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压轴题09 电磁感应
1.本专题是电磁感应的典型题型，包括应用电磁感应的知识解决实际问题。高考中经常在选择题中命题，更是
在在计算题中频繁出现。2024 年高考对于电磁感应的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:楞次定律,法拉第电磁感应定律的知识等。近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式
存在，重点考查电磁感应中的电路问题，电磁感应中的图像问题，电磁感应中的单、双杆问题，导线框进出磁
场问题等。
考向一：电磁感应中的电路问题
1.闭合电路与电磁感应的关系
2.分析电磁感应中电路问题的思路
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体相当于电源，其他部分是外电路。
(2)画等效电路图，分清内、外电路。
(3)用法拉第电磁感应定律E＝n 或E＝Blvsinθ 确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流
的方向，注意在等效电源内部，电流从负极流向正极。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的特点、电功率等求解。
3.感应电荷量的求法
闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt 内通过某一横截面的电荷量(感应电
荷量)q＝IΔt＝·Δt＝n··Δt＝。
(1)由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一横截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间
无关。
(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E 均为平均值。
考向二：电磁感应中的图像问题
1.解决图像问题的一般步骤
1
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(1)明确图像的种类，是B－t 图像、Φ－t 图像，还是E－t 图像、I－t 图像等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
2.解决图像问题的“三点关注”
(1)关注初始时刻，如：初始时刻感应电流是否为零，若不为零，是正方向还是负方向。
(2)关注变化过程，看电磁感应发生的过程分为几个阶段，这几个阶段是否与图像变化相对应。
(3)关注大小、方向的变化趋势，看图线斜率的大小、正负以及图线与横轴的位置关系是否与物理过程相对应。
考向三：电磁感应中的平衡和动力学问题
1.电磁感应中的动力学分析
2.处理问题的基本思路
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(包括右手定则)求出感应电动势的大小和方向。
(2)依据闭合电路欧姆定律，求出电路中的电流。
(3)分析导体的受力情况(包含安培力，可用左手定则确定安培力的方向)。
(4)依据牛顿第二定律列出动力学方程或平衡方程，或运动学方程，或能量守恒方程，然后求解。
3.两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析。
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为0。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析。
4.电磁感应中的动力学临界问题
基本思路：导体受外力运动――→感应电动势
感应电流――→导体受安培力→合外力变化――→加速
度变化→临界状态。
考向四：电磁感应中的能量问题
1.电磁感应现象中的能量转化
2
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2.处理电磁感应中能量问题的常用方法
(1)利用克服安培力做功求解：能量的转化是通过做功来实现的，在电磁感应中要注意，安培力做的功是电能与
其他形式的能相互转化的桥梁。
(2)利用能量守恒定律求解：一般是机械能与电能的转化，即机械能的减少量等于电能的增加量。
(3)利用电路特征求解：即利用电功、电热求解电能。
3.常见的功能关系
做功情况
能量变化特点
滑动摩擦力做功
有内能产生
重力做功
重力势能必然发生变化
克服安培力做功
必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，
就产生多少电能
安培力做正功
电能转化为其他形式的能
4.焦耳热的计算
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt。
(2)感应电流变化时，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功W 安，即Q＝W 安。
②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量。
考向五：电磁感应中的动量问题
1.动量定理的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀速直线运动时，安培力的冲量为I 安＝ILBt＝
BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝IΔt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培
力是导体棒或金属框受到的合外力，则I 安＝mv2－mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移
x 时用动量定理求解更方便。
2.动量守恒定律的应用
守恒条件分析：在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两
安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。
3.解题三大观点
(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速
运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒所受的安培力大小相等方向相反，通常情况下系统的动量
守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
01 电磁感应中的电路问题
1.如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200 匝，直径d1＝40 cm，电阻r＝2 Ω，线圈与阻值R＝6 Ω 的电阻相
连。在线圈的中心有一个直径d2＝20 cm 的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向
里的磁感应强度方向为正方向。
3
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(1)求通过电阻R 的电流方向；
(2)求理想电压表的示数；
(3)若撤去原磁场，在图中竖直虚线的右侧空间加磁感应强度B′＝0.5 T 的匀强磁场，方向垂直纸面向里，试
求在施加新磁场过程中通过电阻R 的电荷量。
02 电磁感应中的图像问题
2．两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.2 T，方向与纸面垂直，边长L＝0.1 m、总电阻R
＝0.05 Ω 的正方形导线框abcd 位于纸面内，cd 边距磁场边界距离为L，如图所示，已知导线框一直向右做匀
速直线运动，cd 边于t＝1 s 时刻进入磁场，以初始位置为计时起点，规定：电流沿顺时针方向时的电动势E 为
正，磁感线垂直纸面向外时磁通量Φ 为正。则以下关于线框中的感应电动势E、磁通量Φ、感应电流I 和安培
力F 随时间变化的图像中正确的是( )
4
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03 电磁感应中的平衡和动力学问题
3.如图所示，两条平行的光滑金属轨道MN、PQ 与水平面成θ 角固定，轨道间距为d。P、M 间接有阻值为R 的
电阻。质量为m 的金属杆ab 水平放置在轨道上，其有效阻值为R。空间存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场
方向垂直于轨道平面向上。现由静止释放ab，若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
(1)ab 运动的最大速度vm；
(2)当ab 具有最大速度时，ab 消耗的电功率P；
(3)为使ab 向下做匀加速直线运动，在ab 中点施加一个平行于轨道且垂直于ab 的力F，推导F 随时间t 变化的
关系式，并分析F 的变化与加速度a 的关系。
04 电磁感应中的能量问题
4.如图所示，CD、EF 是两条水平放置、阻值可忽略且间距为L 的足够长平行金属导轨，左端与一弯曲的光滑轨
道平滑连接，弯曲轨道上端接有一阻值为R 的电阻，水平导轨所在空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直导
轨平面向上的匀强磁场。将一阻值也为R、质量为m 的导体棒从弯曲轨道上高为h 处由静止释放，导体棒在水平
导轨上运动距离d 停止。已知导体棒与水平导轨接触良好，它们之间动摩擦因数为μ。求导体棒从释放到最终
停止过程中：
(1)通过电阻R 的最大电流；
(2)流过电阻R 的电荷量；
(3)电阻R 中产生的焦耳热。
05 电磁感应中的动量问题
5.如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。
在M 和P 之间接有一阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装
置处于方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中。现给ab 杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab 杆停
5
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在导轨上。下列说法正确的是( )
A.ab 杆将做匀减速运动直到静止
B.ab 杆速度减为时，ab 杆加速度大小为
C.ab 杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为
D.ab 杆速度减为时，ab 杆通过的位移为
一、单选题
1．（23-24 高三下·四川成都·开学考试）如图甲所示，一个矩形线圈悬挂在竖直平面内，悬点 P 为AB 边中点。
矩形线圈水平边AB=CD，竖直边 AC=BD，在EF 下方有一个范围足够大、方向垂直纸面（竖直平面）的匀强磁
场。取垂直纸面向外为磁感应强度的正方向，电流顺时针方向为正方向，安培力向上为正方向，磁感应强度B
随时间t 的变化关系如图乙所示。下列关于线圈内的感应电流i、线圈受到的安培力F 随时间t 变化的图像正确
的是
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2024·山东聊城·二模）如图所示，两条相距l 的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接
一阻值为R 的电阻，与导轨垂直的金属棒置于两导轨上。在电阻、导轨和金属棒中间有面积为S 的区域，区域
中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小
随时间t 的变化关系为
，式中k 为大于0 的常量；
在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为
，方向
垂直于纸面向里。零时刻，金属棒在水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在
时刻恰好以速度
越过MN，
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此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计，下列说法正确的是（
）
A．在0~t0时间内，流过电阻的电荷量为
B．在
时刻以后，电阻R 上的电流方向向上
C．在时刻
穿过回路的总磁通量为
D．在时刻
金属棒所受水平恒力的大小为
3．（2024·安徽黄山·二模）某工厂为了检验正方形线圈的合格率，将线圈放在传送带上，传送带所在空间中加
上竖直向下的匀强磁场，磁场边界
与
平行且与线圈速度方向成
，磁感应强度为B。如图所示，线圈
与传送带一起以恒定速度v 向右运动，线圈与传送带间的动摩擦因数为μ。线圈进入磁场过程中线圈恰好不打滑，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知线圈质量为m，匝数为N，边长为L，总电阻为R，且磁场宽度大于L。下
列说法正确的是（ ）
A．线圈进入磁场过程中，电流方向为
B．在线圈进入磁场的过程中，线圈对传送带的摩擦力始终沿
所在直线方向，且最大值为
C．线圈在进入磁场的过程中通过截面的电荷量为
D．在不改变传送带速度的情况下，相同质量、材料、边长但匝数为
的线圈进入磁场过程也恰好不打滑
4．（2024·河北承德·二模）两根足够长的平行金属导轨固定在倾斜角为的斜面上，导轨电阻不计，间距为
，在导轨ef 和gh 之间有宽度为d、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场Ⅰ，gh 线上方有垂直于轨道平面
向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场Ⅱ。两根质量均为0.1kg、电阻均为
的导体棒间隔为d，如图
垂直导轨放置，导体棒a 与gh 间距为d。现同时将两根导体棒由静止释放，发现当α 棒刚进入磁场Ⅰ时，两根
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导体棒立即开始匀速运动，b 棒刚要出磁场Ⅰ时沿斜面向下的加速度为
。不计一切摩擦，两棒在下滑过程
中，与导轨始终接触良好，已知
，重力加速度g 取
。下列说法正确的是（ ）
A．题中
B．磁场Ⅰ的磁感应强度
C．b 棒离开磁场Ⅰ时，a 棒与ef 的距离为
D．从静止释放到b 棒离开磁场Ⅰ的过程中，b 棒产生的焦耳热为0.2J
5．（2024·辽宁朝阳·二模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨与水平面成角放置，导轨电阻不计，其顶
端接有一电阻，底端静止一金属棒。整个装置处于方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，为了使金属棒沿导
轨上滑，磁感应强度开始随时间均匀变化，当金属棒运动到a 处时磁感应强度开始保持不变。金属棒运动刚到
a 处时的速度大小为
，继续滑行一段距离到达最高点b 后，再返回到a 处时的速度大小为
。重力加速度为
g，则（ ）
A．金属棒从导轨底端上滑到a 的过程中，磁感应强度随时间在均匀增大
B．金属棒上滑经过ab 段的加速度小于下滑经过ab 段的加速度
C．金属棒上滑经过ab 段和下滑经过ab 段过程中，通过R 的电荷量之比为1 1∶
D．金属棒从a 处上滑到b 到再返回到a 处的总时间等于
6．（2024·河南濮阳·一模）如图1 所示，间距为L 的两足够长平行光滑导轨处于竖直固定状态，导轨处在垂直
导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨顶端连接阻值为R 的定值电阻。质量为m、接入电路电阻
也为R 的金属杆垂直接触导轨，让金属杆由静止开始下落，同时给金属杆施加竖直方向的拉力，使金属杆运动
的速度v 与运动位移x 的关系如图2 所示，当金属杆运动
距离时撤去外力，金属杆恰能匀速运动。已知重力加
速度大小为g，金属杆在运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好，则金属杆运动
距离的过程中（ ）
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A．金属杆做初速度为零的匀加速直线运动
B．金属杆克服安培力做的功为
C．金属杆受到的安培力的冲量大小为
D．通过定值电阻的电量为
7．（23-24 高三下·重庆·开学考）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，存在两个磁感应强度大小均为B、方向
相反的匀强磁场，磁场方向与斜面垂直，两磁场的宽度MJ 和JG 均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L
的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab 边刚越过GH 进入磁场时，线框恰好以速度
做匀速直线运动；
当ab 边下滑到JP 与MN 的中间位置时，线框又恰好以速度v 做匀速直线运动，则（ ）
A．当ab 边刚越过GH 进入磁场时，cd 边电势差
B．当ab 边刚越过JP 时，线框加速度的大小为
C．从ab 边刚越过JP 到线框再做匀速直线运动所需的时间
D．从ab 边刚越过GH 到ab 边刚越过MN 过程中，线框产生的热量为
8．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期末）我国第三艘航母福建舰已正式下水，如图甲所示，福建舰配备了目前世界上
最先进的电磁弹射系统。图乙是一种简化的电磁弹射模型，直流电源的电动势为E，电容器的电容为C，两条
相距L 的固定光滑导轨，水平放置处于磁感应强度B 的匀强磁场中。现将一质量为m，电阻为R 的金属滑块垂
直放置于导轨的滑槽内处于静止状态，并与两导轨接触良好。先将开关K 置于a 让电容器充电，充电结束后，
再将K 置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下加速运动，达到最大速度后滑离轨道。不计导轨和电路其他部分
的电阻，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
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A．金属滑块开始运动瞬间加速度最大
B．金属滑块在轨道上运动的最大速度为
C．金属块滑离时电容器两极板的电荷量为
D．金属滑块滑离轨道的整个过程中电容器消耗的电能为
9．（23-24 高三下·山东济宁·阶段练习）如图所示，两根金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，两金属棒始终和
导轨接触良好，左、右两部分导轨间距分别为L 和2L，AB 棒的质量为m 且电阻为R，CD 棒的质量为2m 且电
阻为2R，导轨间左、右两部分处在大小相等、方向相反的匀强磁场中，磁场方向如图所示。不计导轨电阻，现
用水平恒力F 向右拉CD 棒，使CD 棒向右运动，导轨足够长，磁场区域足够大。下列说法正确的是（ ）
A．稳定后，AB 棒向左匀速运动，CD 棒向右匀速运动
B．稳定后，CD 棒的加速度大小是
C．若F 作用一段时间后，AB 棒和CD 棒速度大小均为，此时立即撤去拉力F，此后AB 棒最终的速度大小为
，方向向左
D．当AB 棒和CD 棒速度大小均为时，立刻撤去拉力F，之后的过程整个回路产生的焦耳热为
10．（2024·山东枣庄·一模）如图所示，足够长的平行金属导轨固定在水平面内，间距
，电阻不计。与
导轨左端连接的线圈面积
，内阻
，匝数
匝。一根长
，质量
、电阻
的导体棒ab 垂直放置在导轨上，与导轨间的动摩擦因数
。线圈内的磁场平行于轴线向上，磁感
应强度的大小随时间变化的关系为
；导轨之间的匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度的大小
。
时刻闭合开关，当
时导体棒已达到最大速度，重力加速度
。则（ ）
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A．刚合上开关时导体棒的加速度为
B．导体棒运动速度的最大值为4m/s
C．
内导体棒的位移大小为16m
D．
内整个电路产生的焦耳热为20.8J
11．（2024·陕西宝鸡·二模）如图所示，两平行金属导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为
L，处在竖直向上、磁感应强度为2B 的匀强磁场中，宽轨部分间距为2L，处在竖直向下、磁感应强度为B 的匀
强磁场中。现将两根质量均为m 的导体棒a、b 分别静置在弧形导轨和水平宽轨上，导体棒a 从距水平导轨h 处
静止释放。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。两导体棒接入电路的电阻均为R，其余
电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，a 棒始终在窄轨磁场中运动，b 棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为g，
不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．a 棒刚进入磁场时，b 棒的加速度水平向左
B．从a 棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，b 棒上产生的焦耳热为
C．从a 棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，通过b 棒的电量为
D．从a 棒进入磁场到两棒达到稳定的过程中，a、b 棒与导轨所围线框的磁通量变化了
12．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，两根
型平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧
导轨间距分别为l 和
，处于竖直向下的磁场中，磁感应强度大小分别为
和B。已知导体棒ab 的电阻为R、
长度为l，导体棒cd 的电阻为
、长度为
，cd 的质量是ab 的3 倍。两棒中点之间连接一原长为L 轻质绝缘
弹簧。现将弹簧拉伸至
后，同时由静止释放两导体棒，两棒在各自磁场中往复运动直至停止，弹簧始终在弹
性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，电阻不计。下列说法正确的是（ ）
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A．整个过程中，回路中始终产生顺时针方向的电流
B．整个运动过程中，ab 与cd 的路程之比为3 1∶
C．cd 棒克服安培力做的功等于cd 棒产生的热量
D．整个运动过程中，通过cd 的电荷量为
13．（2024·四川成都·二模）两相距为
的长平行导轨EMP、FNQ 按图示方式固定，MP、NQ 水平，EM、FN
与水平面夹角为
，EFNM 及MNQP 区域内存在磁感应强度大小均为
，方向垂直轨道平面向上的匀强磁场。
金属杆ab 以速度
进入EFNM 区域的同时，静止释放位于MNQP 区域内的金属杆cd。整个过程
ab，cd 与两轨道始终垂直并保持良好接触，ab 未到达MN，cd 未离开PQ。两金属杆质量均为
，电阻均为
，
重力加速度大小为
，忽略导轨电阻及一切摩擦阻力。则（ ）
A．ab 刚进入EFNM 区域时，cd 中电流方向由d 到c
B．ab 进入EFNM 区域后，cd 做加速度增大的加速运动，最终加速度保持恒定
C．ab 中电流不变后的时间内，cd 动量变化量的大小为
D．cd 中电流不变后的时间内，cd 上产生的焦耳热为
三、解答题
14．（2024·四川成都·一模）如图所示，间距为L=0.4 m 平行金属导轨MN 和PQ 水平放置，其所在区域存在磁
感应强度为B1=0.5 T 的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd 到QN 的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。
光滑导轨QED 与NFC 沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=
m 的圆弧轨道与倾角为θ=37°的倾斜轨
道在E、F 点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平轨道右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直
于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B2=1.0 T。质量为m1=0.2 kg 的金属棒ef 光滑；质量为m2=0.1 kg 的金
属棒ab 粗糙，与导轨粗糙部分的动摩擦因数为μ=0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 Ω；倾斜轨道端点CD 之
间接入的电阻R0=0.3 Ω；初始时刻，ab 棒静止在水平导轨上，ef 棒以v0=2 m/s 的初速度向右运动，当两棒的距
离增加x=0.5m 时，ef 棒恰好到达QN 位置。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平
轨道与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取
重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6、cos 37°=0.8，求：
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（1）两棒在水平轨道运动过程中，通过ab 棒的最大电流；
（2）ab 棒到QN 的最小距离d；
（3）初始时刻至ef 棒恰好达到稳定状态的过程中系统产生的焦耳热。
15．（2024·天津·一模）某公园的游乐场中引进了电磁弹射儿童车项目，可简化如图，宽度为L 的水平轨道中
BE、CH 两段为绝缘材料制成，其余部分均为导体，且轨道各部分都足够长。ABCD 和EFGH 区域均存在竖直
向下的匀强磁场B（B 未知），AD 处接有电容大小为C 的电容器，FG 处接有阻值为2R 的定值电阻。儿童车可
简化为一根质量m，电阻为R 的导体棒（与轨道始终保持垂直且接触良好），开始时导体棒静止于AD 处（如
图），电容器两端电压为U0 ，然后闭合开关S，导体棒开始向右加速弹射。已知重力加速度为g，不计一切摩
擦和阻力。求：
（1）开始时电容器所带的电荷量
；
（2）若导体棒在ABCD 轨道上获得的最终速度为v，求整个过程中定值电阻2R 上产生的总热量Q；
（3）当B 为多大时，导体棒在ABCD 轨道上获得的最终速度最大？其最大值vm为多少？
16．（2024·北京西城·一模）磁力刹车是为了保证过山车在最后进站时的安全而设计的一种刹车形式。在轨道之
间设置较强的磁场，刹车金属片安装在过山车底部，该装置（俯视）可简化为如图所示的模型：水平导轨间距
为L，刹车金属片等效为一根金属杆ab，整个回路的等效电阻为R。磁场区域为方向竖直向下的匀强磁场，磁
感应强度的大小为B，过山车的总质量为m。过山车以速度v 进入磁场区域，通过磁场区域后速度变为0.5v。磁
力刹车阶段不计摩擦力和空气阻力。
（1）求杆ab 刚进入磁场区域时，受到的安培力F 的大小和方向。
（2）求过山车通过磁场区域的过程中，电路中产生的焦耳热Q。
（3）求磁力刹车阶段过山车加速度大小a 的变化范围。为使过山车加速度的大小不超过a₀，磁感应强度的大小
应满足什么条件？
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17．（2024·广东揭阳·二模）如图所示，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距L=20cm，两导轨及
其所构成的平面与水平面的夹角θ=37°，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大
小B=5T。现将质量分别为m1=0.1kg、m2=0.2kg 的金属棒a、b 垂直导轨放置，每根金属棒接人导轨之间的电阻均
为R=1Ω。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，取重力
加速度大小
，sin37°=0.6，cos37°=0.8.
（1）先保持b 棒静止，将a 棒由静止释放，求a 棒匀速运动时的速度大小v0；
（2）在（1）问中，当a 棒匀速运动时，再将b 棒由静止释放，求释放瞬间b 棒的加速度大小a0；
（3）在（2）问中，从b 棒释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v（未知），求速度v 的
大小与t0的关系式及时间t0内a 棒相对于b 棒运动的距离△x。
18．（2024·广东惠州·一模）如图所示，电阻不计、竖直放置的平行金属导轨相距
，与总电阻
的滑动变阻器、板间距
的足够长的平行板电容器连成电路，平行板电容器竖直放置．滑动变阻器的左
侧有垂直导轨平面向里的匀强磁场，其磁感应强度
，电阻
的金属棒ab 与导轨垂直，在外
力作用下紧贴导轨做匀速直线运动。合上开关S，当滑动变阻器触头P 在中点时，质量
。电量
的带正电的微粒从电容器中间位置水平射入，恰能在两板间做匀速直线运动，取重力加速度
。求：
（1）金属棒ab 运动的方向及其速度大小；
（2）当触头P 移至最上端C 时，同样的微粒从电容器中间位置水平射入，则该微粒向电容器极板运动过程中所
受重力的冲量大小（计算结果可用根式表示）。
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19．（2024·浙江嘉兴·二模）如图所示是两组固定的间距皆为d 的平行金属导轨（倾角为30°的abce 和光滑水平
桌面上的fghj），两者在e、b 两点绝缘但平滑连接。abce 处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，ac 间接一阻值
为R 的电阻。fh 间接一恒流源（电流大小恒为I 且方向如圆圈中箭头所示），fghj 所在的正方形区域kpqn 处于
另一磁场中。正方形金属线框水平放置在fg、hj 间，左侧紧靠pq。线框右侧水平导轨间有一个长度为
的区域，
处于竖直向下的磁感应强度为
的匀强磁场中。将质量为m、电阻为R 的导体棒A 从倾斜导轨上某一位置静止
释放，其在到达be 前已达稳定速度
。A 始终与导轨垂直且接触良好，经过kpqn 时磁场方向水平向左、磁感应
强度大小
（x 为A 到kn 的距离）。已知线框质量为3m、边长为
、自感系数为L，不计线框电阻；
A 与线框发生弹性碰撞后即撤出导轨区域。除kp、nq 两段导轨动摩擦因数为
外，其余部分皆光滑。求：
（1）倾斜导轨所处磁场的磁感应强度
大小；
（2）A 经过区域kpqn 过程中摩擦产生的热量Q；
（3）线框出磁场
时的速度大小。
20．（2024·云南昆明·一模）如图所示，两根相互平行且足够长的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，导
轨间距为L，导轨上接有电容为C 的电容器和阻值为R 的定值电阻。质量为m 的导体棒PQ 静止在导轨上，整
个系统处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器不带电。t＝0 时刻，对PQ 施加
水平向右大小为F 的恒力。PQ 和导轨的电阻均不计，PQ 运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若保持开关
断开、
闭合，求PQ 的最终速度；
（2）若保持开关
闭合、
断开，求PQ 的加速度大小；
（3）若保持开关
、
都闭合，从t＝0 到
时间内PQ 向右运动的距离为x，求
时刻PQ 的速度大小。
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21．（23-24 高二下·江苏苏州·阶段练习）某同学设计了一个具有电磁缓冲功能的火箭模型，结构示意图如图所
示。闭合矩形线圈
固定在主体下部，线圈的总电阻为
，匝数为
边长为
。模型外侧安装有由高强
度绝缘材料制成的缓冲槽，槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度为
的匀强磁场。假设模型以速度
与地面碰
撞后，缓冲槽立即停止，此后主体在线圈与缓冲槽内磁场的作用下减速，从而实现缓冲。已知主体与线圈总质
量为
，重力加速度为
，不计摩擦和空气阻力。
（1）求线圈中感应电流的最大值；
（2）当主体减速下落的加速度大小为
时，求此时线圈中通过的电流大小及主体的速度大小；
（3）已知缓冲槽停止后主体下落距离为时，主体速度减为
，此时主体和缓冲槽未相碰，求该过程中线圈产
生的热量
。
22．（2024·山西朔州·二模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，两导轨之间的距离为
d=1m，导轨所在空间GH 到JK 之间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，GH 到JK
之间的距离为L=3.0m。质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m，阻值均为R=0.5Ω 的导体棒a 和导体棒b 静止放置
在导轨上。初始时，导体棒b 在JK 的左侧且到JK 的距离为L1=1m，导体棒a 在GH 的左侧。现给导体棒a 一个
水平向右的初速度v0=6m/s，导体棒b 经过JK 时的速度大小为v1=2m/s，已知两导体棒运动过程中始终与导轨垂
直且接触良好，两导体棒没有发生碰撞，求：
（1）导体棒a 刚经过GH 瞬间，导体棒b 的加速度大小；
（2）导体棒a 从GH 运动到JK 的过程中，导体棒a 上产生的焦耳热。
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23．（2024·广东·二模）如图所示为一套电磁阻尼装置原理图，在光滑水平地面上方存在着水平方向上的磁场，
磁感应强度大小均为
，磁场方向垂直于纸面向里、向外分区域交替排列，依次编号为区域1、2、3、
4…，磁场区域足够多，每个区域的边界均保持竖直，且各区域宽度相等均为
，现有一个正方形线圈，
边长也为
，线圈匝数
，电阻
，质量为
，以初速度
向右滑入磁场区
域，重力加速度
。
（1）线圈从开始进入区域1 到刚要进入区域2 的过程中，求流经线圈的电荷量；
（2）线圈从开始进入区域1 到刚要进入区域2 的过程中，求线圈产生的焦耳热；
（3）线圈从开始运动到最终停止，求线框右侧边完整经过的磁场个数。
24．（2024·海南·模拟预测）如图所示，间距为d 光滑平行金属导轨由圆弧和水平两部分组成，两导轨之间连接
一个阻值为R 的定值电阻。水平导轨间存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向下，质
量为M、有效电阻也为R 的金属棒甲静止在磁场左侧边界线上。现在将一根质量为m 的绝缘棒乙，从圆弧轨道
上距水平面高度为L 处由静止释放，乙滑下后与甲发生弹性碰撞并反弹，然后再次与已经静止的甲发生弹性碰
撞。甲始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为g。求：
（1）第1 次碰后乙反弹的高度h；
（2）第1 次碰撞到第2 次碰撞过程中R 上产生的热量；
（3）已知圆弧轨道的半径为r，如果圆弧轨道半径远大于圆弧的弧长，则乙第1 次与甲碰撞后经过多长时间与
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甲发生第2 次碰撞。
25．（23-24 高三下·山东济宁·期末）如图所示，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属轨道，间距为L，电
阻不计。虚线左侧区域有竖直向下的磁感应强度为B1=B 的匀强磁场，虚线右侧有竖直向上的磁感应强度为
B2=2B 的匀强磁场。t=0 时刻金属杆a 以v1=v0的初速度向左滑动，金属杆b 以v2=2v0的初速度向右滑动。金属杆
ab 始终与导轨垂直且接触良好，金属杆a 始终在左侧轨道磁场区域运动，金属杆b 始终在右侧轨道磁场区域运
动。金属杆a 的质量为m，电阻为2r，金属杆b 的质量为2m，电阻为r。求：
（1）t=0 时刻金属杆b 瞬间的加速度大小；
（2）金属杆a 最多能产生多少焦耳热；
（3）当金属杆b 的速度为
时，金属杆a 的速度大小为多少。
26．（2024·湖北·二模）如图，间距为L=1m 的U 形金属导轨，一端接有电阻为
的定值电阻，固定在高
为h=0.8m 的绝缘水平桌面上。质量均为m=0.1kg 的匀质导体棒a 和b 静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好
且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为
，与导轨间的动摩擦因数均为
（设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力），导体棒a 距离导轨最右端距离为x=2.5m。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），
磁感应强度大小为B=0.1T。用沿导轨水平向右的恒力F=0.4N 拉导体棒a，当导体棒a 运动到导轨最右端时，导
体棒b 刚要滑动，撤去F，导体棒a 离开导轨后落到水平地面上。（重力加速度g 取
，不计空气阻力，不
计其他电阻）求：
（1）导体棒a 刚要离开导轨时的速度大小v；
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（2）导体棒a 由静止运动到导轨最右端的过程中，通过导体棒a 的电荷量q 以及导体棒a 中产生的焦耳热
；
（3）设导体棒a 与绝缘水平面发生碰撞前后，竖直方向速度大小不变，方向相反，碰撞过程中水平方向所受摩
擦力大小为竖直方向支持力的k 倍（碰撞时间极短，重力冲量可忽略不计），
，请计算导体棒a 离开
导轨后向右运动的最大水平距离lm。
27．（2024·湖南岳阳·二模）如图所示（俯视图），光滑绝缘水平面上有一边长
的正方形单匝导体线框
abcd，线框质量
，总电阻
。线框的右侧有两块条形区域的匀强磁场依次排列，条形区域的宽
度也均为
，长度足够长，磁场的边界与线框的bc 边平行。区域Ⅰ磁场的磁感应强度为
，方向竖
直向下，区域Ⅱ磁场的磁感应强度为
，方向也竖直向下。给线框一水平向右的初速度，初速度方向与
bc 边垂直，则
（1）若线框向右的初速度
，求线框bc 边刚进区域Ⅰ时，线框的加速度大小；
（2）若线框bc 边能穿过区域Ⅰ，则线框bc 边穿过区域Ⅰ的过程中，线框受到安培力的冲量；
（3）要使线框能完全穿过整个磁场区域，至少给线框多大的初速度。
28．（2024·江西九江·二模）如图甲所示，两根光滑平行导轨固定在水平面内，相距为L，电阻不计，整个导轨
平面处于方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中，导轨左端接有阻值为R 的电阻，沿导轨方向建立x 坐
标轴。质量为m、电阻为r 的金属棒ab 垂直导轨放置在
处。在金属棒ab 上施加x 轴方向的外力F，使金
属棒
开始做简谐运动，当金属棒运动到
时作为计时起点，其速度随时间变化的图线如图乙所示，其最
大速度为
。求：
（1）简谐运动过程中金属棒的电流i 与时间t 的函数关系；
（2）在
时间内通过金属棒的电荷量；
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（3）在
时间内外力F 所做的功；
（4）外力F 的最大值。
29．（2024·天津和平·一模）某游乐园中过山车进入停车区时利用磁力进行刹车，磁力刹车原理可以简化为如图
所示的模型：水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，金属棒MN 沿导轨向右运动的过程，对应过山车
的磁力刹车过程，假设MN 的运动速度代表过山车的速度，MN 所受的安培力代表过山车所受的磁场作用力。
已知过山车以速度
进入磁场区域，过山车的质量为m，平行导轨间距离为L，整个回路中的等效电阻为R，磁
感应强度大小为B；已知刹车过程中轨道对过山车的摩擦阻力大小恒为f，忽略空气阻力，求：
（1）刚进入磁场区域时，过山车的加速度a；
（2）若磁力刹车直至速度减为0 的过程所用时间为t，求此过程中摩擦力对过山车做的功W；
（3）若忽略摩擦阻力，求过山车运动到总位移的
倍时，安培力的功率。
30．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，倾角均为
、间距为L 的平行金属导轨左右对称，在底端平滑相连并
固定在水平地面上，左侧导轨光滑、长度为s，其上端接一阻值为R 的定值电阻，右侧导轨粗糙且足够长。两
导轨分别处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小均为
的匀强磁场中。现将一质量为m、长度为L 的金属棒
自左侧导轨顶端由静止释放，到达底端前金属棒已经达到最大速度，金属棒滑上右侧导轨时，左侧磁场立即发
生变化，使金属棒沿右侧导轨上滑过程中通过金属棒的电流始终为0。已知金属棒与右侧导轨间的动摩擦因数
，重力加速度为g，除定值电阻外，其余部分电阻均不计。
（1）求金属棒第一次运动到导轨底端时的速度大小；
（2）金属棒第一次沿右侧导轨上滑过程中，求左侧磁场的磁感应强度
与金属棒上滑距离x 的关系式；
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（3）金属棒在右侧导轨第一次上滑到最高点时，左侧磁场发生新的变化，使金属棒沿右侧导轨向下做加速度大
小为
的匀加速直线运动。当金属棒第二次运动到导轨底端时，求左侧磁场的磁感应强度
的大小。
31．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示为一质量为m 的动车电磁刹车装置的原理图。动车底部固定三个相
同的、水平放置的正方形金属线圈，每个线圈的匝数均为N，边长均为L，电阻均为R，相邻的两线圈之间的间
隔均为L。动车刹车时，在其行驶区域内会产生磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，磁场区域与无
磁场区域间隔排列，每个磁场区域的宽度均为L，无磁场区域的宽度均为2L。以速度
匀速行驶的动
车刹车时，撤去动车的动力，动车从开始刹车到停下来行驶的距离为60L。刹车过程中，机械阻力始终为车重
的0.1 倍；空气阻力始终为所有线圈受到的安培力的0.1 倍。已知重力加速度大小为g，求：
（1）线圈1 从开始进入一磁场区域到完全进入该磁场区域的过程中，通过线圈1 导线某横截面的电荷量
；
（2）整个刹车过程中，三个线圈总共产生的焦耳热Q；
（3）整个刹车过程所用的时间t。
32．（2024·江苏南京·一模）如图所示，足够长“V”字形的金属导轨两侧与水平地面的夹角
，最低点平
滑连接，其间距为
，左端接有电容
的电容器。质量
的导体棒可在导轨上滑动，导体
棒与两侧导轨间的动摩擦因数相同，导体棒和导轨的电阻均不计。导轨左右两侧存在着垂直于导轨所在平面的
匀强磁场，磁感应强度
。现使导体棒从左侧导轨上某处由静止释放，经时间
第一次到达最低点，
此时速度
，然后滑上右侧导轨，多次运动后，最终停在导轨的最低点。整个过程中电容器未被击穿，
忽略磁场边缘效应和两个磁场间相互影响，重力加速度g 取10
，
，
。求：
（1）导体棒第一次运动到最低点时，电容器所带电荷量Q；
（2）动摩擦因数
和导体棒第一次运动到最低点时，电容器储存的能量
；
（3）导体棒运动的总时间
。
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33．（2024·黑龙江·二模）如图所示，相距为L 的光滑平行水平金属导轨MN、PQ，在M 点和P 点间连接一个
阻值为R 的定值电阻。一质量为m、电阻也为R、长度也刚好为L 的导体棒垂直搁在导轨上的a、b 两点间，在
导轨间加一垂直于导轨平面竖直向下的有界匀强磁场，磁场宽度为d，磁感应强度大小为B，磁场左边界到ab
的距离为d。现用一个水平向右、大小为F 的力拉导体棒，使导体棒从a、b 处由静止开始运动，导体棒进入磁
场瞬间，拉力方向不变、大小变为2F。已知导体棒离开磁场前已做匀速直线运动，导体棒与导轨始终保持良好
接触，导轨电阻不计。求：
（1）导体棒进入磁场瞬间，定值电阻两端的电压；
（2）导体棒通过磁场区域的过程中，导体棒上产生的焦耳热；
（3）若要使导体棒进入磁场后一直做匀速运动，磁场左边界到ab 的距离应调整为多少？
34．（2024·河北邯郸·一模）如图所示，水平面内固定有一“
”形状的光滑金属框架导轨，顶角为
，
处于匀强磁场中，磁感应强度为大小为B，方向与导轨平面垂直。以导轨的顶点O 为原点，建立坐标系，使得x
轴与导轨的一条边重合。质量为m 的金属杆与y 轴平行、与两条导轨紧密接触。导轨与金属杆的材料相同，单
位长度电阻均为
，金属杆在与x 轴平行的外力作用下，以速度
沿x 轴正方向匀速运动。金属杆经过原点O
时开始计时，金属杆与框架足够长，求：
（1）外力随时间t 变化的表达式；
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（2）金属杆上产生的内能随时间t 变化的表达式；
（3）若金属杆到O 点距离为l 时撤去外力，金属杆停下来的位置与原点O 的距离。
35．（23-24 高三下·云南·开学考）如图所示，两根完全相同的光滑平行长直导轨固定，长直导轨构成的平面与
水平面的夹角
，两导轨顶、底端分别连接电阻
、
，在导轨所在斜面上以
为坐标原点建立平面直
角坐标系，斜面上的矩形区域
内分布有方向垂直于斜面向上的磁场，磁场沿x 正方向磁感应强度
，沿y 方向均匀分布。某时刻在导轨斜面上
上方
处由静止释放一金属棒
，金属
棒
进入磁场后，立即在棒上施加一方向沿斜面向上的力F，金属棒
在磁场中的运动过程，棒中电流始终保
持不变。已知导轨间距
，磁场上边界
与下边界
间的距离
，金属棒
质量
，
金属棒与导轨接触的两点间电阻
，
，其余电阻不计，重力加速度大小
，
，不计空气阻力，
棒下滑过程中始终与导轨垂直。求：
（1）金属棒
刚进入磁场时流经
的电流
；
（2）金属棒
通过磁场的过程中，电阻
产生的焦耳热
；
（3）金属棒
通过磁场的过程中力F 所做的功W。
36．（2024·湖南长沙·一模）如图，质量为m 的均匀金属棒ab 垂直架在水平面甲内间距为3L 的两光滑金属导轨
的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接而成（即图中半径OM 和（
竖直），圆弧导轨半径为R、对应圆心角为60°、间距为3L，水平导轨间距分别为3L 和L。质量也为m 的
均匀金属棒cd 垂直架在间距为L 的导轨左端。导轨
与
，
与
均足够长，所有导轨的电阻都不
计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨的水平部分均有竖直方向的、磁感应强度为B 的匀强磁场，圆弧部
分和其他部分无磁场。闭合开关S，金属棒ab 迅即获得水平向右的速度（未知，记为
）做平抛运动，并在高
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度降低3R 时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为g，
求：
（1）空间匀强磁场的方向；
（2）棒ab 做平抛运动的初速度
；
（3）通过电源E 某截面的电荷量q；
（4）从金属棒ab 刚落到圆弧轨道上端起至棒ab 开始匀速运动止，这一过程中棒ab 和棒cd 组成的系统损失的
机械能
。
37．（2024·安徽芜湖·二模）如图所示，足够长的两平行金属导轨倾斜固定放置，导轨平面倾角为
，导
轨间距
，导轨底端接
的定值电阻，导轨电阻不计。导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，
磁场的磁感应强度大小
，质量
、接入电路电阻
的金属棒ab 垂直置于导轨上。金属棒ab
在大小为7.0N、方向始终沿轨道平面向上并垂直于金属棒的恒力F 作用下，从静止开始沿导轨向上滑行，已知
金属棒ab 与导轨间的动摩擦因数
，
，
，
。求：
（1）金属棒从静止起向上运动的过程中，金属棒的最大加速度及拉力的最大功率分别为多少？
（2）当金属棒刚匀速运动时改变拉力的大小，使金属棒以
的加速度沿轨道向上做匀加速运动，经过一段
时间，拉力的冲量达到
时，该段匀加速运动时间内，通过金属棒横截面的电量为多少？
（3）若当金属棒匀速运动时改变拉力的大小，使拉力F 的功率恒为75W，此后经3s 金属棒的加速度变为零，
此过程电阻R 中产生的焦耳热为20J，则此过程金属棒沿导轨向上运动的距离为多少？
38．（2024·四川成都·二模）MN、PQ 是固定在水面内间距为L 的两条光滑长直导轨，导轨位于竖直向上的匀强
磁场中，a、b 是用同种材料制成的两根长为L 的均匀金属棒，其质量ma=3m，mb=m，金属棒a 的电阻为R，开
始a、b 经静止垂直跨放在导轨上，它们之间的距离也为L，导轨电阻忽略不计。现使a 棒以指向b 棒的初速度
开始运动，运动中两棒与导轨始终垂直且接触良好。
（1）若a 棒开始运动瞬间加速度大小为
，求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
（2）若a、b 运动中不会发生碰撞，求当b 棒的速度
时a 棒上产生的焦耳热Q；
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（3）若a、b 棒运动中发生弹性磁撞，不考虑碰撞过程中的电磁感应，最终a、b 两棒之间的距离仍为L，求匀
强磁场的磁感应强度大小B2。
39．（2024·河南南阳·一模）如图所示，光滑导轨
与水平方向成
夹角，间距为
。虚线垂直于倾斜导
轨且与
边距离为
，上方存在垂直斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度大小B 随时间变化的关系式为
（k 为已知的常数且为正值）。间距为L 粗糙的平行导轨
、
固定放置，j、n 连线的右侧存在竖直向下磁感
应强度大小为
的匀强磁场，质量为m 的导体棒乙垂直水平导轨放置。现让质量为m 的均匀导体棒甲在虚线的
下方垂直倾斜导轨由静止释放，沿导轨下滑
后到达转折点
处，立即滑上水平导轨（在转折处速度由倾斜
变成水平，大小不变），导体棒甲在水平导轨上滑行一段距离
后停在导体棒乙的左侧。已知导体棒甲刚滑上
水平导轨时，导体棒乙受到静摩擦力刚好达到最大值，导体棒甲在倾斜导轨上滑行时接入电路的电阻为R，其
他的电阻均忽略不计，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒甲、乙与水平导轨之间的
动摩擦因数相等，
，
，求：
（1）导体棒甲到达b、d 处的速度大小以及导体棒乙与水平导轨间的动摩擦因数；
（2）导体棒甲在水平导轨上滑行的时间；
（3）导体棒甲由静止释放到停止运动产生的焦耳热。
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