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专题19 电磁感应中的单导体棒模型
目录
一. 阻尼式单导体棒模型......................................................................................................................................1
二．发电式单导体棒模型.....................................................................................................................................7
三．无外力充电式单导体棒模型......................................................................................................................14
四．无外力放电式单导体棒模型......................................................................................................................16
五．有外力充电式单导体棒模型......................................................................................................................18
六．含“源”电动式模型...................................................................................................................................24
一.阻尼式单导体棒模型
【模型如图】
1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为
时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：
3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,
4．运动特点：速度如图所示。a 减小的减速运动
5．最终状态:静止
6．四个规律
(1)全过程能量关系：
,
1
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速度为
时的能量关系
电阻产生的焦耳热
(2)瞬时加速度：
，
(3)电荷量
(4)动量关系：
(安培力的冲量
)
安培力的冲量公式是
①
闭合电路欧姆定律
②
平均感应电动势：
③
位移：
④
①②③④得
1．如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ，距离为L，与左侧M，P 间连接阻值为R 的电阻构成一
个固定的水平U 型导体框架，导轨电阻不计且足够长。框架置于一个方向竖直向下，范围足够大的匀强磁
场中，磁感应强度大小为B，磁场左侧边界是
。质量为m、电阻为R、长度为L 的导体棒垂直放置在
两导轨上，并与导轨接触良好，现导体棒以一个水平向右的初速度
进入磁场区域，当导体棒在磁场中运
动距离为x 的过程，则（ ）
2
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A．通过导体棒的电量为
B．导体棒的运动为匀变速运动
C．导体棒所受安培力在不断增大
D．若将磁感应强度的方向调整为竖直向上，则导体棒所受安培力方向将发生变化
【答案】A
【详解】A．由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律
则该过程中通过导体棒的电量为
联立可得
故A 正确；
BC．规定向右为正方向，由动量定理
其中
联立可得
导体棒所受安培力为
所以安培力在不断变小，加速度不断变小，故BC 错误；
D．若将磁感应强度的方向调整为竖直向上，根据右手定则可知回路中的感应电流顺时针，根据左手定则
可知导体棒所受的安培力方向仍向左，故D 错误。
故选A。
3
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2．舰载机返回航母甲板时有多种减速方式，如图所示，为一种电磁减速方式的简要模型。固定在水平面
上足够长的平行光滑导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在匀强磁场中。现有一舰载机可等效为垂直于
导轨的导体棒ab，以一定初速度水平向右运动，导体棒和导轨的电阻不计。则导体棒运动过程中，其速度
v、加速度a 随运动时间t 的关系图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】AB．导体棒切割磁感线，回路中出现感应电流，导体棒ab 受到向左的安培力，向右减速运动，
由
可知，由于导体棒速度减小，则加速度减小，所以导体棒做的是加速度越来越小的减速运动直至停止运动。
故A 错误；B 正确；
CD．导体棒的最大加速度为
导体棒做加速度减小的减速运动，可知a-t 图像的形状与v-t 图像类似，为凹函数。故CD 错误。
故选B。
3．如图，两固定于水平面内的光滑平行金属导轨间足够长，电阻不计，阻值为R 的电阻连接在导轨左侧，
4
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导轨间存在竖直向下的匀强磁场，质量为m、电阻为R 的金属棒ab 垂直放置在导轨上、与导轨接触良好。
某时刻ab 获得初速度v 后开始沿导轨运动，经t 时间ab 速度从
减速至
的过程中（ ）
A．ab 做匀减速直线运动
B．ab 的位移s 大于
C．ab 棒克服安培力做功大小为
D．左侧电阻R 产生的热量为
【答案】C
【详解】A．由牛顿第二定律，可得
又
联立，解得
可知ab 做加速度减小的减速直线运动。故A 错误；
B．由A 选项分析可知，ab 做加速度减小的减速直线运动，速度从
减速至
的过程中其平均速度
则有
5
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故B 错误；
C．根据动能定理，可得
ab 棒克服安培力做功大小为
故C 正确；
D．左侧电阻R 产生的热量为
故D 错误。
故选C。
4．如图所示，绝缘水平面上固定有两根足够长的光滑平行导轨，导轨间距为d，左端连接阻值为R 的定值
电阻，一质量为m、电阻为r 的导体棒垂直导轨放置，空间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀
强磁场，现给导体棒一个水平向右的初速度
，导体棒在运动过程中始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，
下列说法正确的是（ ）
A．从上往下看，回路中产生逆时针方向的电流
B．电阻R 上产生的热量为
C．通过导体棒某截面的电荷量为
D．导体棒向右运动的最大距离为
【答案】C
【详解】A．根据楞次定律可知，从上往下看，回路中产生顺时针方向的电流。故A 错误；
B．根据能量守恒，可知回路中产生的热量为
6
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电阻
上产生的热量为
故B 错误；
C．通过导体棒某截面的电荷量为
由动量定理可得
联立解得
故C 正确；
D．设导体棒向右运动的最大距离为L，则有
联立解得
故D 错误。
故选C。
5.如图所示，水平面上固定放置有“
”形光滑金属导轨，宽度为L。虚线MN 右侧存在方向垂直于导轨
平面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B，磁场的区域足够大。质量为m、电阻为R、长度
也为L 的导体棒垂直于导轨放置，以初速度
沿导轨进入匀强磁场区域，最终静止。导体棒与导轨接触良
好，不计金属导轨电阻，则（ ）
7
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A．金属棒刚进入磁场时受到的安培力大小为
B．金属棒在磁场中运动的时间为
C．金属棒在磁场中运动的距离为
D．流过金属棒横截面的总电量为
【答案】AC
【详解】A．根据题意可知，金属棒刚进入磁场时，感应电动势为
通过金属棒的感应电流为
金属棒刚进入磁场时受到的安培力大小为
故A 正确；
BCD．设金属棒在磁场中运动的距离为
，由动量定理有
其中
则有
解得金属棒在磁场中运动的距离为
流过金属棒横截面的总电量为
若金属棒做匀减速运动，则有
8
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解得
由于金属棒做加速度减小的减速运动，所以金属棒在磁场中运动的时间不等于
，故BD 错误，C 正确。
故选AC。
二．发电式单导体棒模型
【模型如图】
1．电路特点：导体棒相当于电源，当速度为
时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大.
3．加速度特点：加速度随速度增大而减小.
4．运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动
5．最终特征：匀速运动
6．两个极值(1)
时,有最大加速度：
(2)
时,有最大速度：
9
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7．稳定后的能量转化规律
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系：
(2)能量关系：
(3)电荷量
9．几种变化
(1) 电路变化
(2)磁场方向变化
(3) 导轨面变化（竖直或倾斜）
10.若
的作用下使导体棒做匀加速直线运动则
随时间线性变化。
证明：根据法拉第电磁感应定律
..................................................................（1）
闭合电路欧姆定律
10
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..................................................................(2)
安培力F＝BIL...............................................................（3）
由（1）（2）（3）得
......................................（4）
由牛顿第二定律
.................................（5）得
由运动学公式
............................................(6)
(5)(6)联立得
....................................(7)
由（7）式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即
1．如图所示，水平放置的“
”型光滑金属导轨处在竖直向下的匀强磁场中，左端接有电阻R。一金属
杆与导轨垂直放置，且接触良好，在外力F 作用下由静止开始做匀加速运动。不计导轨和金属杆的电阻。
关于外力F 随时间t 变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【详解】对杆受力分析得
金属杆产生的感应电动势为
感应电流为
又
整理得
可知该图像为不过原点的直线。
故选D。
2．两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如图所示，它们各有一边在同一水平面内，另一边在同一竖直
面内。质量均为m 的金属细杆ab、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为
，
导轨电阻不计，金属细杆ab、cd 的电阻均为R。整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强
磁场中。当ab 杆在平行于水平导轨、大小为F 的拉力作用下，以某一速度沿导轨向右匀速运动时，cd 杆
正好以速度
向下匀速运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．ab 杆向右匀速运动的速度大小为
B．经过时间t，通过金属细杆ab 的电荷量为
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C．abcd 回路中的电流为
D．动摩擦因数
与F 大小的关系满足
【答案】B
【详解】A．ab 杆向右以速度向右匀速切割磁感线，产生动生电动势，对ab 杆有
联立解得
故A 错误；
B．ab 杆匀速运动，产生的电流恒定，则经过时间t 通过金属细杆ab 的电荷量为
故B 正确；
C．cd 杆平行于磁感线向下运动，不能产生电动势，只有ab 杆切割产生电动势，故有
故C 错误；
D．cd 杆通电受安培力，和重力、支持力、摩擦力而平衡向下以
匀速运动，有
解得
联立可得
故D 错误。
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故选B。
3．如图所示，间距为
的平行导轨固定在水平绝缘桌面上，导轨右端接有定值电阻，阻值为
，垂直导轨
的虚线
和
之间存在磁感应强度大小为
、方向竖直向上的匀强磁场，其中导轨的
和
段光滑。
在虚线
左侧、到
的距离为
的位置垂直导轨放置质量为
的导体棒，现给处于静止状态的导体棒一
个水平向右的恒力作用，经过
时撤去恒力，此时导体棒的速度大小
，经过
时导体棒的速
度大小
。已知恒力大小为
，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导体棒接入电路的电阻为
，重力加速度为
，导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒与
左侧导轨之间的动摩擦因数为0.66
B．导体棒经过磁场的过程中，通过导体棒的电荷量为
C．导体棒经过磁场的过程中，导体棒上产生的热量为
D．虚线
和
之间的距离为
【答案】D
【详解】A．对导体棒从开始运动至到达虚线
的过程，应用动能定理，可得
代入数据，解得动摩擦因数
故A 错误；
B．对导体棒经过磁场区域的过程，应用动量定理，可得
14
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通过导体棒横截面的电荷量
解得
故B 错误；
C．导体棒通过磁场过程，整个回路中产生的热量
代入数据可得
根据电阻的串并联关系，导体棒上产生的热量
故C 错误；
D．设虚线
和
之间的距离为
，可得
解得
故D 正确。
故选D。
4．如图甲所示，光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，两导轨间存在着竖直向下的匀强磁场，导轨左
端连接一定值电阻R，金属棒MN 垂直于导轨放置，不计导轨电阻。金属棒在水平外力F 的作用下由静止
开始运动，运动过程中电阻R 两端的电压
随时间t 变化的关系图象如图乙所示，金属棒始终垂直于导轨
且接触良好，下列关于F 随时间t 变化的关系图象可能正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于不计导轨电阻，则电路中的电动势为
设金属棒MN 电阻为
，则电阻R 两端的电压为
运动过程中电阻R 两端的电压
随时间t 变化的关系图象如图乙所示，可知金属棒MN 是匀变速直线运动，
这样电阻R 两端的电压才是线性变化。对金属棒MN 受力分析后，设加速度为定值
，由牛顿第二定律有
又金属棒在水平外力F 的作用下由静止开始匀变速直线运动，有
由以上各式化简得
根据函数与图像的关系，可知C 正确。
故选C。
5．如图1 所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平桌面上，其左侧连接定值电阻R，整个导轨处
于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，导轨电阻不计。一质量
且电阻不计的细直金属杆ab 置于导轨
上，与导轨垂直并接触良好。
时刻，杆ab 在水平向右的拉力F 作用下，由静止开始做匀加速直线运
动，力F 随时间t 变化的图像如图2 所示，
时刻撤去力F。整个运动过程中，杆ab 的位移大小为（
）
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A．8m
B．10m
C．12m
D．14m
【答案】C
【详解】t=0 到t=2s 时间段内，杆ab 做匀加速直线运动，有
其中
可得
结合F-t 图像知
ma=2
故
斜率
撤去力F 时，杆ab 的速度
杆ab 的位移
撤去力F 后，对杆ab 由动量定理有
联立解得
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故总位移
故选C。
6．如图甲所示，两间距为L 的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直向上
的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R 的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为F 的恒力作
用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好，金属棒运动的加速度与速度关系如图乙
所示，不计金属导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，若图乙中的
均为已知量，则下列说法不正
确的是（ ）
A．金属棒的质量为
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．当拉力F 做功为W 时，通过金属棒横截面的电荷量为
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
【答案】C
【详解】A．由题意可知
得
结合图像可知
解得
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故A 正确；
B．由题意可知
得
结合图像可知
解得
故B 正确；
C．当拉力F 做功为W 时，金属棒运动的距离为
则通过金属棒截面的电量
故C 错误；
D．某时刻撤去拉力，此后
则
故D 正确。
本题选不正确的，故选C。
7．如图，倾角为θ 的光滑固定轨道cdef，宽为l，上端连接阻值为R 的电阻，导体杆ab 质量为m、电阻为
19
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r，以初速度
沿轨道向上运动，空间存在水平向右、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，不计导轨电阻，
导体杆与导轨始终接触良好，ab 杆向上运动的距离为x，下列选项正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．开始时电阻电功率为
B．开始时ab 所受合力为
C．该过程克服安培力做功
D．该过程流过ab 的电量
【答案】B
【详解】A．ab 切割磁感线产生电动势
电流大小
方向在棒上为b 到a，故电阻电功率
故A 错误；
B．安培力为
方向竖直向下，经正交分解后得出开始时ab 所受合力为
故B 正确；
C．做功表达式
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运动过程安培力不是恒力，不能直接使用，故C 错误；
D．感应电动势为
电流为
流过ab 的电量为
联立可得
故D 错误。
故选B。
8．如图所示，间距为L 的两倾斜且平行的金属导轨固定在绝缘的水平面上，金属导轨与水平面之间的夹
角为θ，电阻不计，空间存在垂直于金属导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨上端接有
阻值为R 的定值电阻。质量为m 的导体棒ab 从金属导轨上某处由静止释放，开始运动
时间后做匀速运
动，速度大小为v，且此阶段通过定值电阻R 的电量为q。已知导轨平面光滑，导体棒的电阻为r，重力加
速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．刚释放瞬间导体棒的加速度大小为g
B．导体棒稳定的速度大小
C．从释放导体棒到其速度稳定的过程中导体棒运动的位移大小为
D．从释放导体棒到其速度稳定的过程中定值电阻R 上产生的热量为
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【答案】C
【详解】A．刚开始释放时，对导体棒有
所以
故A 错误；
B．导体棒速度稳定时加速度为0，即
故B 错误；
C．从释放导体棒到其速度稳定的过程中
联立解得
故C 正确；
D．从释放导体棒到其速度稳定的过程中依据动能定理得
定值电阻R 上产生的热量为
联立解得
故D 错误。
故选C。
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三．无外力充电式单导体棒模型
基本
模型
规律
(电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点
导体棒相当于电源，电容器被充电.
电流特点
安培力为阻力，棒减速，E 减小，有I＝，电容器被充电
UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F 安＝0，棒匀速运动.
运动特点和最终
特征
a 减小的加速运动，棒最终做匀速运动，此时I＝0，但
电容器带电荷量不为零.
最终速度
电容器充电荷量：q＝CU
最终电容器两端电压U＝BLv
对棒应用动量定理：
mv0－mv＝BL·Δt＝BLq
v＝.
v－t 图象
1.(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽
略不计．在M 和P 之间接有阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整
个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现给杆ab 一个初速度v0，使杆向右运动．则(
)
A．当杆ab 刚具有初速度v0时，杆ab 两端的电压U＝，且a 点电势高于b 点电势
B．通过电阻R 的电流I 随时间t 的变化率的绝对值逐渐增大
C．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所示，同样给杆ab 一个初速度v0，使杆
向右运动，则杆ab 稳定后的速度为v＝
D．在C 选项中，杆稳定后a 点电势高于b 点电势
【答案】 ACD
【解析】 当杆ab 刚具有初速度v0时，其切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv0，杆ab 两端的电压U＝
＝，根据右手定则知，感应电流的方向为b 到a，杆ab 相当于电源，a 相当于电源的正极，则a 点电势高
于b 点电势，A 正确；通过电阻R 的电流I＝，由于杆ab 速度减小，则电流减小，安培力减小，所以杆ab
做加速度逐渐减小的减速运动，速度v 随时间t 的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R 的电流I 随时间
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t 的变化率的绝对值逐渐减小，B 错误；当杆ab 以初速度v0开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，
有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小．当电容
器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压U＝
Blv，而q＝CU，对杆ab，根据动量定理得－Bl·Δt＝－Blq＝mv－mv0，联立可得v＝，C 正确；杆稳定后，
电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a 点的电势高于b 点电势，D 正确．
2.．如图所示，轨道左端与一电容为C 的电容器相连，整个区域具有垂直轨道向下的匀强磁场，磁感应强
度为B，轨道间距为l，质量为m 的导体棒始终与轨道垂直且与轨道接触良好。虚线左侧轨道光滑，右侧与
导体棒间动摩擦因数为
。开始时电容器不带电，给导体棒一个向右的初速度
，导体棒通过虚线前可以
看做已稳定滑行。已知轨道和导体棒电阻都很小，重力加速度为g，电容器储能公式为
。求：
（1）在光滑区域，导体棒稳定时的速度；
（2）从开始到稳定过程，回路产生的焦耳热；
（3）进入摩擦区域，导体棒滑行的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）导体棒在光滑区域滑行过程中，稳定后电容电压与导体棒产生的电动势相等，安培力的冲
量
由动量定理
解得
（2）由能量守恒可得
24
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，
解得
（3）在导体棒滑行的整个过程中，电容器初末电量均为零，由动量定理
解得
四．无外力放电式单导体棒模型
基本
模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点
电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动.
电流的特点
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时
阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝
BLv.
运动特点及最终
特征
a 减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0.
最大速度vm
电容器充电荷量：Q0＝CE
放电结束时电荷量：
Q＝CU＝CBLvm
电容器放电荷量：
ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm
对棒应用动量定理：
mvm＝BL·Δt＝BLΔQ
vm＝
v－t 图象
1.据报道，中国第三艘航母福建舰首次进行海试。该舰首次采用电磁弹射器技术，如图所示为电磁弹射装
置的等效电路图（俯视图）。两根相互平行的光滑长直导轨固定在水平面上，在导轨的左端接入电容为的
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C 超级电容器，阻值为R 的导体棒MN 静止于导轨上。先给电容器充电（电荷量为Q），闭合开关S 后，
弹射时电容器释放储存的电能，所产生的强大电流经过棒MN，在强磁场作用下加速。棒MN 始终与导轨
垂直且接触良好，不计导轨的电阻。下列说法正确的是（ ）
A．超级电容器相当电源，放电时两端电压不变
B．在电容器放电过程中，电容器的电容不断减小
C．通过导体棒
电流的最大值为
D．导体棒
速度最大时所受的安培力也最大
【答案】C
【详解】B．超级电容器的电容是由电容器的内部结构决定的，与充电放电无关，电容器的电容不变，故
B 错误；
A．超级电容器相当电源，根据
知，放电时Q 减小，两端电压减小，故A 错误；
C．根据题意可知，刚闭合开关时，导体棒未运动，此时反电动势为零，电容器电压最大，则通过导体棒
电流的最大，最大值为
又有
则通过导体棒
电流的最大值为
故C 正确；
D．MN 在运动过程中为非纯电阻电路，MN 上的电流瞬时值为
当
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时，MN 上电流瞬时为零，此时安培力为零，MN 速度最大，故D 错误。
故选C。
2．我国最新航空母舰福建舰采用了世界上最先进的电磁弹射技术，装备了三条电磁弹射轨道，电磁弹射
的简化模型如图所示：足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的电容器C
相连，与机身固连的金属杆ab 静置在轨道上，闭合开关S 后，飞机向右加速，若不计所有阻力和摩擦，回
路总电阻R 保持不变，下列说法不正确的是（ ）
A．提高电容器的放电量，可以提高飞机的起飞速度
B．飞机运动过程中，a 端的电势始终高于b 端的电势
C．飞机的速度最大时，金属杆ab 产生的感应电动势与电容器两端电压相等
D．飞机的速度达到最大时，电容器所带的电荷量为零
【答案】D
【详解】A．对金属杆与飞机，由动量定理可得
联立可得
则提高电容器的放电量，可以提升飞机的起飞速度，故A 正确，不符合题意；
B．飞机向右加速，通过金属杆ab 的电流方向为a→b，则电容器上板带正电，下板带负电，a 端的电势高
于b 端的电势，故B 正确，不符合题意；
CD．随着飞机加速，金属杆ab 产生的电动势为
则电动势增大，电容器两端电压U 减小，根据牛顿第二定律，对金属杆和飞机有
则金属杆的加速度a 减小，当
时，飞机的速度达到最大，此时电容器所带的电荷量不为零，故C 正确，不符合题意，D 错误，符合题意。
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故选D。
3.如图所示，匀强磁场中水平放置两足够长的光滑平行金属导轨，导轨的左侧连接电池E 和电容器C，单
刀双挪开关S 接1，金属棒ab 在导这轨上处于静止状态，在
时刻S 接2，金属棒ab 在导轨上向右运动过
程中棒始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，不计导轨电阻。则金属棒两端电压
、速度v、电容
器所带电荷量q、回路中电流强度i 随时间t 变化的关系图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】BD．电容器放电，相当于电源，导体棒受安培力而运动。电容器放电时，导体棒在安培力的作用
下开始运动，同时产生阻碍放电的反电动势，导致电流减小，直至电流为零，即导体棒受到的安培力减小，
直至减小到零，所以导体棒做加速度减小的加速运动，直至加速度减小到零之后，导体棒做匀速直线运动，
故BD 错误；
C．电容器放电时，导体棒在安培力的作用下开始运动，同时产生阻碍放电的反电动势，导致电流减小，
直至电流为零，根据
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即
图线的斜率减小，最终导体棒的电动势等于电容器两极板间的电势差时，达到稳定，即电容器所带
电荷量不会减小到零，故C 正确；
A．导体棒两端的电压始终等于电容器两极板间的电势差，为
电容器放电时，电容器所带电荷量减小，到最终不变，所以导体棒两端的电压先减小后不变，故A 错误。
故选C。
4.为了研究电磁弹射原理，将其简化为如图所示的模型（俯视图）。发射轨道被简化为两根固定在水平面
上、间距为L 且相互平行的金属导轨，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中；
导轨的左端为充电电路，已知电源的电动势为E，电容器的电容为C。子弹载体被简化为一根质量为m、
长度为L 的导体棒，其电阻为r。导体棒垂直放置于平行金属导轨上，忽略一切摩擦阻力以及导轨和导线
的电阻。发射前，将开关S 接a，先对电容器进行充电，电容器充电结束后，将开关S 接b，电容器通过导
体棒放电，导体棒由静止开始运动，发射结束时，电容器的电荷量减小为充电结束时的一半。若将导体棒
离开导轨时（发射结束）的动能与电容器所释放能量的比值定义为能量转化效率，则（ ）
A．电容器充电结束时所带的电荷量
B．电容器充电结束时储存的能量
C．导体棒离开导轨时的动能
D．这次发射过程中的能量转化效率
【答案】AC
【详解】A．根据电容的定义
，电容器充电结束时其两端电压U 等于电动势E，解得电容器所带电
荷量
故A 正确；
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B．根据以上电容的定义可知
画出u-q 图像如图所示：
由图像可知，稳定后电容器储存的能量为E0，图像与坐标轴围成的面积为
故B 错误；
C．设从电容器开始放电至导体棒离开轨道时的时间为t，放电的电荷量为
，平均电流为
，导体棒离
开轨道时的速度为v。以导体棒为研究对象，根据动量定理有
根据电流定义可知
根据题意有
联立解得
导体棒离开轨道时的动能为
故C 正确；
D．电容器释放的能量为
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联立解得能量转化效率
故D 错误；
故选AC。
5．2024 年5 月1 日“福建号”航空母舰首次海试引起国人极大关注，其采用先进的电磁弹射技术，使战
机的出动效率大大提升。如图所示，电源电动势为E，内阻忽略不计，电容器的电容为C，足够长的光滑
水平平行导轨M、N 间距为L，导轨间有磁感应强度为B 的匀强磁场，质量为m，电阻为R 的金属滑块垂
直放置于导轨的滑槽内处于静止状态，并与两导轨接触良好。单刀双掷开关先打向a，电源给电容器充电，
充电完毕后再打向b，电容器放电，金属滑块在安培力的作用下发射出去。不计其他阻力和电阻，下列说
法正确的是（ ）
A．滑块达到最大速度时，电容器放电结束，极板电荷量为零
B．滑块从开始运动到最大速度的过程中流过它的电荷量为
C．该过程中，安培力对滑块的冲量等于滑块动量的变化
D．滑块能达到的最大速度为
【答案】BCD
【详解】A．电容器放电过程，极板间电压减小，导体棒向右运动产生感应电动势
当极板间电压减至
时，导体棒达到最大速度时，电容器不再放电，但极板电荷量不为零，A 错误；
BD．根据
可得
由动量定理，可得
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又
联立，解得
BD 正确；
C．根据B 选项分析可知该过程中，安培力对导体棒的冲量等于导体棒动量的变化，C 正确；
故选BCD。
五．有外力充电式单导体棒模型
【模型结构】
【情景】：轨道水平光滑，单杆
质量为
，电阻
，两导轨间距为
，拉力
恒定
设金属棒运动的速度大小为
，则感应电动势为
(1)
经过
速度为
，此时感应电动势
2)
时间内流入电容器的电荷量
.......(3)
电流
,(4)
安培力
.(5)
由牛顿第二第定律
(6)
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(7)
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
对于导体棒
，克服安培力做多少功，就应有多少能量 转化为电能，则有:
(8)
(9) 由 (7) (8) (9) 式得:
所以在 t 秒内转化为电能的多少是:
【反思】由模型可知: 只要导体棒受恒定外力，导体棒必做匀变速运动，且加速度为
; 如
果外力不恒定，则导体棒做非匀变速运动; 如果不受外力，则导体棒匀速运动或静止．反之，只要导体棒
速度均匀变化( a 恒定) ，感应电动势就均匀变化，电容器的带电量就均匀变化，回路中的 电流就恒定不
变(
) ，导体棒所受安培力就恒定不变 (
，外力就恒定不变．
1.(多选)如图所示，间距为L 的两根平行光滑导轨竖直放置，导轨间接有电容器C，装置处于垂直轨道平面
的匀强磁场B 中，质量为m、电阻为R 的金属杆ab 接在两导轨之间并由静止释放，ab 下落过程中始终保
持与导轨接触良好，设导轨足够长，电阻不计，下列说法正确的是( )
A．ab 做自由落体运动
B．ab 做匀加速运动，且加速度为a＝
C．ab 做匀加速运动，若加速度为a，则回路的电流为I＝CBLa
D．ab 做加速度减小的变加速运动，最后匀速运动，最大速度为vm＝
【答案】 BC
【解析】 由E＝BLv 得，Q＝EC＝BLCv，I＝＝＝CBLa，安培力F＝BIL＝CB2L2a，由牛顿第二定律得mg
－F＝ma，得a＝，可知物体做初速度为零的匀加速直线运动，故B、C 正确．
2.如图甲所示，两条足够长的平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为d。导轨上端与电容为C 的
电容器相连，虚线O1O2垂直于导轨，O1O2上方存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，此部分导轨由不计电
阻的光滑金属材料制成，O1O2下方的导轨由粗糙的绝缘材料制成。t＝0 时刻，一质量为m、电阻不计的金
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属棒MN 由静止释放，运动过程中MN 始终与导轨垂直且接触良好，其速度v 随时间t 的变化关系如图乙所
示，其中v0和t0为已知量，重力加速度为g，电容器未被击穿。则下列说法正确的是（ ）
A．0～t0时间内，导体棒M 端的电势低于N 端的
B．0～t0时间内，磁场对金属棒MN 的冲量大小为
C．金属棒MN 在磁场区受到的安培力大小大于在非磁场区受到的摩擦力大小
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】ABD
【详解】A．由右手定则可知电流从M 端流向N 端，则N 端为正极，电势高，故A 正确；
B．根据动量定理有
解得
故B 正确；
C．根据图乙可知，在0～t0时间内金属棒做匀加速直线运动，则可知其加速度恒定，所受合外力恒定，即
此时间段内电流恒定，所受安培力大小不变，由牛顿第二定律得
在与t0～4t0时间内，由牛顿第二定律得
由图乙可知
，则
，故C 错误；
D．根据图乙可知，在0～t0时间内，电容器两端电压的变化量等于金属棒切割磁感线产生的感应电动势的
变化量，则有
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可得
而
对该过程由动量定理有
联立解得
故D 正确。
故选ABD。
3.如图所示，间距为L 的水平光滑长导轨，左端接有一个电容器，电容为C（不会被击穿），在PQ 虚线的
左侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m 的金属杆ab 静置在导轨上，距离虚线PQ 的
距离是d，金属杆在水平向右恒力F 的作用下，开始向右运动，不计导轨与金属杆的电阻，下列说法正确
的是 （ ）
A．金属杆ab 先做加速度不断减小的加速运动，最终匀速运动
B．金属杆ab 的运动可能是先从加速到匀速再到加速
C．金属杆ab 运动到达虚线PQ 的时间
D．电容器能带的最多电量是
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【答案】D
【详解】金属棒向右运动，切割磁感应线产生电动势E，给电容器充电，设在t~t+Δt 的时间里，电容器充
电量为Δq，则
则充电电流为
对金属棒列牛顿第二定律方程
得
上式说明金属棒做初速度为零的匀加速直线运动，由
可得
得
再由
q=CE=CBLv=CBLat
得金属杆最终出磁场时，电容器带电量最大，带电量为
故选D。
4.如图所示，两平行且间距为L 的倾斜金属导轨a、b 与水平面成37°角，导轨上端接电容为C 的电容器，
下端通过小段绝缘光滑圆弧（长度忽略不计）与足够长且间距也为L 的水平平行金属导轨c、d 平滑连接，
金属导轨c、d 右端与阻值为R 的定值电阻连接，金属导轨均处于与导轨平面垂直的匀强磁场中（图中未画
出），磁感应强度大小为B。质量为m、电阻忽略不计的金属棒P 从金属导轨a、b 上方距水平面高度为h
处由静止释放，通过绝缘圆弧后与静止在金属导轨c、d 左端的质量为2m、电阻为0.5R 的金属棒Q 发生弹
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性碰撞，碰后金属棒P 即被取走。已知金属棒P 与金属导轨a、b 之间的动摩擦因数为0.5，金属棒Q 与金
属导轨c、d 之间的摩擦忽略不计，金属棒P、Q 运动过程中与金属导轨垂直，导轨电阻忽略不计，重力加
速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）金属棒P 在金属导轨a、b 上滑动时通过金属棒P 的电流大小；
（2）整个过程中金属棒Q 产生的热量；
（3）金属棒Q 在水平金属导轨c、d 上运动的位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）金属棒P 下滑过程，根据牛顿第二定律有
联立可得
（2）金属棒P 下滑过程做匀加速直线运动，则
解得金属棒P 到达底端的速度大小为
P 与Q 发生弹性碰撞，有
根据能量守恒定律有
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整个过程中金属棒Q 产生的热量为
联立解得
（3）对金属棒Q，根据动量定理可得
联立解得
5.如图，两条平行导轨所在平面与水平地面间的夹角为θ，两导轨的间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，
电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下．在导轨上放置一质量为
m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动
摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
【答案】 (1)Q＝CBLv (2)v＝gt
【解析】 (1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv①
平行板电容器两极板之间的电势差U＝E②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，则有Q＝CU③
联立①②③式得Q＝CBLv④
(2)设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t，通过金属棒的电流为I.金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，
大小为F 安＝BLI⑤
设在时间间隔(t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，据定义有I＝⑥
ΔQ 也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加的电荷量．由④式得：ΔQ＝CBLΔv⑦
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Δv 为金属棒的速度变化量，有a＝⑧
金属棒所受到的摩擦力方向沿导轨向上，大小为Ff＝μFN⑨
FN是金属棒对导轨的正压力的大小，有FN＝mgcos θ⑩
由牛顿第二定律得mgsin θ－F 安－Ff＝ma⑪
联立⑤～
式得
⑪
a＝g⑫
由
式及题意可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．则
⑫
t 时刻金属棒的速度大小为
v＝gt.
六．含“源”电动式模型
1.开关S 刚闭合时，ab 杆所受安培力F＝，此时a＝.速度v↑⇒E 感＝BLv↑⇒I↓⇒F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E 感
＝E 时，v 最大，且vm＝
2.动力学观点：分析最大加速度、最大速度
3.能量观点：消耗的电能转化为动能与回路中的焦耳热
4.动量观点：分析导体棒的位移、通过的电荷量
1.如图所示，两条粗糙程度处处相同的平行金属导轨固定在同一水平面上，导轨间距为
，左侧连接一电
动势为
、内阻为r 的直流电源，右侧有
、
两个固定卡座，整个导轨处于磁感应强度大小为B、竖直
向下的匀强磁场中，导轨电阻不计。一质量为
、电阻为
、长度为
的导体棒
垂直静置在导轨上，
该导体棒与导轨间动摩擦因数为
。闭合开关，该导体棒从静止开始加速运动，再匀速运动，最后碰到
、
两卡座后静止不动，整个运动过程中，该导体棒始终与两导轨垂直并接触良好。重力加速度为g，
则（ ）
A．闭合开关S 后，该导体棒运动时的电流比其静止不动时的电流大
B．闭合开关S 后，该导体棒运动时的电流与其静止不动时的电流相等
C．该导体棒匀速运动时的速度大小为
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D．该导体棒匀速运动时的速度大小为
【答案】C
【详解】AB．闭合开关S 后，该导体棒运动时的电流为
静止不动时的电流为
所以导体棒运动时的电流小于其静止不动时的电流，故AB 错误；
CD．当导体棒匀速运动时，有
联立解得
故C 正确，D 错误。
故选C。
2.如图所示为水平放置足够长的光滑平行导轨，电阻不计、间距为L，左端连接的电源电动势为E、内阻为
r，质量为m、长为L 的金属杆垂直静置在导轨上，金属杆的电阻为R。整个装置处在磁感应强度大小为
B、方向竖直向下的匀强磁场中，闭合开关，金属杆沿导轨做变加速运动直至达到最大速度，则下列说法
正确的是( )
A．金属杆的最大速度大小为
B．此过程中通过金属杆的电荷量为
C．此过程中电源提供的电能为
D．此过程中金属杆产生的热量为
【答案】 AC
【解析】 闭合开关后电路中有电流，金属杆在安培力的作用下向右运动，金属杆切割磁感线产生感应电
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动势，方向与电源电动势方向相反，当两者大小相等时，电流为0，金属杆达到最大速度，此时E＝
BLvm，得vm＝，选项A 正确；对金属杆应用动量定理有BLIt＝mvm，又q＝It，得q＝，选项B 错误；电源
提供的电能E 电＝qE＝，选项C 正确；根据能量守恒定律，E 电＝Ek＋Q 热，Ek＝mv，可得Q 热＝E 电－Ek
＝，Q 热为电源内阻和金属杆上产生的总热量，选项D 错误。
3.福建舰是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，配置电磁弹射和阻拦装置。如图所示，某小组
模拟电磁弹射实验，将两根间距为L 的长直平行金属导轨MN、PQ 固定在水平面上，左侧通过开关S 接入
电动势为E 的电源，质量为m、电阻为R、长度为L 的金属棒垂直导轨静止放置，导轨处在方向竖直向下、
磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。闭合开关S，金属棒向右加速运动至达到最大速度，即完成“弹射”。
已知金属棒始终与导轨接触良好，不考虑其他电阻，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的速度为
时，金属棒的加速度大小为
B．金属棒能获得的最大速度为
C．弹射过程中，流过金属棒的电荷量为
D．若弹射所用的时间为t，则金属棒的位移大小为
【答案】BD
【详解】A．金属棒的速度为
时，回路中的感应电流为
金属棒的加速度大小为
故A 错误；
B．当回路中的感应电流为0 时，金属棒受到的安培力为0，金属棒的速度达到最大，则有
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解得金属棒的最大速度为
故B 正确；
C．弹射过程中，设流过金属棒的电荷量为
，由于金属棒产生焦耳热，根据能量守恒有
可得
故C 错误；
D．若弹射所用的时间为t，对金属棒根据动量定理可得
其中
联立解得金属棒的位移大小为
故D 正确。
故选BD。
4.如图所示，水平面内固定有相互平行的
和
两条光滑导轨，两导轨相距
，
段与
段长度相同且分别与
段和
段绝缘，绝缘位置左右两段导轨均足够长，导轨左端与直流电源相连，电
源电动势
，内阻
，两根长度均为
的导体棒M、N 分别放置在
段和
段上，
与导轨垂直且接触良好．两导体棒质量均为
，电阻均为
，两导轨所在区域存在与导轨平面
垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为
．现闭合开关S，不计
、
与
、
段电阻，设运动过
程中两棒不会相撞．
（1）导体棒M 进入
段前加速度和速度如何变化？
（2）求导体棒M 进入
段时的速率v；
（3）求导体棒N 的最大速率
及导体棒N 产生焦耳热的最大值Q。
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【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
，
【详解】（1）根据
则随速度增加，加速度逐渐减小，最后当加速度为零时速度最大做匀速运动；
（2）当导体棒M 的感应电动势与电源电动势相等后，速率将不再变化，即
解得
（3）导体棒M 进入
段后，两棒组成的系统动量守恒，当两者速度相同时，N 棒速度最大
解得
根据能量守恒有
解得
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