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第 44 讲 电磁感应中的“单双杆＋导轨”模型
——划重点之精细讲义系列
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查
的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“杆＋导
轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、
竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等．
考点一 单杆水平式模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为
B,棒 ab 长为 L,质量为 m,初速度为
物理模型 零，拉力恒为F,水平导轨光滑，除电
阻R外，其他电阻不计
设运动过程中某时刻棒的速度为v,由牛顿第二定律知棒ab的加
动态分析 速度为 ，a、v同向，随速度的增加，棒的加速
度a减小，当a = 0时，v最大， 恒定
运动形式 匀速直线运动
收尾状态 力学特征 a=0 v恒定不变
电学特征 I恒定
【典例1】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定
在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水
平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良
好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析：选C.PQ在运动过程中切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，线框左右两
端电阻并联，当PQ运动到中间时并联电阻最大，流经PQ的电流最小，因此在滑动过程中，
PQ中的电流先减小后增大，选项A错误；由于外接电阻先增大后减小，因此PQ两端的电
压即路端电压先增大后减小，选项B错误；
由能量守恒得拉力功率等于线框和导体棒的电功率，因此拉力功率为 P＝＝，由于电
路总电阻先增大后减小，因此拉力功率先减小后增大，选项 C正确；矩形线框abcd总电阻
为3R，当PQ滑动到ab中点时，线框并联总电阻最大，最大值为R，小于导体棒PQ的电
阻，所以滑动过程中线框消耗的电功率先增大后减小，选项D错误．
【典例2】U形光滑金属导轨水平放置，如图所示为俯视图，导轨右端接入电阻 R＝
0.36 Ω，其他部分无电阻，导轨间距为L＝0.6 m，界线MN右侧有匀强磁场，磁感应强度
为B＝ T．导体棒ab电阻为零，质量m＝1 kg.导体棒与导轨始终垂直且接触良好，在距离
界线MN为d＝0.5 m处受恒力F＝1 N作用从静止开始向右运动，到达界线PQ时恰好匀速，
界线PQ与MN间距也为d.
(1)求匀速运动时的速度v的大小；
(2)求导体棒在MN和PQ间运动过程中R的发热量Q.
解析：(1)匀速时合力为零，所以F＝F ＝BIL＝
安
得v＝＝0.5 m/s
(2)设导体棒从出发到匀速的过程安培力做功为W ，根据动能定理有F·2d＋W ＝mv2
A A
得W ＝－ J
A
R的发热量即为导体棒克服安培力做的功，
即Q＝|W |＝ J
A
答案：(1)0.5 m/s (2) J
【典例3】如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，两导轨间距
为L，左端接一电源，其电动势为E、内阻为r，有一质量为m、长度也为L的金属棒置于
导轨上，且与导轨垂直，金属棒的电阻为R，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应
强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中．
(1)若闭合开关S的同时对金属棒施加水平向右恒力F，求棒即将运动时的加速度和运
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】动过程中的最大速度；
(2)若开关S开始是断开的，现对静止的金属棒施加水平向右的恒力 F，一段时间后再
闭合开关S；要使开关S闭合瞬间棒的加速度大小为，则F需作用多长时间．
解析：(1)闭合开关S的瞬间回路电流I＝
金属棒所受安培力水平向右，其大小F＝ILB
A
由牛顿第二定律得a＝
整理可得a＝LB＋
金属棒向右运动的过程中，切割磁感线产生与电源正负极相反的感应电动势，回路中
电流减小，安培力减小，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，匀速运动时速度最大，此
时由平衡条件得F′＝F
A
由安培力公式得F′＝I′LB
A
由闭合电路欧姆定律得I′＝
联立求得v ＝＋
m
(2)设闭合开关S时金属棒的速度为v，
此时电流I″＝
由牛顿第二定律得a″＝
所以加速度a″＝－LB
若加速度大小为，则＝
解得速度v＝，v＝＋
1 2
未闭合开关S前金属棒的加速度一直为a＝
0
解得恒力F作用时间
t＝＝或t＝＝＋
1 2
答案：(1)LB＋ ＋
(2)或＋
考点二 单杆倾斜式模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B,
导轨间距L,导体棒质量m,电阻R,导轨
物理模型
光滑，电阻不计(如图)
动态分析 棒ab释放后下滑，此时a=gsinα,棒ab速度v↑→感应电动势
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】E=BLv↑→电流 ↑→安培力F=BIL↑→加速度a↓,当安培力
F=mgsinα时，a=0,v最大
运动形式 匀速直线运动
收尾状态 力学特征
a = 0 v最大
电学特征 I恒定
【典例4】如图所示，平行金属导轨宽度为d，一部分轨道水平，左端接电阻R，倾斜
部分与水平面成θ角，且置于垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为 B，现将一质量
为m、长度也为d的导体棒从导轨顶端由静止释放，直至滑到水平部分(导体棒下滑到水平
部分之前已经匀速，滑动过程中与导轨保持良好接触，重力加速度为 g)．不计一切摩擦力，
导体棒接入回路电阻为r，则整个下滑过程中( )
A．导体棒匀速运动时速度大小为
B．匀速运动时导体棒两端电压为
C．导体棒下滑距离为s时，通过R的总电荷量为
D．重力和安培力对导体棒所做的功大于导体棒获得的动能
解析：选A.导体棒下滑过程中受到沿斜面向下重力的分力和沿斜面向上的安培力，当
匀速运动时，有mgsin θ＝BId，根据欧姆定律可得I＝，根据法拉第电磁感应定律可得E＝
Bdv，联立解得v＝sin θ，E＝sin θ，故导体棒两端的电压为U＝R＝sin θ，A正确，B错
误．根据法拉第电磁感应定律E＝＝＝，故q＝IΔt＝Δt＝，根据动能定理可得重力和安培
力对导体棒所做的功等于导体棒获得的动能，C、D错误．
【典例5】如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜
面上，顶部接有一阻值R＝3 Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1 m．整个装置处于
磁感应强度B＝2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上．质量m＝1 kg的金属棒ab置
于导轨上，ab在导轨之间的电阻r＝1 Ω，电路中其余电阻不计．金属棒 ab由静止释放后
沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好．不计空气阻力影响．已知金属棒 ab与
导轨间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度v ；
m
(2)求金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率P ；
R
(3)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的焦耳热总共为1.5
J，求流过电阻R的总电荷量q.
解析：(1)金属棒由静止释放后，沿斜面做变加速运动，加速度不断减小，当加速度为
零时有最大速度v .
m
由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ－F ＝0
安
F ＝BIL，I＝，解得v ＝2.0 m/s
安 m
(2)金属棒以最大速度v 匀速运动时，电阻R上的电功率最大，此时P ＝I2R，解得P
m R R
＝3 W
(3)设金属棒从开始运动至达到最大速度过程中，沿导轨下滑距离为 x，由能量守恒定
律得
mgxsin θ＝μmgxcos θ＋Q ＋Q＋mv
R r
根据焦耳定律＝，解得x＝2.0 m
根据q＝ Δt，＝
＝＝，解得q＝1.0 C
答案：(1)2 m/s (2)3 W (3)1.0 C
【典例6】如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距L，导轨平面与
水平面的夹角θ＝30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．
长为L的金属棒垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为
m、电阻为R.两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻也为R.现闭合开关K，给金属
棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为 F＝2mg的恒力，使金属棒由
静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．重力加速度为
g，求：
(1)金属棒能达到的最大速度v ；
m
(2)灯泡的额定功率P ；
L
(3)若金属棒上滑距离为s时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑 2s的过程中，
金属棒上产生的电热Q.
1
解析：(1)金属棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，金属棒达到最大
速度，此后开始做匀速直线运动，设最大速度为v ，则速度达到最大时有
m
E＝BLv ，I＝，
m
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】F＝BIL＋mgsin θ，解得v ＝，
m
(2)P ＝I2R，解得P ＝.
L L
(3)设整个电路放出的电热为Q，由能量守恒定律有
F·2s＝Q＋mgsin θ·2s＋mv，
由题意可知Q＝，解得Q＝mgs－.
1 1
答案：(1) (2) (3)mgs－
初态 v≠0 v＝0
0 0
示意
图
阻尼式 电动式 发电式 充电式
质量为 m，电阻 轨道水平光滑，
轨 道 水 平 光
不计的单杆ad以 单杆 ab 质量为
滑，杆 ad 质量 轨道水平光滑，单杆ab质量
情景 一定初速度 v 在 m，电阻不计，
0 为 m，电阻不 为m，电阻不计，两平行导
说明 光滑水平轨道上 两平行导轨间距
计，两平行导 轨间距为L，拉力F恒定
滑动，两平行导 为L，拉力 F恒
轨间距为L
轨间距为L 定
Δt时间内流入电容器的电荷
量Δq＝CΔU＝CBLΔv
运动
分析 当E ＝E时，v 电流I＝＝CBL＝CBLa
导体杆做加速度 感 当a＝0时，v最
最 大 ， 且 v
越来越小的减速 ＝，最后以v m 大，即v m ＝时， 安培力F 安 ＝BLI＝CB2L2a
运动，最终杆静 m 杆开始匀速运动
止 匀速运动 F－F 安 ＝ma，a＝
所以杆以恒定的加速度匀加
速运动
电能转化为动 外力做功转化为
能量 动能全部转化为 能和内能， 动能和内能： 外力做功转化为电能和动
分析
内能：mv
0
2＝Q 能：W
F
＝E
电
＋mv2
E ＝mv 2＋Q W ＝mv 2＋Q
电 m F m
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点三 双杆模型
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图
质量m＝m 电阻r＝r 质量m＝m 电阻r＝r
1 2 1 2 1 2 1 2
长度L＝L 长度L＝2L
1 2 1 2
运动分析
杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速
稳定时，两杆的加速度均为零，两
运动，稳定时，两杆的加速度均为零，
杆的速度之比为1∶2
以相等的速度匀速运动
能量
一部分动能转化为内能，Q＝－ΔE
分析 k
(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨
示意图
质量m ＝m 电阻r ＝r 长度L 摩擦力F ＝F 质量m ＝m 电
1 2 1 2 1 f1 f2 1 2
＝L 阻r＝r 长度L＝L
2 1 2 1 2
开始时，若F≤2F，则PQ杆先变加
运动分析 f
速后匀速运动，MN杆静止。若F＞
开始时，两杆做变加速运动；稳定
2F ，PQ 杆先变加速后匀加速运
f
时，两杆以相同的加速度做匀加速
动，MN杆先静止后变加速最后和
运动
PQ杆同时做匀加速运动，且加速度
相同
能量 外力做功转化为动能和内能， 外力做功转化为动能和内能(包括电
分析 W ＝ΔE＋Q 热和摩擦热)，W ＝ΔE＋Q ＋Q
F k F k 电 f
【典例7】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 θ＝30°的斜面上，导轨
电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线
为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场
的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量m＝0.1 kg，电阻R＝0.1 Ω 的金属
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m ＝0.4 kg、电阻R ＝0.1 Ω
2 2
的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，
ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2.问：
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab
上产生的热量Q是多少．
解析：(1)由右手定则可判断出cd中的电流方向为由d到c，则ab中电流方向为由a流
向b.
(2)开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为F ，有F ＝
max max
mgsin θ①
1
设ab刚要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv②
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有
I＝③
设ab所受安培力为F ，有F ＝BIL④
安 安
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F ＝mgsin θ＋F ⑤
安 1 max
综合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5 m/s⑥
(3)设cd棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q ，由能量守恒定律有mgxsin θ＝Q
总 2
＋mv2⑦
总 2
又Q＝Q ⑧
总
解得Q＝1.3 J⑨
答案：(1)由a流向b (2)5 m/s (3)1.3 J
【典例8】如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°角固定放置，
导轨间连接一阻值为6 Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n间有一与导轨
所在平面垂直、磁感应强度为 B的匀强磁场．导体棒a的质量为m ＝0.4 kg，电阻R ＝3
a a
Ω；导体棒b的质量为m ＝0.1 kg，电阻R ＝6 Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接
b b
触良好．a、b从开始相距L ＝0.5 m处同时由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿
0
过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场(g取10 m/s2，不计a、b之间电流的相互
作用)．求：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)当a、b分别穿越磁场的过程中，通过R的电荷量之比；
(2)在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；
(3)磁场区域沿导轨方向的宽度d；
(4)在整个过程中产生的总焦耳热．
解析：(1)由法拉第电磁感应定律得＝，
平均电流＝，
通过导体棒的总电荷量q ＝ Δt＝.
总
在b穿越磁场的过程中，b是电源，a与R是外电路，电路的总电阻R ＝R＋＝8 Ω.
总1 b
则通过R的电荷量为q ＝q ＝·.
Rb 总
同理，a穿越磁场的过程中，R ＝R＋＝6 Ω，通过R的电荷量为q ＝q ＝·.
总2 a Ra 总
解得q ∶q ＝2∶1.
Ra Rb
(2)设b在磁场中匀速运动的速度大小为v ，则b中的电流I ＝.由平衡条件得＝mgsin
b b b
53°.
同理，a在磁场中匀速运动时有＝mgsin 53°.
a
联立可得v∶v＝3∶1.
a b
(3)设a、b穿越磁场的过程中的速度分别为v 和v.
a b
由题意得v＝v＋gtsin 53°，d＝vt，
a b b
因v－v＝2gLsin 53°，解得d＝0.25 m.
0
(4)由F ＝mgsin 53°，故W＝mgdsin 53°＝0.8 J，
安a a a a
同理W＝mgdsin 53°＝0.2 J.
b b
在整个过程中，电路中共产生焦耳热为
Q＝W＋W＝1 J.
a b
答案：(1)2∶1 (2)3∶1 (3)0.25 m (4)1 J
一、单选题
1．（2023·浙江·统考高考真题）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过
两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】开关S可与直流电源 或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向
上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细
杆与竖直方向的夹角固定点 ；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过
程中（ ）
A．电源电动势 B．棒消耗的焦耳热
C．从左向右运动时，最大摆角小于 D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
【答案】C
【详解】A．当开关接1时，对导体棒受力分析如图所示
根据几何关系可得
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据欧姆定律
解得
故A错误；
根据右手定则可知导体棒从右向左运动时，产生的感应电动势与二极管正方向相同，部分
机械能转化为焦耳热；导体棒从左向右运动时，产生的感应电动势与二极管相反，没有机
械能损失
B．若导体棒运动到最低点时速度为零，导体棒损失的机械能转化为焦耳热为
根据楞次定律可知导体棒完成一次振动速度为零时，导体棒高度高于最低点，所以棒消耗
的焦耳热
故B错误；
C．根据B选项分析可知，导体棒运动过程中，机械能转化为焦耳热，所以从左向右运动时，
最大摆角小于 ，故C正确；
D．根据B选项分析，导体棒第二次经过最低点时的速度小于第一次经过最低点时的速度，
根据
可知棒两次过最低点时感应电动势大小不相等，故D错误。
故选C。
2．（2022·重庆·高考真题）如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间
连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在
垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做
匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示。其中，第一次对应直线
①，初始拉力大小为F，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】力大小为2F，两直线交点的纵坐标为3F。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之
0 0
比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n可
能为（ ）
A．k = 2、m = 2、n = 2 B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题知杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，则
在v = 0时分别有
，
则第一次和第二次运动中，杆从静止开始运动相同位移的时间分别为
，
则
第一次和第二次运动中根据牛顿第二定律有 ，整理有
则可知两次运动中F—v图像的斜率为 ，则有
故选C。
3．（2023·重庆·统考高考真题）如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】型金属导轨。质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度
进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，速度大小变
为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆
在磁场中运动的此段时间内（ ）
A．流过杆的感应电流方向从N到M
B．杆沿轨道下滑的距离为
C．流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为
【答案】D
【详解】A．根据右手定则，判断知流过杆的感应电流方向从M到N，故A错误；
B．依题意，设杆切割磁感线的有效长度为 ，电阻为 。杆在磁场中运动的此段时间内，
杆受到重力，轨道支持力及沿轨道向上的安培力作用，根据牛顿第二定律可得
联立可得杆的加速度
可知，杆在磁场中运动的此段时间内做加速度逐渐减小的加速运动；若杆做匀加速直线运
动，则杆运动的距离为
根据 图像围成的面积表示位移，可知杆在时间t内速度由 达到 ，杆真实运动的距
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】离大于匀加速情况发生的距离，即大于 ，故B错误；
C．由于在磁场中运动的此段时间内，杆做加速度逐渐减小的加速运动，杆的动能增大。由
动能定理可知，重力对杆所做的功大于杆克服安培力所做的功，根据 可得安培力的
平均功率小于重力的平均功率，也即流过杆感应电流的平均电功率小于重力的平均功率，
故C错误；
D．杆在磁场中运动的此段时间内，根据动量定理，可得
得杆所受安培力的冲量大小为
故D正确。
故选D。
二、多选题
4．（2023·辽宁·统考高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、
右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。
已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是
MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放
弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与
导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧伸展过程中、回路中产生顺时针方向的电流
B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为
C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为
【答案】AC
【详解】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项A
正确；
B．任意时刻，设电流为I，则PQ受安培力
方向向左；MN受安培力
方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m，
PQ速率为v时，则
解得
回路的感应电流
MN所受安培力大小为
选项B错误；
C．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，由动量守恒可得
可得则最终MN位置向左移动
PQ位置向右移动
因任意时刻两棒受安培力和弹簧弹力大小都相同，设整个过程两棒受的弹力的平均值为F
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，安培力平均值F ，则整个过程根据动能定理
弹 安
可得
选项C正确；
D．两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN
向左位置移动 ，PQ位置向右移动 ，则
选项D错误。
故选AC。
5．（2023·山东·统考高考真题）足够长U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为 ，
电阻不计。质量为 、长为 、电阻为 的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩
形回路并始终接触良好，I和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为
和 ，其中 ，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与
质量为 的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻MN、CD同时
分别进入磁场区域I和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行。MN的速度
，CD的速度为 且 ，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小
取 ，下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． 的方向向上 B． 的方向向下 C． D．
【答案】BD
【详解】AB．导轨的速度 ，因此对导体棒受力分析可知导体棒受到向右的摩擦力以
及向左的安培力，摩擦力大小为
导体棒的安培力大小为
由左手定则可知导体棒的电流方向为 ，导体框受到向左的摩擦力，
向右的拉力和向右的安培力，安培力大小为
由左手定则可知 的方向为垂直直面向里，A错误B正确；
CD．对导体棒分析
对导体框分析
电路中的电流为
联立解得
C错误D正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选BD。
三、解答题
6．（2023·湖南·统考高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距
为 ，两导轨及其所构成的平面均与水平面成 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上
的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ．现将质量均为 的金属棒 垂直导轨放置，每根
金属棒接入导轨之间的电阻均为 。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属
棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为 。
（1）先保持棒 静止，将棒 由静止释放，求棒 匀速运动时的速度大小 ；
（2）在（1）问中，当棒 匀速运动时，再将棒 由静止释放，求释放瞬间棒 的加速度
大小 ；
（3）在（2）问中，从棒 释放瞬间开始计时，经过时间 ，两棒恰好达到相同的速度 ，
求速度 的大小，以及时间 内棒 相对于棒 运动的距离 。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【详解】（1）a导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a棒的安培力相等时做匀速运动，
由法拉第电磁感应定律可得
有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
a棒受力平衡可得
联立记得
（2）由右手定则可知导体棒b中电流向里，b棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电流
不变，则b棒牛顿第二定律可得
解得
（3）释放b棒后a棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a棒动量定理
b棒受到向下的安培力，对b棒动量定理
联立解得
此过程流过b棒的电荷量为q，则有
由法拉第电磁感应定律可得
联立b棒动量定理可得
7．（2022·福建·高考真题）如图（a），一倾角为 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其
顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，
其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘
细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从 开始，H在水平向右拉力作用下向
右运动； 时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定．G在 后的速度一时间图线如
图（b）所示，其中 段为直线．已知：磁感应强度大小 ， ，G、H和
A的质量均为 ，G、H的电阻均为 ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；
H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触
良好： ， ，重力加速度大小取 ，图（b）中e为自然常数，
．求：
（1）在 时间段内，棒G的加速度大小和细绳对A的拉力大小；
（2） 时，棒H上拉力的瞬时功率；
（3）在 时间段内，棒G滑行的距离．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）
【详解】（1）由 图像可得在 内，棒G做匀加速运动，其加速度为
依题意物块A的加速度也为 ，由牛顿第二定律可得
解得细绳受到拉力
（2）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律推导出“双棒”回路中的电流为
由牛顿运动定律和安培力公式有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于在 内棒G做匀加速运动，回路中电流恒定为 ，两棒速度差为
保持不变，这说明两棒加速度相同且均为a；
对棒H由牛顿第二定律可求得其受到水平向右拉力
由 图像可知 时，棒G的速度为
此刻棒H的速度为
其水平向右拉力的功率
．
（3）棒H停止后，回路中电流发生突变，棒G受到安培力大小和方向都发生变化，棒G
是否还拉着物块A一起做减速运动需要通过计算判断，假设绳子立刻松弛无拉力，经过计
算棒G加速度为
物块A加速度为
说明棒H停止后绳子松弛，物块A做加速度大小为 的匀减速运动，棒G做加速度
越来越小的减速运动；由动量定理、法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可以求得，
在 内
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】棒G滑行的距离
这段时间内物块A速度始终大于棒G滑行速度，绳子始终松弛。
8．（2023·全国·统考高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分
的间距为 ，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方
向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 。一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属
棒P静止在导轨上。导轨上质量为 的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为 的速度向P运
动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导
轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。
不计空气阻力。求
（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由于绝缘棒Q与金属棒P发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
联立解得
，
由题知，碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则
金属棒P滑出导轨时的速度大小为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据能量守恒有
解得
（3）P、Q碰撞后，对金属棒P分析，根据动量定理得
又
，
联立可得
由于Q为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q运动的时间为
9．（2023·山西·统考高考真题）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为
R，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强
0
磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终
与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框
的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R =
1
2R，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的
0
初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。
求在金属框整个运动过程中，电阻R 产生的热量。
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）金属框进入磁场过程中有
则金属框进入磁场过程中流过回路的电荷量为
则金属框完全穿过磁场区域的过程中流过回路的电荷量为
且有
联立有
（2）设金属框的初速度为v，则金属框进入磁场时的末速度为v，向右为正方向。由于导
0 1
轨电阻可忽略，此时金属框上下部分被短路，故电路中的总电
再根据动量定理有
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则在此过程中根据能量守恒有
解得
其中
此后线框完全进入磁场中，则线框左右两边均作为电源，且等效电路图如下
则此时回路的总电阻
设线框刚离开磁场时的速度为v，再根据动量定理有
2
解得
v= 0
2
则说明线框刚离开磁场时就停止运动了，则再根据能量守恒有
其中
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则在金属框整个运动过程中，电阻R 产生的热量
1
10．（2023·浙江·统考高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，
它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并
形成闭合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。导轨
长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场
近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小 （其中k为常量），
方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小
，方向与B 相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v 进入导
1 0
轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为
M，导轨间距 ，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻
力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）3Mg； ；（2） ；（3） ；
；（4）装置A可回收火箭的动能和重力势能；
【详解】（1）导体杆受安培力
方向向上，则导体杆向下运动的加速度
解得
a=-2g
导体杆运动的距离
（2）回路的电动势
其中
解得
（3）右手定则和欧姆定律可得：
可得
电源输出能量的功率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 时间内输出的能量对应 图像的面积，可得：
（4）装置A可回收火箭的动能和重力势能，及磁场能；从开始火箭从速度v 到平台速度减
0
为零，则
若R的阻值视为0
装置A可回收能量为
1．如图，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金
属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E ；若磁感应强度增为2B，
1
其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E.则通过电阻R的电流方向及E 与E 之比
2 1 2
E∶E 分别为( )
1 2
A．c→a,2∶1 B．a→c,2∶1
C．a→c,1∶2 D．c→a,1∶2
解析：选C.杆MN向右匀速滑动，由右手定则判知，通过R的电流方向为a→c；又因
为E＝BLv，所以E∶E＝1∶2，故选项C正确．
1 2
2．(多选)如图，水平放置的金属导体框abcd，ab、cd边平行、间距为l，导体框内均
有垂直于框面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，一单位长度电阻为r的金属杆MN，与导
轨成θ角，以速度v沿平行于cd的方向匀速滑动，金属杆滑动过程中与导轨接触良好，导
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】轨框电阻不计，则( )
A．M点电势低于N点电势
B．闭合回路中磁通量的变化率为Blv
C．金属杆所受安培力的方向与运动方向相反
D．金属杆所受安培力的大小为
解析：选BD.由右手定则可知M点电势高于N点电势，故A错误．根据法拉第电磁感
应定律可得E＝＝Blv，故B正确．由左手定则知，金属杆所受安培力方向垂直于MN斜向
上，故C错误．由E＝Blv，I＝，R＝r，F＝BI，解得F＝，故D正确．
3．如图所示，两根间距为l的光滑平行金属导轨与水平面夹角为 α，图中虚线下方区
域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上．两金属杆质量均为 m，
电阻均为R，垂直于导轨放置．开始时金属杆ab处在距磁场上边界一定距离处，金属杆cd
处在导轨的最下端，被与导轨垂直的两根小柱挡住．现将金属杆 ab由静止释放，金属杆
ab刚进入磁场便开始做匀速直线运动．已知重力加速度为g，则( )
A．金属杆ab进入磁场时感应电流的方向为由a到b
B．金属杆ab进入磁场时速度大小为
C．金属杆ab进入磁场后产生的感应电动势为
D．金属杆ab进入磁场后，金属杆cd对两根小柱的压力大小为零
解析：选B.由右手定则可知，金属杆ab进入磁场时产生的感应电流的方向为由 b到
a，故A错误；因金属杆ab刚进入磁场便开始做匀速直线运动，则有mgsin α＝，解得v
＝，故B正确；金属杆ab进入磁场后产生的感应电动势E＝Blv，解得E＝，故C错误；由
左手定则可知，金属杆cd受到的安培力与斜面平行且向下，则金属杆 cd对两根小柱的压
力不为零，故D错误．
4．CD、EF是两条水平放置的电阻可忽略的平行金属导轨，导轨间距为 L，在水平导
轨的左侧存在磁感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场
区域的长度为d，如图所示．导轨的右端接有一电阻R，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．
将一阻值也为R的导体棒从弯曲轨道上h高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右
边界处．已知导体棒与水平导轨接触良好，且动摩擦因数为 μ，则下列说法中正确的是(
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】)
A．电阻R的最大电流为
B．流过电阻R的电荷量为
C．整个电路中产生的焦耳热为mgh
D．电阻R中产生的焦耳热为mg(h－μd)
解析：选D.由题图可知，导体棒刚进入磁场的瞬间速度最大，产生的感应电流最大，
由机械能守恒有mgh＝mv2，所以I＝＝＝，A错误；流过R的电荷量为q＝ t＝＝，B错误；
由能量守恒定律可知整个电路中产生的焦耳热为 Q＝mgh－μmgd，C错误；由于导体棒的
电阻也为R，则电阻R中产生的焦耳热为Q＝mg(h－μd)，D正确．
5．(多选)如图所示，足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0＜θ＜90°)，
其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电
阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab棒
接入电路的部分的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，棒的速度大小为
v，则金属棒ab在这一过程中( )
A．a点的电势高于b点的电势
B．ab棒中产生的焦耳热小于ab棒重力势能的减少量
C．下滑的位移大小为
D．受到的最大安培力大小为sin θ
解析：选ABC.由右手定则可知a点相当于电源的正极，b点相当于电源的负极，故A
正确；由能量守恒可知ab棒重力势能的减少量等于ab棒中产生的焦耳热与ab棒的动能之
和，故B正确；由q＝＝可得，下滑的位移大小为x＝，故C正确；金属棒ab在这一过程
中受到的安培力大小为F＝BIL，I最大为，故最大安培力大小为，故D错误．
6．(多选)如图甲所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为 L，一
端通过导线与阻值为R的电阻连接．导轨上放一质量为m的金属杆，金属杆、导轨的电阻
均忽略不计，匀强磁场垂直导轨平面向下．用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，
杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，金属杆做匀速运动时的速度 v也会变化，v
和F的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．金属杆在匀速运动之前做匀加速直线运动
B．流过电阻R的电流方向为a→R→b
C．由图象可以得出B、L、R三者的关系式为＝
D．当恒力F＝3 N时，电阻R消耗的最大电功率为8 W
解析：选BD.金属杆在匀速运动之前，随着运动速度的增大，由F ＝可知金属杆所受
安
的安培力增大，由牛顿第二定律可知金属杆的加速度减小，故金属杆做加速度减小的加速
运动，选项A错误；由楞次定律可知，流过电阻R的电流方向为a→R→b，选项B正确；
因为图象与横轴交点等于金属杆所受摩擦力的大小，故由图象可知金属杆所受的摩擦力为
F＝1 N，金属杆匀速运动时有F－F＝F ＝，则可得＝＝，选项C错误；当恒力F＝3 N
f f 安
时，金属杆受到的安培力大小为F ＝F－F＝2 N，金属杆匀速运动的速度为4 m/s，所以
安 f
金属杆克服安培力做功的功率P＝8 W，转化为电能的功率为8 W，故电阻R消耗的最大电
功率为8 W，选项D正确．
7．（多选）在图中，EF、GH为平行的金属导轨，其电阻不计，R为电阻，C为电容
器，AB为可在EF和GH上滑动的导体棒。有匀强磁场垂直于导轨平面。若用I 和I别表示
1
图中该处导线中的电流，则当AB棒（ ）
A．匀速滑动时，I = 0，I = 0 B．匀速滑动时，I ≠ 0，I = 0
1 2 1 2
C．减速滑动时，I ≠ 0，I≠ 0 D．减速滑动时，I = 0，I = 0
1 2 1 2
【答案】BC
【详解】AB．电容器在电路中与等效电源并联，两端电压为AB端电压，所以当导体棒匀
速滑动时，电容器两端电压不变，则 ，电阻R中电流不为零，则I ≠ 0，故B正确，A
1
错误；
CD．减速滑动时，电容器两端电压随导体棒速度的减小而减小，所以电容器一直在放电，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】放电电流不为零，通过电阻的电流也不为零，则I ≠ 0，I ≠ 0，故C正确，D错误。
1 2
故选BC。
8．（多选）如图，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，左右两侧导轨的间距分别为
l、2l，导轨间存在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量分别为m、2m的导体棒
a、b均垂直导轨放置，回路总电阻保持不变。a、b两棒分别以 、 的初速度同时向右
运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持接触良好，a总在窄轨上运动，b总在宽轨
上运动，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a棒的加速度始终等于b棒的加速度
B．a棒的加速度始终大于b棒的加速度
C．稳定时a棒的速度大小为
D．稳定时a棒的速度大小为
【答案】AD
【详解】AB．由于两个导体棒中的电流始终大小相等，根据牛顿第二定律，对导体棒a有
对导体棒b有
可知
A正确，B错误；
CD．根据动量定理，对导体棒a有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对导体棒a有
当最终稳定时满足
联立解得
，
C错误，D正确。
故选AD。
9．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为 ，宽度为 ，电阻忽略不
计，其上端接一小灯泡，电阻为 。导体棒 垂直于导轨放置，质量为 ，电阻
为 ，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5。在整个导轨间存在着垂直
于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为 。将导体棒由静止释放，运动 后，小灯泡稳
定发光，此后导体棒的运动速度保持不变，（重力加速度 取 ， ，
），求：
（1）导体棒速度为 时棒所受的安培力大小和方向；
（2）导体棒匀速运动时的速度大小；
（3）导体棒从静止到匀速的过程中通过小灯泡的电量。
（4）导体棒从静止到匀速的过程中整个电路产生的焦耳热。
【答案】（1）0.5N，方向沿斜面向上；（2） ；（3）1C；（4）1J
【详解】（1）导体棒速度为 时，感应电动势为
根据闭合回路欧姆定律，此时电路中电流大小为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时的安培力大小为
根据楞次定律和左手定则可知，安培力的方向沿斜面向上。
（2）当导体棒匀速运动时，设此时的安培力大小为 ，根据受力平衡可得
解得
由前面分析可得
解得导体棒匀速运动时的速度大小为
（3）导体棒从静止到匀速的过程中，通过小灯泡的电量为
（4）导体棒从静止到匀速的过程中，设回路中产生的总的焦耳热为 ，根据能量守恒定
律和动能定理可得
由题意可知
联立解得
10．如图所示，间距 的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹角 ，在其顶端
与阻值为 的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且在 处平滑连接， 至 间是光滑绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导
通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场，水平轨道处有
竖直向上。磁感应强度大小为 的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为 ，
两棒接入电路部分的电阻均为 ，初始时刻，导体棒1放置在倾斜轨道上，且距离 足
够远，导体棒2静置于水平轨道上，已知倾斜轨道与导体棒1间的动摩擦因数 ，
。现将导体棒1由静止释放，运动过程中未与导体棒2发生碰撞。 ，
，重力加速度 ，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计。
下列说法正确的是（ ）
A．导体棒1滑至 瞬间的速度大小为
B．导体棒1滑至 瞬间，导体棒2的加速度大小为
C．稳定时，导体棒2的速度大小为
D．整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为0.32C
【答案】B
【详解】A．由于导体棒1释放点离 足够远，导体棒1滑至 时一定达到稳定状态，
由平衡可得
即有
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故A错误；
B．导体棒1滑至 瞬间，导体棒1切割磁感线产生的电动势为
回路中的电流为
此时导体棒2的加速度为
故B正确；
C．导体棒1、2组成的系统由动量守恒可得
得
即稳定时，导体棒2的速度大小为1.6m/s2，故C错误；
D．对导体棒2由动量定理有
即
电荷量
故D错误。
故选B。
11．如图1所示，两光滑平行导轨固定且与水平面的夹角θ=30°，底端接有一阻值为R
的电阻，质量为m、有效阻值为 的金属棒与导轨接触良好，被细绳拉住，与导轨及电阻
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】R构成一个边长为L的正方形回路，空间中存在方向垂直于导轨平面向上的磁场，其磁感
应强度B随时间t变化的关系如图2所示，在t 时刻，细绳刚好被拉断，此时磁感应强度大
0
小达到B，金属棒沿斜面向下运动0.5L达到最大速度，重力加速度为g，导轨电阻不计，
0
下列说法正确的是（ ）
A．0.5t 时刻，细绳的拉力为
0
B．细绳断裂瞬间电路总功率为
C．金属棒下落的最大速度为
D．金属棒沿导轨向下运动0.5L的过程中电阻R上产生的热量为
【答案】AC
【详解】A．由图2可知 时刻，回路产生的电动势为
回路电流为
金属棒受到的安培力大小为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据受力平衡可知，此时细绳的拉力为
故A正确；
B．细绳断裂瞬间电路总功率为
故B错误；
C．金属棒下滑过程，设最大速度为 ，则有
， ，
根据受力平衡可得
联立解得最大速度为
故C正确；
D．金属棒沿斜面向下运动 达到最大速度，根据能量守恒可得
解得整个回路产生的焦耳热为
则电阻 上产生的热量为
故D错误。
故选AC。
12．如图所示，MN、PQ是两根间距为L且电阻不计的足够长平行金属导轨，左侧弧
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】形部分光滑，右侧水平部分粗糙且处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与水
平导轨平面夹角为 ，导轨右端接一阻值为R的定值电阻。一质量为m、长度为L的金属
棒，垂直导轨放置，与水平导轨间的动摩擦因数为 。现让其从导轨左端h高处由静止释
放，进入磁场后经时间t停止运动。已知金属棒电阻为R，与导轨间接触良好，且始终与磁
场垂直，则金属棒进入磁场区域后（ ）
A．定值电阻R产生的焦耳热为
B．金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越小
C．定值电阻R两端的最大电压为
D．金属棒在磁场中运动的距离为
【答案】CD
【详解】A．令金属棒在水平导轨上减速至0过程的位移为x，根据能量守恒定律可知，减
0
小得重力势能转化为回路中产生的总的焦耳热与摩擦生热
则定值电阻R产生的焦耳热为
解得
故A错误；
B．金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在水平导轨上运动时，金属棒速度减小，感应电动势减小，感应电流减小，可知，金属棒
在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越大，故B错误；
C．金属棒下滑至弧形导轨底端速度增大，电动势最大，则有
， ，
解得
故C正确；
D．根据动量定理有
通过回路的电荷量
感应电动势与感应电流的平均值分别为
，
解得
故D正确。
故选CD。
13．如图所示，足够长的光滑金属导轨水平固定于竖直向上的匀强磁场中，窄轨的间
距为 ，宽轨的间距为L，两根完全相同的导体棒 、 垂直于导轨静止放置并与导轨
接触良好，导体棒的长度均为L，现使导体棒 瞬间获得一个向右的初速度开始运动，
已知导体棒 在到达宽窄导轨的连接处之前就已经匀速运动，经过足够长的时间，两根
导体棒都在宽轨上匀速运动，不考虑导体棒 经过宽窄导轨的连接处时速度的变化。下
列说法中正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．导体棒 前后两次匀速运动的速率之比为3：2
B．导体棒 前后两次匀速运动的速率之比为1：2
C．导体棒 分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，通过回路的电荷量之比为1：3
D．导体棒 分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，回路中产生的焦耳热之比为5：9
【答案】AB
【详解】A．设导体棒 瞬间获得向右的初速度为 ，当导体棒 在窄导轨上运动与导
体棒 在宽轨上运动割磁感线产生的感应电动势相等时，两导体棒匀速，此时有
联立求得
，
同理，二者在宽轨上运动速度相等时，有
联立，求得
可得导体棒 前后两次匀速运动的速率之比为
导体棒 前后两次匀速运动的速率之比为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故AB正确；
C．导体棒 在窄轨上运动的过程中，通过回路的电荷量分别为
联立可得
同理，可得导体棒 在宽轨上运动的过程中
联立可得
所以，通过回路的电荷量之比为
故C错误；
D．根据能量守恒定律，可得导体棒 在窄轨上运动的过程中，回路中产生的焦耳热为
同理，可得导体棒 在宽轨上运动的过程中，回路产生的焦耳热为
则回路中产生的焦耳热之比为3:1，故D错误。
故选AB。
14．如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨 、 水平放置， 两侧导轨
所在空间区域，导轨间距分别为 和 ，磁感应强度分别为 和 ，方向分别为竖直向
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上和竖直向下， ， ，电阻均为R、质量均为m的导体棒a、b垂
直导轨放在 左右两侧，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻．现给导体棒b一个水
平向右的瞬时冲量I，关于a、b两棒此后整个运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两棒组成的系统动量守恒
B．a、b两棒最终都将以大小为 的速度做匀速直线运动
C．整个过程中，a棒上产生的焦耳热为
D．整个过程中，通过a棒的电荷量为
【答案】BC
【详解】A．b棒向右运动，电流方向向里，受到向左的安培力，a棒受到的电流方向向外，
也受到向左的安培力，系统受到的合外力方向向左，系统动量不守恒，选项A错误；
B．b棒的初速度为
b棒向右做减速运动，a棒向左做加速运动，当 时，系统达到稳定，可设
对b棒，有
对a棒，有
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选项B正确；
C．系统的总发热量为
a棒上产生的焦耳热为
选项C正确；
D．对a棒
解得
选项D错误；
故选BC。
15．如图所示，间距为L的足够长光滑平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘水平面上，
质量均为m的金属棒ab、cd垂直放在导轨上，两金属棒接入电路的电阻均为R，垂直于导
轨的虚线ef左侧有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，虚线ef
的右侧没有磁场，给金属棒ab一个水平向右的初速度v，已知cd棒到达ef前已匀速运动，
0
ab、cd棒不会发生相碰，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，ab棒出磁场时
速度刚好为零，则下列说法正确的是（ ）
A．cd棒最终速度为零
B．cd棒从静止运动到ef过程中通过的电荷量为
C．整个过程，金属棒ab中产生的焦耳热为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．整个过程，金属棒ab克服安培力做的功为
【答案】BD
【详解】A．cd棒到达ef前已匀速运动，出磁场后水平方向不受力，一直做匀速直线运动，
故A错误；
B． 设cd棒匀速时的速度为 ，则根据动量守恒
解得
cd棒从静止运动到ef过程中，根据动量定理可得
又
联立解得
故B正确；
C．最终，ab棒出磁场时速度刚好为零，金属棒cd将以 的速度匀速运动，根据能量
守恒可知，整个回路产生的焦耳热为
则整个过程，金属棒ab中产生的焦耳热为
故C错误；
D．最终，ab棒速度刚好为0，以ab棒为对象，根据动能定理可得
可得整个过程，金属棒ab克服安培力做的功为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故D正确。
故选BD。
16．如图所示，在匀强磁场中竖直放置两条足够长的平行导轨，磁场方向与导轨所在
平面垂直，磁感应强度大小 ，两导轨间距L＝1.0m，两水平金属棒a和b接入电
路的电阻都为R＝2.0Ω，质量分别为 和 ，它们始终与导轨接触良
好，并可沿导轨无摩擦滑动。若将b棒固定，用一竖直向上的恒力F拉a棒，稳定后a棒
向上匀速运动，此时再释放b棒，b棒恰能保持静止。不计导轨电阻，取 。
（1）求a棒向上匀速运动的速度 和拉力F的大小；
（2）若将a、b棒都固定，使磁感应强度从 随时间均匀增加，经 后磁
感应强度增大到 时，a棒受到的安培力大小 ，求两棒间的距离h。
【答案】（1）5.0m/s，0.5N；（2）0.50m
【详解】（1）a棒做切割磁感线运动，产生的感应电动势为
a棒和b棒构成串联电路，电流为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】a棒和b棒受到的安培力大小为
对b棒有
对a棒有
代入数据得
（2）当磁场均匀变化时，产生的感应电动势为
回路电流为
根据题意有
代入数据得
17. 如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L，与水平面的夹角为θ，整个空间存
在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，虚线上方轨道光滑且磁场方向垂
直导轨平面向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向垂直导轨平面向下．当导体棒EF以初速
度v 沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN一直静止在导轨上，若两导体棒质量均
0
为m、电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g，在此过程中导体棒EF上产生的电热
为Q，求：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)导体棒MN受到的最大摩擦力；
(2)导体棒EF上升的最大高度．
解析：(1)EF获得向上初速度v 时，产生感应电动势E＝BLv ，电路中电流为I，由闭
0 0
合电路的欧姆定律有
I＝，
此时对导体棒MN受力分析，由平衡条件有
F＋mgsin α＝F，F＝BIL，
A f A
解得F＝＋mgsin θ.
f
(2)导体棒EF上升过程MN一直静止，对系统由能的转化和守恒定律有 mv＝mgh＋
2Q，解得h＝.
答案：(1)＋mgsin θ (2)
18．如图甲所示，足够长的光滑导轨倾角为30°，间距L＝1 m，电阻不计，恒定的非
匀强磁场方向垂直于斜面向下，电阻 R＝1 Ω，导体棒ab质量m＝0.25 kg，其电阻r＝1
Ω，垂直于导轨放置．现导体棒ab从磁场上边界由静止下滑，测得导体棒所到达位置的磁
感应强度B与导体棒在该位置速度之间的关系如图乙所示，(g取10 m/s2)
(1)求导体棒下滑2 s时的速度和位移；
(2)求导体棒下滑2 s内回路中产生的焦耳热．
解析：(1)由题图乙可知，棒下滑的任意状态有
B2v＝0.5 T2·m·s－1
对棒下滑过程中某一状态由牛顿第二定律得
mgsin 30°－＝ma
代入数据可得导体棒的加速度a＝4 m/s2
可见导体棒在斜面上做a＝4 m/s2的匀加速直线运动
棒在2 s内的位移x＝at2＝8 m
2 s末的速度v＝at＝8 m/s
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)由能量守恒得mgxsin 30°＝mv2＋Q
代入数据解得Q＝2 J.
答案：(1)8 m/s 8 m (2)2 J
19．如图甲所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹
角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量
为m.导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为 B.金属
导轨的上端与开关S、定值电阻R 和电阻箱R 相连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的
1 2
电阻，重力加速度为g.现在闭合开关S，将金属棒由静止释放．
(1)判断金属棒ab中电流的方向；
(2)若电阻箱R 接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程
2
中定值电阻上产生的焦耳热Q；
(3)当B＝0.40 T，L＝0.50 m，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度v 随电阻箱R 阻值
m 2
的变化关系，如图乙所示．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.求R 的阻值和金属
1
棒的质量m.
解析：(1)由右手定则可知，金属棒ab中的电流方向为由b到a.
(2)由能量守恒定律知，金属棒减少的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热
即mgh＝mv2＋Q
则Q＝mgh－mv2.
(3)金属棒达到最大速度v 时，切割磁感线产生的感应电动势：
m
E＝BLv
m
由闭合电路的欧姆定律得：I＝
从b端向a端看，金属棒受力如图所示
金属棒达到最大速度时，满足：
mgsin α－BIL＝0
由以上三式得
v ＝(R＋R)
m 2 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图乙可知：斜率
k＝ m·s－1·Ω－1＝15 m·s－1·Ω－1，
纵轴截距v＝30 m/s
所以R＝v，＝k
1
解得R＝2.0 Ω，m＝0.1 kg
1
答案：(1)b→a (2)mgh－mv2 (3)2.0 Ω 0.1 kg
20．如图所示，电阻不计、间距L＝1 m、足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ
＝37°角，导轨平面矩形区域efhg内分布着磁感应强度大小B＝1 T、方向垂直导轨平面向
上的匀强磁场，边界ef、gh之间的距离D＝1.4 m．现将质量m＝0.1 kg、电阻R＝ Ω的导
体棒P、Q相隔Δt＝0.2 s先后从导轨顶端由静止自由释放，P、Q在导轨上运动时始终与导
轨垂直且接触良好，P进入磁场时恰好匀速运动，Q穿出磁场时速度为2.8 m/s.已知重力加
速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)导轨顶端与磁场上边界ef之间的距离s；
(2)从导体棒P释放到Q穿出磁场的过程，回路中产生的焦耳热Q
总．
解析：(1)设P进入磁场时的速度为v，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv
1 1
由闭合电路欧姆定律有I＝，安培力F＝BIL，
P匀速运动有F＝mgsin θ，联立解得v＝2 m/s，
1
P从ac到ef过程，由牛顿第二定律有a＝gsin θ，由运动学公式有s＝，
解得s＝ m≈0.33 m.
(2)P进入磁场以速度v 匀速运动，Δt＝0.2 s后，Q恰好进入磁场，速度也为v＝2 m/s.
1 1
之后，P、Q以加速度a匀加速运动，P出磁场以后继续以加速度a匀加速运动，而Q在安
培力作用下减速运动，直到穿出磁场区域．
P在磁场中匀速运动的位移x＝vΔt，
1 1
此过程回路产生的焦耳热Q＝mgxsin θ，
1 1
P、Q一起匀加速运动的位移x＝D－x，
2 1
设P刚好出磁场时，P、Q的速度为v，由运动学公式有v2－v＝2ax，解得v＝4 m/s，
2
P出磁场后Q做减速运动，Q出磁场时的速度v＝2.8 m/s，运动的位移x＝x，
2 3 1
Q减速运动过程中回路产生的焦耳热 Q ＝mgxsin θ＋mv2－mv，所以，全过程回路中
2 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的焦耳热为Q ＝Q＋Q＝0.888 J.
总 1 2
答案：(1)0.33 m (2)0.888 J
21．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ
＝37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一
根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好。金属杆a、b质量均为M＝0.1 kg，电阻
R＝2 Ω、R ＝3 Ω，其余电阻不计。在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下
a b
的匀强磁场B、B，且B＝B＝0.5 T。已知从t＝0时刻起，杆a在外力F 作用下由静止开
1 2 1 2 1
始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F 作用下始终保持静止状态，且F＝0.75＋0.2t
2 2
（N）。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2）
（1）判断杆a的电流方向并通过计算说明杆a的运动情况；
（2）从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；
（3）若从t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F 做功为13.2 J，则求这段时间内杆b上
1
产生的热量。
【答案】（1） ，杆a做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动；（2）0.2C；（3）6J
【详解】（1）由楞次定律可知电流方向从 ，因为杆b静止所以有
又由于
解得
电路中的电动势由杆a运动产生，故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得
所以，杆a做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动。
（2）杆a在1 s内运动的距离
故解得
即1 s内通过杆b的电荷量为0.2 C。
（3）设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得
解得
22．如图，平行光滑导轨的左侧AB和 是竖直平面内半径为R的四分之一圆弧，
BE、 处于同一水平面，AC和 间距为L，DE和 间距为2L，AC、 、DE、
均足够长（MN始终位于 左侧运动），AC和DE、 和 通过导线连接，其
中 右侧导轨平面都处在竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中。现将长度为2L的导体
棒PQ垂直导轨放置于DE和 上，将长度为L的导体棒MN垂直导轨放置于 端，由
静止释放导体棒MN，导体棒运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知导体棒MN
和PQ材料、横截面积均相同，导体棒MN质量为m，电阻为r，重力加速度为g，不计导
轨电阻。求：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）导体棒MN刚进入磁场时的速度大小；
（2）导体棒MN刚进入磁场时，导体棒PQ的加速度大小；
（3）导体棒MN最终稳定的速度大小以及从释放MN至两导体棒稳定运动的整个过程中导
体棒MN产生的焦耳热。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【详解】（1）导体棒MN从 端下滑到 位置时，设其速度为 ，由机械能守恒定律
可得
解得
（2）在导体棒MN进入磁场瞬间，产生的感应电动势
由题意可知导体棒PQ的电阻为2r，则此刻回路中的感应电流为
则此刻导体棒PQ所受安培力大小为
由牛顿第二定律可知，此刻导体棒PQ的加速度
（3）设经过时间t两导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设此刻导体棒MN、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】PQ的速度分别为 、 ，则有
而在整个过程中对导体棒MN由动量定理有
对导体棒PQ由动量定理有
联立以上各式解得
显然此速度即为MN棒最终稳定的速度，设整个过程中整个回路产生的热量为 ，由能量
守恒可得
解得
由此可知导体棒MN上产生的焦耳热为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
