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13 电磁感应
[-考点-09-] 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
―――――――→―――→
2．求解焦耳热Q 的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
典例1 (应用功能关系解决电磁感应中的能量问题)(多选)如图所示，两根
间距为d 的足够长光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ＝30°的斜面上，
导轨的右端接有电阻R，整个装置放在磁感应强度大小为B 的匀强磁场
中，磁场方向与导轨平面垂直．导轨上有一质量为m、电阻也为R 的金
属棒与两导轨垂直且接触良好，金属棒以一定的初速度v0在沿着导轨上
滑一段距离L 后返回，不计导轨电阻及感应电流间的相互作用，重力加
速度为g.下列说法正确的是( )
A．导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运
动
B．导体棒沿着导轨上滑过程中通过R 的电荷量q＝
C．导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W＝(mv0
2－mgL)
D．导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R 上产生的热量Q＝(mv0
2－mgL)
典例2 (应用能量守恒定律解决电磁感应中的能量问题)(2023·北京市模
拟)如图所示，AB、CD 为两个平行的、不计电阻的水平光滑金属导轨，
置于方向垂直导轨平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场中．AB、CD
的间距为L，左右两端均接有阻值为R 的电阻．质量为m、长为L 且电
阻不计的导体棒MN 放在导轨上，与导轨接触良好，并与轻质弹簧组成
弹簧振动系统．开始时，弹簧处于自然长度，导体棒MN 具有水平向左
的初速度v0，经过一段时间，导体棒MN 第一次运动到最右端，这一过
程中AC 间的电阻R 上产生的焦耳热为Q，则( )
A．导体棒水平方向做简谐运动
B．初始时刻导体棒所受的安培力大小为
C．当导体棒第一次到达最右端时，弹簧具
有的弹性势能为mv0
2－Q
D．当导体棒再次回到初始位置时，AC 间的电阻R 的热功率小于
1.(多选)如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ 的绝
缘斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜
面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为m、电阻可
以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F 作用下沿导
轨匀速上滑，且上升的高度为h，重力加速度为g，在这一过程中(
)
A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零
B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的
功等于mgh 与电阻R 上产生的焦耳热之和
C．恒力F 与安培力的合力所做的功等于零
D．恒力F 与重力的合力所做的功等于电阻
R 上产生的焦耳热
2.(多选)如图，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，
导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端
接一个阻值为R 的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方
向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场．质量为m、电阻也为
R 的金属棒从高度为h 处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．
已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为
g，金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中(
)
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒内产生的焦耳热为mg(h－
μd)
3.(2023·北京市模拟)如图所示，AB、CD 为两个平行的、不计电阻的
水平光滑金属导轨，置于方向垂直导轨平面向里、磁感应强度为B 的
匀强磁场中．AB、CD 的间距为L，左右两端均接有阻值为R 的电阻．
质量为m、长为L 且电阻不计的导体棒MN 放在导轨上，与导轨接触
良好，并与轻质弹簧组成弹簧振动系统．开始时，弹簧处于自然长度，
导体棒MN 具有水平向左的初速度v0，经过一段时间，导体棒MN 第
一次运动到最右端，这一过程中AC 间的电阻R 上产生的焦耳热为
Q，则( )
A．导体棒水平方向做简谐运动
B．初始时刻导体棒所受的安培力大小为
C．当导体棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为mv0
2－Q
D．当导体棒再次回到初始位置时，AC 间的电阻R 的热功率小于
4.(多选)如图，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨
平面方向向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，粗糙平行导轨间距为
L，导轨和阻值为R 的定值电阻相连，质量为m 的导体棒和导轨垂直且
接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离s
后停止，此过程中电阻R 产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速
度为g，则( )
A．导体棒克服安培力做的功为Q
B．通过电阻R 的电荷量为q＝
C．导体棒与导轨因摩擦产生的热量为mv0
2－Q
D．导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝－Q
5.如图甲所示，一足够长阻值不计的光滑平行金属导轨MN、PQ 之间的
距离L＝0.5 m，NQ 两端连接阻值
R＝2.0 Ω 的电阻，磁感应强度为B
的匀强磁场垂直于导轨所在平面向
上，导轨平面与水平面间的夹角θ
＝30°，一质量m1＝0.40 kg、接入
电路的阻值r＝1.0 Ω 的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑的
轻质定滑轮与质量m2＝0.80 kg 的重物相连．细线与金属导轨平行．金属
棒沿导轨向上滑行的速度v 与时间t 之间的关系如图乙所示，已知金属
棒在0～0.3 s 内通过的电荷量是0.3～0.6 s 内通过电荷量的，g＝10
m/s2，求：
(1)0～0.3 s 内金属棒通过的位移大小；
(2)金属棒在0～0.6 s 内产生的热量．
6.如图甲所示，有一边长为L＝1.2 m、质量为m＝1 kg 的正方形单匝线
框abcd，放在光滑水平面上．在水平恒定拉力F 的作用下，穿过垂直水
平面向下、磁感应强度为B＝0.1 T 的匀强磁场区域．线框cd 边刚进入磁
场时的速度为v0＝2 m/s.在t＝3 s 时刻cd 边刚出磁场边界．从cd 边进入
磁场到cd 边离开磁场区域的3 s 时间内线框运动的v－t 图像如图乙所示．
求：
(1)线框cd 边在刚进入磁场
时，c、d 两点间的电势差
Ucd；
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(2)恒力F 的大小；
(3)线框从cd 边刚进入磁场到cd 边刚离开磁场的过程中，线框产生的焦
耳热Q.
7.如图所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面间的夹角θ＝37°，在斜面
上直线aa′和bb′与斜面底边平行，在aa′、bb′围成的区域有垂直
斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B＝1 T；现有一质量为m＝10
g、总电阻R＝1 Ω、边长d＝0.1 m 的正方形金属线圈MNQP，让PQ 边
与斜面底边平行，从斜面上端由静止释放，线圈刚好匀速穿过整个磁场
区域，已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5.(取g＝10 m/s2，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)线圈进入磁场区域时的速度大小；
(2)线圈释放时，PQ 边到bb′的距离；
(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线
圈上产生的焦耳热．
8.如图所示，倾角为θ 的平行金属导轨下端连接一阻值为R 的电阻，导
轨MN、PQ 间距为L，与MN、PQ 垂直的虚线a1b1、a2b2区域内有垂直
导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，a1b1、a2b2间距离为
d，一长为L、质量为m、电阻为R 的导体棒在导轨平面上与磁场上边界
a2b2距离d 处从静止开始释放，最后能匀速通过磁场下边界a1b1.重力加
速度为g(导轨摩擦及电阻不计).求：
(1)导体棒刚到达磁场上边界a2b2时的速度大小v1；
(2)导体棒匀速通过磁场下边界a1b1时的速度大小v2；
(3)导体棒穿过磁场过程中，回路产生的热量.
9.(多选)(2023·黑龙江大庆市质检)如图所示，在两光滑水平金属导轨
上静止放置a、b 两根导体棒，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，
用水平恒力F 拉动a 棒，在运动过程中，a、
b 棒始终与导轨接触良好，若不计导轨电阻，
下列说法正确的是( )
A．拉力F 做的功等于a、b 棒增加的动能与a、b 棒中产生的焦耳热
之和
B．安培力对b 做的功等于b 棒增加的动能与b 棒中产生的焦耳热之
和
C．安培力对a、b 棒做功的代数和的绝对值等于a、b 棒中产生的焦
耳热之和
D．a 棒克服安培力做的功等于b 棒增加的动能与b 棒中产生的焦耳
热之和
10.(多选)(2021·湖南卷)两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为
L，通过长为L 的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体.距离组合
体下底边H 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场.磁场区域上
下边界水平，高度为L，左右宽度足够大.把该组合体在垂直磁场的平
面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应
强度大小B 使其匀速通过磁场，不计空气阻力.下列说
法正确的是 ( )
A.B 与v0无关，与成反比
B.通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C.通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功
率相等
D.调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的
过程中产生的热量不变
11.如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd 放在倾角为θ＝30°的绝
缘光滑斜面上，通过轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和
线框共面、与斜面平行．距线框cd 边为L0的MNQP 区域存在着垂直
于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF 为两个磁场的分
界线，ME＝EP＝L2.现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面
上滑，恰好匀速进入和离开匀强磁场．已知线框边长为L1(L1<L2)、质量
为m、电阻大小为R，木块质量也为m，重力加速度为g，试求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q.
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