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大题10 电磁感应综合问题
电磁感应计算题常与力学、能量、动量等模块综合考查，注重经典模型的分析，如2022 年辽宁卷考
查双杆模型，结合动量守恒定律、动量定理。高频模型与考法：导体棒切割磁感线模型（水平/倾斜导轨上
的单杆或多杆运动）、线圈与磁场变化模型、电磁感应与电路综合（结合闭合电路欧姆定律）等。考生在
复习时应注意熟练掌握运用公式熟，将复杂过程分解为“磁场变化→感应电流→受力分析→能量转化”阶
段，逐段列方程，同时注重临界问题的分析与联系。
题型一 电磁感应中的单杆模型
【例1】（2024·辽宁·一模）如图甲所示，间距为L 的平行光滑金属导轨固定在绝缘水
平面上，导轨的左端连接一阻值为R 的定值电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为
B。一根质量为m、长度为L、电阻为r 的导体棒cd 放在导轨上。导体棒运动过程中始终保持与导轨垂直
且接触良好，导轨的电阻可忽略不计。
1
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（1）若对导体棒cd 施加一水平向右的恒力，使其以速度v 向右做匀速直线运动，求此力的大小
。
（2）若对导体棒cd 施加一水平向右的拉力
，使其沿导轨做初速为零的匀加速直线运动。
的大小随时
间t 变化的图像为一条斜率为
的直线。求导体棒cd 加速度的大小a。
（3）若对导体棒cd 施加一水平向右的瞬时冲量，使其以速度
开始运动，并最终停在导轨上，在图乙中
定性画出导体棒cd 两端的电势差
随位移x 变化的图像（要求写出推导过程）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）图见解析
【解析】（1）导体棒匀速直线运动切割磁场产生的感应电动势和感应电流分别为
根据平衡条件则有
解得
（2）由题意可知
则有
由牛顿第二定律有
2
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联立解得
根据题意有
解得
（3）由闭合电路欧姆定律可知导体棒cd 两端的电势差为
其中
由动量定理
又有
解得
则导体棒cd 两端的电势差
随位移x 变化的图像如图。
电磁感应中的单杆模型
1、杆具有初速度
3
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情境
水平放置的平行光滑导轨（电阻不计且足够长），间距为L，左侧
接有电阻R，导体杆初速度为v0，质量为m，处于导轨间的部分的
电阻为r，匀强磁场的磁感应强度大小为B
等效电路
当杆的速度为v 时，感应电动势
，电流
安培力
运动过程
加速度
，杆做减速运动，v↓⇒F 安↓⇒a↓，当
a=0 时，v=0，杆保持静止
能量角度
①速度由v0减至v 的过程产生的焦耳热
②电阻R 产生的焦耳热
动量角度
①总电荷量：
，得
②总位移：
，得
2、杆受到恒定外力
情境
水平放置的平行光滑导轨（电阻不计且足够长），间距为L，左侧接
有电阻R，导体杆质量为m，处于导轨间的部分的电阻为r，匀强磁场
的磁感应强度大小为B，杆在恒定外力F 的作用下由静止开始运动
等效电路
当杆的速度为v 时，感应电动势
，电流
安培力
运动过程
加速度
，杆做加速运动，v↑⇒F 安↑⇒a↓，当a=0
时，v 最大，
能量角度
设由静止至速度达到v 的过程中，通过的位移为x，由动能定理得
，
则焦耳热
4
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动量角度
①当通过导体杆横截面的电荷量为q 时，
，得
②当位移为x 时，
，得
1.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ，两
导轨间距为
，电阻不计。在MQ 之间接有一阻值为
的电阻。导体杆ab 质量为
，有效
电阻为
，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为
的匀强磁场中。现
给ab 杆一个初速度
，使杆向右运动。求：
（1）ab 杆最大加速度的大小和方向；
（2）整个运动过程电阻R 上产生的热量Q；
（3）整个运动过程导体杆ab 的总位移大小x。
【答案】（1）
，水平向左；（2）6J；（3）16m
【解析】（1）初始时ab 杆受到的安培力最大，加速度最大；感应电动势为
电流为
导体棒受到的安培力为
物体的加速的大小为
解得
5
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方向水平向左。
（2）由能量守恒可知整个过程产生的热量为
电阻R 上产生的热量
（3）对导体棒运动动量定理
其中
联立可得
2．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨
、
固定在水平面上，
间距为，
间接阻值为
的定值电阻，质量为
的金属棒
垂直导轨放置，导轨和金属棒电阻不计，
整个装置处于方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为
的匀强磁场中。现给金属棒
一个水平外力使
金属棒从静止开始向右匀加速运动，速度达到时水平外力大小为该时刻安培力大小的2 倍，运动过程中
金属棒始终垂直导轨且与导轨接触良好。求：
（1）在速度从零增加到时间内金属棒的加速度大小；
（2）在速度从零增加到时间内流过定值电阻
的电荷量。
【答案】（1）
；（2）
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【解析】（1）金属棒切割磁感线产生的电动势为
电路中的电流为
金属棒受到的安培力
根据牛顿第二定律
得
因为速度达到时水平外力大小为该时刻安培力大小的2 倍，联立解得
（2）通过电阻的电荷量为
根据法拉第电磁感应定律
电流为
又因为
是一定值，金属棒做匀变速直线运动
联立解得在
内流过定值电阻
的电荷量
3．（24-25 高三上·安徽·开学考试）如图所示，PM、QN 是两根半径为d 的粗糙的
圆弧轨道，其间距为
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l，O 点为PM 圆弧的圆心，O、P 连线水平，M、N 在同一水平高度，圆弧轨道电阻不计，在其上端连有一
阻值为R 的电阻，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现有一根长度稍大于l、质
量为m、电阻为r 的金属棒从轨道的顶端PQ 处以一定的初速度开始下滑，由于轨道摩擦的作用，下滑过
程中金属棒的速率保持不变，到达轨道底端MN 时对轨道的压力为2mg，求：
（1）金属棒到达最低点时它两端的电压；
（2）金属棒由PQ 下滑到MN 过程中通过它的电荷量；
（3）由PQ 下滑到MN 过程中金属棒中产生的焦耳热。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）在轨道的最低点MN 处，金属棒对轨道的压力
根据牛顿第三定律知轨道对金属棒的支持力大小
根据牛顿第二定律
解得
金属棒切割磁感线产生的感应电动势
金属棒到达最低点时两端的电压
（2）由金属棒由PQ 下滑到MN 过程中通过它的电荷量
8
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又
，
，
联立解得
（3）下滑过程中，金属棒切割磁感应线产生正弦式交流电，其有效值
回路中产生的焦耳热
金属棒产生的热量
题型二 电磁感应中的等距双杆模型
【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，间距为L 的平行倾斜金属轨道
、
，与足够长、间距也为L 的水平金属导轨
、
平滑连接，虚线
、
之间充满竖直向上的匀
强磁场，磁感应强度大小为
，现有两根长度为L、质量为m、电阻为R 的完全相同导体棒P、Q，其中
Q 静止于水平导轨上，P 从距水平轨道高为h 处由静止释放，P、Q 未在磁场中发生碰撞，且Q 出磁场前已
与P 共速，P 出磁场时速度大小为Q 出磁场时速度大小的一半，导体棒P、Q 与导轨始终保持接触良好且
与导轨垂直，已知重力加速度为g，不计一切摩擦及导轨电阻。求：
（1）P 运动到倾斜导轨底端虚线
处时速度大小及Q 刚开始运动时的加速度大小；
（2）从P 运动到虚线
处开始至Q 运动到刚离开虚线
处的过程，回路中产生的总焦耳热；
（3）Q 刚出磁场时与P 之间的距离及Q 初始位置与虚线
之间的距离。
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
，
【解析】（1）P 从静止释放到斜面底端过程
解得
Q 开始运动时的加速度
，
，
，
解得
（2）P 从斜面底端到P、Q 共速过程，动量守恒、能量守恒
，
解得
（3）P 从
到
的过程，对P 列动量定理
，
，
Q 出磁场时与导体棒P 之间的距离
P 从斜面底端到P、Q 共速过程，对Q 列动量定理
10
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Q 初始时与
之间的距离
等距双杆模型分析
杆具有初速度
杆受到恒定外力
情境
水平放置、不计电阻的光滑导轨（已知条件如图）
等效电路
设某时刻金属杆1 速度为v1，金属杆2 速度为v2，则电流
运动过程
，杆1 做加速
度减小的减速运动，杆2 做加速度减小
的加速运动，最终两杆以相同的速度做
匀速直线运动
杆1 做加速度减小的加速运动，杆2 做加速度
增大的加速运动，最终两杆以相同的加速度
做匀加速直线运动
运动图像
能量角度
杆1 减少的动能转化为杆2 的动能和系
统产生的热量
外力F 做的功等于杆1、杆2 的动能及系统产
生的热量之和
动量角度
系统动量守恒
，两杆
最终速度
系统动量不守恒，
，两杆最
终加速度
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1．（22-23 高三下·安徽合肥·开学考试）如图所示，平行光滑金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而
成。导轨水平部分的一段处于
、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场（图示虚线）中。在磁场中离
左边界
处垂直于水平导轨放置导体棒
，在倾斜导轨高
处垂直于导轨放置导体棒
，将
导体棒
由静止释放，结果发现导体棒
以
的速度从磁场右边界离开。已知导体棒
、
的质量均为
，阻值均为
，棒的长度均等于导轨间距
，不计导轨电阻，导体棒在运动过
程中始终垂直于导轨且接触良好
取
，忽略磁场边界效应。求：
（1）安培力对导体棒a 做的功；
（2）导体棒a 刚出磁场时，导体棒b 的速度大小及两棒之间的距离；
（3）整个过程中，安培力对导体棒b 做的功。
【答案】（1）0.005J；（2）
，
；（3）-0.02J
【解析】（1）导体棒
在安培力的作用下由静止向右加速运动，根据动能定理，安培力对导体
做的功
（2）导铁棒
在倾斜部分运动时，由机械能守恒定律有
代入数据解得
导体棒
进入磁场与导体棒
通过磁场相互作用直到导体棒
出磁场，由动量守恒定律有
代入数据解得
即导体棒
出磁场时，两棒已获得共同速度，此过程中，对导体棒
运用动量定理有
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通过的电荷量为
代入数据解得
两棒之间的距离为
（3）导体棒
进入磁场与导体棒
通过磁场相互作用后获得共同速度的过程中，安培力对导体棒
做的功
导体棒
从磁场中出来时，导体棒
与磁场右边界相距
此时对导体棒
运用动量定理有
通过的电荷量为
代入数据解得
导体棒
刚好停止在磁场右边界处，该过程中安培力对导体棒
做的功
因此整个运动过程中安培力对于导体棒
做的功为
2．（2025·河北廊坊·一模）如图所示，两光滑的平行导轨
和
放置在水平面上，导轨间距为
，
导轨左端
和
段倾斜，与水平面之间的夹角为
，水平段
和
与倾斜段在
和
处通过绝缘
材料平滑连接，不计轨道电阻。a、b两根长均为
的金属棒垂直于倾斜导轨放置，
、
之间用一长度
为
的绝缘轻质细线相连，细线处于伸直状态。
、
金属棒的质量均为
，电阻均为
，且
棒
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处于锁定状态。倾斜轨道部分处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，其磁感应强度大小为
。经
过一段时间后，细线恰好无拉力，此时细线脱落，之后磁场的磁感应强度大小保持不变，同时解除锁定并
自由释放
棒。水平导轨所处空间存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向竖直向上，其左边界恰
好与
虚线重合。
棒以大小为
的速度通过
处进入水平轨道，以大小为
的速度通过磁
场右边界，运动过程中
、
恰好未发生碰撞。重力加速度
取
，金属棒通过
时的运动时间和
对速度大小的影响忽略不计，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，倾斜部分和水平部分的磁场互不影响，
感应电流产生的磁场和空气阻力均不计。求：
（1）从计时开始到细线恰好无拉力经历的时间；
（2）
棒进入水平导轨到通过磁场右边界的过程中，回路产生的焦耳热；
（3）
棒从进入水平导轨开始经过
到达磁场右边界，求水平轨道上有界匀强磁场的长度。
【答案】（1）1s （2）1.2J （3）6.35m
【解析】（1）设
，根据法拉第电磁感应定律，矩形闭合回路中的感应电动势为
根据闭合回路欧姆定律，回路中的感应电流为
棒b 受到的安培力为
根据题意有
根据题意
，
，
解得从计时开始到细线恰好无拉力经历的时间
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（2）a、b 金属棒相对静止以加速度a 在倾斜导轨上滑下，根据牛顿第二定律
可得加速度大小均为
b 棒通过NQ 处速度
a 棒通过NQ 处速度为
，则由运动学公式
得
则从
棒到NQ 处到
棒到NQ 处时间
这段时间内
棒到NQ 处后向右运动的距离
a 棒通过NQ 处之后a 棒和b 棒系统的动量守恒，有
根据题意有
解得
由a 棒和b 棒系统的能量守恒，有
解得
（3）对b 棒根据动量定理
又
由法拉第电磁感应定律
联立可得
则有
即恰好a 棒要追上b 棒时，b 棒通过磁场右边界，设a 棒进入水平磁场时，b 棒距离磁场右边界为
，由几
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何关系可得
其中
解得
水平轨道上的有界匀强磁场的长度为
题型三 电磁感应中的不等距双杆模型
【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，足够长的固定光滑平行金属导轨
，其中
部分间距为
，
部分间距为
，
部
分水平且所在的空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
，
部分倾角为
。
质量为
、长度为
、阻值为
的导体棒N 静置在导轨的
部分上。另一质
量也为
、长度为
，阻值为
的导体棒M 从导轨的
部分由静止释放，经
过时间
，导体棒M 恰好运动到
进入水平轨道部分，重力加速度g 取
，导体棒M 经过
时损失的机械能忽略不计，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计。从导体
棒M 由静止释放到两导体棒运动状态达到稳定的过程中（导体棒M 没有运动到
处），求：
（1）导体棒N 加速度的最大值；
（2）稳定时导体棒M 和N 的速度大小；
（3）导体棒N 中产生的焦耳热。
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【解析】（1）导体棒M 在倾斜导轨上，由牛顿第二定律可得
根据运动学
解得
则，导体棒M 进入磁场时
导体棒N
解得
（2）当通过两导体棒的电流为0 时达到稳定，设达到稳定时导体棒M 的速度为
，导体棒N 的速度为
，
则
对导体棒M，根据动量定理
对导体棒N，根据动量定理
以上各式联立，解得
，
（3）根据能量守恒
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导体棒N 中产生的焦耳热为
不等距双杆模型分析
1．（2025·广东珠海·一模）如图所示，在水平面上的装置由三部分构成，装置中间部分为电路控制系统，
电源电动势恒定且为
，内阻不计，两个开关
、
初始状态都断开。装置左右两侧均为足够长且不计电
阻的光滑金属导轨，导轨
宽度为
，
宽度为
，导轨
和
之间存在匀强磁场，磁感应强度分
别为
和
，磁场方向如图所示。将质量均为
的金属杆
，
分别如图轻放在水平轨道上，两杆接入
电路中的电阻相等，不计金属杆与导轨的摩擦。
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（1）接通
，求
杆的最大速度；
（2）当
杆做匀速运动后，断开
同时闭合
，当两杆再次匀速运动时，求
杆产生的焦耳热。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）S1接通，ab 中有a→b 的电流，ab 受水平向右的安培力 ab 向右做加速运动，ab 切割磁感线
产生一个感应电动势,与电源相抵消。当ab 产生的感应电动势与电源电动势完全相消时，ab 棒不受安培力，
ab 将做匀速运动，速度为vm，此时产生的感应电动势为
解得
（2）断开S1，接通S2，ab 向右运动切割磁感线产生感应电流，由b→a，电流再流经cd 棒，方向由c 到
d。由左手是则可知，ab 棒受水平向左的安培力，做减速运动； cd 棒受水平向右的安培力，向右做加速运
动，ab、cd.产生互相抵消的电动势，当完全抵消时，电路中无电流 。ab、cd 做匀速运动速度分别为v1、
v2，则
可得
v1=v2
ab、cd 中电流相等。ab、cd 的安培力分别为
F1=2BIL
F2=B×2LI=2BIL
安培力大小相等、方向相反，ab、cd 满足动量守恒，有
联立解得
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电路中的总热量为
因为ab、cd 的阻值相等，所以cd 杆产生的焦耳热为
2．（23-24 高二下·江西·期末）如图，光滑金属导轨，
，其中
为半径为的
圆弧导轨，
是间距为3L 且足够长的水平导轨，
是间距为2L 且足够长的水平导轨。
金属导体棒M、N 质量均为m，接入电路中的电阻均为R，导体棒N 静置在
间，水平导轨间存
在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将导体棒M 自圆弧导轨的最高点处由静止释放，两导体
棒在运动过程中均与导轨垂直且始终接触良好，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。求：
（1）导体棒M 运动到
处时，对导轨的压力；
（2）导体棒M 由静止释放至达到稳定状态的过程中，通过其横截面的电荷量；
（3）在上述过程中导体棒N 产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）M 棒从圆弧导轨滑下过程，根据动能定理可得
运动到
处时，根据牛顿第二定律可得
20
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联立解得
由牛顿第三定律可知，导体棒M 运动到
处时，对导轨的压力
。
（2）两金属棒最终分别做匀速直线运动，则有
，
又有
解得
分别对M、N 应用动量定理，对M 有
对N 有
又有
解得
，
，
（3）全过程系统能量守恒
又有
联立解得
3．（2024·浙江·三模）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，间距为L 的足够
21
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长水平金属导轨P、Q 与间距为2L 的足够长水平金属导轨M、N 相连，长为L、质量为m、电阻为R 的均
匀金属棒a 垂直于P、Q 静止放置，由相同金属制成的均匀金属棒b 长为2L、质量为2m，垂直于M、N 运
动，棒与导轨接触良好，导轨光滑且不计电阻。开始时棒b 在水平外力F 作用下以恒定速度
匀速向右运
动，经一段时间棒a 的速度也达到
（a 棒始终在导轨P、Q 上滑动），此时撤去外力F。求：
（1）刚拉动b 棒时，棒a 上的电流
；
（2）从开始运动到速度达到
棒a 上产生的热量
；
（3）撤去F 后，棒a 上产生的热量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）由题意可知，棒
的电阻为
，棒
未动时，回路电动势为
则刚拉动b 棒时，棒a 上的电流为
（2）对棒a 用动量定理得
可得
棒b 相当于电源，棒a 相当于电动机，电源产生的电能一部分转为棒a 的动能，其余转化为回路电热，则
有
又
22
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联立解得
（3）撤去
后，最终两棒上均无电流，则有
可得
由动量定理可得
又
可得
联立解得
，
由能量守恒可得
又
联立解得
题型四 电磁感应中的线框模型
【例1】（2024·辽宁丹东·二模）如图所示，在平面直角坐标系
中，Oy 竖直向下，
23
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Ox 水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度的大小沿y 轴正方向不变，
沿x 轴正方向按照
（
且为已知常数）规律变化。一质量为m、边长为L 的正方形导线框，总电
阻为R，初始时一边与x 轴重合，一边与y 轴重合。将导线框以速度
沿x 轴正方向抛出，整个运动过程中
导线框的两邻边分别平行于两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框始终在
平面内且下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，求：
（1）导线框刚开始运动时受到安培力的大小和方向；
（2）导线框沿x 方向运动的最大位移；
（3）导线框中产生的热量。
【答案】（1）
，沿x 轴负方向；（2）
；（3）
【解析】（1）导线框刚开始运动时，速度方向水平向右，左边框所在处磁感应强度为0，右边框所在处磁
感应强度为
所以感应电动势
框内感应电流
顺时针方向，导线框所受安培力大小为
即
根据左手定则可知安培力方向沿x 轴负方向。
（2）设导线框在任意时刻t 的水平分速度大小为v，水平位移为x，则在此时刻导线框产生感应电动势大
24
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小为
导线框内的感应电流大小为
所以导线框受到安培力的大小
又由题意可知，当导线框沿x 方向发生最大位移
时，速度为0，设经历时间为
，由水平方向动量定理
可得
解得
（3）根据能量守恒定律
又因线框在竖直方向上做自由落体运动，有
所以导线框中产生的热量
电磁感应中的线框模型分析
25
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1．（2024·辽宁·三模）如图甲所示，在光滑水平面上平放一个用均匀导线制成的正方形线框，质量
，边长
，总电阻
，有界磁场的宽度为2L，磁感应强度
，方向垂直线框
平面向下。线框右边紧挨磁场边界，给线框水平向右的初速度
，求：
（1）线框刚进入磁场时的加速度；
（2）进入磁场过程中通过线框的电量q 及完全进入磁场中时线框的速度
大小；
（3）在乙图中画出线框通过磁场过程的
图。
26
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【答案】（1）
，方向水平向左；（2）
，
；（3）见解析
【解析】（1）线框刚进入磁场时，产生的电动势为
感应电流为
受到的安培力为
根据牛顿第二定律可得，线框刚进入磁场时的加速度大小为
方向水平向左。
（2）进入磁场过程中通过线框的电量为
解得
根据动量定理可得
又
联立解得线圈完全进入磁场中时线框的速度大小为
27
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（3）在线圈进入磁场过程中，即
，根据动量定理可得
其中
（
）
联立可得
（
）
在
过程，线圈以
做匀速直线运动；
在
过程，据动量定理可得
其中
（
）
联立可得
（
）
综上分析可知线框通过磁场过程的
图像如图所示
2．（2025·吉林长春·二模）“磁悬浮列车”是通过电磁力实现列车与轨道之间无接触的悬浮和导向，再利
用直线电机产生的电磁力牵引列车运行。某实验小组设计简化模型如图（a）所示，若磁悬浮列车模型的
总质量为
，模型底部固定一与其绝缘的矩形金属线框
，线框的总电阻为
。用两根足够长、水平固
定、间距为
（和矩形线框的边长
相等）的平行金属导轨
、
模拟列车行驶的轨道，导轨间存在
垂直导轨平面的等间距的交替匀强磁场，相邻两匀强磁场的方向相反、磁感应强度大小均为
，每个磁场
宽度与矩形线框的边长
相等，如图（b）所示。将列车模型放置于导轨上，当交替磁场以速度
向右匀
28
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速运动时，列车模型受磁场力由静止开始运动，速度达到
开始匀速运动，假定列车模型在运动过程中
所受阻力恒定，不考虑磁场运动时产生的其他影响。
（1）求列车模型所受阻力
的大小；
（2）列车模型匀速运动后，某时刻磁场又以加速度
向右做匀加速直线运动，再经时间列车模型也开始
做匀加速直线运动。
①分析求出列车模型匀加速运动的加速度大小
；
②若列车模型开始匀加速运动时的速度为，求时间内列车所受安培力做的功
。
【答案】（1）
（2）①
；②
【解析】（1）设列车行驶速度为
，线框中的感应电动势大小为
感应电流大小为
线框所受安培力大小为
当
时，对列车根据平衡条件有
（2）①列车做匀加速运动时，根据牛顿第二定律
可知安培力恒定，根据线框所受安培力
可知，感应电动势恒定，线框相对磁场的速度恒定，则应满足线框的加速度大小为
②磁场匀加速运动时间内，对列车根据动量定理有
即
29
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其中时间内磁场位移为
可解得时间内列车位移
对列车根据动能定理有
可解得时间内列车所受安培力做功为
3．（24-25 高三下·广西·阶段练习）如图所示，将电阻为
、质量为
的单匝正方形闭合
线圈
水平放置在顺时针运行的水平传送带的最左端，其边长为
，边界MN、PQ 与传送带运行
方向垂直，在MN、PQ 区域内加一个垂直于传送带平面向下、磁感应强度为
的匀强磁场，MN、
PQ 边界间距为
，线圈在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其与传送带间的动摩擦因数
为
，线圈ab 边进入磁场区域前已和传送带共速，传送带的速度为
，
时刻，线圈ab
边与MN 重合，
时刻，线圈cd 边与MN 重合，
时刻线圈ab 边与PQ 重合，已知重力加速度
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）
时刻，线圈中的感应电流大小；
（2）
时刻，线圈的速度大小；
（3）
；
（4）
时间内，线框中产生的焦耳热。
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
30
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【解析】（1）
时刻，线圈中的感应电动势为
线圈中的感应电流大小为
解得
（2）
时刻，线圈的速度大小为，对线圈进入磁场的过程，以水平向右为正方向，由动量定理
又
，
联立解得
（3）
时刻开始，线圈在摩擦力作用下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律
解得
根据速度时间公式有
根据速度位移公式有
又
即线圈与传送带共速时，ab 边恰与PQ 重合，则有
解得
（4）
时间内，线框中焦耳热为0；对线框，
时间内，根据动能定理有
又
解得
题型五 电磁感应中的含电容、电源问题
【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，间距为d、足够长的平行金属导轨MQ、NP 与
水平面的夹角为
，两导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中；导轨上端
31
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通过开关S 可以分别与电源E（内阻为r）、电阻R 和电容器C 相连。金属棒ab 质量为m、长度为d，置
于导轨上与导轨垂直且始终接触良好。已知重力加速度为g，金属棒与导轨电阻不计，电容器的击穿电压
为U。
（1）若导轨光滑，现将开关S 置于“1”位置，金属棒由静止释放一段时间后恰好做匀速运动（金属棒已
达到稳定状态），求此时金属棒的速度大小；
（2）若金属棒ab 与导轨间的动摩擦因数为
，现将开关S 置于“2”位置，求金属棒由静止释放后沿导轨
下滑的最大速度；
（3）若导轨光滑，现将开关S 置于“3”位置，为保证电容不被击穿，求金属棒由静止释放后沿轨道运动
的最大距离l。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）金属棒由静止释放一段时间后恰好做匀速运动，合力为零，则
其中
解得
（2）达到最大速度后，合力为零，此时
解得最大速度
（3）为保证电容不被击穿，最大电压
32
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设释放金属棒的一小段时间Δt 的加速度为a，根据牛顿第二定律可得
根据电流的定义式得
金属棒的加速度为
根据
解得
1.．（2024·安徽·三模）国内936 型登陆舰搭载电磁炮出海，试验射程可达200 公里，某同学设计了电磁碰
撞测试装置，可以通过超级电容器的储能来判断电磁炮的威力。如图所示，粗糙的平行金属导轨MN、
M′N′固定在水平面上，导轨间距L=1m，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B1=1.0T，其左端MM′之
间用导线接入电源，电源的电动势为E=110V，内阻r=1Ω，右端通过绝缘物质与足够长的光滑金属导轨
PQ、P′Q′相连。金属导轨PQ、P′Q′之间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
，金属导轨右端
QQ′之间连接一个电容C=9F 的超级电容（原来不带电）。一根质量m1=10kg、电阻R1=1Ω 的金属棒AB 放
置在金属导轨MN、M′N′上。接通电源后，金属棒AB 从静止开始向右加速运动，其与导轨MN、M′N′间动
摩擦因数为µ=0.05，与CD 相碰之前已经匀速。金属棒AB 与质量m2=90kg，电阻R2=4Ω 的金属棒CD 刚好
在绝缘物质处发生弹性碰撞，碰后立即撤走金属棒AB，此后金属棒CD 向右运动。已知电容器的储能公式
，重力加速度g 取10m/s2，金属棒与导轨接触良好，其他电阻忽略不计，不考虑电磁辐射。求：
（1）金属棒AB 向右运动的过程中，加速度的最大值；
33
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（2）碰撞后，金属棒CD 向右运动的过程中最小的速度；
（3）碰撞后金属棒CD 上产生的焦耳热。
【答案】（1）5m/s2；（2）10m/s；（3）9000J
【解析】（1）当v=0 时，AB 的加速度最大，此时
解得
（2）当金属棒AB 匀速运动时，电路中的有效电动势为10V，则金属棒AB 的感应电动势为
解得
金属棒AB 与金属棒CD 发生弹性碰撞，有
解得
金属棒CD 最终以速度v3做匀速直线运动时，速度最小，有
34
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联立解得
，
，
（3）金属棒CD 向右运动的整个过程能量守恒，则
解得
2．（24-25 高二上·河南郑州·阶段练习）如图所示，两根间距L = 1 m、足够长光滑平行导轨与水平面夹角
为θ = 30°，导轨上端用一单刀双掷开关分别连接阻值R = 1 Ω 的电阻和电容C = 0.1 F 的电容器，整个装
置处于磁感应强度大小B = 0.2 T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。在导轨上垂直于导轨放置一质
量m = 0.016 kg 的导体棒ab，并将其锁定在图示位置。将单刀双掷开关掷到1，并解除对导体棒的锁定，
导体棒由静止开始向下运动，重力加速度g 取10 m/s2，导轨和导体棒电阻均不计，求：
（1）导体棒获得的最大速度；
（2）若将单刀双掷开关掷到2，并解除锁定，导体棒获得（1）中同样的速度所用的时间。
【答案】（1）2 m/s （2）0.5 s
【解析】（1）单刀双掷开关掷到1 时，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，当导体棒匀速时，可知
导体棒切割磁感线的感应电动势为
回路中感应电流为
导体棒所受安培力大小为
35
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联立，解得
（2）若单刀双掷开关掷到2 时，并解除固定，取极短时间导体棒速度变化量为Δv，感应电动势的变化量
电容器上电量的变化量
回路中电流强度为
解得
导体棒受到的安培力
根据牛顿第二定律
联立，可得
解得
3．（2024·四川·一模）如图，两根足够长、电阻不计且相距
的平行金属导轨固定在倾角
的绝
缘粗糙斜面上，左端接在电阻
的两端，两导轨间有方向垂直斜面向上的匀强磁场。将一根长为
质量为
电阻为
的金属棒MN 垂直于导轨放置在导轨顶端附近，闭合开关
，释放金属棒，
金属棒恰好不上滑。已知金属棒与导轨接触良好，磁感应强度
，定值电阻
，电源
的电动势
，电源的内阻不计。已知
，求：
36
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（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数
；
（2）断开开关
，从开始下滑到速度稳定的过程中，通过
的电荷量为
，系统所产生的热量
。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）分析电路关系，根据闭合电路欧姆定律
又
联立解得
故
金属棒恰好不上滑，根据平衡关系
解得
（2）根据
37
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联立有
解得
设下滑到稳定时的速度为，此时根据平衡关系
解得
从开始下滑到速度稳定的过程中，根据能量守恒定律
解得
1．（2024·江西·二模）电磁炮是利用安培力对金属炮弹进行加速，使其达到打击目标所需的动能，与传统
的火药推动的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。某学习小组利用图示的电路模型分析电磁
炮的运动规律。将质量
的导体棒放在两根足够长，且平行的光滑水平导轨上，导轨间距
，
导轨所在的平面内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
。导轨的右端连接一个电容
的电
容器。开始时用
的高压直流电源对电容器充电，充电完成后将开关
闭合，不计导轨电阻。求：
（1）为使导体棒向左运动，电容器的上极板带何种电荷；
（2）导体棒向左运动的最大速度；
（3）若电容器的储能公式为
（其中
为电容器带的电荷量），求该发射器的效率
。
38
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【答案】（1）带负电；（2）
；（3）
【解析】（1）导体棒向左运动，根据左手定则，导体棒中的电流向上，电容器的上极板带负电
（2）对导体棒，由动量定理得
累加得
流过导体棒的电荷量等于电容器的电荷量的减少量有
导体棒达到最大速度时有
解得
（3）电容器放电消耗的总能量为
而
导体棒获得的动能为
则该发射器的效率为
39
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2．（2024·辽宁大连·二模）如图所示，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
。相距
的足够长光滑平行导轨固定在水平地面上，质量均为
的导体棒a、b 垂直导轨放置并与
导轨接触良好，两导体棒接入电路的电阻均为
。导体棒a 固定，导体棒b 静止。其他电阻不计，
现对导体棒b 施加一恒力F，不计空气阻力，导体棒b 的最大速度大小为
，则：
（1）求恒力F 的大小；
（2）若从施加F 到导体棒b 速度最大时，导体棒b 向右移动的距离为48m，求该过程经历的时间（结果保
留两位小数）；
（3）若在导体棒b 速度最大时，撤掉F，同时解除导体棒a 的固定，当a、b 棒稳定时再在a 的左侧释放
一个与a、b 相同的导体棒c，求从撤掉F 到导体棒a、b、c 稳定时，导体棒b 上产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）3.87s；（3）9J
【解析】（1）导体棒b 速度最大时，处于平衡状态，设b 的最大速度为
，则有
联立解得
（2）从施加F 到导体棒b 速度最大时，对导体棒b 由动量定理有
又
解得
（3）从撤掉F 到a、b 棒稳定，系统满足动量守恒
40
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解得
则此过程回路生热
导体棒b 产生的焦耳热
解得
再释放一个导体棒，则系统依然满足动量守恒
解得
则此过程回路生热
导体棒b 产生的焦耳热
解得
从撤掉F 到a、b、c 稳定，导体棒b 上产生的总焦耳热为
3．（2024·吉林长春·三模）如图，PQ、MN 是两条固定在水平面内间距
的平行轨道，两轨道在O、
41
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处各有一小段长度可以忽略的绝缘体，将金属轨道左右绝缘隔开。轨道左端连接一个
的电阻，
轨道右端连接一个“恒流源”，使轨道上垂直放置的细导体棒
在
右侧时电流恒为
。沿轨道
MN 建立x 轴，O 为坐标原点，在两轨道间充满垂直轨道平面向下的有界磁场，
区域磁感应强度B 随
坐标x 的变化规律为
，
区域为
的匀强磁场。已知
棒的质量
、长度
、电阻
，
棒与轨道间的动摩擦因数
，在外力作用下静止在
处。金属轨道
电阻不计，重力加速度g 取
。现撤去外力，发现
棒沿轨道向左运动，最终停在
处。
求：
（1）撤掉外力瞬间，
棒中的电流方向和
棒的加速度大小；
（2）
棒运动到
处的速度大小；
（3）
棒运动的总时间。
（已知：质量为m 的物体做简谐运动时，回复力F 与物体偏离平衡位置的位移
满足
，其振动周
期
）
【答案】（1）b 到a，
；（2）
；（3）
【解析】（1）由题可知，
棒沿轨道向左运动，即受到了向左的安培力作用，根据左手定则判断，
棒
中电流的方向从b 到a 对
棒，由牛顿第二定律
得
（2）对
棒，从开始运动到坐标
过程，根据动能定理有
42
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其中
得
（3）在
区域中，棒受到的合力为
由简谐运动的性质，可知
棒在
区域中做以
处为平衡位置的简谐运动，
，周期为
则在
区域中的运动时间为
棒在左侧匀强磁场运动过程中，由动量定理
可得
则全程总时间
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4．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，光滑水平桌面上放置一质量M=6kg 的U 型导体框，一质量m=2kg 的金
属棒MN 放置在U 型导体框上，电阻值为R=0.5Ω，与U 型导体框构成矩形回路MNOP，OP 长度
L=0.5m。金属棒与U 型导体框间的动摩擦因数μ=0.2。在金属棒右侧有垂直于导轨平面向上，磁感应强度
大小为B=2T 的匀强磁场，磁场左边界（图中虚线）与金属棒平行，距离金属棒的距离为L0。某时刻起，
金属棒在大小为F=10N 的水平恒力作用下从静止开始向右加速运动，进入磁场时刚好做匀速直线运动。除
金属棒外其余部分的电阻均忽略不计（重力加速度g 取10m/s2）。求:
（1）到达磁场左边界时，金属棒中的电流方向（用“M”“N”表示）
（2）金属棒最初与磁场左边界的距离L0；
（3）若金属棒进入磁场后又经过t0=2s，导体框的OP 边刚好进入磁场，求此时回路中的电流I。
【答案】（1）M 到N；（2）
；（3）2A
【解析】（1）根据右手定则，金属棒中的电流方向为M 到N。
（2）假设金属杆b 在进入磁场前与金属导轨相对运动，则
U 型框的加速度为
金属杆的加速度为
由于
假设成立，金属杆进入磁场后匀速运动，受力平衡
设金属杆匀速的速度为v，则
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感应电流为
解得
由动力学公式
解得
（3）金属杆进入磁场前的运动时间为
U 型框进入磁场前一直做匀加速直线运动，进入磁场时的速度为
此时回路的电流为
5．（2024·辽宁大连·三模）如图所示，两平行导轨PP'、QQ'固定在水平绝缘桌面上，间距为L，轨道右侧
通过导线分别与阻值为2R（共中R 未知）的电阻
、阻值为R 的电阻
连接，开关K 和电动势为E 的电
源相连，与导轨垂直的虚线NN'，左侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场，虚线MM'到
NN 的距离为L，质量为
、电阻不计的导体棒a 静止于虚线MM'左侧足够远处的导轨上，质量为导体
棒a 的2 倍的绝缘棒b 置于虚线NN'右侧的导轨上。现闭合开关K，导体棒a 向右运动。当导体棒a 运动到
虚线MM'位置时，断开开关K，已知导体棒a 到达MM'前已经做匀速直线运动，两棒运动过程中始终与导
轨垂直，重力加速度大小为g，绝缘棒b 与导轨间的动摩擦因数为μ，a、b 两棒发生弹性碰撞，且碰撞时
间极短，不计导体棒a 与导轨间的摩擦和电源内阻。不计导轨的电阻，求：
（1）开关K 断开瞬间，导体棒a 的速度大小
；
（2）导体棒a 离开磁场时的速度大小
；
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（3）绝缘棒b 在导轨上运动的距离s。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）由于不计导体棒a 与导轨间的摩擦，当导体棒a 匀速运动时，棒上的感应电动势与
两端
电压相等，有
解得
（2）当导体棒a 的速度大小为v 时，所受的安培力大小
由动量定理有
其中
从MM'到NN'的过程中，有
解得
（3）导体棒a 离开磁场后做匀速运动与绝缘棒b 发生弹性碰撞，有
46
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解得碰撞后瞬间，绝缘棒b 的速度大小
由功能关系有
解得
6．（2025·内蒙古赤峰·二模）福建舰配备了先进的电磁弹射系统。某学习小组在研究电磁弹射时设计了如
图甲所示的装置。两根固定于水平面内足够长的光滑平行金属导轨，间距
，导轨区域内存在
的竖直向下的匀强磁场。用质量
，电阻为
的均匀金属丝制成一个直径也为
的
圆环作为电磁弹射车，圆环水平放在两条直导轨上和两导轨保持良好接触。实验时，将质量
的绝
缘模型飞机（如图乙）锁定在金属圆环上。计时开始，开关掷向1，与一恒流源接通，使干路电流恒为
。金属环从静止开始推动模型飞机一起做匀加速运动，经过
后，模型飞机达到起飞速度
并立即与金属环解锁，飞离金属环。忽略导轨的电阻，所有摩擦以及圆环可能的形变。求：
（1）求圆环接入电路的电阻值和模型飞机的加速时间
。
（2）若飞机起飞瞬间将开关立即郑向2，与
的电阻接通，求此后电阻
上产生的焦耳热。
（3）若飞机起飞瞬间将开关立即掷向3，与
的电容器接通，求金属环稳定时的速度
。
【答案】（1）2s （2）5.0J （3）5m/s
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【解析】（1）金属环在导轨问两段圆弧并联接入电路中，每段圆环的电阻
由串并联关系，侧环接入的总电阻为
故
对金属环和飞机模型整体受力分析，在安培力的作用下做匀加速直线运动，受到安培力为
由牛顿第二定律有
由匀变速直线运动规律有
代入数据得：
（2）金属环的动能变成全电路的焦耳热为
环接入电路的电阻和R 相同有
则有：
.
代入数据得
（3）当圆环稳定运动时，设速度为
，此时电容器上带的电量为
电容器的电量的变化即为道过环的电量为
对圆环，由动量定理有
由以上公式有：
代入数据得
7．（2025·浙江温州·二模）如图1 所示，在光滑绝缘的水平面内建立
坐标系，空间中
的范
围内存在竖直向下的磁场，任一时刻磁感应强度分布与y 无关，随x 按
的规律变化，k 随时间的变化
如图2 所示，其中
T/m，
s。水平面上有一边长
m、质量
kg、总电阻
Ω 的匀质
正方形刚性导线框abcd，
内锁定在图1 所示的位置，
时刻解除锁定，同时对线框施加向右的水平
48
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恒力
N，使之开始沿x 轴正方向运动，已知当ab 边到达
时，线框开始做匀速运动。在线框ab
边越过磁场右边界后瞬间，改施加变力，使之后线框在离开磁场的过程中其电流保持不变。线框在全过程
中始终处于
平面内，其ab 边与y 轴始终保持平行，空气阻力不计。求：
（1）
内线框中电流I 的大小及方向；
（2）线框在磁场中匀速运动的速度大小v；
（3）线框在匀速运动过程中，ab 两端的电势差
随ab 边的x 坐标变化的关系式；
（4）线框在穿出磁场的过程中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）4A，顺时针 （2）
m/s （3）
（V）（
）
（4）
J
【解析】（1）
内感应电动势
磁通变化量大小
根据
解得
A
电流方向为顺时针
（2）匀速运动时
，
根据平衡
49
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解得
m/s
（3）根据（2）解得
A
线框ab 边
根据
得
（V）（
）
（4）线框ab 边越过磁场右边界后瞬间，电流发生突变
A
穿出过程（cd 边的x 坐标
）：安培力随位置均匀变化的特点通过安培力做功的能量关系间接求
解，有
，
根据
解得
J
8．（2025·江西景德镇·二模）如图所示，平行金属导轨倾斜放置，倾角
，导轨间距离为L。导轨顶
端接有电阻R，下端G、H 处与足够长的水平金属导轨平滑连接，水平导轨间距也为L，其右端接有电容
为C 的电容器。斜轨道
的下方及水平轨道处均有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度均为B。质量
为m、长度为L、电阻为r 的导体棒
垂直倾斜导轨放置，与磁场边界
的距离为
。现将导体棒
由
静止释放，已知导体棒到达斜轨道底部前已匀速，
离倾斜导轨底端距离为x。已知
，
，
，
，
，
，
，
，不计一切摩擦，不考虑电磁辐射，导体
棒始终与导轨接触且垂直。（已知
，
，重力加速度
）求：
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（1）导体棒刚进入磁场时
两端的电压
；
（2）导体棒在倾斜导轨上匀速运动时电容器所带电荷量；
（3）导体棒在倾斜导轨上运动的时间t。
【答案】（1）6.4V （2）1.92C （3）4.3s
【解析】（1）导体棒进入磁场前，由牛顿第二定律
可得加速度
根据运动学公式
算出刚进入磁场时的速度
此时导体棒切割磁感线产生的感应电动势
由闭合电路欧姆定律，电路中的电流
根据右手定则，a 端电势高于b 端，两端的电压
（2）导体棒匀速运动时，受力平衡
解得
此时导体棒两端的电压
联立得
=9m/s，E2=14.4V
此时电容器两端电压
则Q=CU=1.92C
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（3）导体棒进入磁场前做匀加速直线运动，由速度时间关系可知，其运动时间
设导体棒从进入磁场到运动到斜面底部过程用时t2，则由动量定理有
因为
联立整理得
联立解得
=3.3s
总时间
=4.3s
9．（2024·辽宁大连·一模）光滑的水平长直轨道放在匀强磁场
中，轨道宽0.4m，长度也为
0.4m，质量为0.1kg，电阻
的导体棒静止在导轨上，它与导轨接触良好。当开关与a 接通时，电
源可提供恒定的2A 电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b 接通时，电阻
，若开关的切
换与电流的换向均可在瞬间完成，求：
（1）若开关S 接a，当棒中电流由M 流向N 时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；
（2）若开关S 始终接a，使棒由静止开始在最短时间内向左移动8m 后而停下，求此过程棒的最大速度是
多少；
（3）要想棒由静止开始在最短时间内向左移动14m 后停下，求此过程棒中产生的焦耳热是多少。
【答案】（1）
，方向向右；（2）
；（3）
【解析】（1）当电流从
流向
时，由左手定则可判断安培力向右，故加速度方向向右。根据牛顿第二
定律有
代入数据可得
（2）开关始终接
时，要想在最短时间内使棒向左移动8m 而静止，则棒先向左做匀加速直线运动，再向
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左做匀减速直线运动，且加速度大小不变，只是方向改变。根据对称性可知加速过程中位移大小为
又因为有
联立解得
（3）先接
一段时间
，电流由
到
，再接到
端一段时间
，再接到
端一段时间
，电流由
到
，最后接到
静止。第一段，则有
第二段，则有由动量定理
且
则有
第二段末的加速度与第三段相同，则第三段
又
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解得
故
10．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。
区域有匀强
磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M 以初速度
向右运动，磁场
内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为
m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：①N 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
q；②初始时刻N 到
的最小距离x；
（3）初始时刻，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，求M 出磁场后
不与N 相撞条件下k 的取值范围。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）①
，②
；（3）
【解析】（1）细金属杆M 以初速度
向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
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电流方向为
，电流的大小为
则所受的安培力大小为
安培力的方向由左手定则可知水平向左；
（2）①金属杆N 在磁场内运动过程中，由动量定理有
且
联立解得通过回路的电荷量为
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为
，有
整理可得
联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，N 到
的最小距离为
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，则N 到cd 边的速度大小恒为
，根据动量守恒定律可知
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解得N 出磁场时，M 的速度大小为
由题意可知，此时M 到cd 边的距离为
若要保证M 出磁场后不与N 相撞，则有两种临界情况：
①M 减速出磁场，出磁场的速度刚好等于N 的速度，一定不与N 相撞，对M 根据动量定理有
联立解得
②M 运动到cd 边时，恰好减速到零，则对M 由动量定理有
同理解得
综上所述，M 出磁场后不与N 相撞条件下k 的取值范围为
11．（2023·新课标卷·高考真题）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的
绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两
虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平
行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1 = 2R0，导轨电阻可
忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运
动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）金属框进入磁场过程中有
则金属框进入磁场过程中流过回路的电荷量为
则金属框完全穿过磁场区域的过程中流过回路的电荷量为
且有
联立有
（2）设金属框的初速度为v0，则金属框进入磁场时的末速度为v1，向右为正方向。由于导轨电阻可忽略，
此时金属框上下部分被短路，故电路中的总电阻
再根据动量定理有
解得
则在此过程中根据能量守恒有
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解得
其中
此后线框完全进入磁场中，则线框左右两边均作为电源，且等效电路图如下
则此时回路的总电阻
设线框刚离开磁场时的速度为v2，再根据动量定理有
解得
v2= 0
则说明线框刚离开磁场时就停止运动了，则再根据能量守恒有
其中
则在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量
12．（2024·河北·高考真题）如图，边长为
的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O 处
固定一竖直细导体轴
。间距为L、与水平面成
角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导
轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒
在
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水平面内绕O 点以角速度
匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒
始终静止。
棒在转动过程中，
棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知
棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分
的电阻均不计，
棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）求
棒所受安培力的最大值和最小值。
（2）锁定
棒，推动
棒下滑，撤去推力瞬间，
棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）
问中安培力的最大值，求
棒与导轨间的动摩擦因数。
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）当OA 运动到正方形细框对角线瞬间，切割的有效长度最大，
，此时感应电流最
大，CD 棒所受的安培力最大，根据法拉第电磁感应定律得
根据闭合电路欧姆定律得
故CD 棒所受的安培力最大为
当OA 运动到与细框一边平行时瞬间，切割的有效长度最短，感应电流最小，CD 棒受到的安培力最小，
得
故CD 棒所受的安培力最小为
（2）当CD 棒受到的安培力最小时根据平衡条件得
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当CD 棒受到的安培力最大时根据平衡条件得
联立解得
撤去推力瞬间，根据牛顿第二定律得
解得
13．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定
值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个
装置处于竖直方向且磁感应强度为B 的匀强磁场中。
（1）开关S 闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值
电阻功率的两倍时，求金属棒速度v 的大小。
（2）当金属棒速度为v 时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功
率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
【答案】（1）
；（2）
，
【解析】（1）开关S 闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则
由闭合电路欧姆定律
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为
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联立可得，恒定的外力为
在加速阶段，外力的功率为
定值电阻的功率为
若
时，即
化简可得金属棒速度v 的大小为
（2）断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有
当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量q 不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力
不断减小，而拉力的功率
定值电阻功率
当
时有
可得
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根据
可得此时电容器两端电压为
从开关断开到此刻外力所做的功为
其中
联立可得
14．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ 的间距为L，固定在同一水平
面内，直导轨在左端M、P 点分别与两条竖直固定、半径为L 的
圆弧导轨相切。MP 连线与直导轨垂直，
其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R
的金属棒ab 跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R 的均匀金属丝制成一个半径为L 的圆环，
水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形
变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab 由静止释放，求
（1）ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小；
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；
（3）为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP 的最小距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
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【解析】（1）根据题意可知，对金属棒ab 由静止释放到刚越过MP 过程中，由动能定理有
解得
则ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小为
（2）根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由
几何关系可得，每段圆弧的电阻为
可知，整个回路的总电阻为
ab 刚越过MP 时，通过ab 的感应电流为
对金属环由牛顿第二定律有
解得
（3）根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab 所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由
于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab
和金属环速度相等时，金属棒ab 恰好追上金属环，设此时速度为，由动量守恒定律有
解得
对金属棒
，由动量定理有
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则有
设金属棒运动距离为
，金属环运动的距离为
，则有
联立解得
则金属环圆心初始位置到MP 的最小距离
15．（2023·湖南·高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为
，两导轨及其
所构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质量均为
的金属棒
垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金
属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速度大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，
以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【解析】（1）a 导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a 棒的安培力相等时做匀速运动，由法拉第电磁
感应定律可得
有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得
，
a 棒受力平衡可得
联立记得
（2）由右手定则可知导体棒b 中电流向里，b 棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，则b 棒牛
顿第二定律可得
解得
（3）释放b 棒后a 棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a 棒动量定理
b 棒受到向下的安培力，对b 棒动量定理
联立解得
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此过程流过b 棒的电荷量为q，则有
由法拉第电磁感应定律可得
联立b 棒动量定理可得
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