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专题25 压轴题
目录
考点一 压轴题应试策略..............................................2
..........2
............9
1. 力学综合型应试策略................................................9
2. 带电粒子运动型应试策略......................................9
3. 电磁感应型应试策略.............................................10
4. 力电综合型应试策略.............................................10
5. 信息处理型应试策略.............................................11
.............11
考向一 力学综合型压轴题.............................................11
考向二 带电粒子运动型压轴题...................................14
考向三 电磁感应型压轴题.............................................19
考向四 力电综合型压轴题.............................................24
考向五 信息处理型压轴题.............................................28
考情分析
从近年来的高考压轴题来看，命题趋势呈现出以下特点：注重基础知识和核心素养的
考查；强调实际应用和问题解决能力的培养；关注综合素质的提升；倾向于开放性、探究
性的命题方式。高考压轴题往往具有一定的创新性和实用性，题目的背景和情境可能与实
际生活、科学研究等方面紧密联系。这要求考生在掌握基本知识的同时，还要关注实际应
用和前沿动态，提高自己的综合素质。高考压轴题具有较高的区分度，能够较好地区分出
考生的水平和能力。对于优秀的考生来说，压轴题是提高总分的关键；而对于一般考生来
说，压轴题则是拉开分数差距的重要因素。
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2
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考点一 压轴题应试策略
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M 的静止薄圆盘，圆盘与管的
上端口距离为l，圆管长度为
。一质量为
的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，
圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，
小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
【考向】力学综合型压轴题
【答案】（1）小球速度大小
，圆盘速度大小
；（2）l；（3）4
【详解】（1）过程1：小球释放后自由下落，下降，根据机械能守恒定律
解得
过程2：小球以
与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律分别有
解得
即小球碰后速度大小
，方向竖直向上，圆盘速度大小为
，方向竖直向下；
（2）第一次碰后，小球做竖直上抛运动，圆盘摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度比
3
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小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，即
解得
根据运动学公式得最大距离为
（3）第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，则有
即
解得
此时小球的速度
圆盘的速度仍为
，这段时间内圆盘下降的位移
之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒
根据能量守恒
联立解得
同理可得当位移相等时
解得
圆盘向下运动
此时圆盘距下端管口13l，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度
有动量守恒
机械能守恒
得碰后小球速度为
圆盘速度
当二者即将四次碰撞时x 盘3= x 球3
即
4
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得
在这段时间内，圆盘向下移动
此时圆盘距离下端管口长度为20l－1l－2l－4l－6l = 7l
此时可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，下降距离逐次增加2l，故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动x
盘4= 8l
则第四次碰撞后落出管口外，因此圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为4 次。
2．（2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”
和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小
为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为
和
，其
电势差
。一束质量为m、电荷量为e 的质子从O 点以入射角
射向Ⅰ区，在P 点以出射角
射
出，实现“反射”；质子束从P 点以入射角
射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹
角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为
，不计质子重力，
不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d 的最小值；
（2）若
，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P 点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）
（4）在P 点下方距离
处水平放置一长为
的探测板
（Q 在P 的正下方），
长为
，
质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O 点射
入Ⅰ区，且
，求探测板受到竖直方向力F 的大小与U 之间的关系。
【考向】带电粒子运动型压轴题
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）见解析
【详解】（1）根据牛顿第二定律
不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d 的最小值为
（2）设水平方向为
方向，竖直方向为
方向，
方向速度不变，
方向速度变小，假设折射角为
，根
据动能定理
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解得
根据速度关系
解得
（3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候
方向速度为零，即
可得
即应满足
（4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得
所以如果
的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下：
①当
时
又
解得
全部都打不到板的情况
②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为
时，粒子刚好打到D 点，水平方向速度为
所以
又
解得
即当
时
③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（
），此时仅有O 点左侧的一束粒子能打到
板上，因此
又
解得
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行部分的间距为，导
轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应
强度大小为
。一质量为
、电阻为
、长度也为的金属棒P 静止在导轨上。导轨上质量为
的绝缘棒
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Q 位于P 的左侧，以大小为
的速度向P 运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P 和Q
先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P 与
Q 始终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
【考向】电磁感应型压轴题
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由于绝缘棒Q 与金属棒P 发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
联立解得
，
由题知，碰撞一次后，P 和Q 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则金属棒P 滑出导
轨时的速度大小为
（2）根据能量守恒有
解得
（3）P、Q 碰撞后，对金属棒P 分析，根据动量定理得
又
，
联立可得
由于Q 为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q 运动的时间为
4．（2023·福建·统考高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，
其电荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整
个空间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大
小均为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此
时弹簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，
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A 的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
【考向】力电综合型压轴题
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知
时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为
r0，根据平衡条件有
其中
联立可得
（3）在
时刻，A 的速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，
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此时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为
，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左
运动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。
设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B：
联立解得
5．（2023·北京·统考高考真题）在发现新的物理现象后，人们往往试图用不同的理论方法来解释，比如，
当发现光在地球附近的重力场中传播时其频率会发生变化这种现象后，科学家分别用两种方法做出了解释。
现象：从地面P 点向上发出一束频率为
的光，射向离地面高为H（远小于地球半径）的Q 点处的接收器
上，接收器接收到的光的频率为
。
方法一：根据光子能量
（式中h 为普朗克常量，m 为光子的等效质量，c 为真空中的光速）和
重力场中能量守恒定律，可得接收器接收到的光的频率
。
方法二：根据广义相对论，光在有万有引力的空间中运动时，其频率会发生变化，将该理论应用于地球附
近，可得接收器接收到的光的频率
，式中G 为引力常量，M 为地球质量，R 为地球
半径。
下列说法正确的是（ ）
A．由方法一得到
，g 为地球表面附近的重力加速度
B．由方法二可知，接收器接收到的光的波长大于发出时光的波长
C．若从Q 点发出一束光照射到P 点，从以上两种方法均可知，其频率会变小
D．通过类比，可知太阳表面发出的光的频率在传播过程中变大
【考向】信息处理型压轴题
【答案】B
【详解】A．由能量守恒定律可得
，
，解得
，选项A 错误；B．由
表达式
，可知
，即接收器接受到的光的波长大于发出的光的波长，选项B 正确；
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C．若从地面上的P 点发出一束光照射到Q 点，从以上两种方法均可知，其频率变小，若从Q 点发出一束
光照射到P 点，其频率变大，选项C 错误；D．由上述分析可知，从地球表面向外辐射的光在传播过程中
频率变小；通过类比可知，从太阳表面发出的光的频率在传播过程中变小，选项D 错误。
故选B。
1. 力学综合型应试策略
力学综合试题往往呈现出研究对象的多体性、物理过程的复杂性、已知条件的隐含性、问题讨论的多
样性、数学方法的技巧性和一题多解的灵活性等特点，能力要求较高．具体问题中可能涉及到单个物体单
一运动过程，也可能涉及到多个物体，多个运动过程，在知识的考查上可能涉及到运动学、动力学、功能
关系等多个规律的综合运用。
应试策略：
①对于多体问题：要灵活选取研究对象，善于寻找相互联系。
选取研究对象和寻找相互联系是求解多体问题的两个关键．选取研究对象需根据不同的条件，或采用
隔离法，即把研究对象从其所在的系统中抽取出来进行研究；或采用整体法，即把几个研究对象组成的系
统作为整体来进行研究；或将隔离法与整体法交叉使用。
②对于多过程问题：要仔细观察过程特征，妥善运用物理规律。
观察每一个过程特征和寻找过程之间的联系是求解多过程问题的两个关键．分析过程特征需仔细分析
每个过程的约束条件，如物体的受力情况、状态参量等，以便运用相应的物理规律逐个进行研究。至于过
程之间的联系，则可从物体运动的速度、位移、时间等方面去寻找。
③对于含有隐含条件的问题：要注重审题，深究细琢，努力挖掘隐含条件。
注重审题，深究细琢，综观全局重点推敲，挖掘并应用隐含条件，梳理解题思路或建立辅助方程，是
求解的关键。通常，隐含条件可通过观察物理现象、认识物理模型和分析物理过程，甚至从试题的字里行
间或图象图表中去挖掘。
④对于存在多种情况的问题：要认真分析制约条件，周密探讨多种情况。
解题时必须根据不同条件对各种可能情况进行全面分析，必要时要自己拟定讨论方案，将问题根据一
定的标准分类，再逐类进行探讨，防止漏解。
2. 带电粒子运动型应试策略
带电粒子运动型计算题大致有两类，一是粒子依次进入不同的有界场区，二是粒子进入复合场区．近
年来高考重点就是受力情况和运动规律分析求解，周期、半径、轨迹、速度、临界值等．再结合能量守恒
和功能关系进行综合考查。
应试策略：
正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提：
①带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始状态的速度，因此应把带电
粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运
动（如速度选择器）。
②带电粒子所受的重力和电场力等值反向，洛伦磁力提供向心力，带电粒子在垂直于磁场的平面内做
匀速圆周运动。
③带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时
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粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此
粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段组成。
3. 电磁感应型应试策略
电磁感应是高考考查的重点和热点，命题频率较高的知识点有：感应电流的产生条件、方向的判定和
感应电动势的计算；电磁感应现象与磁场、电路、力学、能量等知识相联系的综合题及感应电流（或感应
电动势）的图象问题．从计算题型看，主要考查电磁感应现象与直流电路、磁场、力学、能量转化相联系
的综合问题，主要以大型计算题的形式考查。
应试策略：
在分析过程中，要注意通电导体在磁场中将受到安培力分析；电磁感应问题往往与力学问题联系在一
起。
解决问题的基本思路：
①用法拉第电磁感应定律及楞次定律求感应电动势的大小及方向；
②求电路中的电流；
③分析导体的受力情况；
④根据平衡条件或者牛顿第二运动定律列方程。
解题过程中要紧紧地抓住能的转化与守恒分析问题．电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式
的能转化而来，具体问题中会涉及多种形式的能之间的转化，机械能和电能的相互转化、内能和电能的相
互转化。
分析时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，明确有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与
了相互转化，如摩擦力在相对位移上做功，必然有内能出现；重力做功，必然有重力势能参与转化；安培
力做负功就会有其他形式能转化为电能，安培力做正功必有电能转化为其他形式的能；然后利用能量守恒
列出方程求解。
4. 力电综合型应试策略
力学中的静力学、动力学、功和能等部分，与电学中的场和路有机结合，出现了涉及力学、电学知识
的综合问题。
主要表现为：
带电体在场中的运动或静止，通电导体在磁场中的运动或静止；交、直流电路中平行板电容器形成的
电场中带电体的运动或静止；电磁感应提供电动势的闭合电路等问题。
这四类又可结合并衍生出多种多样的表现形式。
从历届高考中，力电综合型有如下特点：
①力、电综合命题多以带电粒子在复合场中的运动．电磁感应中导体棒动态分析，电磁感应中能量转
化等为载体，考查学生理解、推理、综合分析及运用数学知识解决物理问题的能力。
②力、电综合问题思路隐蔽，过程复杂，情景多变，在能力立意下，惯于推陈出新、情景重组，设问
巧妙变换，具有重复考查的特点。
应试策略：
解决力电综合问题，要注重掌握好两种基本的分析思路：
一是按时间先后顺序发生的综合题，可划分为几个简单的阶段，逐一分析清楚每个阶段相关物理量的
关系规律，弄清前一阶段与下一阶段的联系，从而建立方程求解的“分段法”。
一是在同一时间内发生几种相互关联的物理现象，须分解为几种简单的现象，对每一种现象利用相应
的概念和规律建立方程求解的“分解法”。研究某一物体所受到力的瞬时作用力与物体运动状态的关系
（或加速度）时，一般用牛顿运动定律解决；涉及做功和位移时优先考虑动能定理；对象为一系统，且它
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们之间有相互作用时，优先考虑能的转化与守恒定律。
5. 信息处理型应试策略
信息处理型试题是指试题提供一些有关信息，然后要求考生根据所学知识，将有用的信息收集起来，
经过处理后运用已经的知识、方法和手段解决新问题。
这类题型主要涉及到知识理解、过程分析、模型转换、方法处理等。
信息提供的方式主要有文字信息和图表信息。文字信息往往是文字阅读量比较大，要求考生从文字信
息中找到有用的信息来进行处理；图片信息包括结构图和函数关系图像等。
应试策略：
这种题型的处理思路和步骤为：
①领会问题的情境，在所给的信息中获取有用的信息，构造相应的物理模型；
②合理选择研究对象；分析研究对象受力情况、状态、能量等信息；
③运用试题所给规律、方法或自己已经掌握物理规律和方法求解。
考向一 力学综合型压轴题
1．（2024·广东佛山·统考二模）台球是深受大众喜爱的娱乐健身活动。如图，运动员采用“点杆”击球法
（当球杆杆头接触母球的瞬间，迅速将杆抽回，母球离杆后与目标球发生对心正碰，视为弹性碰撞）击打
母球，使得目标球被碰撞后经CD 边反弹进入球洞A，这种进球方式被称为“翻袋”进球法。已知两球质
量均为
，且可视为质点，球间距离为
，目标球与CD 挡壁间虚线距离为
，目标球被CD 挡
壁反弹后向A 球洞运动方向与AC 挡壁间夹角为
，
，球与桌面间阻力为重力的
，球与挡
壁碰撞过程中损失
的动能，重力加速度
。
（1）求母球在桌面做直线运动时的加速度大小；
（2）若某次击打后母球获得的初速度为
，且杆头与母球的接触时间为
，求母球受到杆头的平
均冲击力大小；
（3）若击打后母球获得速度
，求目标球被碰撞后的速度大小；
（4）若能到达球洞上方且速率小于
的球均可进洞，为使目标球能进洞，求母球初速度需要满足的条
件。（计算结果都可以用根号表示）
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）由牛顿第二定律可得
根据题意可知
解得
（2）杆头击打母球，对母球由动量定理可得
代入数据解得
（3）母球与目标球碰撞前，做匀减速直线运动，由动能定理可得
母球与目标球碰撞前后，根据动量守恒和机械能守恒可得
联立解得目标球被碰撞后的速度大小为
（4）母球与目标球碰撞前，做匀减速直线运动，由动能定理可得
母球与目标球碰撞前后，根据动量守恒和机械能守恒可得
目标球前进到CD 挡壁，做匀减速直线运动，由动能定理可得
目标球与CD 挡壁碰撞，根据题意有
即
目标球运动到A 球洞过程，由动能定理可得
又满足
联立解得
2．（2024·河北秦皇岛·昌黎一中校考模拟预测）如图，固定在水平地面上的凹槽，槽宽
，左侧槽
缘高
、斜面倾角
，右侧槽缘高
、光滑圆弧形轨道足够长。长
、高
、质量
的木板
静止在槽内，左端距凹槽左侧
。可视为质点的滑块B，质量
，放在A 上表面的最左端。质量
、
的小球水平撞击
后水平反弹，下落过程
中刚好与斜面相切通过斜面最高点。已知
与
、
与凹槽底部的动摩擦因数分别为
、
，
向右滑行过程中未与
共速，
与凹槽左、右侧碰撞后立即停止但不粘连，
取
。求：
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（1）小球与B 碰后，B 获得的速度
；
（2）B 能上升到距A 上表面的最大高度
；
（3）整个过程中
、
间摩擦产生的热量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设小球水平反弹的速度大小为
，从反弹到通过斜面最高点时的时间为
，竖直方向的速
度为
，则有
在竖直方向上有
，
设小球与
撞击后，
获得的为
，取向右为正方向，根据动量守恒定律有
解得
，
（2）设
滑上凹槽右侧光滑轨道时的速度为，由于
向右滑行过程中与
未共速，
对地移动的距离为
，依题意有
根据动能定理有
B 沿弧形轨道上升到最大高度
，根据机械能守恒定律有
解得
，
（3）B 返回到
的右端时速度大小仍为，设
在
上减速滑行的加速度大小为
，
在凹槽内加速滑
行的加速度大小为
，根据牛顿第二定律有
，
解得
，
现判断
向左移动时是否与
共速。假设经过时间，
、
达到共速为
，则有
，
解得
在时间内，
对地的位移
A 对地的位移
则B 在A 上滑行的位移
所以，
与凹槽左侧相碰前，
未滑离
上表面并与
达到共速。A、B 以
的速度一起减速到
与凹槽
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左侧相碰，设
与凹槽左侧相碰时速度为
，则有
与凹槽左边缘相碰后
在
上滑行的距离
解得
即
最终未滑离
上表面，由于
整个过程A、B 间摩擦产生的热量
解得
考向二 带电粒子运动型压轴题
3．（2024·四川成都·统考二模）某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为
，左边界与轴
垂直交于坐标原点
，其内充满垂直于
平面向里的匀强磁场；Ⅱ区宽度为
，左边界与轴垂直交
于
点，右边界与轴垂直交于
点，其内充满沿
轴负方向的匀强电场。测试板垂直轴置于Ⅱ区右边
界，其中心
与
点重合。从离子源不断飘出电荷量为、质量为
的正离子，加速后沿轴正方向过
点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心
。已知离子刚进入Ⅱ区时速度大小为
，速度方向与轴
正方向的夹角为
。忽略离子间的相互作用，不计离子重力。
（1）求Ⅰ区匀强磁场的磁感应强度大小
；
（2）求Ⅱ区匀强电场的电场强度大小
；
（3）将Ⅱ区右边界和测试板同时右移使Ⅱ区足够大，在Ⅱ区同时填充题干中的匀强电场和磁感应强度大
小为
、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其它条件不变，离子的运动轨迹如图乙中的虚线所示，
求离子在Ⅱ区运动过程中的速度最大值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律
根据几何关系有
联立解得
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（2）离子在匀强电场中做类平抛运动，在轴方向上有
在
轴方向上（以
轴负方向为正）有
又
联立解得
（3）离子进入Ⅱ区时，洛伦兹力沿
轴方向的分量
洛伦兹力沿轴方向的分量
因此离子在Ⅱ区的运动可看成水平方向的匀速直线运动和逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，当离子在
最低点时，两个分运动速度同向，离子有速度的最大值为
解得
4．（2024·山东日照·日照一中校联考一模）某科研小组设计了控制带电粒子在电磁场中运动的实验装置，
其结构简图如图甲所示，三维坐标系
中存在从左到右的三个区域，I 区与II 区在xOy 平面内。I 区是
半径为R、圆心为O1的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向沿
方向；Ⅱ区是宽度为d 的匀强
磁场区域，磁感应强度大小为
，方向沿
方向，Ⅱ区左边界与圆形磁场相切于O2点，Ⅱ区右边界紧靠
y 轴。yOz 平面及右侧为Ⅲ区，存在沿x 方向的电场和磁场，电场的电场强度E 随时间t 变化的关系如图乙
所示（沿+x 方向电场强度为正）；磁场沿-x 方向，y>0 区域的匀强磁场的磁感应强度大小为2B，y<0 区域
的匀强磁场的磁感应强度大小为B。在
处有一平行于yOz 平面的荧光屏。I 区圆形磁场边界上
有一个M 点，M 点与O1点沿x 方向的距离为
。一个质量为m、电荷量为+q 的粒子从M 点以速度
沿-y
方向射入I 区磁场，再经某点进入II 区磁场，然后进入Ⅲ区（此时为t=0 时刻）。已知
，
，
，不计粒子重力，不考虑电场变化产生的影响。求:
（1）带电粒子进入II 区时的位置和速度方向：
（2）若带电粒子不能进入Ⅲ区，d 的最小值；
（3）若
，带电粒子进入III 区到打到荧光屏上所需要的时间；
（4）若
，带电粒子进入III 区后，打到荧光屏的位置坐标。
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【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）带电粒子进入I 区磁场，根据洛伦兹力提供向心力
解得
画出带电粒子的运动轨迹，如下图所示
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轨迹恰好经过
点，确定轨迹圆圆心
，连接
、
、
、
，得到菱形
，利用几
何知识可知带电粒子会经过点
，且速度方向与
方向夹角为
（2）带电粒子进入II 区磁场，根据洛伦兹力提供向心力
解得
画出带电粒子的运动轨迹，如下图所示
轨迹恰好与
平面相切时，
最小，利用几何知识可知
解得
（3）若
，带电粒子进入II 区后，粒子运动轨迹如下图所示
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利用几何知识可知，带电粒子恰好经过
点进入Ⅲ区，带电粒子经过
时速度方向与
方向夹角为
所以沿
方向的速度
带电粒子进入Ⅲ区后在方向受到电场力，带电粒子做周期性运动，在电场变化的一个周期内，
时间
内，根据牛顿第二定律
带电粒子先做匀减速运动到速度为零，根据运动学公式
解得
在前
时间内带电粒子的位移
再沿
方向做匀加速运动，经过时间为
此时沿着方向的速度
时间内，带电粒子先沿
做匀减速运动到速度为零，根据牛顿第二定律
根据运动学公式
解得
再沿着
方向做匀加速运动，经过时间
速度增加到
，则
在一个周期内，沿
方向的位移为
则
所以带电粒子进入Ⅲ区后，打到荧光屏的时间
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（4）带电粒子进入Ⅲ区后，在
平面内在
区域做半径为
的圆周运动，运动半周后进入
区域做半径
的圆周运动，运动半周后进入
区域，以此类推，图下图所示
设运动周期为
，设带电粒子在
平面在
区域做半径为
的圆周运动的周期为
，则
设带电粒子在
平面在
区域做半径为
的圆周运动的周期为
，则
则
带电粒子进入Ⅲ区后到打到荧光屏的时间内
由分析可知在一个
时间内带电粒子沿轴正方向运动的距离为
，则
在两个
时间内带电粒子沿轴正方向运动的距离
再经过
时间内带电粒子沿轴正方向运动的距离为
然后再经过
时间内带电粒子沿轴负方向运动的距离为
带电粒子在时间内沿轴运动的距离为
在第三个
时间内带电粒子沿
轴正方形运动的距离为
所以带电粒子打到荧光屏的位置坐标为
。
考向三 电磁感应型压轴题
5．（2024·福建福州·统考二模）如图甲所示，两平行长直金属导轨水平放置，间距
。PQ 右侧区
域有匀强磁场，磁感应强度大小
，方向竖直向上。
时，磁场外的细金属杆M 以
的
速度向右运动，
时，细金属杆M 恰好到达PQ 处，同时，对磁场内处于静止状态的细金属杆N 施加一
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与轨道平行的水平向右的恒力，其大小
。N 杆运动2s 后两杆速度相等，两金属杆与导轨接触良好
且运动过程中始终与导轨垂直，细金属杆M 速度随时间变化的
图像如图乙所示，两杆质量均为
，与导轨间的动摩擦因数相同，在导轨间的电阻均为
，感应电流产生的磁场忽略不计，
取重力加速度
。求：
（1）金属杆与导轨间的动摩擦因数
；
（2）为保证两杆不发生碰撞，初始时金属杆N 到边界PQ 的最小距离
；
（3）金属杆N 最终运动的速度大小
，并在乙图中作出金属杆N 速度随时间变化的
图像（无需过程
说明）；
（4）若从金属杆N 开始运动达到稳定运动状态经历
时间（
已知），求整个过程两根金属杆产生的总
焦耳热Q。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
；
（4）
【详解】（1）由
图像得
对
棒，根据牛顿第二定律有
解得
（2）对
棒组成的系统，因有
所以系统动量守恒。设
棒刚进入磁场的速度为
，共速的速度为
，有
解得
对
棒，根据动量定理有
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又
联立解得
（3）
棒运动全过程，有
棒最终在水平面做匀速直线运动，有
解得
，
作出金属杆N 速度随时间变化的
图像如图
（4）对
棒，根据动量定理有
又
解得
由能量守恒定律有
联立解得
6．（2024·全国·校联考模拟预测）如图甲所示，线圈A 匝数
匝，横截面积
，电阻
。
A 中有横截面积
的匀强磁场区域D，其磁感应强度B 的变化如图乙所示，
时刻，磁场方向
垂直于线圈平面向里。电阻不计的宽度
的足够长的水平光滑金属轨道MN、PO 通过开关S 与A 相
连，两轨间存在
的垂直平面的匀强磁场（图中未画出）。另有相同的金属轨道NH、OC 通过光滑绝
缘件与MN、PO 相连，两轨间存在的磁场方向垂直平面向外。以O 为原点，沿OC 直线为x 轴，ON 连线
为y 轴建立平面直角坐标系xOy 后，磁感应强度沿x 轴按照
（单位为T）分布，沿y 轴均匀分
布。现将长度为L，质量
，电阻
的导体棒ab 垂直放于MN、PO 上，将边长为L，质量也为
m，每边电阻均为
的正方形金属框cdfe 放于NH，OC 上，cd 边与y 轴重合。闭合开关S，棒ab
向右加速达最大速度后，在越过绝缘件的同时给金属框一个
的向左的水平速度，使之与棒发生弹
性正碰。碰后立即拿走导体棒ab，框运动中与轨道处处接触良好。
（1）求MN、PO 导轨间磁场的方向及刚闭合开关S 时导体棒ab 的加速度大小；
（2）求碰后瞬间金属框的速度大小；
（3）求碰后瞬间金属框克服所受安培力的合力的功率。
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【答案】（1）磁场方向垂直
平面向里，
；（2）
；（3）
【详解】（1）线圈A 中磁场减弱，由楞次定律结合安培定则可知，流过的
电流方向从指向，由
受到的安培力向右，结合左手定则可知
、
导轨间的磁场方向垂直
平面向里。由法拉第电磁
感应定律，线圈A 中的感应电动势
由闭合电路欧姆定律得
刚闭合开关S 时导体棒ab 所受的安培力
由牛顿第二定律得，刚闭合开关S 时导体棒ab 的加速度大小
（2）当
到达最大速度时，
切割磁感线产生的电动势与
相等，所以有
得
棒与线框发生弹性碰撞，设向右为正方向，设碰撞后的瞬间
棒与线框速度分别为
、
，由动量守
恒和机械能守恒得
解得
，
碰后瞬间金属框的速度大小为
。
（3）碰后
切割磁感线产生的感应电动势大小
碰后
切割磁感线产生的感应电动势大小
线框两边被导轨短路，则线框中的电流
受到的安培力
方向向右。
受到的安培力
方向向左。线框受到安培力的合力
方向向左。所以线框所受安培力的合力的功率
7．（2024·河南·统考二模）如图所示，两条相距为d 的光滑平行金属导轨固定在同一绝缘水平面内，其左
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端接一阻值为R 的电阻，一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上。在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S
的区域，在该区域中存在竖直向下的均匀磁场，磁感应强度大小B 随时间t 的变化关系为B=kt，式中k 为
常量、且k>0。在金属棒右侧还有一宽度为L 匀强磁场区域，区域左边界为ab（虚线）、右边界为cd（虚
线），边界ab 和cd 均与导轨垂直，该匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向也竖直向下。金属棒通过平
行于导轨的绝缘细线跨过光滑轻质定滑轮与一物体相连。开始时，用手托着物体静止不动，使连接金属棒
的细线处于水平伸直状态。现突然把手撤去，金属棒从静止开始向右运动，在某一时刻（此时t=0）恰好
以速度v 越过ab，此后金属棒在磁场B0中向右做匀速直线运动。设金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，
金属棒和两导轨的电阻均忽略不计；金属棒向右运动过程中，物体始终在空中运动；重力加速度为g。求：
（1）金属棒从ab 运动到cd 的过程中，通过金属棒的电流大小；
（2）物体的质量；
（3）金属棒从ab 运动到cd 的过程中，物体重力势能的减少量；
（4）金属棒从ab 运动到cd 的过程中，阻值为R 的电阻上产生的热量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）设金属棒在磁场B0 中运动的过程中，通过金属棒的电流大小为I，设在时间t 内，金属棒的
位移为x，有
在时间t 时刻，对于磁场B，穿过回路的磁通量为
对于匀强磁场B0，穿过回路的磁通量为
回路的总磁通量为
联立可得，在时刻t 穿过回路的总磁通量为
在t 到
的时间间隔内，总磁通量的改变量为
由法拉第电磁感应定律得，回路中感应电动势的大小为
由闭合电路的欧姆定律得
联立可得，通过金属棒的电流大小为
（2）设在t 时刻，金属棒上细线的拉力为F，由于金属棒在ab 右侧做匀速运动，则有
设物体的质量为m，在t 时刻，对物体有
联立以上各式可得，物体的质量为
（3）设金属棒在磁场B0 中从ab 向右运动到cd 的过程中，物体重力势能的减少量为
，则
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其中
则金属棒从ab 运动到cd 的过程中，物体重力势能的减少量为
（4）设金属棒在磁场B0 中从ab 向右运动到cd 的过程中，阻值为R 的电阻上产生的热量为Q，运动时间
为，由
，
其中
联立可得，金属棒从ab 运动到cd 的过程中，阻值为R 的电阻上产生的热量为
考向四 力电综合型压轴题
8．（2024·湖南长沙·校联考模拟预测）如图所示，竖直虚线边界
左侧有方向水平向右的匀强电场，质
量为
带正电光滑小球（可视为质点）在轻质细线OA 的悬挂下处于静止状态，此时细线与竖直方向
的夹角为
，
延长线与
的交点为B，AB 长度为
，虚线
右侧无电场。
为一固定粗糙
斜面的两个端点，
长度为
，斜面上一个带挡板
（厚度不计）的薄板处于静止状态，薄板质
量为
，长度为
，且薄板上端恰好与
点重合，O、A、B、C 共线。某时刻剪断细线OA，
不计阻力，取重力加速度
，
，
。求
（1）电场力的大小及释放初始时刻小球的加速度。
（2）若小球滑上薄木板后与挡板相撞，撞击时间极短，小球与挡板的碰撞为弹性正碰，碰后木板开始下
滑，且当木板沿斜面下滑至速度为零时，小球与木板恰好发生第二次相撞。试求：
I．薄板与斜面的动摩擦因数
；
II．小球与挡板在斜面上最多发生几次碰撞。
【答案】（1）
，
；（2）I．
；II．11 次
【详解】（1）在电场中处于平衡，由受力分析知
得电场力大小
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剪断细线后合力与拉力等大反向，由牛顿第二定律
解得
（2）I：小球在电场中做匀加速直线运动到达B 点速度为，由运动学公式
解得
因为小球光滑，则在薄板上滑动时，由牛顿第二定律
则小球的加速度大小为
所以与挡板撞之前速度为
，则由运动学公式
解得
取沿斜面向下为正，薄板与小球发生弹性碰撞，由动量守恒定律
由机械能守恒定律
解得
，
第一次碰后到第二次碰前设薄板位移为，对薄板有
对小球有
联立解得
此过程中对小球加速度仍为
由运动学公式
得
设薄板的加速度为
，由运动学公式
得到
对薄板由牛顿第二定律有
解得
II：由上面运动学公式解得薄板每次碰撞后位移为
则有
次
即会碰撞11 次。
9．（2024·河北·校联考模拟预测）火星各种环境与地球十分相似，人类对未来移居火星有着强烈的期望。
地球体积为火星的7 倍，质量为火星的11 倍。假设某天人类移居火星后，小华同学在火星表面制造了如下
装置，如图所示，半径为
的光滑圆弧固定在竖直平面内，其末端与木板B 的上表面所在平面相切，
且初始时木板B 的左端刚好与圆弧末端对齐，木板B 带电，电荷量为1C，木板B 左端紧挨着光滑小物块
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A，小物块A 左侧有一橡胶墙壁，能与A 发生弹性正碰，空间内存在水平向左的匀强电场，电场强度
，开始时由圆弧轨道上端静止释放一带电小物块C，电荷量
，当小物块C 达到圆弧最底
端时，其对圆弧轨道的压力大小为
，此时A、B 之间存在的炸药爆炸，给予A、B 等量的动能，动能
为2J，C 与B 之间的动摩擦因数为
，B 与水平面间的动摩擦因数为
，A、C 质量未知，B 的
质量
，已知地球表面的重力加速度
，为简化计算取
。
（1）求C 的质量；
（2）若C 不会滑下木板B，木板B 的长度至少为多长？
（3）已知B、C 共速停止后，A 与B 发生碰撞且粘在B 上，改变A 的质量使碰后A、B 整体速度最大，A
的质量为多少，此时小物块C 是否会脱离木板B？
【答案】（1）1kg；（2）
；（3）4kg，否
【详解】（1）设地球质量为
，地球表面物体的质量为
，地球半径为
，火星表面的重力加速度为
，
在地球表面根据万有引力等于等于重力有
可得
而根据题意，地球体积为火星的7 倍，质量为火星的11 倍，则有
，
而
联立以上各式解得
物块C 达到圆弧轨道最低点的过程中，由动能定理有
在轨道最低点对C 由牛顿第二定律有
根据题意，式中
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联立解得
，
（2）根据题意，当A、B 间的炸药爆炸后，B 的动能
解得
当C 在B 上运动时，对C 由牛顿第二定律有
解得
爆炸后对B 由牛顿第二定律有
解得
即物块B 恰好做匀速直线运动，则两者达到共速时C 恰好运动到木板B 的最右端，此时木板B 的长度有最
小值，设两者达到共速所用的时间为，则有
可得
则木板的最小长度
（3）根据题意对物块A 有
可得
对A、B 组成的系统，由动量守恒定律对A、B 碰撞后共速有
可得
联立可得
由于B 的质量一定，则
要有最大值，则
要取最小值，根据基本不等式有
分析可知，当
时，A、B 碰撞后获得的共同速度将有最大值，可得最大值为
当A、B 获得共同最大速度时，对C 由牛顿第二定律有
解得
对A、B 整体由牛顿第二定律有
解得
物块C 与A、B 整体达到共速所用的时间为
物块C 在木板上相对于木板的位移为
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因此C 不会脱离B。
考向五 信息处理型压轴题
10．（2024·湖南岳阳·统考一模）某款手机“弹球游戏”可简化为如图所示。游戏者将小球（视为质点）
以某个初速度垂直墙壁水平射出，在与台阶、竖直墙的碰撞不超过两次的前提下，击中第三级台阶的水平
面MN 段为通关。已知台阶的宽和高均为d，以v0射出时恰击中第一级台阶的末端，所有碰撞均为弹性碰
撞，以下说法正确的是（ ）
A．以v0射出时，小球在空中的运动时间为
B．以2v0射出时不能通关
C．若小球的初速度v 的满足
时，可直接击中第三级台阶MN 段
D．若利用墙面且仅反弹一次击中第三级台阶的水平面，碰撞点距N 点高度须小于
【答案】C
【详解】A．以
速度射出时，小球恰好击中第一级台阶的末端发生弹性碰撞，则有
，
，
解得
，
，反弹后小球做斜抛运动，该斜抛运动与以
速度射出时的平抛运动具有对称性，
可知小球将在与第一级台阶等高的位置与墙碰撞并反弹，此时根据平抛运动的基本规律可知
，
假设小球能落到MN 段，则有
，
，结合上述解得
，可知，假设成
立，则以v0射出时，小球在空中的运动时间为
，解得
，故A 错误；B．若小球下落的
高度为2d，根据平抛运动的基本规律得
，
，结合上述解得
，可知，小球
的初速度为
时越过第二级台阶，那么若能落在第三级台阶上，则有
，
，结合上述解
得
，可知小球落在第三级台阶前会先碰到墙上，由于碰撞为弹性碰撞，水平速度大小不变，
方向反向，可知，碰后小球会落在MN 上，故B 错误；C．若小球直接击中第三级台阶MN 段，小球射出
初速度的最大值为刚好打在Ｎ点上
，
，解得
，若小球直接击中第三级台阶
MN 段，小球射出初速度的最小值为运动轨迹恰好与第二级台阶右端擦肩而过，则有
，
29
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，解得
，综合上述可知，直接击中第三级台阶MN 段所需初速度的取值范围为
，故C 正确；D．若利用墙面且仅反弹一次击中第三级台阶的水平面，设碰撞点距N 点高
度为，则与墙碰前
，
，与墙碰后，设小球的落点刚好是M，则有
，
，结合上述解得
，故若利用墙面且仅反弹一次击中第三级台阶的水平面，碰撞点距N 点高
度须小于
，故D 错误。
故选C。
11．（2024·广东深圳·统考一模）（多选）如图所示，设想在地球表面的P、Q 两地之间开凿一个直通隧道，
在隧道里铺设直管道，将地球视为均质球体，忽略一切摩擦阻力，不考虑地球自转，在P 点将一物块由静
止释放，管道内的物块会在PQ 之间做简谐运动，运动周期为T，图中O 点为PQ 的中点，B 点和B′点分别
为OP 和OQ 连线的中点，下列说法正确的是（ ）
A．物块由P 到O 的加速度增大
B．物块经过B 点和B′点时速度大小相等
C．物块由P 到O 的运动时间为
D．物块在P、B 两处回复力大小之比为2:1
【答案】BD
【详解】A．根据题意，管道内的物块会在PQ 之间做简谐运动，而在为PQ 的中点处物块所受万有引力竖
直向下指向地心，水平方向合力为零，则可知PQ 的中点O 即为简谐运动的平衡位置，由此可知，物块由
P 到O 的加速度减小，故A 错误；B．根据简谐运动的对称性可知，物块经过B 点和B′点时速度大小相等，
故B 正确；C．根据题意，在P 点将一物块由静止释放，物块做简谐运动，则可知P 点为物块做简谐运动
的最大位移处，而从最大位移处到平衡位置，所用时间为
，故C 错误；D．由于物块做简谐运动，而
，则根据简谐运动回复力与位移之间的关系
，可知物块在P、B 两处回复力大小之比为
2:1，故D 正确。
故选BD。
12．（2024·山东日照·日照一中校联考一模）（多选）2024 年中国载人航天发射有4 次发射任务和2 次回
收任务。中国载人登月将加速稳步推进，探测器升空后，先在近地轨道1 上环绕地球飞行，再调整速度进
入地月转移轨道，然后再一次调整速度在环月轨道2 上环绕月球飞行，轨迹如图所示。已知地球质量约为
月球质量的81 倍，地球半径约为月球半径的4 倍，环月轨道2 距离月球表面的高度为月球半径的
。下列
判断正确的是（ ）
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A．探测器在地月转移轨道上无动力奔月的过程中，动能先减小后增大
B．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值约等于4.5
C．月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约等于0.2
D．相等时间内，探测器在轨道1 上与地心连线扫过的面积是轨道2 上与月心连线扫过的面积的
倍
【答案】ACD
【详解】A．探测器在地月转移轨道上无动力奔月时，地球对探测器的万有引力逐渐减小，月球对探测器
的万有引力逐渐增大，引力的合力对探测器先做负功，后做正功，根据动能定理可知，探测器动能先减小
后增大，故A 正确；B．由万有引力提供向心力有
，星球的第一宇宙速度为
，则月
球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值
，故B 错误；C．由万有引力提供向心
力有
，星球表面的重力加速度为
，月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的
比值
，故C 正确；D．由万有引力提供向心力有
，解得
，则单位时间内卫星与星球连线扫过的面积为
，则相等时间内，探测器在轨
道1 上与地心连线扫过的面积与轨道2 上与月心连线扫过的面积的比值为
，
故D 正确。
故选ACD。
13．（2024·广东广州·统考二模）（多选）列车进站时，其刹车原理可简化如图，在车身下方固定一单匝
矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框
的ab 和cd 长度均为L（L 小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。轨道上匀强磁场区域足够长，磁感
应强度的大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进
入磁场瞬间，列车刚好停止。下列说法正确的是（ ）
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A．列车进站过程中电流方向为abcda
B．列车ab 边进入磁场瞬间，线框的电流大小为
C．列车从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的焦耳热
D．列车ab 边进入磁场瞬间，加速度大小
【答案】ACD
【详解】A．列车进站时，ab 边切割磁感线产生感应电流，则根据右手定则判断可知，列车进站过程中电
流方向为abcda，故A 正确；B．根据法拉第电磁感应定律可得，列车ab 边进入磁场瞬间，感应电动势为
，则列车ab 边进入磁场瞬间，线框的电流大小为
，故B 错误；C．根据能量的转化
和守恒可知，列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的焦耳热与列车和导轨及空气阻力
摩擦产生的热量之和，即减少的动能大于线框产生的焦耳热，故C 正确；D．列车ab 边进入磁场瞬间，根
据牛顿第二定律有
，解得，列车的加速度大小为
，故D 正确。
故选ACD。
14．（2024·重庆·校联考模拟预测）（多选）某研究小组为研究一款篮球的性能，在篮球上安装了速度传
感器。如题图1 所示，某次测试时，由静止释放篮球的同时，竖直向下拍一次篮球，篮球第一次落地前的
“速度─时间”图像如题图2 所示。已知篮球质量
，篮球与水平地面碰撞过程中损失的能量始终
为碰撞前篮球动能的
，且碰撞后篮球速度反向，篮球可视为质点，重力加速度 g 取 10 m/s²。则
（ ）
A．释放点到水平地面的高度为0.8 m
B．释放点到水平地面的高度为1.8 m
C．篮球第一次反弹后上升的高度为0.3m
D．篮球第一次反弹后上升的高度为1.5 m
【答案】AD
【详解】AB.0~0.2s 时间内， 篮球的
图像与 轴围成的面积即为释放点到水平地面的高度，由此可
得
，故A 正确，B 错误；CD. 由
图像知，0.1~0.2s 时间内，
篮球的加速度
，可见篮球所受阻力可忽略，因此篮球第一次反弹后上升到最
高点过程中，篮球的机械能守恒，篮球第一次落地的速度
，设第一次反弹上升的高度为
，由
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机械能守恒定律有
， 解得
，故D 正确，C 错误。
故选AD。
15．（2024·全国·校联考模拟预测）（多选）如图所示，跳杆底部有一根弹簧，小孩的质量为m，杆的质
量为
，当小孩和跳杆处于竖直静止状态时，弹簧压缩量为x0。在某次弹跳中，小孩站在脚踏板上，从
弹簧处于最大压缩量为5x0时开始计时，上升到弹簧恢复原长时，小孩抓住跳杆，使得他与跳杆瞬间共速，
接着保持稳定的姿势竖直上升到最大高度。全程弹簧始终在弹性限度内（弹簧弹性势能满足
，k
为弹簧劲度系数，x 为弹簧形变量，重力加速度为g，空气阻力、弹簧和脚踏板的质量、以及弹簧和脚踏板
与跳杆间的摩擦均可忽略不计），下列说法正确的是（ ）
A．弹簧劲度系数
B．小孩速度最大时为弹簧恢复原长时
C．小孩跳起过程中的最大速度为
D．跳杆离地后上升的最大高度为
【答案】CD
【详解】A．竖直静止时，对小孩受力分析
，可得
，故A 错误；B．当小孩的合力为零时速
度最大，即小孩上升高度为
时，速度最大，故B 错误；C．对系统，根据能量守恒定律
，解得
，故C 正确；D．设弹簧恢复原长时小孩速度为
，对
系统，根据能量守恒定律
，小孩抓住跳杆瞬间，小孩和跳杆根据动量守恒定律
，之后小孩和跳杆一起竖直上抛到最高点，根据机械能守恒定律
，
解得
，故D 正确。
故选CD。
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