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专题25 电磁感应的综合问题
[题型导航]
题型一 电磁感应中的图像问题...........................................................................................................1
题型二 电磁感应的动力学问题...........................................................................................................5
题型三 电磁感应中的动力学和能量问题.........................................................................................10
[考点分析]
题型一 电磁感应中的图像问题
1．图象类型
(1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E 和感应电流I，随时间t 变化的图象，即B－t 图象、
Φ－t 图象、E－t 图象和I－t 图象．
(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E 和感应电流I 随
位移x 变化的图象，即E－x 图象和I－x 的图象．
2．问题类型
(1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象．
(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
(3)利用给出的图象判断或画出新的图象．
[例题1]
（多选）如图所示，在竖直平面内有四条间距均为L 的水平虚线L1、L2、L3、
L4，在L1、L2之间和L3、L4之间存在磁感应强度大小相等且方向均垂直纸面向里的匀强磁场．
现有一矩形金属线圈abcd，ad 边长为3L．t＝0 时刻将其从图示位置（cd 边与L1重合）由静止
释放，cd 边经过磁场边界线L3时开始做匀速直线运动，cd 边经过磁场边界线L2、L3、L4时对
应的时刻分别为t1、t2、t3，整个运动过程线圈平面始终处于竖直平面内．在0～t3时间内，线
圈的速度v、通过线圈横截面的电量q、通过线圈的电流i 和线圈产生的热量Q 随时间t 的关系
图像可能正确的是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
[例题2]
（多选）如图甲，平行金属导轨MN、PQ 固定在同一水平面内，导轨光滑且足
够长，两导轨间距L＝0.4m，电阻忽略不计，其间接有R＝0.2Ω 的电阻。垂直导轨放置质量m
＝0.2kg、电阻r＝0.2Ω 的金属杆ab，整个装置处于磁感应强度B＝0.4T 的匀强磁场中，磁场方
向竖直向下。现用水平向右的外力F 拉金属杆ab，使之由静止开始做加速运动，电压传感器工
作电流很小，可忽略不计，它可将R 两端的电压U 即时采集并输入电脑，获得电压U 随时间t
变化的关系图像如图乙，图线为过原点直线。运动过程中，ab 与导轨始终垂直且接触良好，下
列说法正确的是（ ）
A．金属杆做匀加速运动且加速度大小为2.5m/s2
B．第2s 末外力F 的瞬时功率为0.82W
C．0～2s 内金属杆上产生的焦耳热为0.4J
D．若1.6s 末撤去外力，则杆ab 还能运动12.5m
2
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[例题3]
（多选）在绝缘的水平桌面上固定有MN、PQ 两根平行的光滑金属导轨，导轨
间距为l，电阻相同的金属棒ab 和cd 垂直放在导轨上，两棒正中间用一根长为l 的绝缘细线相
连，棒ab 右侧有磁感应强度大小相等的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，宽度也为l，磁场方向均垂直导轨，
整个装置的俯视图如图所示。从图示位置在棒ab 上加水平拉力，使金属棒ab 和cd 向右匀速穿
过磁场区域，则金属棒ab 中感应电流i 和绝缘细线上的张力大小F 随时间t 变化的图像，可能
正确的是（规定金属棒ab 中电流方向由a 到b 为正）（ ）
A．
B．
C．
D．
[例题4]
（多选）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上有一正方形导线框，在虚线右侧有匀
强磁场区域，磁场方向竖直向下。t＝0 时导线框的右边恰与磁场边界重合，在水平外力F 的作
用下由静止开始向右运动，外力F 与导线框速度v 的关系是F＝F0+kv（F0、k 是常量）。在进
入磁场区域的过程中，线框中感应电流i 随时间t 变化的图像可能正确的有（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
[例题5]
如图1 所示，地面上方高度为d 的空间内有水平方向的匀强磁场，质量为m 的正
方形闭合导线框abcd 的边长为l，从bc 边距离地面高为h 处将其由静止释放，已知h＞d＞l。
从导线框开始运动到bc 边即将落地的过程中，导线框的v﹣t 图像如图2 所示。重力加速度为
g，不计空气阻力，以下有关这一过程的判断正确的是（ ）
A．t1～t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大
B．磁场的高度d 可以用v﹣t 图中阴影部分的面积表示
C．导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量
D．导线框产生的焦耳热大于mgl
[例题6]
如图1，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为l，电阻不计。
左侧接有定值电阻阻值为R。质量为m、电阻为r 的导体杆，t＝0 时金属棒以初速度v0沿导轨
向右运动，在滑行过程中保持与轨道垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向上，磁感应强
度为B 的匀强磁场中。
（1）定性分析说明金属杆的运动情况（速度和加速度的变化情况）。
（2）宏观规律与微观规律有很多相似之处，导体杆速度随时间的变化规律和放射性元素的衰变
4
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规律相同，已知导体杆速度由v0变化到v0
2
所需时间为t0，则0﹣3t0时间内电阻R 上产生的热量
为多少？
（3）已知金属杆速度v 和位移s 的变化规律为：v = v0-
B
2 L
2
m( R+r ) s，即v﹣s 图像如图2 所示，
请利用该v﹣s 图像证明（1）中你的结论。
题型二 电磁感应的动力学问题
1．安培力的大小
由感应电动势E＝Blv、感应电流I＝和安培力公式F＝BIl 得F＝.
2．安培力的方向判断
(1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方
向．
(2)根据安培力阻碍导体和磁场的相对运动判断．
5
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3．电磁感应中的力和运动
电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的
桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变．
[例题7]
如图所示，水平固定、间距为L 的平行金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁
感应强度的大小为B。与导轨垂直且接触良好的导体棒a、b，质量均为m，电阻均为R。现对
a 施加水平向右的恒力，使其由静止开始向右运动。当a 向右的位移为x 时，a 的速度达到最大
且b 刚要滑动。已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不
计导轨电阻，重力加速度为g。
（1）导体棒b 刚要滑动时，导体棒a 的最大速度vm；
（2）定性画出导体棒b 所受摩擦力f 大小随时间t 变化的图像；
（3）导体棒a 发生位移x 的过程中，回路中产生的总焦耳热Q；
（4）当导体棒a 达到最大速度vm时，给b 水平向右的瞬时速度v0（v0＜vm）。请分析此后导体
棒b 的运动情况并求出b 的最终速度vb。
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[例题8]
如图所示的装置为了探究导体棒在有磁场存在的斜面上的运动情况，MN、
M'N'是两条相距为L＝0.5m 的足够长的金属导轨，放置在倾角均为θ＝30°的对称斜面上，两导
轨平滑连接，连接处水平，两导轨右侧接有阻值为R＝0.8Ω 的固定电阻，导轨电阻不计。整个
装置处于大小为B＝1T，方向垂直于左边斜面向上的匀强磁场中。质量为m＝0.1kg，电阻为r
＝0.2Ω 的导体棒Ⅰ从左侧导轨足够高处自由释放，运动到底端时与放置在导轨底部的质量也为
m＝0.1kg 的绝缘棒Ⅱ发生完全弹性碰撞（等质量的物体发生完全弹性碰撞时，交换速度）。
若不计棒与导轨间的摩擦阻力，运动过程中棒Ⅰ和棒Ⅱ与轨道接触良好且始终与轨道垂直，求：
（1）第一次碰撞后，棒Ⅱ沿右侧斜面上滑的最大高度h；
（2）第二次碰撞后，棒Ⅰ沿左侧斜面上滑的最大距离为0.25m，该过程的时间；
（3）若从释放棒Ⅰ到系统状态不再发生变化的整个过程中，电阻R 产生的热量为Q＝0.64J，棒
I 释放点的高度H。
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[例题9]
水平面内有一电阻不计的光滑平行金属导轨，两导轨间距L＝0.4m，在导轨上
MN 左侧区域存在垂直导轨平面向下的磁场，磁感应强度大小B＝2.5T。两根电阻分别为R1＝
1Ω、R2＝3Ω 的金属棒AB、CD 垂直导轨置于MN 左侧的导轨上。开始时两棒均静止，现用一
垂直于棒AB 的水平向右外力拉动棒AB，使其向右运动：
（1）当AB 棒在磁场中向右运动时，判断回路中的感应电流方向和CD 棒的运动方向；
（2）设AB 棒在磁场中向右运动一段距离过程中，安培力对AB 棒做功为WAB，安培力对CD 棒
做功为WCD，试从功和能量转化关系的角度分析并比较WAB与WCD的大小；
（3）当AB 棒运动到MN 右侧后某时刻撤去外力（CD 棒还在磁场中），此时AB 棒速度大小v1
＝5m/s，CD 棒速度大小v2＝2m/s，求此时AB 棒上的热功率PAB；
（4）在第（3）问情景中，请分析并描述此时刻之后AB、CD 棒的运动情况。
[例题10] 如图所示的装置可研究导体棒在磁场中的运动情况。M1M2N2N1是倾角为θ 的光
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滑平行金属倾斜导轨，处于大小为B1，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅰ中。水平导轨
上的无磁场区N1N2P2P1是光滑绝缘材料制成的导轨，右侧P1P2Q2Q1是水平光滑平行金属导轨，
存在大小为B2，方向垂直导轨平面向上的足够长的匀强磁场区间Ⅱ，Q1Q2右侧是足够长无磁
场区域。水平部分和倾斜部分平滑连接，其间距均为L，M1M2之间接有电阻R，质量为m、
长度也为L 的金属杆ab 从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨（无能量损失），cd
棒静置于匀强磁场区间Ⅱ．运动过程中，杆ab、cd 与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。
已知杆ab、cd 和电阻R 的阻值均为R＝0.2Ω，质量均为m＝0.1kg，L＝0.5m，θ＝30°，B1＝B2
＝0.4T，不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应。求：
（1）闭合开关K，由静止释放ab 棒，求ab 棒到达N1N2时的速度v0；
（2）为使ab 与cd 不发生碰撞，cd 棒最初与磁场边界P1P2的距离x0至少为多少？
（3）若cd 棒与磁场边界P1P2的距离最初为x＝3.5m，则ab 棒从进入匀强磁场区间Ⅱ到离开的
过程中，求ab 棒产生的焦耳热。
题型三 电磁感应中的动力学和能量问题
1．能量转化
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导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的
能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机
械能或内能．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化．
2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形
式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他
形式的能转化为电能的过程．
[例题11] （多选）如图，两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一竖直平面内，导轨电
阻不计，导轨宽为L，底端通过导线连接一个电阻为R 的定值电阻。整个导轨处在方向垂直纸
面向里的匀强磁场中，质量为m 长度与导轨等宽的匀质金属杆垂直导轨放置，金属杆电阻不计。
某时刻以初速度为v0向上抛出金属杆，一段时间后，金属杆再次回到相同位置时的速度为v1。
重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属杆运动的总时间为v0+ v1
g
B．运动过程中产生的焦耳热为1
2 m(v0
2- v1
2)
C．金属杆的最大位移为m(v0- v1)R
2B
2 L
2
D．通过金属杆的电荷量为m(v0- v1)
BL
[例题12] （多选）如图所示，两水平虚线间存在垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，边长为h 的正方形导体框由虚线1 上方无初速度释放，在释放瞬间ab 边与虚线1 平
行且相距h。已知导体框的质量为m，总电阻为r，重力加速度为g，cd 边与两虚线重合时的速
度大小均为v= √2gh
2
，忽略空气阻力，导体框在运动过程中不会发生转动，则（ ）
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A．两虚线的距离为7
4
h
B．导体框在穿越磁场的过程中，产生的焦耳热为4mgh
C．导体框的ab 边与虚线1 重合时，其克服安培力做功的功率大小为B
2h
3 g
r
D．导体框从ab 边与虚线1 重合到cd 边与虚线1 重合时所用的时间为B
2h
3
mgr -√
h
2g
[例题13] 空间存在范围足够大、竖直向下的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在其间竖直固
定两个相同的、彼此正对的金属细圆环a、b，圆环a 在前、圆环b 在后。圆环直径为d，两环
间距为L、用导线与阻值为R 的外电阻相连，如图所示。一根细金属棒保持水平、沿两圆环内
侧做角速度为ω 的逆时针匀速圆周运动（如图），金属棒电阻为r。棒与两圆环始终接触良好，
圆环电阻不计。则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在最低点时回路电流为零
B．金属棒在圆环的上半部分运动时（不包括最左和最右点），a 环电势低于b 环
C．从最高点开始计时，回路电流的瞬时值为i= BLdω
2( R+r )sinωt
D．电阻R 两端电压的有效值为U= √2BLdωR
4( R+r )
[例题14] 如图甲所示，质量为1kg 的金属棒ab 静止在粗糙的平行导轨上且与导轨垂直，
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两平行导轨固定在同一水平面内。ab 棒、导轨和定值电阻R 组成面积为1m2的闭合回路，回路
总电阻为3Ω。回路内有与水平面成37°角斜向上且均匀变化的匀强磁场，从t＝0 时刻开始，磁
感应强度B 随时间t 变化的图像如图乙所示。已知两平行导轨的间距为1m，ab 棒与导轨间的
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。在t＝1s
时，ab 棒恰好相对导轨开始运动，则此时（ ）
A．ab 棒中的电流方向为a 流向b
B．ab 棒受到的安培力大小为25
3 N
C．ab 棒与导轨间的压力大小为10
3 N
D．ab 棒与导轨之间的动摩擦因数为0.5
[例题15] 如图所示，相距为L 的两条足够长的平行金属导轨右端连接有一定值电阻R，整
个装置被固定在水平地面上，整个空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，两根质量均为m，电阻都为R，与导轨间的动摩擦因数都为μ 的相同金属棒MN、EF 垂
直放在导轨上。现在给金属棒MN 施加一水平向左的作用力F，使金属棒MN 从静止开始以加
速度a 做匀加速直线运动，若重力加速度为g，导轨电阻不计，最大静摩擦力与滑动摩擦力相
等．则下列说法正确的是（ ）
A．从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动经历的时间为t= 3 μmgR
B
2 L
2α
B．若从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动经历的时间为T，则金属棒EF 开始运动时，
水平拉力F 的瞬时功率为P＝（ma+μmg）aT
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C．若从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动经历的时间为T，则此过程中流过电阻R 的
电荷量为BaT
2
3 R
L
D．从金属棒MN 开始运动到金属棒EF 开始运动的过程中，两金属棒的发热量相等
[例题16] 小明设计的电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距l＝0.50m，
倾角θ＝53°，导轨上端串接一个R＝0.05Ω 的电阻。在导轨间长d＝0.56m 的区域内，存在方向
垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0T。质量m＝4.0kg 的金属棒CD 水平置于导
轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH 相连。CD 棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s＝
0.24m。一位健身者用恒力F＝80N 拉动GH 杆，CD 棒由静止开始运动，上升过程中CD 棒始
终保持与导轨垂直。当CD 棒到达磁场上边界时健身者松手，触发恢复装置使CD 棒回到初始
位置（重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，不计其他电阻、摩擦力以及拉杆GH 和绳索的质
量）。求：
（1）CD 棒进入磁场时速度v 的大小；
（2）CD 棒进入磁场时所受的安培力的大小；
（3）在拉升CD 棒的过程中，健身者所做的功W 和电阻产生的焦耳热Q。
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[例题17] 如图（甲）所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ 相距l，在M 点和P 点间连
接一个阻值为R 的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l 的导体棒垂直搁在导轨上a、
b 两点间，在a 点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d0，磁感
应强度为B，设磁场左边界到ab 距离为d。现用一个水平向右的力F 拉导体棒，使它从a、b
处静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，
水平力F﹣x 的变化情况如图（乙）所示，F0已知。求：
（1）棒ab 离开磁场右边界时的速度v；
（2）棒ab 通过磁场区域的过程中电阻R 产生的焦耳热Q；
（3）d 满足什么条件时，棒ab 进入磁场后一直做匀速运动。
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[例题18] 如图（甲）所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ 相距l，在M 点和P 点间连
接一个阻值为R 的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l 的导体棒垂直搁在导轨上a、
b 两点间，在a 点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d0，磁感
应强度为B，设磁场左边界到ab 距离为d．现用一个水平向右的力F 拉导体棒，使它从a、b
处静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，
水平力F﹣x 的变化情况如图（乙）所示，F0已知．求：
（1）棒ab 离开磁场右边界时的速度；
（2）棒ab 通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能E；
（3）d 满足什么条件时，棒ab 进入磁场后一直做匀速运动。
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