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大题10 电磁感应综合问题
电磁感应计算题常与力学、能量、动量等模块综合考查，注重经典模型的分析，如2022 年辽宁卷考
查双杆模型，结合动量守恒定律、动量定理。高频模型与考法：导体棒切割磁感线模型（水平/倾斜导轨上
的单杆或多杆运动）、线圈与磁场变化模型、电磁感应与电路综合（结合闭合电路欧姆定律）等。考生在
复习时应注意熟练掌握运用公式熟，将复杂过程分解为“磁场变化→感应电流→受力分析→能量转化”阶
段，逐段列方程，同时注重临界问题的分析与联系。
题型一 电磁感应中的单杆模型
【例1】（2024·辽宁·一模）如图甲所示，间距为L 的平行光滑金属导轨固定在绝缘水
平面上，导轨的左端连接一阻值为R 的定值电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为
B。一根质量为m、长度为L、电阻为r 的导体棒cd 放在导轨上。导体棒运动过程中始终保持与导轨垂直
且接触良好，导轨的电阻可忽略不计。
1
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（1）若对导体棒cd 施加一水平向右的恒力，使其以速度v 向右做匀速直线运动，求此力的大小
。
（2）若对导体棒cd 施加一水平向右的拉力
，使其沿导轨做初速为零的匀加速直线运动。
的大小随时
间t 变化的图像为一条斜率为
的直线。求导体棒cd 加速度的大小a。
（3）若对导体棒cd 施加一水平向右的瞬时冲量，使其以速度
开始运动，并最终停在导轨上，在图乙中
定性画出导体棒cd 两端的电势差
随位移x 变化的图像（要求写出推导过程）。
电磁感应中的单杆模型
1、杆具有初速度
情境
水平放置的平行光滑导轨（电阻不计且足够长），间距为L，左侧
接有电阻R，导体杆初速度为v0，质量为m，处于导轨间的部分的
电阻为r，匀强磁场的磁感应强度大小为B
等效电路
当杆的速度为v 时，感应电动势
，电流
安培力
2
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运动过程
加速度
，杆做减速运动，v↓⇒F 安↓⇒a↓，当
a=0 时，v=0，杆保持静止
能量角度
①速度由v0减至v 的过程产生的焦耳热
②电阻R 产生的焦耳热
动量角度
①总电荷量：
，得
②总位移：
，得
2、杆受到恒定外力
情境
水平放置的平行光滑导轨（电阻不计且足够长），间距为L，左侧接
有电阻R，导体杆质量为m，处于导轨间的部分的电阻为r，匀强磁场
的磁感应强度大小为B，杆在恒定外力F 的作用下由静止开始运动
等效电路
当杆的速度为v 时，感应电动势
，电流
安培力
运动过程
加速度
，杆做加速运动，v↑⇒F 安↑⇒a↓，当a=0
时，v 最大，
能量角度
设由静止至速度达到v 的过程中，通过的位移为x，由动能定理得
，
则焦耳热
动量角度
①当通过导体杆横截面的电荷量为q 时，
，得
②当位移为x 时，
，得
3
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1.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ，两
导轨间距为
，电阻不计。在MQ 之间接有一阻值为
的电阻。导体杆ab 质量为
，有效
电阻为
，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为
的匀强磁场中。现
给ab 杆一个初速度
，使杆向右运动。求：
（1）ab 杆最大加速度的大小和方向；
（2）整个运动过程电阻R 上产生的热量Q；
（3）整个运动过程导体杆ab 的总位移大小x。
2．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨
、
固定在水平面上，
间距为，
间接阻值为
的定值电阻，质量为
的金属棒
垂直导轨放置，导轨和金属棒电阻不计，
整个装置处于方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为
的匀强磁场中。现给金属棒
一个水平外力使
金属棒从静止开始向右匀加速运动，速度达到时水平外力大小为该时刻安培力大小的2 倍，运动过程中
金属棒始终垂直导轨且与导轨接触良好。求：
（1）在速度从零增加到时间内金属棒的加速度大小；
（2）在速度从零增加到时间内流过定值电阻
的电荷量。
4
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3．（24-25 高三上·安徽·开学考试）如图所示，PM、QN 是两根半径为d 的粗糙的
圆弧轨道，其间距为
l，O 点为PM 圆弧的圆心，O、P 连线水平，M、N 在同一水平高度，圆弧轨道电阻不计，在其上端连有一
阻值为R 的电阻，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现有一根长度稍大于l、质
量为m、电阻为r 的金属棒从轨道的顶端PQ 处以一定的初速度开始下滑，由于轨道摩擦的作用，下滑过
程中金属棒的速率保持不变，到达轨道底端MN 时对轨道的压力为2mg，求：
（1）金属棒到达最低点时它两端的电压；
（2）金属棒由PQ 下滑到MN 过程中通过它的电荷量；
（3）由PQ 下滑到MN 过程中金属棒中产生的焦耳热。
题型二 电磁感应中的等距双杆模型
【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，间距为L 的平行倾斜金属轨道
、
，与足够长、间距也为L 的水平金属导轨
、
平滑连接，虚线
、
之间充满竖直向上的匀
强磁场，磁感应强度大小为
，现有两根长度为L、质量为m、电阻为R 的完全相同导体棒P、Q，其中
5
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Q 静止于水平导轨上，P 从距水平轨道高为h 处由静止释放，P、Q 未在磁场中发生碰撞，且Q 出磁场前已
与P 共速，P 出磁场时速度大小为Q 出磁场时速度大小的一半，导体棒P、Q 与导轨始终保持接触良好且
与导轨垂直，已知重力加速度为g，不计一切摩擦及导轨电阻。求：
（1）P 运动到倾斜导轨底端虚线
处时速度大小及Q 刚开始运动时的加速度大小；
（2）从P 运动到虚线
处开始至Q 运动到刚离开虚线
处的过程，回路中产生的总焦耳热；
（3）Q 刚出磁场时与P 之间的距离及Q 初始位置与虚线
之间的距离。
等距双杆模型分析
杆具有初速度
杆受到恒定外力
情境
水平放置、不计电阻的光滑导轨（已知条件如图）
等效电路
设某时刻金属杆1 速度为v1，金属杆2 速度为v2，则电流
运动过程
，杆1 做加速
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度减小的减速运动，杆2 做加速度减小
的加速运动，最终两杆以相同的速度做
匀速直线运动
杆1 做加速度减小的加速运动，杆2 做加速度
增大的加速运动，最终两杆以相同的加速度
做匀加速直线运动
运动图像
能量角度
杆1 减少的动能转化为杆2 的动能和系
统产生的热量
外力F 做的功等于杆1、杆2 的动能及系统产
生的热量之和
动量角度
系统动量守恒
，两杆
最终速度
系统动量不守恒，
，两杆最
终加速度
1．（22-23 高三下·安徽合肥·开学考试）如图所示，平行光滑金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而
成。导轨水平部分的一段处于
、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场（图示虚线）中。在磁场中离
左边界
处垂直于水平导轨放置导体棒
，在倾斜导轨高
处垂直于导轨放置导体棒
，将
导体棒
由静止释放，结果发现导体棒
以
的速度从磁场右边界离开。已知导体棒
、
的质量均为
，阻值均为
，棒的长度均等于导轨间距
，不计导轨电阻，导体棒在运动过
程中始终垂直于导轨且接触良好
取
，忽略磁场边界效应。求：
（1）安培力对导体棒a 做的功；
（2）导体棒a 刚出磁场时，导体棒b 的速度大小及两棒之间的距离；
（3）整个过程中，安培力对导体棒b 做的功。
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2．（2025·河北廊坊·一模）如图所示，两光滑的平行导轨
和
放置在水平面上，导轨间距为
，
导轨左端
和
段倾斜，与水平面之间的夹角为
，水平段
和
与倾斜段在
和
处通过绝缘
材料平滑连接，不计轨道电阻。a、b两根长均为
的金属棒垂直于倾斜导轨放置，
、
之间用一长度
为
的绝缘轻质细线相连，细线处于伸直状态。
、
金属棒的质量均为
，电阻均为
，且
棒
处于锁定状态。倾斜轨道部分处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，其磁感应强度大小为
。经
过一段时间后，细线恰好无拉力，此时细线脱落，之后磁场的磁感应强度大小保持不变，同时解除锁定并
自由释放
棒。水平导轨所处空间存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向竖直向上，其左边界恰
好与
虚线重合。
棒以大小为
的速度通过
处进入水平轨道，以大小为
的速度通过磁
场右边界，运动过程中
、
恰好未发生碰撞。重力加速度
取
，金属棒通过
时的运动时间和
对速度大小的影响忽略不计，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，倾斜部分和水平部分的磁场互不影响，
感应电流产生的磁场和空气阻力均不计。求：
（1）从计时开始到细线恰好无拉力经历的时间；
（2）
棒进入水平导轨到通过磁场右边界的过程中，回路产生的焦耳热；
（3）
棒从进入水平导轨开始经过
到达磁场右边界，求水平轨道上有界匀强磁场的长度。
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题型三 电磁感应中的不等距双杆模型
【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，足够长的固定光滑平行金属导轨
，其中
部分间距为
，
部分间距为
，
部
分水平且所在的空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
，
部分倾角为
。
质量为
、长度为
、阻值为
的导体棒N 静置在导轨的
部分上。另一质
量也为
、长度为
，阻值为
的导体棒M 从导轨的
部分由静止释放，经
过时间
，导体棒M 恰好运动到
进入水平轨道部分，重力加速度g 取
，导体棒M 经过
时损失的机械能忽略不计，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计。从导体
棒M 由静止释放到两导体棒运动状态达到稳定的过程中（导体棒M 没有运动到
处），求：
（1）导体棒N 加速度的最大值；
（2）稳定时导体棒M 和N 的速度大小；
（3）导体棒N 中产生的焦耳热。
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不等距双杆模型分析
1．（2025·广东珠海·一模）如图所示，在水平面上的装置由三部分构成，装置中间部分为电路控制系统，
电源电动势恒定且为
，内阻不计，两个开关
、
初始状态都断开。装置左右两侧均为足够长且不计电
阻的光滑金属导轨，导轨
宽度为
，
宽度为
，导轨
和
之间存在匀强磁场，磁感应强度分
别为
和
，磁场方向如图所示。将质量均为
的金属杆
，
分别如图轻放在水平轨道上，两杆接入
电路中的电阻相等，不计金属杆与导轨的摩擦。
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（1）接通
，求
杆的最大速度；
（2）当
杆做匀速运动后，断开
同时闭合
，当两杆再次匀速运动时，求
杆产生的焦耳热。
2．（23-24 高二下·江西·期末）如图，光滑金属导轨，
，其中
为半径为的
圆弧导轨，
是间距为3L 且足够长的水平导轨，
是间距为2L 且足够长的水平导轨。
金属导体棒M、N 质量均为m，接入电路中的电阻均为R，导体棒N 静置在
间，水平导轨间存
在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将导体棒M 自圆弧导轨的最高点处由静止释放，两导体
棒在运动过程中均与导轨垂直且始终接触良好，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。求：
（1）导体棒M 运动到
处时，对导轨的压力；
（2）导体棒M 由静止释放至达到稳定状态的过程中，通过其横截面的电荷量；
（3）在上述过程中导体棒N 产生的焦耳热。
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3．（2024·浙江·三模）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，间距为L 的足够
长水平金属导轨P、Q 与间距为2L 的足够长水平金属导轨M、N 相连，长为L、质量为m、电阻为R 的均
匀金属棒a 垂直于P、Q 静止放置，由相同金属制成的均匀金属棒b 长为2L、质量为2m，垂直于M、N 运
动，棒与导轨接触良好，导轨光滑且不计电阻。开始时棒b 在水平外力F 作用下以恒定速度
匀速向右运
动，经一段时间棒a 的速度也达到
（a 棒始终在导轨P、Q 上滑动），此时撤去外力F。求：
（1）刚拉动b 棒时，棒a 上的电流
；
（2）从开始运动到速度达到
棒a 上产生的热量
；
（3）撤去F 后，棒a 上产生的热量
。
题型四 电磁感应中的线框模型
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【例1】（2024·辽宁丹东·二模）如图所示，在平面直角坐标系
中，Oy 竖直向下，
Ox 水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度的大小沿y 轴正方向不变，
沿x 轴正方向按照
（
且为已知常数）规律变化。一质量为m、边长为L 的正方形导线框，总电
阻为R，初始时一边与x 轴重合，一边与y 轴重合。将导线框以速度
沿x 轴正方向抛出，整个运动过程中
导线框的两邻边分别平行于两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框始终在
平面内且下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，求：
（1）导线框刚开始运动时受到安培力的大小和方向；
（2）导线框沿x 方向运动的最大位移；
（3）导线框中产生的热量。
电磁感应中的线框模型分析
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1．（2024·辽宁·三模）如图甲所示，在光滑水平面上平放一个用均匀导线制成的正方形线框，质量
，边长
，总电阻
，有界磁场的宽度为2L，磁感应强度
，方向垂直线框
平面向下。线框右边紧挨磁场边界，给线框水平向右的初速度
，求：
（1）线框刚进入磁场时的加速度；
（2）进入磁场过程中通过线框的电量q 及完全进入磁场中时线框的速度
大小；
（3）在乙图中画出线框通过磁场过程的
图。
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2．（2025·吉林长春·二模）“磁悬浮列车”是通过电磁力实现列车与轨道之间无接触的悬浮和导向，再利
用直线电机产生的电磁力牵引列车运行。某实验小组设计简化模型如图（a）所示，若磁悬浮列车模型的
总质量为
，模型底部固定一与其绝缘的矩形金属线框
，线框的总电阻为
。用两根足够长、水平固
定、间距为
（和矩形线框的边长
相等）的平行金属导轨
、
模拟列车行驶的轨道，导轨间存在
垂直导轨平面的等间距的交替匀强磁场，相邻两匀强磁场的方向相反、磁感应强度大小均为
，每个磁场
宽度与矩形线框的边长
相等，如图（b）所示。将列车模型放置于导轨上，当交替磁场以速度
向右匀
速运动时，列车模型受磁场力由静止开始运动，速度达到
开始匀速运动，假定列车模型在运动过程中
所受阻力恒定，不考虑磁场运动时产生的其他影响。
（1）求列车模型所受阻力
的大小；
（2）列车模型匀速运动后，某时刻磁场又以加速度
向右做匀加速直线运动，再经时间列车模型也开始
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做匀加速直线运动。
①分析求出列车模型匀加速运动的加速度大小
；
②若列车模型开始匀加速运动时的速度为，求时间内列车所受安培力做的功
。
3．（24-25 高三下·广西·阶段练习）如图所示，将电阻为
、质量为
的单匝正方形闭合
线圈
水平放置在顺时针运行的水平传送带的最左端，其边长为
，边界MN、PQ 与传送带运行
方向垂直，在MN、PQ 区域内加一个垂直于传送带平面向下、磁感应强度为
的匀强磁场，MN、
PQ 边界间距为
，线圈在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其与传送带间的动摩擦因数
为
，线圈ab 边进入磁场区域前已和传送带共速，传送带的速度为
，
时刻，线圈ab
边与MN 重合，
时刻，线圈cd 边与MN 重合，
时刻线圈ab 边与PQ 重合，已知重力加速度
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）
时刻，线圈中的感应电流大小；
（2）
时刻，线圈的速度大小；
（3）
；
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（4）
时间内，线框中产生的焦耳热。
题型五 电磁感应中的含电容、电源问题
【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，间距为d、足够长的平行金属导轨MQ、NP 与
水平面的夹角为
，两导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中；导轨上端
通过开关S 可以分别与电源E（内阻为r）、电阻R 和电容器C 相连。金属棒ab 质量为m、长度为d，置
于导轨上与导轨垂直且始终接触良好。已知重力加速度为g，金属棒与导轨电阻不计，电容器的击穿电压
为U。
（1）若导轨光滑，现将开关S 置于“1”位置，金属棒由静止释放一段时间后恰好做匀速运动（金属棒已
达到稳定状态），求此时金属棒的速度大小；
（2）若金属棒ab 与导轨间的动摩擦因数为
，现将开关S 置于“2”位置，求金属棒由静止释放后沿导轨
下滑的最大速度；
（3）若导轨光滑，现将开关S 置于“3”位置，为保证电容不被击穿，求金属棒由静止释放后沿轨道运动
的最大距离l。
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1.．（2024·安徽·三模）国内936 型登陆舰搭载电磁炮出海，试验射程可达200 公里，某同学设计了电磁碰
撞测试装置，可以通过超级电容器的储能来判断电磁炮的威力。如图所示，粗糙的平行金属导轨MN、
M′N′固定在水平面上，导轨间距L=1m，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B1=1.0T，其左端MM′之
间用导线接入电源，电源的电动势为E=110V，内阻r=1Ω，右端通过绝缘物质与足够长的光滑金属导轨
PQ、P′Q′相连。金属导轨PQ、P′Q′之间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
，金属导轨右端
QQ′之间连接一个电容C=9F 的超级电容（原来不带电）。一根质量m1=10kg、电阻R1=1Ω 的金属棒AB 放
置在金属导轨MN、M′N′上。接通电源后，金属棒AB 从静止开始向右加速运动，其与导轨MN、M′N′间动
摩擦因数为µ=0.05，与CD 相碰之前已经匀速。金属棒AB 与质量m2=90kg，电阻R2=4Ω 的金属棒CD 刚好
在绝缘物质处发生弹性碰撞，碰后立即撤走金属棒AB，此后金属棒CD 向右运动。已知电容器的储能公式
，重力加速度g 取10m/s2，金属棒与导轨接触良好，其他电阻忽略不计，不考虑电磁辐射。求：
（1）金属棒AB 向右运动的过程中，加速度的最大值；
（2）碰撞后，金属棒CD 向右运动的过程中最小的速度；
（3）碰撞后金属棒CD 上产生的焦耳热。
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2．（24-25 高二上·河南郑州·阶段练习）如图所示，两根间距L = 1 m、足够长光滑平行导轨与水平面夹角
为θ = 30°，导轨上端用一单刀双掷开关分别连接阻值R = 1 Ω 的电阻和电容C = 0.1 F 的电容器，整个装
置处于磁感应强度大小B = 0.2 T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。在导轨上垂直于导轨放置一质
量m = 0.016 kg 的导体棒ab，并将其锁定在图示位置。将单刀双掷开关掷到1，并解除对导体棒的锁定，
导体棒由静止开始向下运动，重力加速度g 取10 m/s2，导轨和导体棒电阻均不计，求：
（1）导体棒获得的最大速度；
（2）若将单刀双掷开关掷到2，并解除锁定，导体棒获得（1）中同样的速度所用的时间。
3．（2024·四川·一模）如图，两根足够长、电阻不计且相距
的平行金属导轨固定在倾角
的绝
缘粗糙斜面上，左端接在电阻
的两端，两导轨间有方向垂直斜面向上的匀强磁场。将一根长为
质量为
电阻为
的金属棒MN 垂直于导轨放置在导轨顶端附近，闭合开关
，释放金属棒，
金属棒恰好不上滑。已知金属棒与导轨接触良好，磁感应强度
，定值电阻
，电源
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的电动势
，电源的内阻不计。已知
，求：
（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数
；
（2）断开开关
，从开始下滑到速度稳定的过程中，通过
的电荷量为
，系统所产生的热量
。
1．（2024·江西·二模）电磁炮是利用安培力对金属炮弹进行加速，使其达到打击目标所需的动能，与传统
的火药推动的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。某学习小组利用图示的电路模型分析电磁
炮的运动规律。将质量
的导体棒放在两根足够长，且平行的光滑水平导轨上，导轨间距
，
导轨所在的平面内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
。导轨的右端连接一个电容
的电
容器。开始时用
的高压直流电源对电容器充电，充电完成后将开关
闭合，不计导轨电阻。求：
（1）为使导体棒向左运动，电容器的上极板带何种电荷；
（2）导体棒向左运动的最大速度；
（3）若电容器的储能公式为
（其中
为电容器带的电荷量），求该发射器的效率
。
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2．（2024·辽宁大连·二模）如图所示，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
。相距
的足够长光滑平行导轨固定在水平地面上，质量均为
的导体棒a、b 垂直导轨放置并与
导轨接触良好，两导体棒接入电路的电阻均为
。导体棒a 固定，导体棒b 静止。其他电阻不计，
现对导体棒b 施加一恒力F，不计空气阻力，导体棒b 的最大速度大小为
，则：
（1）求恒力F 的大小；
（2）若从施加F 到导体棒b 速度最大时，导体棒b 向右移动的距离为48m，求该过程经历的时间（结果保
留两位小数）；
（3）若在导体棒b 速度最大时，撤掉F，同时解除导体棒a 的固定，当a、b 棒稳定时再在a 的左侧释放
一个与a、b 相同的导体棒c，求从撤掉F 到导体棒a、b、c 稳定时，导体棒b 上产生的焦耳热。
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3．（2024·吉林长春·三模）如图，PQ、MN 是两条固定在水平面内间距
的平行轨道，两轨道在O、
处各有一小段长度可以忽略的绝缘体，将金属轨道左右绝缘隔开。轨道左端连接一个
的电阻，
轨道右端连接一个“恒流源”，使轨道上垂直放置的细导体棒
在
右侧时电流恒为
。沿轨道
MN 建立x 轴，O 为坐标原点，在两轨道间充满垂直轨道平面向下的有界磁场，
区域磁感应强度B 随
坐标x 的变化规律为
，
区域为
的匀强磁场。已知
棒的质量
、长度
、电阻
，
棒与轨道间的动摩擦因数
，在外力作用下静止在
处。金属轨道
电阻不计，重力加速度g 取
。现撤去外力，发现
棒沿轨道向左运动，最终停在
处。
求：
（1）撤掉外力瞬间，
棒中的电流方向和
棒的加速度大小；
（2）
棒运动到
处的速度大小；
（3）
棒运动的总时间。
（已知：质量为m 的物体做简谐运动时，回复力F 与物体偏离平衡位置的位移
满足
，其振动周
期
）
4．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，光滑水平桌面上放置一质量M=6kg 的U 型导体框，一质量m=2kg 的金
属棒MN 放置在U 型导体框上，电阻值为R=0.5Ω，与U 型导体框构成矩形回路MNOP，OP 长度
L=0.5m。金属棒与U 型导体框间的动摩擦因数μ=0.2。在金属棒右侧有垂直于导轨平面向上，磁感应强度
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大小为B=2T 的匀强磁场，磁场左边界（图中虚线）与金属棒平行，距离金属棒的距离为L0。某时刻起，
金属棒在大小为F=10N 的水平恒力作用下从静止开始向右加速运动，进入磁场时刚好做匀速直线运动。除
金属棒外其余部分的电阻均忽略不计（重力加速度g 取10m/s2）。求:
（1）到达磁场左边界时，金属棒中的电流方向（用“M”“N”表示）
（2）金属棒最初与磁场左边界的距离L0；
（3）若金属棒进入磁场后又经过t0=2s，导体框的OP 边刚好进入磁场，求此时回路中的电流I。
5．（2024·辽宁大连·三模）如图所示，两平行导轨PP'、QQ'固定在水平绝缘桌面上，间距为L，轨道右侧
通过导线分别与阻值为2R（共中R 未知）的电阻
、阻值为R 的电阻
连接，开关K 和电动势为E 的电
源相连，与导轨垂直的虚线NN'，左侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场，虚线MM'到
NN 的距离为L，质量为
、电阻不计的导体棒a 静止于虚线MM'左侧足够远处的导轨上，质量为导体
棒a 的2 倍的绝缘棒b 置于虚线NN'右侧的导轨上。现闭合开关K，导体棒a 向右运动。当导体棒a 运动到
虚线MM'位置时，断开开关K，已知导体棒a 到达MM'前已经做匀速直线运动，两棒运动过程中始终与导
轨垂直，重力加速度大小为g，绝缘棒b 与导轨间的动摩擦因数为μ，a、b 两棒发生弹性碰撞，且碰撞时
间极短，不计导体棒a 与导轨间的摩擦和电源内阻。不计导轨的电阻，求：
（1）开关K 断开瞬间，导体棒a 的速度大小
；
（2）导体棒a 离开磁场时的速度大小
；
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（3）绝缘棒b 在导轨上运动的距离s。
6．（2025·内蒙古赤峰·二模）福建舰配备了先进的电磁弹射系统。某学习小组在研究电磁弹射时设计了如
图甲所示的装置。两根固定于水平面内足够长的光滑平行金属导轨，间距
，导轨区域内存在
的竖直向下的匀强磁场。用质量
，电阻为
的均匀金属丝制成一个直径也为
的
圆环作为电磁弹射车，圆环水平放在两条直导轨上和两导轨保持良好接触。实验时，将质量
的绝
缘模型飞机（如图乙）锁定在金属圆环上。计时开始，开关掷向1，与一恒流源接通，使干路电流恒为
。金属环从静止开始推动模型飞机一起做匀加速运动，经过
后，模型飞机达到起飞速度
并立即与金属环解锁，飞离金属环。忽略导轨的电阻，所有摩擦以及圆环可能的形变。求：
（1）求圆环接入电路的电阻值和模型飞机的加速时间
。
（2）若飞机起飞瞬间将开关立即郑向2，与
的电阻接通，求此后电阻
上产生的焦耳热。
（3）若飞机起飞瞬间将开关立即掷向3，与
的电容器接通，求金属环稳定时的速度
。
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7．（2025·浙江温州·二模）如图1 所示，在光滑绝缘的水平面内建立
坐标系，空间中
的范
围内存在竖直向下的磁场，任一时刻磁感应强度分布与y 无关，随x 按
的规律变化，k 随时间的变化
如图2 所示，其中
T/m，
s。水平面上有一边长
m、质量
kg、总电阻
Ω 的匀质
正方形刚性导线框abcd，
内锁定在图1 所示的位置，
时刻解除锁定，同时对线框施加向右的水平
恒力
N，使之开始沿x 轴正方向运动，已知当ab 边到达
时，线框开始做匀速运动。在线框ab
边越过磁场右边界后瞬间，改施加变力，使之后线框在离开磁场的过程中其电流保持不变。线框在全过程
中始终处于
平面内，其ab 边与y 轴始终保持平行，空气阻力不计。求：
（1）
内线框中电流I 的大小及方向；
（2）线框在磁场中匀速运动的速度大小v；
（3）线框在匀速运动过程中，ab 两端的电势差
随ab 边的x 坐标变化的关系式；
（4）线框在穿出磁场的过程中产生的焦耳热Q。
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8．（2025·江西景德镇·二模）如图所示，平行金属导轨倾斜放置，倾角
，导轨间距离为L。导轨顶
端接有电阻R，下端G、H 处与足够长的水平金属导轨平滑连接，水平导轨间距也为L，其右端接有电容
为C 的电容器。斜轨道
的下方及水平轨道处均有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度均为B。质量
为m、长度为L、电阻为r 的导体棒
垂直倾斜导轨放置，与磁场边界
的距离为
。现将导体棒
由
静止释放，已知导体棒到达斜轨道底部前已匀速，
离倾斜导轨底端距离为x。已知
，
，
，
，
，
，
，
，不计一切摩擦，不考虑电磁辐射，导体
棒始终与导轨接触且垂直。（已知
，
，重力加速度
）求：
（1）导体棒刚进入磁场时
两端的电压
；
（2）导体棒在倾斜导轨上匀速运动时电容器所带电荷量；
（3）导体棒在倾斜导轨上运动的时间t。
\
9．（2024·辽宁大连·一模）光滑的水平长直轨道放在匀强磁场
中，轨道宽0.4m，长度也为
0.4m，质量为0.1kg，电阻
的导体棒静止在导轨上，它与导轨接触良好。当开关与a 接通时，电
源可提供恒定的2A 电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b 接通时，电阻
，若开关的切
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换与电流的换向均可在瞬间完成，求：
（1）若开关S 接a，当棒中电流由M 流向N 时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；
（2）若开关S 始终接a，使棒由静止开始在最短时间内向左移动8m 后而停下，求此过程棒的最大速度是
多少；
（3）要想棒由静止开始在最短时间内向左移动14m 后停下，求此过程棒中产生的焦耳热是多少。
10．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。
区域有匀强
磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M 以初速度
向右运动，磁场
内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为
m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：①N 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
q；②初始时刻N 到
的最小距离x；
（3）初始时刻，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，求M 出磁场后
不与N 相撞条件下k 的取值范围。
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11．（2023·新课标卷·高考真题）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的
绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两
虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平
行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1 = 2R0，导轨电阻可
忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运
动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
12．（2024·河北·高考真题）如图，边长为
的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O 处
固定一竖直细导体轴
。间距为L、与水平面成
角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导
轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒
在
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水平面内绕O 点以角速度
匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒
始终静止。
棒在转动过程中，
棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知
棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分
的电阻均不计，
棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）求
棒所受安培力的最大值和最小值。
（2）锁定
棒，推动
棒下滑，撤去推力瞬间，
棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）
问中安培力的最大值，求
棒与导轨间的动摩擦因数。
13．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定
值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个
装置处于竖直方向且磁感应强度为B 的匀强磁场中。
（1）开关S 闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值
电阻功率的两倍时，求金属棒速度v 的大小。
（2）当金属棒速度为v 时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功
率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
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14．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ 的间距为L，固定在同一水平
面内，直导轨在左端M、P 点分别与两条竖直固定、半径为L 的
圆弧导轨相切。MP 连线与直导轨垂直，
其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R
的金属棒ab 跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R 的均匀金属丝制成一个半径为L 的圆环，
水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形
变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab 由静止释放，求
（1）ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小；
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；
（3）为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP 的最小距离。
15．（2023·湖南·高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为
，两导轨及其
所构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质量均为
的金属棒
垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金
属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速度大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，
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以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
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