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大题10 电磁感应综合问题
1. 掌握应用动量定理处理电磁感应问题的思路。
2. 掌握应用动量守恒定律处理电磁感应问题的方法。
3.熟练应用楞次定律与法拉第电磁感应定律解决问题。
4.会分析电磁感应中的图像问题。
5.会分析电磁感应中的动力学与能量问题。
电磁感应中的动力学与能量问题
【例1】（2024·河北·模拟预测）如图甲所示，水平粗糙导轨左侧接有定值电阻
，导轨处于垂直纸
面向外的匀强磁场中，磁感应强度
，导轨间距
。一质量
，阻值
的金属棒在水
平向右拉力
作用下由静止开始从
处运动，金属棒与导轨间动摩擦因数
，金属棒的
图像
如图乙所示，取
，求：
（1）
时，安培力的大小；
（2）从起点到发生
位移的过程中，金属棒产生的焦耳热；
（3）从起点到发生
位移的过程中，拉力
做的功。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由图乙可知，
时，
，回路中电流为
安培力的大小为
1
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（2）由图乙可得
金属棒受到的安培力为
回路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，从起点到发生
位移的过程中，回路中产生的焦耳热为
金属棒产生的焦耳热为
（3）从起点到发生
位移的过程中，根据动能定理有
解得拉力
做的功为
1．电磁感应综合问题的解题思路
2．求解焦耳热Q 的三种方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的情况；
(2)功能关系：Q＝W 克安(W 克安为克服安培力做的功)；
(3)能量转化：Q＝ΔE(其他能的减少量)。
2
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（23-24 高三下·河北·开学考试）如图所示，相互平行的轨道由半径为r 的四分之一圆弧和水平部分（靠右
端的一部分DE、HI 段粗糙，接触面与物体间动摩擦因数为μ，HI=DE，其余部分光滑）构成，两部分相切
于C、G，CG 连线与轨道垂直，轨道间距为L，在最右端连接阻值为R 的定值电阻，整个轨道处在竖直向
上磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，一质量为m，电阻为2R 的金属导体棒从四分之一圆弧的最高点静止
释放，导体棒在下滑过程中始终与导轨接触良好，且与导轨垂直，其它电阻不计，当导体棒运动到与CG
重合时，速度大小为v，导体棒最终静止在水平轨道DE、HI 段某处，整个过程中定值电阻R 上产生的热量
为Q，重力加速度为g，求：
（1）导体棒从静止释放到与CG 重合，通过定值电阻R 的电量；
（2）导体棒运动到CG 前瞬间，导体棒的加速度的大小；
（3）导体棒因摩擦产生的热量及在粗糙轨道DE、HI 段的位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当导体棒运动到与 CG 重合时，通过定值电阻 R 的电量为q，则
由闭合电路欧姆定律得
由法拉第电磁感应定律得
解得
3
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（2）导体棒刚运动到 CG 时，回路中的瞬时电动势
回路中的电流
导体棒受到的安培力
水平方向的加速度
导体棒做圆周运动的向心加速度
所以导体棒运动到CG 前瞬间，导体棒的加速度的大小为
（3）由于导体棒与定值电阻串联，因此导体棒上产生的热量为2Q，根据能量守恒定律可知，导体棒因与
轨道摩擦产生的热量
导体棒因摩擦产生的热量等于导体棒克服摩擦力所做的功
解得粗糙轨道DE、HI 段的位移大小为
动量观点在电磁感应中的应用
【例2】（23-24 高三下·四川成都·开学考试）如图所示，足够长的运输带沿倾角α＝30°的方向固定，且运
输带以v0的速度向上匀速传动，虚线1、2 间存在垂直运输带向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量
为m、电阻值为R、边长为d0的正方形导线框随运输带共同向上运动，经过一段时间ab 边越过虚线1，且
导线框相对运输带发生运动，当
ab
边刚好到达虚
[信息]导线框完全进入磁场后，导线框中无感应电流，运输带带动导线框加速
运动
4
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线
2 瞬间导线框的速度恢复到
v 0，已知虚线间的距离为L，且L＞2d0，导线框与运输带之间的动摩擦因数
为μ＝，重力加速度为g，整个过程导线框的ab 边始终与两虚线平行。求：
(1)ab 边刚越过虚线1 瞬间的加速度大小以及方向；
(2)导线框的ab 边由虚线1 运动到虚线2 的时间；
(3)导线框的ab 边由虚线1 运动到虚线2 的过程中，因摩擦而产生的热量与焦耳热的比值。
【答案】 (1)－ 方向沿运输带向下 (2) (3)
【解析】 (1)根据安培力公式有F 安＝BId0①
根据闭合电路欧姆定律有I＝
根据法拉第电磁感应定律有E＝Bd0v0②
由于导线框的
ab
边越过虚线
1 后，导线框相对运输带发生运动，又由楞次定律以及左手定则可知，
ab
边
所受的安培力沿运输带向下
[关键点]结合题意分析出导线框刚越过虚线1 瞬间安培力的方向沿运输带向下
则由牛顿第二定律得mgsin α＋F 安－μmgcos α＝ma③
解得a＝－，方向沿运输带向下。④
(2)设导线框的ab 边由虚线1 运动到虚线2 的时间为t，导线框刚进入磁场到导线框的cd 边运动至虚线1 的
时间为t′。
则该过程由动量定理得
mg
sin
α · t ＋
F 安t ′ －
μmg
cos
α · t ＝
0 ⑤
[易错]注意冲量的方向性，并且F 安作用时间与重力、摩擦力作用时间不等
又F安＝BId0、I＝
根据法拉第电磁感应定律得E＝Bd0v ⑥
由运动学公式有d0＝vt′⑦
解得t＝。⑧
(3)导线框刚进入磁场至导线框刚要出磁场的过程，由动能定理得
μmgcos α·L－mgsin α·L＋W 安＝0⑨
又由功能关系得该过程中产生的焦耳热为Q1＝－W 安
该过程因摩擦而产生的热量为Q2＝
μmg
cos
α ( v 0t －
L )
[易错]注意此处应代入导线框相对运输带移动的距离
解得＝。
1.在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若运用牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定
理巧妙解决问题
5
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求解的物理量
应用示例
电荷量或速度
－BLΔt＝mv2－mv1，q＝Δt，即－BqL＝mv2－mv1
位移
－＝0－mv0，
即－＝0－mv0
时间
－BLΔt＋F 其他Δt＝mv2－mv1，
即－BLq＋F 其他Δt＝mv2－mv1，
已知电荷量q、F 其他(F 其他为恒力)
－＋F 其他Δt＝mv2－mv1，
即－＋F 其他Δt＝mv2－mv1，
已知位移x、F 其他(F 其他为恒力)
2.动量守恒定律在电磁感应中的应用
物理
模型
“一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问
题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡
两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相
加还是相减；系统动量是否守恒
分析
方法
动力学观点
通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个
金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速
度匀速运动
能量观点
两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和
动量观点
对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属杆所
受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
（2024·湖南长沙·一模）如图，质量为m、电阻为
的均匀金属棒ab 垂直架在水平面甲内间距为3L 的两
光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接而成（即
图中半径OM 和（
竖直），圆弧导轨半径为R、对应圆心角为60°、间距为3L，水平导轨间距分别为
3L 和L。质量也为m、电阻为
的均匀金属棒cd 垂直架在间距为L 的导轨左端。导轨
与
，
与
均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨的水平部分均有竖直方
向的、磁感应强度为B 的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关S，金属棒ab 迅即获得水平向
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右的速度（未知，记为
）做平抛运动，并在高度降低3R 时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨
道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为g，求：
（1）空间匀强磁场的方向；
（2）棒ab 做平抛运动的初速度
；
（3）通过电源E 某截面的电荷量q；
（4）从金属棒ab 刚落到圆弧轨道上端起至棒ab 开始匀速运动止，这一过程中棒ab 和棒cd 组成的系统损
失的机械能
。
【答案】（1）竖直向上；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）闭合开关S，金属棒ab 即获得水平向右的速度，表明金属棒受到水平向右的冲量，所以安
培力水平向右，因为金属棒ab 中的电流方向为由a 指向b，根据左手定则，空间匀强磁场的方向为竖直向
上。
（2）金属棒ab 做平抛运动，其竖直方向有
由于导体棒在高度降低3R 时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，有
解得
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（3）金属棒ab 弹出瞬间，规定向右为正方向，由动量定理
又因为
整理有
解得
（4）金属棒ab 滑至水平轨道时，有
解得
最终匀速运动，电路中无电流，所以棒ab 和cd 产生的感应电动势大小相等，即
此过程中，对棒ab 由动量定理有
对棒cd，由动量定理有
联立解得
，
由能量守恒，该过程中机械能的损失量为
解得
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1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图所示，间距为L 的光滑导轨竖直固定在绝缘地面上，导轨顶端连接定
值电阻R，质量为m、电阻忽略不计的金属杆垂直接触导轨，磁感应强度大小为B 的匀强磁场与导轨所在
的竖直面垂直。使金属杆从静止开始下落，同时受到竖直向下的恒定拉力F 的作用，当下落高度为h 时速
度达到稳定。重力加速度大小为g，金属杆在运动的过程中始终与垂直导轨垂直且接触良好，金属棒有足
够大的下落空间，导轨电阻不计，求：
（1）金属杆稳定时的速度大小；
（2）金属杆从开始运动到速度稳定的过程中电阻R 上产生的热量；
（3）金属杆从开始运动到速度稳定的过程所需的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】
（1）金属杆从静止开始下落，设稳定时的速度为
，则有
，
，
竖直方向由受力平衡可得
联立解得
9
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（2）金属杆从开始下落直到稳定时下落的高度为，根据功能关系可得
产生的热量为
解得
（3）金属杆从开始运动到速度稳定的过程，根据动量定理可得
又
联立解得
2．（2024·福建厦门·二模）如图甲所示，两条足够长的平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为
d。导轨上端与电容为C 的电容器相连，虚线O1O2垂直于导轨，O1O2上方存在垂直导轨平面向下的匀强磁
场，此部分导轨由不计电阻的光滑金属材料制成，O1O2下方的导轨由粗糙的绝缘材料制成。t＝0 时刻，一
质量为m、电阻不计的金属棒MN 由静止释放，运动过程中MN 始终与导轨垂直且接触良好，其速度v 随
时间t 的变化关系如图乙所示，其中v0和t0为已知量，重力加速度为g，电容器未被击穿。求：
（1）t＝0 到t＝t0，磁场对金属棒MN 的冲量大小；
（2）t＝0 到t＝2t0，金属棒MN 损失的机械能；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】
（1）根据动量定理有
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解得
（2）根据图乙可得金属棒在t＝0 到t＝2t0时间内的位移为
根据能量守恒有
解得
（3）根据图乙可知，在
时间内金属棒做匀加速直线运动，则可知其加速度恒定，所受合外力恒定，
即此时间段内电流恒定，而电容器两端电压的变化量等于金属棒切割磁感线产生的感应电动势的变化量，
则有
可得
而
对该过程由动量定理有
联立解得
3．（2024·河北·模拟预测）如图1 所示，间距L=1m 的足够长倾斜导轨倾角θ=37°，导轨顶端连一电阻
R=1Ω。左侧存在一面积S=0.6m2的圆形磁场区域B，磁场方向垂直于斜面向下，大小随时间变化如图2 所
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示，右侧存在着方向垂直于斜面向下的恒定磁场B1=1T，一长为L=1m，电阻r=1Ω 的金属棒ab 与导轨垂直
放置，t=0 至t=1s，金属棒ab 恰好能静止在右侧的导轨上，之后金属棒ab 开始沿导轨下滑，经过一段时间
后匀速下滑，已知导轨光滑，取g=10m/s2，不计导轨电阻与其他阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）t=0 至t=1s 内流过电阻的电流和金属棒ab 的质量；
（2）金属棒ab 匀速时的速度大小。
【答案】（1）0.3A，0.05kg；（2）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得t=0 至t=1s 内回路中的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律可得t=0 至t=1s 内流过电阻的电流为
设金属棒ab 的质量为m，这段时间内金属棒ab 受力平衡，即
解得
m=0.05kg
（2）设金属棒ab 匀速时的速度大小v，此时回路中的感应电动势为
回路中的电流为
导体棒ab 所受安培力大小为
根据平衡条件可得
解得
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4．（23-24 高三下·河北沧州·阶段练习）如图所示，间距为L 的光滑平行等长金属导轨ab、cd 固定在倾角
为
的绝缘斜面上，ef、gh 为固定在绝缘水平面上的平行粗糙金属导轨，间距也为L，导轨ab、cd 在最
低点用绝缘光滑材料与导轨ef、gh 平滑连接，a、c 两点用导线连接，与倾斜导轨垂直的虚线与a、c 两点
间的距离为5L，其左侧存在方向竖直向下的匀强磁场（范围足够大），磁感应强度大小B 随时间变化的关
系式
（k 为已知的常数且为正值）。水平导轨内存在磁感应强度大小为
、方向竖直向下的匀强磁
场（范围足够大），质量为2m 的导体棒乙垂直于水平导轨静止放置。现让质量为m 的导体棒甲在虚线的
右下方垂直倾斜导轨由静止释放，沿导轨下滑距离为5L 到达倾斜导轨的最低点，然后滑上水平导轨，导
体棒甲在水平导轨上滑行一段距离d 停在乙的左侧。已知甲刚滑上水平导轨时，乙受到的静摩擦力恰好达
到最大值，导体棒甲接入电路的阻值为R，其他电阻均忽略不计，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，导体棒甲、乙与水平导轨之间的动摩擦因数相等，
。求：
（1）导体棒甲到达倾斜轨道的最低点时的速度大小；
（2）导体棒乙与水平导轨间的动摩擦因数；
（3）导体棒甲在水平导轨上滑行的时间；
（4）导体棒甲由静止释放到停止运动产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】
（1）导体棒甲在下滑的过程中做匀加速直线运动，则有
对甲受力分析，由牛顿第二定律可得
解得
13
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（2）当导体棒甲刚滑上水平导轨时，由法拉第电磁感应定律可得
由欧姆定律可得
导体棒乙受到的安培力
对乙受力分析，由力的平衡可得
解得
（3）导体棒甲在水平导轨上滑行，由动量定理可得
由欧姆定律可得
由法拉第电磁感应定律可得
由题意可得
解得
（4）导体棒甲在下滑的过程中，由法拉第电磁感应定律可得
14
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由题意可得
导体棒甲下滑的时间
生成的焦耳热
甲在水平导轨上滑动，由能量守恒定律可得生成的焦耳热
甲由静止释放到停止运动产生的焦耳热
解得
5．（2024·江西·一模）如图所示，间距为
的平行金属导轨
和
分别固定在两个竖直面内，
倾斜导轨与水平方向的夹角为
，整个空间内存在着竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小
为
。长为
、质量为
、电阻为
的导体杆
静止放置在水平导轨上，现将与导体杆
完全相同的导体
杆
从斜面上
处由静止释放，运动到虚线
处有最大速度，运动的距离为
，导体杆
恰好未滑动，
此过程中导体杆
克服摩擦力做的功为
，两导体杆与导轨始终接触良好，导轨电阻不计，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，重力加速度为
。求在此过程中：
（1）通过导体杆
的电荷量；
（2）导体棒与导轨间的动摩擦因数；
（3）电路中产生的焦耳热。
15
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，在导体杆
由静止释放到导体杆
运动到
处的过程中
根据闭合电路的欧姆定律有
根据电流的定义式
联立可得
（2）当导体杆速度最大时，对导体杆
受力分析有
对导体杆
受力分析，沿斜面方向
垂直斜面方向有
由摩擦力的大小
联立可得
（3）当导体杆
速度最大时，可知
16
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电动势
电流大小
导体杆
受到的安培力
联立可得
根据动能定理可得
联立可得
6．（23-24 高三下·四川成都·开学考试）如图所示，两间距为d 的平行光滑导轨由固定在同一水平面上的
导轨CD-C'D'和竖直平面内半径为r 的
圆弧导轨AC-A'C'组成，水平导轨与圆弧导轨相切，左端接一阻值
为R 的电阻，不计导轨电阻；水平导轨处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，其他地方
无磁场。导体棒甲静止于CC'处，导体棒乙从AA'处由静止释放，沿圆弧导轨运动，与导体棒甲相碰后粘合
在一起，向左滑行一段距离后停下。已知两棒质量均为m，电阻均为R，始终与导轨垂直且接触良好，重
力加速度大小为g，求：
（1）两棒粘合前瞬间棒乙对每个圆弧导轨底端的压力大小N；
（2）两棒在磁场中运动的过程中，左端接入电阻R 产生的焦耳热Q；
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设两棒粘合前瞬间棒乙的速度大小为
，对棒乙沿圆弧导轨运动的过程，根据机械能守恒定
律有
解得
两棒粘合前瞬间，棒乙受到的支持力N 与重力mg 的合力提供向心力，有
解得
根据牛顿第三定律可知，棒乙对每个圆弧导轨底端的压力大小为
（2）设两棒相碰并粘合在一起后瞬间的速度大小为
，根据动量守恒定律有
求得
根据能最守恒定律有
导体棒的总电阻为
能量按导体电阻分配为
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求得
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，光滑金属导轨ABC-DEF 相互平行，BC-EF 段水平放置，AB-
DE 平面与水平面成37°，矩形MNQP 内有垂直斜面向上的匀强磁场，水平导轨BC-EF 间有竖直向上的匀
强磁场，两部分磁场感应强度大小相等。两根完全相同的金属棒a 和b 并排放在导轨AD 处，某时刻由静
止释放金属棒a，当a 运动到MN 时再释放金属棒b，a 在斜面磁场中刚好一直做匀速运动；当a 运动到PQ
处时，b 恰好运动到MN；当a 运动到BE 处时，b 恰好运动到PQ。已知两导轨间距及a、b 金属棒长度相
同均为
，每根金属棒质量
，电阻
，AD 到MN 的距离
。斜导轨与水平导轨在
BE 处平滑连接，金属棒a、b 在运动过程中与导轨接触良好，不计其它电路电阻，不考虑磁场的边界效应，
重力加速度
，
，
。求：
（1）金属棒a 运动到BE 处时的速度大小及磁场磁感应强度大小；
（2）若发现在金属棒b 进入水平导轨前，金属棒a 在水平导轨上已经向左运动6m，求金属棒a 最终的运
动速度大小及整个过程中棒a 上产生的焦耳热。
（3）在（2）的已知条件下，求金属棒a 进入水平导轨后，金属棒a 在水平导轨上的运动过程中通过金属
棒a 横截面的电荷量。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）金属棒未进入磁场时，由牛顿第二定律得
解得
由运动学公式有
19
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解得
则有
经题意分析可知，金属棒a、b 在倾斜导轨上，进入磁场前、进入磁场中、离开磁场后运动的每一阶段时间
相等，均为
，所以金属棒a 运动到BE 处时的速度大小
金属棒在磁场中匀速运动，则有
又
，
联立解得
（2）若发现在金属棒b 进入水平导轨前，金属棒a 在水平导轨上已经向左运动6m，设此时金属棒a 的速
度大小
，对金属棒a 根据动量定理可得
又
联立解得
根据题意分析可知，b 金属棒刚进入水平导轨时的速度大小为
a、b 同时在水平导轨上运动时，系统动量守恒，则有
解得金属棒a、b 最终的运动速度大小为
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整个过程，由能量守恒可得
其中
代入数据得
所以金属棒
上产生的焦耳热为
（3）金属棒a 进入水平导轨后，在金属棒b 进入水平导轨前过程，通过金属棒a 横截面的电荷量为
在金属棒b 进入水平导轨到金属棒a、b 达到共速过程，对金属棒a 根据动量定理可得
解得
由于两个过程金属棒a 通过的电流方向相反，则金属棒a 在水平导轨上的运动过程中通过金属棒a 横截面
的电荷量为
8．（23-24 高三下·上海宝山·阶段练习）线圈在磁场中运动时会受电磁阻尼作用．如图所示，光滑绝缘水
平桌面上有一边长为L 的正方形线圈
，其质量为m，各边电阻相等，线圈以初速度v 进入一个有明显
边界的磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场的宽度大于L。当线圈完全穿过磁场后，其速度变为初始的一半，
求：
（1）线圈刚进入磁场瞬间，
两点间的电压是多少？
（2）线圈进入磁场和离开磁场的两个过程中产生的焦耳热之比。
21
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）
边刚进入磁场瞬间，
边产生的感应电动势为
由右手定则可知电流方向为
，则
a、b 两点的电压是路端电压为
（2）线圈刚全部进入磁场时速度为
，刚离开磁场时速度为
。线圈进入磁场的过程，由动量定理得
同理，线圈离开磁场的过程，由动量定理得
又通过线圈的电荷量
,
可得
进入磁场和离开磁场的过程中，由能量守恒定律得
22
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联立可得
9．（2024·辽宁·一模）如图所示，足够长的固定光滑平行金属导轨
，其中
部分
间距为
，
部分间距为
，
部分水平且所在的空间存在竖直向上的匀
强磁场，磁感应强度大小为
，
部分倾角为
。质量为
、长度为
、
阻值为
的导体棒N 静置在导轨的
部分上。另一质量也为
、长度为
，
阻值为
的导体棒M 从导轨的
部分由静止释放，经过时间
，导体棒M 恰好运动到
进入水平轨道部分，重力加速度g 取
，导体棒M 经过
时损失的机械能忽略不计，两导体棒运
动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计。从导体棒M 由静止释放到两导体棒运动状态达
到稳定的过程中（导体棒M 没有运动到
处），求：
（1）导体棒N 加速度的最大值；
（2）稳定时导体棒M 和N 的速度大小；
（3）导体棒N 中产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）导体棒M 在倾斜导轨上，由牛顿第二定律可得
根据运动学
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解得
则，导体棒M 进入磁场时
导体棒N
解得
（2）当通过两导体棒的电流为0 时达到稳定，设达到稳定时导体棒M 的速度为
，导体棒N 的速度为
，
则
对导体棒M，根据动量定理
对导体棒N，根据动量定理
以上各式联立，解得
，
（3）根据能量守恒
导体棒N 中产生的焦耳热为
10．（2024·陕西西安·三模）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为
。
区域有匀强
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磁场，磁感应强度大小为
，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M 以初速度
向右运动，磁场
内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。已知杆M 的质量
为
，在导轨间的电阻为
，杆N 的质量为
，在导轨间的电阻为
，感应电流产生的磁场及导轨的电
阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力
的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求:
N
①
在磁场内运动过程中N 上产生的热量
；
②初始时刻N 到
的最小距离
。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）①
；②
【详解】（1）细金属杆M 以初速度
向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
电流方向为
，电流的大小为
则所受的安培力大小为
方向水平向左。
（2）（1）
棒所受安排力等大反向，故两棒系统动量守恒。设
棒出磁场时
棒的速度大小为
，有
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由系统能量守恒知
棒产生的总热量为
则
上产生的热量为
可得
（2）设
在磁场中任意时刻的速度分别为
和
，金属杆
在磁场内运动过程中，由动量定理有
其中
设两杆在磁场中相对靠近的位移为
，则
联立可得
若两杆在磁场内刚好未撞，N 到
的最小距离为
11．（2024·河南南阳·一模）如图所示，光滑导轨
与水平方向成
夹角，间距为
。虚线垂直于倾
斜导轨且与
边距离为
，上方存在垂直斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度大小B 随时间变化的关系
式为
（k 为已知的常数且为正值）。间距为L 粗糙的平行导轨
、
固定放置，j、n 连线的右侧存
在竖直向下磁感应强度大小为
的匀强磁场，质量为m 的导体棒乙垂直水平导轨放置。现让质量为m 的均
匀导体棒甲在虚线的下方垂直倾斜导轨由静止释放，沿导轨下滑
后到达转折点
处，立即滑上水平
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导轨（在转折处速度由倾斜变成水平，大小不变），导体棒甲在水平导轨上滑行一段距离
后停在导体棒
乙的左侧。已知导体棒甲刚滑上水平导轨时，导体棒乙受到静摩擦力刚好达到最大值，导体棒甲在倾斜导
轨上滑行时接入电路的电阻为R，其他的电阻均忽略不计，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，导体棒甲、乙与水平导轨之间的动摩擦因数相等，
，
，求：
（1）导体棒甲到达b、d 处的速度大小以及导体棒乙与水平导轨间的动摩擦因数；
（2）导体棒甲在水平导轨上滑行的时间；
（3）导体棒甲由静止释放到停止运动产生的焦耳热。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）甲在倾斜轨道上下滑，设到达
时速度大小为
，则
解得
甲滑上水平轨道瞬间，与乙形成回路，接入电路的电阻为
，对乙受力分析有
联立解得
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（2）甲在水平轨道上减速运动，乙始终保持静止，设甲在水平轨道上运动时间为t，对甲由动量定理
又有
联立解得
（3）设甲在倾斜轨道上运动的时间为
，对甲由动量定理
联立得
设甲在倾斜轨道上运动时焦耳热为
，有
解得
甲在水平导轨间运动设克服安培力做功为
，由动能定理有
此阶段产生的焦耳热设为
，则
联立解得
则所求热量为
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解得
12．（2024·湖南长沙·一模）如图甲所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ 固定在同一水平面上，其宽度
，导轨M 与P 之间连接阻值为
的电阻，质量为
、电阻为
、长度为
的
金属杆ab 静置在导轨上，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。现用一垂直杆水平向右的恒力
拉金属杆ab，使它由静止开始运动，运动中金属杆与导轨接触良好并保持与导轨垂直，其通过电阻R 上的
电荷量q 与时间t 的关系如图乙所示，图像中的OA 段为曲线，AB 段为直线，导轨电阻不计，已知ab 与导
轨间的动摩擦因数
，取
（忽略ab 杆运动过程中对原磁场的影响），求：
（1）磁感应强度B 的大小和金属杆的最大速度；
（2）金属杆ab 从开始运动的
内所通过的位移；
（3）从开始运动到电阻R 产生热量
时，金属杆ab 所通过的位移。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）
过程电流稳定金属棒速度达到最大值，通过导体棒电流
得
导体棒匀速，对导体棒
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导体棒匀速时，导体棒电动势
欧姆定律
解得
（2）
过程中由动量定理得
即
解得
（3）
过程中由动能定理得
过程产生总热量
电阻R 产生热量
解得
后匀速阶段电阻R 热量
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解得
1．（2023·天津·高考真题）如图，如图所示，一不可伸长的轻绳上端固定，下端系在单匝匀质正方形金属
框上边中点O 处，框处于静止状态。一个三角形区域的顶点与O 点重合，框的下边完全处在该区域中。三
角形区域内加有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度大小B 与时间t 的关系为B = kt（k > 0 的常数），磁
场与框平面垂直，框的面积为框内磁场区域面积的2 倍，金属框质量为m，电阻为R，边长为l，重力加速
度g，求：
（1）金属框中的感应电动势大小E；
（2）金属框开始向上运动的时刻t0；
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有
（2）由图可知线框受到的安培力为
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当线框开始向上运动时有
mg = FA
解得
2．（2023·湖南·高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为
，两导轨及其所
构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．
现将质量均为
的金属棒
垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金属棒
与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速度大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，
以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）a 导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a 棒的安培力相等时做匀速运动，由法拉第电磁
感应定律可得
有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得
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，
a 棒受力平衡可得
联立记得
（2）由右手定则可知导体棒b 中电流向里，b 棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，则b 棒牛
顿第二定律可得
解得
（3）释放b 棒后a 棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a 棒动量定理
b 棒受到向下的安培力，对b 棒动量定理
联立解得
此过程流过b 棒的电荷量为q，则有
由法拉第电磁感应定律可得
联立b 棒动量定理可得
3．（2023·全国·高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行部分的间距为，导轨的
最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
大小为
。一质量为
、电阻为
、长度也为的金属棒P 静止在导轨上。导轨上质量为
的绝缘棒Q 位
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于P 的左侧，以大小为
的速度向P 运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P 和Q 先后
从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P 与Q 始
终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由于绝缘棒Q 与金属棒P 发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
联立解得
，
由题知，碰撞一次后，P 和Q 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则金属棒P 滑出导
轨时的速度大小为
（2）根据能量守恒有
解得
（3）P、Q 碰撞后，对金属棒P 分析，根据动量定理得
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又
，
联立可得
由于Q 为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q 运动的时间为
4．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。
区域有匀强磁
场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M 以初速度
向右运动，磁场内
的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为
m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：①N 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
q；②初始时刻N 到
的最小距离x；
（3）初始时刻，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，求M 出磁场后
不与N 相撞条件下k 的取值范围。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）①
，②
；（3）
【详解】（1）细金属杆M 以初速度
向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
电流方向为
，电流的大小为
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则所受的安培力大小为
安培力的方向由左手定则可知水平向左；
（2）①金属杆N 在磁场内运动过程中，由动量定理有
且
联立解得通过回路的电荷量为
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为
，有
整理可得
联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，N 到
的最小距离为
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，则N 到cd 边的速度大小恒为
，根据动量守恒定律可知
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解得N 出磁场时，M 的速度大小为
由题意可知，此时M 到cd 边的距离为
若要保证M 出磁场后不与N 相撞，则有两种临界情况：
①M 减速出磁场，出磁场的速度刚好等于N 的速度，一定不与N 相撞，对M 根据动量定理有
联立解得
②M 运动到cd 边时，恰好减速到零，则对M 由动量定理有
同理解得
综上所述，M 出磁场后不与N 相撞条件下k 的取值范围为
5．（2022·全国·高考真题）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为
的正方形金属
框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成
金属框的导线单位长度的阻值为
；在
到
时间内，磁感应强度大小随时间t 的
变化关系为
。求:
（1）
时金属框所受安培力的大小；
（2）在
到
时间内金属框产生的焦耳热。
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【答案】（1）
；（2）0.016J
【详解】（1）金属框的总电阻为
金属框中产生的感应电动势为
金属框中的电流为
t=2.0s 时磁感应强度为
金属框处于磁场中的有效长度为
此时金属框所受安培力大小为
（2）
内金属框产生的焦耳热为
6．（2021·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨
、
间距
，其电阻不
计，两导轨及其构成的平面均与水平面成
角，N、Q 两端接有
的电阻。一金属棒
垂直导轨
放置，
两端与导轨始终有良好接触，已知
的质量
，电阻
，整个装置处在垂直于导轨
平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小
。
在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度
沿导轨向上开始运动，可达到最大速度
。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度
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。
（1）求拉力的功率P；
（2）
开始运动后，经
速度达到
，此过程中
克服安培力做功
，求该过程
中
沿导轨的位移大小x。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在
运动过程中，由于拉力功率恒定，
做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，
加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为
，有
设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有
设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
受到的安培力
由功率表达式，有
联立上述各式，代入数据解得
（2）
从速度
到
的过程中，由动能定理，有
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代入数据解得
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