保持静止。不计导轨电阻，取 。
（1）求a棒向上匀速运动的速度 和拉力F的大小；
（2）若将a、b棒都固定，使磁感应强度从 随时间均匀增加，经 后磁感应强度增大到 时，a棒受到的安培力大小 ，求两棒间的距离h。
17. 如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L，与水平面的夹角为θ，整个空间存
在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，虚线上方轨道光滑且磁场方向垂
直导轨平面向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向垂直导轨平面向下．当导体棒EF以初速
度v 沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN一直静止在导轨上，若两导体棒质量均
0
为m、电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g，在此过程中导体棒EF上产生的电热
为Q，求：
(1)导体棒MN受到的最大摩擦力；
(2)导体棒EF上升的最大高度．18．如图甲所示，足够长的光滑导轨倾角为30°，间距L＝1 m，电阻不计，恒定的非
匀强磁场方向垂直于斜面向下，电阻 R＝1 Ω，导体棒ab质量m＝0.25 kg，其电阻r＝1
Ω，垂直于导轨放置．现导体棒ab从磁场上边界由静止下滑，测得导体棒所到达位置的磁
感应强度B与导体棒在该位置速度之间的关系如图乙所示，(g取10 m/s2)
(1)求导体棒下滑2 s时的速度和位移；
(2)求导体棒下滑2 s内回路中产生的焦耳热．
19．如图甲所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹
角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量
为m.导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为 B.金属
导轨的上端与开关S、定值电阻R 和电阻箱R 相连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的
1 2
电阻，重力加速度为g.现在闭合开关S，将金属棒由静止释放．
(1)判断金属棒ab中电流的方向；
(2)若电阻箱R 接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程
2
中定值电阻上产生的焦耳热Q；
(3)当B＝0.40 T，L＝0.50 m，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度v 随电阻箱R 阻值
m 2
的变化关系，如图乙所示．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.求R 的阻值和金属
1
棒的质量m.20．如图所示，电阻不计、间距L＝1 m、足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ
＝37°角，导轨平面矩形区域efhg内分布着磁感应强度大小B＝1 T、方向垂直导轨平面向
上的匀强磁场，边界ef、gh之间的距离D＝1.4 m．现将质量m＝0.1 kg、电阻R＝ Ω的导
体棒P、Q相隔Δt＝0.2 s先后从导轨顶端由静止自由释放，P、Q在导轨上运动时始终与导
轨垂直且接触良好，P进入磁场时恰好匀速运动，Q穿出磁场时速度为2.8 m/s.已知重力加
速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)导轨顶端与磁场上边界ef之间的距离s；
(2)从导体棒P释放到Q穿出磁场的过程，回路中产生的焦耳热Q
总．
21．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ
＝37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一
根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好。金属杆a、b质量均为M＝0.1 kg，电阻
R＝2 Ω、R ＝3 Ω，其余电阻不计。在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下
a b
的匀强磁场B、B，且B＝B＝0.5 T。已知从t＝0时刻起，杆a在外力F 作用下由静止开
1 2 1 2 1
始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F 作用下始终保持静止状态，且F＝0.75＋0.2t
2 2
（N）。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2）
（1）判断杆a的电流方向并通过计算说明杆a的运动情况；
（2）从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；（3）若从t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F 做功为13.2 J，则求这段时间内杆b上
1
产生的热量。
22．如图，平行光滑导轨的左侧AB和 是竖直平面内半径为R的四分之一圆弧，
BE、 处于同一水平面，AC和 间距为L，DE和 间距为2L，AC、 、DE、
均足够长（MN始终位于 左侧运动），AC和DE、 和 通过导线连接，其
中 右侧导轨平面都处在竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中。现将长度为2L的导体
棒PQ垂直导轨放置于DE和 上，将长度为L的导体棒MN垂直导轨放置于 端，由
静止释放导体棒MN，导体棒运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知导体棒MN
和PQ材料、横截面积均相同，导体棒MN质量为m，电阻为r，重力加速度为g，不计导
轨电阻。求：
（1）导体棒MN刚进入磁场时的速度大小；
（2）导体棒MN刚进入磁场时，导体棒PQ的加速度大小；
（3）导体棒MN最终稳定的速度大小以及从释放MN至两导体棒稳定运动的整个过程中导
体棒MN产生的焦耳热。
