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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块9 电磁感应各模块大招
第09 讲 不等距导轨双导体棒模型及线框模型
（解析版）
目录
【内容一】 不等距（所有考点）模型..............................................................................................................1
【内容二】 线框
（图像）
模型..........................................................................................................................3
【内容三】 经典模型详细分析..........................................................................................................................5
技巧总结
无外力等距双
导体
棒
技巧总结
模型：（不等
,不等距双杆
不等大
动量不守恒
动量定理
）
Ⅰ：
Ⅱ：不等距模型
运动分析：.
棒减速，
棒加速，
由
，
当
时，
，两棒匀速
.动力学观点：最终速度
能量观点：动能转化为焦耳热
线框
模型
技巧总结
1
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（空气阻力不计）
例题演练
例1、如图所示，将两根质量均为m＝2 kg 的金属棒a、b 分别垂直地放在水平导轨
MNM′N′和PQP′Q′上，左右两部分导轨间距之比为1 2∶，左右两部分导轨间有磁感应强
度大小相等但方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，金属棒
b 开始时位于图中M′P′位置，金属棒a 在NQ 位置。金属棒b 用绝缘细线绕过光滑定滑
轮和一物块c 相连，c 的质量mc＝2 kg，c 开始时距地面的高度h＝4.8 m。物块c 由静
止开始下落，触地后不反弹，物块c 触地时两棒速率之比va∶vb＝1 2∶，物块c 下落过程
中b 棒上产生的焦耳热为10 J，设导轨足够长且两棒始终在不同的磁场中运动，g＝10
m/s2，整个过程中导轨和金属棒接触良好，且导轨光滑。求：
(1)物块c 触地时，两棒的速度大小va和vb；
(2)从物块c 触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。
解：(1)金属棒a、b 的有效长度分别为L 和2L，所以电阻分别为R 和2R，金属棒a、b
串联，在任何时刻电流均相等，b 棒产生的焦耳热Q2＝10 J，根据焦耳定律Q＝I2Rt，
得a 棒上产生的焦耳热为Q1＝5 J
根据能量守恒定律有
根据题意有va∶vb＝1 2∶解得va＝3 m/s，vb＝6 m/s
(2)物块c 触地后，a 棒向左做加速运动，b 棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电
2
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路中电流为零，即两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设磁感应强度大小为
B，则
BLva′＝B·2Lvb′得va′＝2vb′
对两棒分别应用动量定理，有
，
解得
联立以上各式解得va′＝4.8 m/s，vb′＝2.4 m/s
根据能量守恒定律，从物块c 触地到两棒匀速运动的过程中系统产生的热量为
代入数据，解得Q3＝16.2 J
例2、如图，质量为m、电阻为R1的均匀金属棒ab 垂直架在水平面甲内间距为2L 的
两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平
导轨平滑连接而成（即图中半径OM 和O′P 竖直），圆弧导轨半径为R、对应圆心角
为60°、间距为2L，水平导轨间距分别为2L 和L。质量也为m、电阻为R2的均匀金属
棒cd 垂直架在间距为L 的导轨左端。导轨MM′与PP′、NN′与QQ′均足够长，所有导轨
的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨的水平部分均有竖直方向的、
磁感应强度为B 的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关S，金属棒ab 迅
即获得水平向右的速度（未知，记为v0）做平抛运动，并在高度降低2R 时恰好沿圆弧
轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为
g，求∶
(1)空间匀强磁场的方向；
(2)棒ab 做平抛运动的初速度v0；
(3)通过电源E 某截面的电荷量q；
(4)从金属棒ab 刚落到圆弧轨道上端起至开始匀速运动止，这一过程中棒ab 和棒cd 组
成的系统损失的机械能
E。
解：(1) 闭合开关S，金属棒ab 迅即获得水平向右的速度，表面金属棒受到水平向右
的冲量，所以安培力水平向右，根据左手定则，磁场竖直向下。
3
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(2)金属棒ab 进入圆弧轨道时，分解速度有
平抛运动中，竖直方向上有
解得
(3)金属棒ab 弹出瞬间，根据动量定理得
所以通过电源E 某截面的电荷量
(4)金属棒ab 滑至水平轨道时，有
解得
最终匀速运动时，电路中无电流，所以棒ab 和棒cd 产生的感应电动
势相等，即
此过程中，对棒ab 由动量定理得
对棒cd 由动量定理得
联立以上三式解得
，
该过程中损失的机械能为
解得
例3．两根质量均为m 的光滑金属棒、b 垂直放置在如图所示的足够长的水平导轨上，
两金属棒与导轨接触良好，导轨左边间距是右边间距的2 倍，两导轨所在的区域处于
竖直向下的匀强磁场中。一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属棒b 的中点，另
一端绕过轻小光滑定滑轮与质量也为m 的重物c 相连，线的水平部分与导轨平行且足
够长，c 离地面足够高，重力加速度为g。由静止释放重物c 后，两金属棒始终处在各
自的导轨上垂直于导轨运动，达到稳定状态后，细线中的拉力大小为（导轨电阻忽略
不计） （ ）
4
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A．
B．
C．
D．
解：设a、b 棒的速度大小分别为
、
，加速度大小分别为
、
，c 与b 棒加速度
大小相等，回路中的电流为
，回路中的电动势为
，
到稳定状态后，电路中的电流恒定，即电动势恒定，导体棒的加速度恒定，易知
当
恒定时达到稳定状态，由此可知，导体棒的加速度满足
受力状态如图
对a 棒受力分析
对b 棒受力分析
对c 受力分析
解得
，
，
，
C 正确，ABD 错误。故选C。
例4．光滑平行异型导轨abcd 与a'b'c'd'如图所示，轨道的水平部分bcd、b'c'd'处于竖直
向上的匀强磁场中，bc 段轨道宽度为cd 段轨道宽度的2 倍，bc 段和cd 段轨道都足够
长，但abcd 与a'b'c'd'轨道部分的电阻都不计。现将质量相同的金属棒P 和Q（P 和Q
都有电阻，但具体阻值未知）分别置于轨道上的ab 段和cd 段，将P 棒置于距水平轨
道高为h 处由静止释放，使其自由下滑，重力加速度为g。则（ ）
5
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A．当P 棒进入轨道的水平部分后，P 棒先做加速度逐渐增大的减速直线运动
B．当P 棒进入轨道的水平部分后，Q 棒先做匀加速直线运动
C．Q 棒的最终速度和P 棒最终速度关系
D．P 棒的最终速度
，Q 棒的最终速度
解：AB．当P 棒进入轨道的水平部分后，P 棒切割磁感线而产生感应电流，P 棒受到
安培力而减速，Q 棒因受到安培力而加速，由于Q 棒也切割磁感线产生感应电动势，
与P 棒产生的感应电动势相反，因此回路中的电流减小，安培力也减小，故P 棒做加
速度减小的减速运动，Q 棒做加速度减小的加速运动，故AB 错误。
C．最终匀速时，回路中的电流为零，即两棒切割产生的感应电动势大小相等，则有
可得
故C 错误。
D．P 棒沿弧面滑下过程机械能守恒
解得
(1)
P 棒和Q 棒运动过程中任意时刻，两棒上电流相等，所以两棒受到的安培力为：
即从P 棒进入磁场到它俩稳定运动过程中，两棒受到的安培力的平均值也为：
（2）
此过程中对P、Q 分别列动量定理得
(3)
(4)
又由于
(5)
(1)(2)(3)(4)(5)联立可得
，
故D 正确。故选D。
例5．如图，光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分的宽度为2l，PQ 部分的宽
度为l，金属棒a 和b 的质量分别为2m 和m，其电阻大小分别为2R 和R，a 和b 分别
静止在MN 和PQ 上，垂直导轨相距足够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁
6
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感强度为B。现对a 棒施加水平向右恒力F 作用，两棒运动时始终保持平行且a 总在
MN 上运动，b 总在PQ 上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的（ ）
A．回路感应电动势为零 B．流过a 的电流大小为
C．金属棒a 和b 均做匀速直线运动D．金属棒a 和b 均做加速度相同的匀加速直线运
动
解：ACD．对金属棒a 和b 整体由于受恒定的拉力作用，则最终的稳定状态时，两棒
都将有固定的加速度值，则受恒定的安培力，即回路中有恒定的电流，设两棒的加速
度分别为a1和a2，则回路的电流
则稳定时
因l1=2l2则a2=2a1
可知最终有加速度，此时电路中有电流，回路中感应电动势不为零。故ACD 错误；
B．足够长时间后，对a 棒
对b 棒
解得流过a 的电流大小为
故B 正确。故选B。
例6．如图所示，两根质量均为m 的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两
部分导轨间距之比为1 2∶，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两
棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F 向右拉CD 棒，在CD 棒向右
运动距离为s 的过程中，AB 棒上产生的焦耳热为Q，此时AB 棒和CD 棒的速度大小均
为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法
正确的是（ ）
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A．v 的大小等于
B．撤去拉力F 后，AB 棒的最终速度大小为
v，方向向右
C．撤去拉力F 后，CD 棒的最终速度大小为
v，方向向右
D．撤去拉力F 后，整个回路产生的焦耳热为
解：A．根据动能定理可知
根据AB 棒上产生的焦耳热可知
可解得
A 错误；
BC．最终稳定后，则有
分别对两根导体棒列动量定理，则有
，
根据公式
，
，
联立可解得
，
AB 的速度方向向左，CD 的速度方向向右，B 错误、C 正确；
D．根据能量守恒可知
D 错误。故选C。
例7．如图所示，足够长的光滑平行导轨固定在水平面上，左侧导轨间距是右侧导轨
间距的2 倍。导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，质量均为m 的金属棒ab 和cd 分
别静止在左、右两侧导轨上。现给ab 棒一向右的初速度v0，当ab 棒滑上右侧导轨的
瞬间，cd 棒的速度大小为
，最终两金属棒都在右侧导轨上运动并达到稳定状态，两
金属棒运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，下列说法正确的是（ ）
A．ab 棒滑上右侧导轨前，ab 棒和cd 棒所受安培力大小之比为1：1
B．ab 棒滑上右侧导轨前，ab 棒和cd 棒所受安培力大小之比为2：1
C．ab 棒滑上右侧导轨瞬间的速度大小为
D．ab 棒滑上右侧导轨瞬间的速度大小为
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解：AB．设右侧导轨间距为L，则左侧导轨间距为2L，两金属棒与导轨组成闭合电路，
流过两金属棒的电流I 大小相等，ab 棒滑上右侧导轨前，ab 棒和cd 棒所受安培力大小
之比为
A 错误，B 正确；
CD．以向右为正方向，从ab 棒开始滑动到ab 棒滑上右侧导轨瞬间过程，对ab 棒，由
动量定理得
对cd 棒有
联立解得
C 错误，D 正确。故选BD。
例8．如图所示，光滑水平导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，左侧导
轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m 的导体棒ab 和质量为2m
的导体棒cd 均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab 接入电路的电阻为R，cd 接入电
路的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，并始终与导轨垂直且接触良好，导
轨电阻不计。现瞬间给cd 一水平向右的初速度
，则对此后的运动过程，下列说法正
确的是（ ）
A．导体棒ab 和cd 组成的系统动量守恒 B．cd 棒最终的速度为
v0
C．全过程中，通过导体棒cd 的电荷量为
D．从cd 获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为
解：A．导体棒
和
的长度不一样，所以受到的安培力大小不相等，所以导体棒ab
和cd 组成的系统动量不守恒，故A 错误；
B．当导体棒
和
产生的电动势相等时，两棒都做匀速直线运动，则有
对
棒，由动量定理得
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对
棒，由动量定理得
联立解得
，
故B 错误；
C．对
棒，有
又
联立解得
故C 正确；
D．由能量守恒定律得，整个回路产生的焦耳热
解得
故D 正确。故选CD。
例9．如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，
PQ 为两磁场的边界，磁场范围足够大，磁感应强度的大小分别为B1＝B，B2＝2B。一
个竖直放置的边长为a、质量为m、电阻为R 的正方形金属线框，以初速度垂直磁场
方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到在每个磁场中各有一半的面积时，
线框的速度为
，则下列判断正确的是（ ）
A．此时线框的加速度为
B．此时线框中的电功率为
C．此过程中线框克服安培力做的功为
D．此过程中通过线框截面的电荷量为
解：A．根据电磁感应定律可知，此时感应电动势为
由闭合电路的欧姆定律可得，线框电流为
由牛顿第二定律得
解得
A 正确；
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B．根据功率公式，可得此时线框的电功率为
B 错误；
C．由能量守恒定律得，此过程中回路产生的电能为
即此过程中线框克服安培力做的功为
，C 错误；
D．感应电动势为
感应电流为
电荷量为
解得
D 错误。故
选A。
例10．如图（a），边长为d 的单匝正方形导线框固定在水平纸面内，线框的电阻为
R。虚线MN 恰好将线框分为左右对称的两部分，在虚线MN 左侧的空间内存在与纸面
垂直的匀强磁场，规定垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度B 随时间t 变化
的规律如图（b）。虚线MN 右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小恒为
。下列说法正确的是（ ）
A．
时刻，线框中产生的感应电动势大小为
B．
时刻，线框所受安培力的合力为0 C．
时刻，线框受到的安培力大小为
D．在
内通过线框导线横截面的电荷量为
解：A．
时刻线框中产生的感应电动势大小
故A 错误；
B．
时刻的感应电流为
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虚线MN 左、右侧磁感应强度均为
，线框左边受安培力为
方向向右，线框右边受安培力为
方向仍向右，线框上、下边所受安培力的合力为0，整个线框所受安培力的合力为
方向向右，故B 错误；
C．
时，虚线MN 左侧磁感应强度为
，线框左边受到的安培力大小为
方向向右，线框右边受到的安培力大小仍为
，方向仍向右，线框上、下边所受安培
力的合力为0，整个线框所受安培力的合力为
方向向右，故C 正
确；
在
内，通过线框某横截面的电荷量为
故D 错误。故选C。
例11．如图所示，磁感应强度为
的有界匀强磁场的宽度为
，一质量为
、电阻为
、边长为d（d<L）的正方形金属线框竖直放置。线框由静止释放，进入磁场过程中
做匀速运动，完全离开磁场前已做匀速运动。已知重力加速度为
，下列说法中错误
的是（ ）
A．进、出磁场过程中电流方向不同
B．进、出磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量相等
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C．通过磁场的过程中产生的热量为
D．
边离开磁场时的速度大小为
解：A．根据楞次定律可知，进磁场过程中电流方向为逆时针，出磁场时电流方向为
顺时针，所以A 正确，不符合题意；
B．根据
则进、出磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量相等，所以B
正确，不符合题意；C．通过磁场的过程中产生的热量为
所以C 错误，
符合题意；
D．
边离开磁场时做匀速运动，则加速度为0，有
解得
所以D 正确。不符合题意；故选C。
例12．如图所示，有一边长为L 的正方形导线框
，其质量为m，从匀强磁场上方
由静止下落，此时底边
与磁场上边界的距离为
。导线框底边
进入匀强
磁场区域后，线框开始匀速运动，匀强磁场的上、下边界均水平且宽度也为L，重力
加速度大小为g，不计空气阻力，则线框在穿越匀强磁场的过程中产生的焦耳热Q 为
（ ）
A．
B．
C．
D．
对应题型精炼
1．如图，光滑平行轨道abcd 的水平部分处于竖直向上大小为
的匀强磁场中，
段
轨道宽度为
，
段轨道宽度是
段轨道宽度的2 倍，
段轨道和
段轨道都足够
长，将质量均为
的金属棒
和
分别置于轨道上的
段和
段，且与轨道垂直。
、
棒电阻均为，导轨电阻不计，
棒静止，让
棒从距水平轨道高为h 的地方由静止
释放，求：
（1）
棒最终的速度；
（2）整个过程中P 棒产生的焦耳热。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设
棒滑至水平轨道瞬间的速度大小为，对于P 棒，金属棒下落h 过
程应用动能定理
解得P 棒刚进入磁场时的速度为
当P 棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流。P 棒受到安培力作用而减速，Q
棒受到安培力而加速，Q 棒运动后也将产生感应电动势，与P 棒感应电动势反向，因
此回路中的电流将减小。最终达到匀速运动时，回路的电流为零。P 棒和Q 棒产生的
感应电动势大小
即
解得
因为当P，Q 在水平轨道上运动时，它们所受到的合力并不为零，设I 为回路中的电流，
P 棒和Q 棒受到的安培力大小
因此P，Q 组成的系统动量不守恒。设P 棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时
间为
，规定向右为正方向，对P，Q 分别应用动量定理得
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又
联立解得
（2）由能量守恒定律得，整个过程中系统产生的焦耳热
2．一大学生在研究电磁感应问题时做了如下实验，实验装置如图所示，水平金属轨道
FMNPF＇M＇N＇P＇上放置着AB、CD 两根金属棒，处于竖直向下的匀强磁场中，两
金属棒质量均为m，电阻均为R，长度均为l，其中AB 接入电路的有效电阻为
，轨
道尺寸如图，右边连接着金属轨道PQZP＇Q＇Z＇，其中倾斜部分与水平面成300°角，
并有沿斜面向下的匀强磁场，QZQ＇Z＇水平且足够长，间距也为l，也处于竖直向下
的磁场中，所有的磁场磁感应强度的大小均为B。现给棒AB 一瞬时冲量，使其获得向
右的初速度v（此后各过程，两棒与导轨都接触良好），棒CD 也因之运动起来，在到
达PP＇前两棒均已匀速，CD 棒进入PP＇时受到沿斜面向上的恒力
，
斜轨道的动摩擦因素，
，同时给AB 棒一个外力，使
AB 匀加速直线运动，且该大学生发现外力随时间每秒增加k 牛顿，CD 棒在倾斜轨道
上的运动时间为
。CD 棒到达QQ＇时，两棒上的外力撤去。整个运动中，AB 始
终在FMF＇M＇轨道运动，所有轨道电阻不计，只有倾斜轨道粗糙。
（1）AB 棒在获得速度瞬间，求AB 两端的电势差；
（2）CD 棒进入PP＇时AB 棒受力的大小和CD 棒到达QQ＇时AB 的速度大小；
（3）CD 棒进入在QZQ＇Z＇区域后整个回路产生的焦耳热多大。
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【答案】（1）
；（2）
；
；（3）
【详解】（1）AB 棒在获得速度瞬间，感应电动势为
则电流为
AB 两端的电势差为路端电压，即
（2）在到达PP＇前两棒均已匀速，AB、CD 速度分别为
、
，则有
在到达PP＇前两棒由动量定理可得
，
解得
，
根据牛顿第二定律，可得
解得
每秒增加k 牛顿
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CD 棒到达QQ＇时AB 的速度
时，有
（3）因为
又
当
时，可得
时，可得
CD 棒到达QQ＇时速度为
，由动量定理，可得
解得
Ⅲ区域：CD 棒进入在QZQ＇Z＇区域后直到稳定时，AB、CD 的速度为
、
，则有
，
稳定时，有
解得
，
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CD 棒进入在QZQ＇Z＇区域后整个回路产生的焦耳热为
3．如图所示，足够长的“
”形光滑平行导轨
固定在水平面上，宽轨间
距为
，窄轨间距为，
左侧为金属导轨，右侧为绝缘轨道。一质量为
、阻值
为、三边长度均为的“U”形金属框，左端紧靠
'平放在绝缘轨道上（与金属导轨
不接触），
左侧存在磁感应强度大小为
、方向竖直向上的匀强磁场。
右侧
以
为原点，沿
方向建立
轴，沿
方向存在分布规律为
的竖直
向上的磁场。两匀质金属棒
垂直于轨道放置在宽轨段，质量均为
、长度均为
、
阻值均为
。初始时，将
锁定，
在水平向右、大小为
的恒力作用下，从静止开
始运动，离开宽轨前已匀速，
滑上窄轨瞬间，撤去力
，同时释放
。当
运动至
时，棒
中已无电流（
始终在宽轨），此时撤去
。金属导轨电阻不计，
棒、
棒、金属框与导轨始终接触良好。求：
（1）
棒在宽轨上匀速运动时的速度；
（2）从撤去外力
到金属棒
运动至
的过程中，回路中产生的焦耳热；
（3）若
棒与金属框碰撞后连接在一起构成回路，求
棒静止时与
点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设
棒在宽轨上匀速运动时通过
棒的电流为
，根据平衡条件有
根据闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律有
联立解得
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（2）设
棒刚运动至
时，
棒的速度分别为
、
，对
棒根据动量定理
分别有
因为此时回路中无电流，所以有
联立解得
根据能量守恒定律可知，从撤去外力
到金属棒
运动至
的过程中，回路产生的
焦耳热为
（3）设
棒与金属框碰撞后瞬间整体的速度大小为
，根据动量守恒定律有
由题意可知金属框右边始终比左边的磁场大
从
棒与金属框碰撞后到最终静止的过程，回路中的平均电流为
根据动量定理有
a 棒静止时与
点的距离为
联立解得
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4．如图所示，两宽度不等的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨足够长且
电阻不计。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN。区
域Ⅰ中的导轨间距L1＝0.4 m，匀强磁场方向垂直斜面向下，区域Ⅱ中的导轨间距L2＝
0.2 m 匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝1T。现有电阻分
布均匀且长度均为0.4m 的导体棒ab 和导体棒cd。在区域Ⅰ中，先将质量m1＝0.1 kg，
电阻R1＝0.2 Ω 的导体棒ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑。然后在区域Ⅱ中将质量m2＝
0.4 kg，电阻R2＝0.4 Ω 的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑。导体棒cd 在
滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，导体棒ab、cd 始终与导轨垂直且与导轨保持良
好接触，g 取10 m/s2。
（1）判断导体棒cd 下滑的过程中，导体棒ab 中的电流方向；
（2）导体棒ab 将向上滑动时，导体棒cd 的速度v 多大；
（3）从导体棒cd 开始下滑到导体棒ab 将向上滑动的过程中，导体棒cd 滑动的距离x
＝4m，求此过程中所需要的时间。
【答案】（1）由a 到b；（2）5 m/s；（3）1.2s
【详解】（1）根据右手定则可知导体棒ab 中的电流方向由a 到b
（2）由题可知
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联立解得
（3）由动量定理可知
解得
5．一位大学生在研究电磁感应问题时设计了如下实验。实验装置如图所示，水平放置
的金属轨道
，FM 与
平行，相距
，NZ 与
平行，相距
，轨道间区域被边界
、
和
分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，其中Ⅰ、
Ⅱ、Ⅳ处于竖直向下的匀强磁场中，Ⅲ处于水平向左的磁场中，磁场磁感应强度的大
小均为
。轨道上放置着AB、CD 两根金属棒，位置如图所示。两金属棒质量均
为
，电阻均为
，其中AB 棒在Ⅰ区域运动时接入电路的有效电阻为
。
时，AB 棒有向右的初速度
，CD 棒的速度为0（此后各运动过
程，两棒与导轨都始终垂直且接触良好），在CD 棒到达
时AB 棒恰好到达
，
且两棒均已匀速。此时开始给AB 棒一个外力，使AB 棒在Ⅱ区域做匀加速运动，发现
该外力随时间每秒增加4N，且CD 棒在Ⅲ区域的运动时间为1s。当CD 棒到达
时，
撤去AB 棒外力。此后AB 棒继续在Ⅱ区域运动，CD 棒在Ⅳ区域运动，直到两者稳定。
所有轨道电阻不计，Ⅲ区域轨道粗糙，
，其他轨道光滑，g 取
。求：
（1）
时，AB 棒两端的电势差
；
21
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（2）当CD 棒到达
时，AB 棒的速度大小
以及当CD 棒到达
时AB 棒的速度
大小
；
（3）CD 棒在
区域运动过程中整个回路产生的焦耳热Q。
【答案】（1）
；（2）4m/s，
；（3）
【详解】（1）感应电动势
AB 棒两端的电势差为路端电压
（2）①在到达
前两棒均已匀速，设AB、CD 棒的速度分别为
、
在到达
前对两棒各应用动量定理
AB：
CD：
解得
故当CD 棒到达
时，AB 棒的速度大小
同时可得
②CD 棒在Ⅲ区域的运动时对AB 棒应用牛顿第二定律
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AB：
得
每秒增加4N 即
解得
CD 棒到达
时，AB 的速度
（3）CD 棒进入Ⅲ区域
时
时
CD 棒到达
时速度为
Ⅲ区域：CD 棒进入在
区域后直到稳定时，AB、CD 棒系统动量守恒，最终以
共同速度运动，设为
有
23
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CD 棒进入在
区域后整个回路产生的焦耳热
6．如图所示，上方的平行金属导轨
与
间距为
，下方的金属导轨由圆
弧导轨
、
与水平导轨
、
平滑连接而成，上方导轨和下方导轨
没有连接在一起，圆弧导轨
与
的圆心角为
、半径为
，
与
的间距
，
与
的间距
，
与
的高度差为
。导
轨
、
左端接有
的电阻，导轨
与
间的圆弧区域内没有磁场，
平直部分存在宽度为
、磁感应强度
方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨
与
的区域内没有磁场，平直部分
右侧存在磁感应强度
方向竖直向上的匀
强磁场（图中没有画出），导体棒a 质量为
，棒a 接在电路中的电阻
；
导体棒b 质量为
，棒b 接在电路中的电阻
。导体棒a 从距离导轨
、
平直部分
处静止释放，恰好沿圆弧轨道
与
的上端切线方
向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒b 最初静止在水平导轨
与
上。重力加速度：
，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求：
（1）导体棒a 刚进入磁场
时电阻R 的电流大小和方向；
（2）
的大小；
（3）导体棒b 从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒b 上产生的焦耳热。（导轨
与
、
与
均足够长，导体棒a 只在导轨
与
上运动）
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【答案】（1）2A，电流的方向为由N 到M；（2）
；（3）
【详解】（1）根据动能定理可知
解得导体棒a 刚进入磁场
时的速度大小为
导体棒a 产生的电动势为
由闭合电路欧姆定律可得
联立解得
由右手定则可判断，此时电阻R 的电流的方向为由N 到M。
（2）导体棒a 到达
时速度方向与水平方向的夹角为
，则
导体棒a 到达
时的速度为
由题可知在导轨
与
平直部分从左到右，根据动量定理可得
又
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联立解得
（3）导体棒a 到达
时的速度为
导体棒a 刚进入磁场
时的速度为
，则
解得
最终匀速运动时，电路中无电流，则有
此过程中，对导体棒a 由动量定理得
对导体棒b 由动量定理得
联立解得
，
该过程中整个回路产生的总焦耳热为
解得
金属棒b 上产生的焦耳热为
7．如图，平行光滑导轨的左侧AB 和
是竖直平面内半径为R 的四分之一圆弧，
BE、
处于同一水平面，AC 和
间距为L，DE 和
间距为2L，AC、
、
DE、
均足够长（MN 始终位于
左侧运动），AC 和DE、
和
通过导线
连接，其中
右侧导轨平面都处在竖直向上磁感应强度为B 的匀强磁场中。现将长
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度为2L 的导体棒PQ 垂直导轨放置于DE 和
上，将长度为L 的导体棒MN 垂直导
轨放置于
端，由静止释放导体棒MN，导体棒运动的过程中始终与导轨垂直且接触
良好。已知导体棒MN 和PQ 材料、横截面积均相同，导体棒MN 质量为m，电阻为
r，重力加速度为g，不计导轨电阻。求：
（1）导体棒MN 刚进入磁场时的速度大小；
（2）导体棒MN 刚进入磁场时，导体棒PQ 的加速度大小；
（3）导体棒MN 最终稳定的速度大小以及从释放MN 至两导体棒稳定运动的整个过程
中导体棒MN 产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）导体棒MN 从
端下滑到
位置时，设其速度为
，由机械能守恒
定律可得
解得
（2）在导体棒MN 进入磁场瞬间，产生的感应电动势
由题意可知导体棒PQ 的电阻为2r，则此刻回路中的感应电流为
则此刻导体棒PQ 所受安培力大小为
由牛顿第二定律可知，此刻导体棒PQ 的加速度
（3）设经过时间t 两导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设此刻导体棒
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MN、PQ 的速度分别为
、
，则有
而在整个过程中对导体棒MN 由动量定理有
对导体棒PQ 由动量定理有
联立以上各式解得
显然此速度即为MN 棒最终稳定的速度，设整个过程中整个回路产生的热量为
，由
能量守恒可得
解得
由此可知导体棒MN 上产生的焦耳热为
8．如图所示，导体棒
、
水平放置于足够长的光滑平行金属导轨上，导轨左右两部
分的间距分别为，
，导体棒
、
的质量分别为
、
，接入电路的电阻分别为
和
，其余部分电阻均忽略不计。导体棒
、
均处于方向竖直向上、磁感应强度
大小为
的匀强磁场中，
、
两导体棒均以
的初速度同时水平向右运动，两导体棒
在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，导体棒
始终在窄轨上运动，导体棒
始终在宽轨上运动，直到两导体棒达到稳定状态。求：
（1）导体棒中的最大电流。
（2）稳定时导体棒
和
的速度。
（3）电路中产生的焦耳热及该过程中流过导体棒
的某一横截面的电荷量。
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【答案】（1）
；（2）
，方向向右，
，方向向右；（3）
【详解】（1）
，
两导体棒均以
的初速度同时向右运动时，导体棒中的电流最大，
此时回路中的感应电动势为
则导体棒中的最大电流
（2）当两导体棒产生的感应电动势相等时，回路中的电流为零，且达到稳定状态，设
此时导体棒
的速度为
，导体棒
的速度为
，则有
可得
两导体棒从开始运动到达到稳定状态过程中，对导体棒
，由动量定理得
对导体棒
，由动量定理得
联立解得
（3）由能量守恒定律得
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解得
对导体棒
，由动量定理可得
又
联立解得
9．如图所示，匀强磁场垂直于纸面向外且范围足够大，磁感应强度大小为
，
水平面上固定一个关于Ox 对称的足够长的轨道OABCD 和OEFGH，轨道电阻不计，
其中
，间距为
，
，间距为
，OE、OA 与Ox 轴的夹角均
为
，
。一根粗细均匀的导体棒长度为
，质量为
，单位长度的电阻为
。用沿着x 轴正方向向右的拉力
作用在导体棒的中点，使其从O 点开始沿
着Ox 轴做匀速直线运动，速度大小为
。3s 末撤去拉力，同时断开OE 和OA
的连接，且在GH 和CD 上放一根质量为
、长度为
的导体棒，两根导体棒均与导
轨接触良好，EF 和GH 都足够长，不计一切摩擦。求：
（1）导体棒在EOA 轨道上运动时，电流的大小
；
（2）导体棒在EOA 轨道上运动过程中产生的焦耳热
；
（3）撤去拉力后，长为L 的导体棒和长为
的导体棒的最终速度之比
；
（4）撤去拉力后，两根导体棒产生的总焦耳热
。
30
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【答案】（1）2A；（2）
；（3）
；（4）8J
【详解】（1）设切割磁感线的导体棒长度为
，则导体棒产生的电动势为
回路中的电阻为
回路中的电流为
（2）
轨道沿x 轴的长度为
导体棒在
轨道运动的时间为
则导体棒的有效电阻为
可知电阻与时间成正比，则最大电阻为
则导体棒在OEA 轨道上运动过程中，产生的焦耳热为
（3）撤去拉力后，当两导体棒切割磁感线产生的电动势大小相等时，由于方向相反，
则回路总电动势为零，回路电流为零，两导体棒均做匀速直线运动运动，则达到最终
速度时满足
可得
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（4）撤去拉力后，以
方向为正方向，对长导体棒应用动量定理有
对短导体棒应用动量定理有
联立可得
又
解得
由能量守恒可得撤去拉力后，两根导体棒产生的总焦耳热为
10．如图所示，在水平面内固定一足够长的光滑平行金属导轨
与
，
与之间以及
与
之间分别通过一小段长度可忽略的绝缘光滑轨
道平滑连接，其中
部分的宽度为
，
部分的宽度为
，导轨
最左端
、
之间连接有一带电的、电容为
的电容器和开关
，整个导轨所在空间
存在方向竖直向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场。开始时开关断开，质量为
，
长度为
，阻值为
的金属棒N 静止在导轨
部分上，质量为
，长度为
，
电阻可忽略不计的金属棒M 静止在导轨
部分上。现闭合开关
，电容器
通
过金属棒M 放电，金属棒M 开始沿导轨向右运动，且离开
部分前的一段距离
内金属棒M 以速度大小
匀速运动。不计导轨电阻，两金属棒运动过程中始终与导轨
垂直且接触良好，金属棒M 始终在
部分运动，求：
（1）金属棒M 刚滑上导轨
部分时加速度的大小；
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（2）电容器初始时的带电量；
（3）整个过程中金属棒N 产生的焦耳热。
【答案】（1）
； （2）
； （3）
【详解】（1）金属棒M 刚滑上导轨
部分时，回路中的电流大小为
由牛顿第二定律可知金属棒M 的加速度大小为
解得
（2）闭合开关
，设金属棒M 速度达到稳定前某时刻的电流为
，金属棒M 受到的
安培力大小为
在一小段时间
内，由动量定理可得
通过金属棒M 的电荷量为
从闭合开关
到金属棒M 速度达到稳定的过程中累加求和有
金属棒M 速度稳定时切割磁感线产生的电动势为
此时电容器剩余的电量为
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所以电容器初始时的带电量为
（3）金属棒M 滑上导轨
部分后，流过金属棒M 和金属棒N 的电流大
小相等，当回路中的电流为0 时，两金属棒速度达到稳定，此时有
从金属棒M 滑上导轨
部分到速度达到稳定的过程中，根据动量定理可
知，对金属棒M 有
对金属棒N 有
由能量守恒定律可得
解得
11．如图所示，电阻可忽略的导轨EFGH 与
组成两组足够长的平行导轨，
其中
组成的面与水平面夹角为
，且处于垂直于斜面向下大小为
的匀
强磁场中，EF 与
之间的距离为2L，GHG'H 水平，且处于竖直向下，大小也为
的匀强磁场中，GH 与G'H'之间的距离为L，质量为2m，长为2L，电阻为2R 的导体棒
AB 横跨在倾斜导轨上，且与倾斜导轨之间无摩擦，质量为
，长为L，电阻为R 的导
体棒CD 横跨在水平导轨上，且与水平导轨之间摩擦系数为
，导体棒CD 通过
一轻质细线跨过一定滑轮与一质量也为m 的物块相连，不计细线与滑轮的阻力和空气
阻力。
（1）固定AB 导体棒，试求CD 棒能达到的最大速度；
（2）若固定CD，将AB 由静止释放，则AB 两端的最大电压为多少；
（3）同时释放AB 和CD，试求两导体棒能达到的最大速度分别为多大；
（4）假定从释放到两棒达到最大速度经历的时间为t，试求此过程中两导体棒产生的
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总焦耳热。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
；（4）
【详解】（1）CD 棒达到的最大速度，根据平衡条件有
根据闭合电路欧姆定律有
由此可得
（2）对AB，根据共点力平衡有
根据闭合电路欧姆定律有
由此可得
AB 两端的电压为
（3）对导体棒AB 分析
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对导体棒CD 分析
由以上两式可得
始终成立
因而任意时刻
研究CD 棒，最终
可解得
，
(4)对CD 由动量定理
由于任意时刻
，所以
，其中
,解得
根据能量守恒定律有
解得
12．如图所示，光滑平行轨道
的水平部分（虚线右侧）存在方向竖直向上、磁
感应强度大小为B 的匀强磁场，
段轨道宽度为
，
段轨道宽度为L，质量为
m、长度为
的均质金属棒Q 静止在
段，将另一完全相同的金属棒P 从
段距水
平轨道高h 处无初速释放，由于回路中除两金属棒外的电阻极小，
段和
段轨道
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均足够长，一段时间后两金属棒均匀速运动，重力加速度大小为g，求：
（1）金属棒P 在磁场中运动的最小速度
；
（2）两金属棒距离最近时金属棒Q 两端的电压U。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金属棒P 下滑刚进入磁场时，速度最大，设最大速度为
，之后金属
棒P 在安培力作用下做减速运动，金属棒Q 做加速运动，直到两金属棒产生的电动势
等大、反向，回路的电流为零，设金属棒Q 匀速运动时的速度大小为
，整个过程中
通过回路中某截面的电荷量为q，时间为
，平均电流为
,则有
金属棒P 由动量定理
金属棒Q 由动量定理
解得
（2）两金属棒在水平轨道做变速运动时，金属棒P 的加速度大小始终等于金属棒Q 的
加速度大小的两倍。运动过程中的
图像如图所示
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显然图像的交点的纵坐标为
，而两金属棒速度大小相等时距离最近，设此时金属棒
P 产生的电动势为E，金属棒Q 在电路中产生的反电动势为
，回路中的感应电流为
I，设金属棒Q 接入电路的电阻为R，则金属棒P 接入电路的电阻为
，则有
又Q 棒未介入电路的部分也有切割电动势，则
解得
13．如图两固定的平行光滑金属导轨，倾斜部分间距为
，与水平方向夹角
，水平部分间距为3L。导轨的两部分分别处在磁感应强度大小为
、方
向垂直各自导轨平面向下的匀强磁场中（磁场未画出）。两金属棒MN 和PQ 材料、
横截面积均相同，分别垂直两导轨放置，棒MN 质量为
、电阻为
、长
为L，棒PQ 长度为3L。运动过程中棒与导轨始终垂直且保持接触良好，导轨足够长
且电阻可忽略，重力加速度大小
。已知图甲中棒PQ 固定，在棒MN 上施加
一垂直MN 沿倾斜导轨向上的恒力
；图乙中对棒MN 施加一垂直MN 沿倾斜导
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轨向上的恒力
的同时，对棒PQ 施加一垂直PQ 沿水平导轨向右的恒力
。
（1）图甲中棒MN 由静止开始运动后最终速度的大小；
（2）图乙中两棒同时由静止开始运动后，棒MN 最终速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）图甲中当金属棒MN 做匀速直线运动时，根据右手定则可以判断，金属
棒MN 中感应电流的方向由
；当金属棒MN 做匀速直线运动时，设此时金属棒
MN 所受安培力大小为
，根据受力平衡可得
解得
由于两金属棒的材料、横截面积均相同，金属棒PQ 长度为金属棒MN 的3 倍，故金属
棒PQ 的质量为
故金属棒PQ 的电阻为
当金属棒MN 做匀速直线运动时，速度达到最大值
，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合电路欧姆定律可得
此时金属棒MN 所受安培力大小为
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联立解得
（2）图乙中两金属棒同时由静止开始运动后，设回路中的电流为
；对金属棒MN，
根据牛顿第二定律可得
对金属棒PQ，根据牛顿第二定律可得
联立解得
可知金属棒MN 和金属棒PQ 的速度大小总是相等，当系统稳定时，设两金属棒的速
度大小均为
，则由右手定则可知稳定时回路中的总电动势为
由闭合电路欧姆定律可得
稳定时对金属棒PQ 受力分析可得
联立解得
14．如图所示，M1N1P1Q1和M2N2P2Q2为在同一水平面内足够长的金属导轨，处在磁感
应强度B 为1T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。导轨的M1N1段与M2N2段相互平行，
距离为L＝1m；P1Q1段与P2O2段也是平行的，距离为0.5m。质量m 均为0.1kg 的金属
杆a、b 垂直于导轨放置，一根不可伸长的绝缘轻绳一端固定在金属杆b 上，重物c 放
置在地面上，绝缘轻绳的水平部分与P1Q1平行且足够长（重物c 始终不与滑轮相撞），
对a 杆施加一水平向左大小为4N 的恒力F 使其从静止开始运动。已知两杆在运动过程
中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，轨道足够长使b 杆始终在宽度为0.5m 的轨
道部分运动，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为
，重力加速度g 取10m/s2。
（1）若将重物c 锁定在地面上，求a 杆的最终速度的大小；
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（2）若将重物c 解除锁定，从a 杆开始运动到重物c 刚要离开地面时，共经历时间
0.25s，求此过程回路产生的总焦耳热；
（3）若将重物c 解除锁定，求a 杆运动全过程中回路的最大电流（结果保留三位有效
数字）。
【答案】（1）2m/s；（2）1.75J；（3）3.78A
【详解】（1）若将重物c 锁定在地面上，则b 杆静止不动，a 杆产生感应电动势
感应电流
安培力
a 杆加速运动，由牛顿第二定律
当加速度减小到零时，a 杆做匀速直线运动，即
可得a 杆稳定速度
（2）重物c 刚要离开地面时，则有
T＝mg
则b 杆所受安培力
FAb＝T＝mg
ab 两杆串联，电流相等，所以a 杆安培力是b 杆的4 倍
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FAa＝2FAb＝2mg＝5×0.1×10N＝5N
由F＝BIL 可知电路中电流
电动势
E1＝I1R＝2×0.5V＝1V
由E＝BLv 可知此时a 杆的速度
从a 杆开始运动到重物c 刚要离开地面过程，对a 杆利用动量定理有
设a 杆运动的位移为x，则
代入上式，可得
对a 杆利用动能定理有
可得克服安培力做的功
WA＝1.75J
此过程回路产生的总焦耳热
Q＝WA＝1.75J
（3）重物c 解除锁定后，设某时刻a、b 两杆的速度分别为va、vb，回路中产生的感应
电动势
回路中总电流
a 杆的加速度
b 杆和重物c 看作一个整体，则加速度
42
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a、b 两杆均加速运动，所以a 杆加速快，可知
，则电流i 增大a1减小，a2增大，
当va与
增加的一样快时，即
a2＝2a1
时，回路中电流达到稳定时的最大值；由a2＝2a1，可知
代入数据，可得
15．如图所示，固定光滑平行轨道abcd 的水平部分处于磁感应强度大小为B 方向竖直
向上的匀强磁场中，bc 段轨道宽度为2L，cd 段轨道宽度为L，bc 段轨道和cd 段轨道
均足够长。质量为2m 的导体棒P 和质量为m 的导体棒Q，有效电阻分别为2R 和R，
分别置于轨道上的ab 段和cd 段，且均与轨道垂直，金属棒Q 原来处于静止状态。现
让金属棒P 从距水平轨道高为h 处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接
触良好且与导轨垂直，不计其它电阻及阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）两金属棒稳定运动的速度以及通过金属棒
的电荷量；
（2）当两棒相距最近时，电路的热功率。
【答案】（1）
，
，
；（2）
【详解】（1）导体棒P 从h 高处下落，根据动能定理可知
解得导体棒进入电场前的速度为
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当导体棒P 进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流，P 棒受到安培力作用而减速，
Q 棒受到安培力而加速，Q 棒运动后也将产生感应电动势，与P 棒感应电动势反向，
因此回路中的电流将减小，最终达到匀速运动时，故
设P 棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为
，取向后为正方向，对P、Q
分别应用动量定理得
P 棒
Q 棒
联立解得
故通过金属棒
的电荷量为
（2）当二者的速度相等时相距最近，设经过的时间为
，取向右为正方向，对P、Q
分别应用动量定理得
P 棒
Q 棒
解得
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回路中的感应电动势为
故此时电路的热功率为
16．导轨a、b 由半径为
的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右
端与水平导轨c、d 良好衔接，导轨a、b 部分宽度为
，导轨c、d 部分宽度为
，金属棒P 和Q 质量分别为
和
，电阻大小均为
，Q 棒
静止在c、d 导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小
为
。现将P 棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过
时间P 棒到达轨道
最低点，此时P 棒对导轨压力为其重力的两倍，同时Q 棒解除锁定，两棒运动过程始
终保持平行，水平导轨均足够长，且P 棒始终在ab 上运动，Q 棒始终在cd 上运动，金
属棒与轨道接触良好，不考虑一切摩擦，经过足够长时间后，重力加速度为g 取
（结果可用分数表示），求：
（1）解除锁定前通过棒的电量；
（2）解除锁定前P 棒所受安培力和支持力的合力冲量大小；
（3）两金属棒最终速度大小。
【答案】（1）0.4C；（2）2Mg，
；（3）
，
【详解】（1）解除锁定前通过导体棒的电量
（2）导体棒P 到达圆弧导轨最低点时速度为
，由牛顿第二定律，有
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且
得
P 棒沿导轨下滑过程所受安培力和支持力的合力冲量大小为I，根据动量定理
作出矢量图如图所示
可得
（3）解除锁定后，P 棒做减速运动，Q 棒做加速运动，两棒最终均做匀速运动，回路
电流为零，设两棒最终速度分别为
和
，由于
由动量定理，对P 棒有
对Q 棒有
得
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