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13 电磁感应
[-考点-09-] 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
―――――――→―――→
2．求解焦耳热Q 的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
典例1 (应用功能关系解决电磁感应中的能量问题)(多选)如图所示，两根间距为d 的足够长
光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ＝30°的斜面上，导轨的右端接有电阻R，整个装置放
在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．导轨上有一质量为m、
电阻也为R 的金属棒与两导轨垂直且接触良好，金属棒以一定的初速度v0在沿着导轨上滑
一段距离L 后返回，不计导轨电阻及感应电流间的相互作用，重力加速度为g.下列说法正
确的是( )
A．导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运动
B．导体棒沿着导轨上滑过程中通过R 的电荷量q＝
C．导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W＝(mv0
2－mgL)
D．导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R 上产生的热量Q＝(mv0
2－mgL)
答案 AC
解析 导体棒返回时先做加速度减小的加速运动，最后受力平衡，做匀速直线运动，所以
A 正确；根据q＝，则导体棒沿着导轨上滑过程中通过R 的电荷量为q＝，所以B 错误；设
导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功为W，由动能定理可得W＋mgLsin 30°＝
1
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mv0
2，解得W＝(mv0
2－mgL)，所以C 正确；根据功能关系可得，导体棒沿着导轨上滑过程
中电阻R 上产生的热量为Q＝W，则Q＝(mv0
2－mgL)，所以D 错误．
典例2 (应用能量守恒定律解决电磁感应中的能量问题)(2023·北京市模拟)如图所示，AB、
CD 为两个平行的、不计电阻的水平光滑金属导轨，置于方向垂直导轨平面向里、磁感应
强度为B 的匀强磁场中．AB、CD 的间距为L，左右两端均接有阻值为R 的电阻．质量为
m、长为L 且电阻不计的导体棒MN 放在导轨上，与导轨接触良好，并与轻质弹簧组成弹
簧振动系统．开始时，弹簧处于自然长度，导体棒MN 具有水平向左的初速度v0，经过一
段时间，导体棒MN 第一次运动到最右端，这一过程中AC 间的电阻R 上产生的焦耳热为
Q，则( )
A．导体棒水平方向做简谐运动
B．初始时刻导体棒所受的安培力大小为
C．当导体棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为mv0
2－Q
D．当导体棒再次回到初始位置时，AC 间的电阻R 的热功率小于
答案 D
解析 导体棒运动过程中，安培力做功，电阻产生焦耳热，则棒和弹簧的机械能有损失，
则当棒再次回到初始位置时速度小于v0，导体棒水平方向做的不是简谐运动，则导体棒回
到初始位置时产生的感应电动势E1<BLv0，根据电功率公式P＝可知，AC 间的电阻R 的热
功率P<，故A 错误，D 正确；根据公式E＝BLv0，I＝，F＝BIL 可得，初始时刻导体棒所
受的安培力大小为F＝，故B 错误；当导体棒第一次到达最右端时，设弹簧的弹性势能为
Ep，根据能量守恒定律有Ep＋2Q＝mv0
2，解得Ep＝mv0
2－2Q，故C 错误．
1.(多选)如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ 的绝缘斜面上，导轨的左端
接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面
向上．质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F 作用下沿
导轨匀速上滑，且上升的高度为h，重力加速度为g，在这一过程中( )
A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零
B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh 与电阻R 上产生的焦耳热之和
2
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C．恒力F 与安培力的合力所做的功等于零
D．恒力F 与重力的合力所做的功等于电阻R 上产生的焦耳热
答案 AD
解析 金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对金属棒做功，恒力
F 做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿导轨平面向下，做负功，匀速运动时，
金属棒所受合力为零，故合力做功为零，A 正确，B 错误；克服安培力做多少功就有多少
其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于电阻R 上产生的焦耳热，故恒力F 与重力
的合力所做的功等于电阻R 上产生的焦耳热，D 正确；由WF－W 安＝WG知，C 错误．
2.(多选)如图，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，
平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R 的定值电阻．平直部分导
轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场．质量为m、电
阻也为R 的金属棒从高度为h 处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与
平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，金属棒与导轨间接触良好，则金
属棒穿过磁场区域的过程中( )
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒内产生的焦耳热为mg(h－μd)
答案 BD
解析 金属棒下滑到弯曲部分底端时，根据动能定理有mgh＝mv0
2，金属棒在磁场中运动
时产生的感应电动势E＝BLv，金属棒受到的安培力F＝BIL，当金属棒刚进入磁场中时，
感应电流最大，分析可得Imax＝，所以A 错误；金属棒穿过磁场区域的过程中通过金属棒
的电荷量q＝t＝＝，所以B 正确；对整个过程由动能定理得mgh－W 克安－μmgd＝0，金属
棒克服安培力做的功W 克安＝mgh－μmgd，金属棒内产生的焦耳热Q＝W 克安＝mg(h－μd)，
所以C 错误，D 正确．
3.(2023·北京市模拟)如图所示，AB、CD 为两个平行的、不计电阻的水平光滑金属导轨，置
于方向垂直导轨平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场中．AB、CD 的间距为L，左右两
端均接有阻值为R 的电阻．质量为m、长为L 且电阻不计的导体棒MN 放在导轨上，与导
轨接触良好，并与轻质弹簧组成弹簧振动系统．开始时，弹簧处于自然长度，导体棒MN
具有水平向左的初速度v0，经过一段时间，导体棒MN 第一次运动到最右端，这一过程中
AC 间的电阻R 上产生的焦耳热为Q，则( )
3
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A．导体棒水平方向做简谐运动
B．初始时刻导体棒所受的安培力大小为
C．当导体棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为mv0
2－Q
D．当导体棒再次回到初始位置时，AC 间的电阻R 的热功率小于
答案 D
解析 导体棒运动过程中，安培力做功，电阻产生焦耳热，则棒和弹簧的机械能有损失，
则当棒再次回到初始位置时速度小于v0，导体棒水平方向做的不是简谐运动，则导体棒回
到初始位置时产生的感应电动势E1<BLv0，根据电功率公式P＝可知，AC 间的电阻R 的热
功率P<，故A 错误，D 正确；根据公式E＝BLv0，I＝，F＝BIL 可得，初始时刻导体棒所
受的安培力大小为F＝，故B 错误；当导体棒第一次到达最右端时，设弹簧的弹性势能为
Ep，根据能量守恒定律有Ep＋2Q＝mv0
2，解得Ep＝mv0
2－2Q，故C 错误．
4.(多选)如图，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面方向向下的匀
强磁场，磁感应强度大小为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R 的定值电阻相连，
质量为m 的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运
动，运动距离s 后停止，此过程中电阻R 产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度
为g，则( )
A．导体棒克服安培力做的功为Q
B．通过电阻R 的电荷量为q＝
C．导体棒与导轨因摩擦产生的热量为mv0
2－Q
D．导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝－Q
答案 ABD
解析 由功能关系可知，导体棒克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热，R 上产生的
焦耳热为Q，根据串联电路中焦耳热按电阻分配可知，W 克安＝Q 焦＝Q，故A 正确；通过电
阻R 的电荷量q＝＝，故B 正确；由能量守恒定律可知，mv0
2＝Q 焦＋Q 摩，所以导体棒与
导轨因摩擦产生的热量为Q 摩＝mv0
2－Q＝μmgs，解得：μ＝－Q，故C 错误，D 正确．
5.如图甲所示，一足够长阻值不计的光滑平行金属导轨MN、PQ 之间的距离L＝0.5 m，NQ
两端连接阻值R＝2.0 Ω 的电阻，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导
轨平面与水平面间的夹角θ＝30°，一质量m1＝0.40 kg、接入电路的阻值r＝1.0 Ω 的金属棒
垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑的轻质定滑轮与质量m2＝0.80 kg 的重物相连．细线
4
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与金属导轨平行．金属棒沿导轨向上滑行的速度v 与时间t 之间的关系如图乙所示，已知
金属棒在0～0.3 s 内通过的电荷量是0.3～0.6 s 内通过电荷量的，g＝10 m/s2，求：
(1)0～0.3 s 内金属棒通过的位移大小；
(2)金属棒在0～0.6 s 内产生的热量．
答案 (1)0.3 m (2)1.05 J
解析 (1)0～0.3 s 内通过金属棒的电荷量
q1＝＝
0．3～0.6 s 内通过金属棒的电荷量q2＝I2t2＝
由题中的电荷量关系＝，解得：x1＝0.3 m
(2)金属棒在0～0.6 s 内通过的总位移为x＝x1＋x2＝x1＋v0t2，解得x＝0.75 m
根据能量守恒定律有m2gx－m1gxsin θ＝(m1＋m2)v0
2＋Q
解得Q＝3.15 J
由于金属棒与电阻R 串联，电流相等，根据焦耳定律Q＝I2Rt，它们产生的热量与电阻成
正比，所以金属棒在0～0.6 s 内产生的热量Qr＝Q＝1.05 J.
6.如图甲所示，有一边长为L＝1.2 m、质量为m＝1 kg 的正方形单匝线框abcd，放在光滑
水平面上．在水平恒定拉力F 的作用下，穿过垂直水平面向下、磁感应强度为B＝0.1 T 的
匀强磁场区域．线框cd 边刚进入磁场时的速度为v0＝2 m/s.在t＝3 s 时刻cd 边刚出磁场边
界．从cd 边进入磁场到cd 边离开磁场区域的3 s 时间内线框运动的v－t 图像如图乙所示．
求：
(1)线框cd 边在刚进入磁场时，c、d 两点间的电势差Ucd；
(2)恒力F 的大小；
(3)线框从cd 边刚进入磁场到cd 边刚离开磁场的过程中，线框产生的焦耳热Q.
答案 (1)－0.18 V (2)0.5 N (3)2.1 J
解析 (1)线框cd 边在刚进入磁场时，产生的感应电动势为E＝BLv0
感应电流为I＝＝
c、d 两点间的电势差为路端电压，且感应电流由c 流向d，故c 点电势较低，故c、d 两点
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间的电势差为Ucd＝－I·R＝－E
联立代入数据解得Ucd＝－0.18 V
(2)当ab 边也进入磁场后，线框在磁场中做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得
F＝ma
由题图乙可知，加速度为a＝＝0.5 m/s2
解得F＝0.5 N
(3)从cd 边刚进入磁场到ab 边刚进入磁场过程，由能量守恒定律可得，线框产生的焦耳热
为
Q1＝FL＋mv0
2－mv1
2
解得Q1＝2.1 J
从ab 边刚进入磁场到cd 边刚离开磁场的过程，线框没有产生感应电流，没有产生焦耳热，
故Q＝Q1＝2.1 J.
7.如图所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面间的夹角θ＝37°，在斜面上直线aa′和bb′
与斜面底边平行，在aa′、bb′围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度
为B＝1 T；现有一质量为m＝10 g、总电阻R＝1 Ω、边长d＝0.1 m 的正方形金属线圈
MNQP，让PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端由静止释放，线圈刚好匀速穿过整个磁场
区域，已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5.(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)求：
(1)线圈进入磁场区域时的速度大小；
(2)线圈释放时，PQ 边到bb′的距离；
(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热．
答案 (1)2 m/s (2)1 m (3)4×10－3 J
解析 (1)设线圈刚进入磁场时的速度为v，对线圈受力分析，得FA＋μmgcos θ＝mgsin θ
而FA＝BId，I＝，E＝Bdv
联立解得v＝2 m/s
(2)设线圈释放时PQ 边到bb′的距离为L，根据动能定理得mgLsin θ－μmgLcos θ＝mv2－
0
解得L＝1 m
(3)由于线圈刚好匀速穿过整个磁场区域，则磁场宽度等于线圈边长d，则从线圈刚进入磁
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场到离开磁场，经过的路程为2d，有Q＝FA·2d＝4×10－3 J.
8.如图所示，倾角为θ 的平行金属导轨下端连接一阻值为R 的电阻，导轨MN、PQ 间距为
L，与MN、PQ 垂直的虚线a1b1、a2b2区域内有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，a1b1、a2b2间距离为d，一长为L、质量为m、电阻为R 的导体棒在导轨平面上与
磁场上边界a2b2距离d 处从静止开始释放，最后能匀速通过磁场下边界a1b1.重力加速度为
g(导轨摩擦及电阻不计).求：
(1)导体棒刚到达磁场上边界a2b2时的速度大小v1；
(2)导体棒匀速通过磁场下边界a1b1时的速度大小v2；
(3)导体棒穿过磁场过程中，回路产生的热量.
答案 (1) (2) (3)2mgdsin θ－
解析 (1)导体棒在磁场外沿导轨下滑，只有重力做功，由机械能守恒定律得
mgdsin θ＝mv，解得v1＝.
(2)导体棒匀速通过磁场下边界a1b1时，由平衡条件得mgsin θ＝F 安
F 安＝ILB＝
解得v2＝.
(3)设导体棒穿过磁场过程中，克服安培力做功为W 安，由动能定理可得
mgdsin θ－W 安＝mv－mv
由Q＝W 安
得Q＝2mgdsin θ－.
9.(多选)(2023·黑龙江大庆市质检)如图所示，在两光滑水平金属导轨上静止放置a、b 两根
导体棒，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，用水平恒力F 拉动a 棒，在运动过程中，
a、b 棒始终与导轨接触良好，若不计导轨电阻，下列说法正确的是( )
A．拉力F 做的功等于a、b 棒增加的动能与a、b 棒中产生的焦耳热之和
B．安培力对b 做的功等于b 棒增加的动能与b 棒中产生的焦耳热之和
C．安培力对a、b 棒做功的代数和的绝对值等于a、b 棒中产生的焦耳热之和
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D．a 棒克服安培力做的功等于b 棒增加的动能与b 棒中产生的焦耳热之和
答案 AC
解析 对a、b 棒整体，根据能量守恒定律得WF＝ΔEka＋ΔEkb＋Qa＋Qb ①，故A 正确；对
b 棒，只有安培力做功，运用动能定理得WFb＝ΔEkb ②，故B 错误；对a 棒，拉力和安培
力做功，运用动能定理得WF＋WFa＝ΔEka ③，联立①②③式得，安培力对a、b 棒做功的
代数和为WFa＋WFb＝ΔEka＋ΔEkb－WF＝－(Qa＋Qb)，所以，安培力对a、b 棒做功的代数和
的绝对值等于a、b 棒中产生的焦耳热之和，故C 正确；联立①②③式得，a 棒克服安培力
做的功为－WFa＝ΔEkb＋(Qa＋Qb)，故D 错误．
10.(多选)(2021·湖南卷)两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，通过长为L 的绝缘
轻质杆相连，构成如图所示的组合体.距离组合体下底边H 处有一方向水平、垂直纸面向里
的匀强磁场.磁场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大.把该组合体在垂直磁场的
平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小B 使其匀速通过磁场，不
计空气阻力.下列说法正确的是 ( )
A.B 与v0无关，与成反比
B.通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C.通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D.调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不
变
答案 CD
解析 设金属框进入磁场时的竖直分速度为vy，可知vy＝，金属框所受安培力F＝ILB，电
流I＝，电动势E＝BLvy，根据受力平衡可得mg＝，可知B2与成反比，B 与v0无关，A 错
误；金属框进入磁场和穿出磁场的过程中，电流的大小保持不变，方向由逆时针变为顺时
针，B 错误；从下金属框进入磁场到上金属框离开磁场，整个过程金属框做匀速直线运动，
安培力和重力等大反向，故组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等，C 正确；
组合体从进入磁场到穿出磁场，不论怎样调节H、v0和B，只要组合体匀速通过磁场，在
通过磁场的过程中，产生的热量始终等于减少的重力势能，D 正确.
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11.如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd 放在倾角为θ＝30°的绝缘光滑斜面上，通过
轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与斜面平行．距线框cd 边为L0
的MNQP 区域存在着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF 为两个磁场
的分界线，ME＝EP＝L2.现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，恰好匀速
进入和离开匀强磁场．已知线框边长为L1(L1<L2)、质量为m、电阻大小为R，木块质量也
为m，重力加速度为g，试求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q.
答案 (1) (2)mg(2L2＋L1)
解析 (1)导线框匀速进入磁场时，受力平衡，受力情况如图所示．根据平衡条件有FT＝F
安＋mgsin θ
其中F 安＝BIL1
I＝
E＝BL1v
导线框与木块通过细线相连，线框匀速进入磁场时，木块匀速下降，根据平衡条件有FT＝
mg
对导线框和木块构成的系统，进入磁场前二者一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
有mg－mgsin θ＝2ma
根据运动学方程可得进入磁场时速度v＝
联立以上各式求解可得B＝
(2)线框恰好匀速进入和离开匀强磁场，导线框通过匀强磁场过程中，线框和木块组成的系
统减少的重力势能转化为电路中产生的焦耳热，根据能量守恒定律得Q＝mg(2L2＋L1)－
mg(2L2＋L1)sin θ
所以导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q＝mg(2L2＋L1)．
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