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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块四：曲线运动模块大招
第08 讲 竖直面内的圆周运动模型
（解析版）
目录
【内容一】 一般圆周运动的动力学分析模型..................................................................................................1
【内容二】 绳模型（没有支撑）模型..............................................................................................................3
【内容三】 轻杆模型（有支撑）模型..............................................................................................................4
【内容四】 过拱凹形桥
模型
..............................................................................................................................5
技巧总结
内容一：一般圆周运动的动力学分析
Ⅰ：运动学分析：
①如图所示：做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速
度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：
，
改变速度
的大小
，
改变速度
的方向，
②作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小
段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
1
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，
改变速度
的大小
，
改变速度
的方向，
，
为曲率圆半径。
内容二：绳模型（没有支撑）
⑴过最高点的临界条件：由
得
，对应最低点速度
推导：受力分析，根据牛二定理：
最低点
：
①
最高点
：
②
临界条件：当
时，
①—②得
.那
从
采用动能定理：
③
结论：
（最低点与最高点的压力差为
）
⑵绳不松不脱轨条件：
或
最低点弹力：
，向上拉力
2
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最高点弹力：过最高点时，
，
，绳、轨道对球产生弹力
向下压力
在最高点的
图线：取竖直向下为正方向
内容三：轻杆模型（有支撑）
⑴过最高点的临界条件：由小球能运动即可得
，对应最低点速度
.
推导：最到点：
时，杆上表现为拉力，
时，杆上表现为无力，
时，杆上表现为支持力，
结论：
⑵最低点弹力：
，向上拉力
最高点弹力：(1)当
时，
，
为向上支持力
3
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(2)当
时，
，
向上支持力，随
的增大而减小
(3)当
时，
(4)当
时，
，
为向下压力并随
的增大而增大
在最高点的
图线：取竖直向下为正方向
内容四：过拱凹形桥模型
模型1：拱形桥
最高点(失重)：
，可知：
（1）当
时，即汽车静止在最高点，
；
（2）当汽车的速度增大到
即
时，
，汽车在桥顶只受重
力
，又具水平速度
，因此开始做平抛运动；
（3）当
时，
，且速度
越大，
越小；
（4）当
时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞
车”。
模型2：拱形桥
4
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最高点(超重)：
可知：
（1）当
时，即汽车静止在最高点，
；
（2）当汽车的速度
时，
，且速度
越大，
越大。
例题演练
例1．在绕地球稳定运行的空间站中，有如图所示的装置，半径分别为r 和R（R>r）
的甲、乙两个光滑的圆形轨道，固定在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD
相通，宇航员让一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过粗糙的CD 段，又滑上乙轨
道，最后离开两圆轨道，下列说法正确的是（ ）
A．小球在CD 间由于摩擦力而做减速运动
B．小球经过甲轨道最高点时与经过乙轨道最高点时速度相等
C．如果减少小球的初速度，小球有可能不能到达乙轨道的最高点
D．小球经过甲轨道最高点时对轨道的压力小于经过乙轨道最高点时对轨道的压力
解：A．小球处于完全失重状态，对直轨道无压力，不受摩擦力，做匀速直线运动，A
错误；
B．小球处于完全失重状态，在圆轨道中做匀速圆周运动，在直轨道上不受摩擦力，做
匀速直线运动，所以小球经过甲轨道最高点时与经过乙轨道最高点时速度相等，B 正
确；
C．小球处于完全失重状态，在圆轨道中做匀速圆周运动，只要有速度，就能通过圆轨
道，C 错误；
D．在圆轨道中做匀速圆周运动，靠轨道的压力提供向心力，即
半径小，则对轨道的压力大，D 错误。故选B。
例2．如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从
5
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静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，设小球的球心与O 点的连线
与竖直方向的夹角为θ，则地面对小车的静摩擦力的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：设小球运动到某处小球的球心与O 点的连线与竖直方向的夹角为
，此时对小球
受力分析如图1
可知车对小球的支持力
，根据牛顿第二定律
此时再对小车受力分析，如图2 所示，小球对车的压力
和地面对车的静摩擦力f 满
足
另外小球从静止开始由车顶无摩擦滑下到图中位置的过程中，由动能定理
有
联立可得
可以看出当sin2θ=1 即θ=45°时，地面对车的静摩擦力最大，其值为
故A 正确，BCD 错误。故选A。
例3．如图所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，重力
加速度为g，则下列说法不正确的是（ ）
A．小球在圆周最高点时所受向心力可能等于重力
B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力可能为零
6
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C．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是0
D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是
解：AB．小球在圆周最高点时可能恰好由重力提供向心力，此时绳子的拉力为零，
AB 正确；
CD．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，恰好由重力提供向心力，由牛顿第二定律
得
得
C 错误，D 正确。本题选不正确的，故选C。
例4．一宇航员到达半径为
、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的
轻绳拴一质量为
的小球，上端固定在
点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速
度，使其绕
点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力
大小随时间的变化规律如图
乙所示。设
、
、引力常量
以及
和
为已知量，忽略各种阻力。以下说法正确
的是（ ）
A．小球在最高点的速度为零 B．该星球表面的重力加速度为
C．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
D．该星球的密度为
解：A．设星球表面的重力加速度为g，绳长为r，小球能在竖直面上做圆周运动，即
能过最高点，过最高点的条件是只有重力提供向心力，有
则最高点最小速度为
故A 错误；
B．在最低点有
在最高点有
由机械能守恒定律得
联立可得
故B 错误；
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C．由
可得
故C 错误；
D．由
可得
故D 正确。故选D。
例5．如图所示，一质量为
的小球，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做
圆周运动，
，下列说法不正确的是（ ）
A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为
B．当小球在最高点的速度为
，轻绳拉力为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过
解：A．设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有
解得
故A 正确；
B．当小球在最高点的速度为
时，设轻绳拉力大小为T，根据牛顿第二定律
有
解得
故B 正确；
CD．小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有
解得
故C 正确，D 错误。故选D。
例6．如图所示，可视为质点的、质量为m 的小球，在半径为R 的竖直放置的光滑圆
形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ ）
8
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A．小球能够到达最高点时的最小速度为
B．小球达到最高点的速度是
时，球受到的合外力为零
C．如果小球在最高点时的速度大小为
，则此时小球对管道的外壁的作用力为
3mg
D．如果小球在最低点时的速度大小为
，则小球通过最低点时对管道的外壁的作
用力为5mg
解：A．圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0， A 错误，
B．当小球达到最高点的速度是
时，则有
球受到的合外力不为零B
错误；
C．设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得
代入解得
方向竖直向下
根据牛顿第三定律得知，小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作
用力
，C 正确；
D．重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律， 有
解得
根据牛顿第三定律，球对管道的外壁的作用力为6mg，D 错误。故选C。
例7．如图所示，一轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径
为R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的
速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
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A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．v2＝c 时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
解：A．通过图分析可知：当v2＝b，FN＝0 时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，
即
则
故A 错误；
B．当v2＝0，FN＝a 时，重力与弹力FN大小相等，即
所以
故B 正确；
C．当v2＞b 时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b
时杆对小球的弹力方向竖直向下，故C 错误；
D．若v2＝2b 时
解得FN＝a 方向竖直向下，故D 错误。故选B。
例8．如图所示，质量为M 的铁架台静置于水平地面上，一根细线系住质量为m 的小
钢球，悬挂在铁架台上的O 点，给小球一初速度，小球恰好能够在竖直平面内做圆周
运动，铁架台始终静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点B 时，铁架台对地面的压力为（M+m）g
B．小球运动到最低点A 时，铁架台对地面的压力等于（M+6m）g
C．小球从最高点B 向最低点A 运动的过程中，小球先处于失重状态后处于超重状态
D．小球从最高点B 顺时针运动到最低点A 的过程中，铁架台受到地面水平向左的摩
擦力
解：A．小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点B 时，只有重力
提供向心力，则有
细线上没有张力，铁架台所受重力与支持力平衡，铁架台对地面的压力为Mg，故A 错
误；
B．小球从最高点到最低点的过程，根据动能定理有
在最低点时有
联立解得
此时铁架台对地面的压力等于
，
故B 正确；
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C．小球从最高点B 向最低点A 运动的过程中，竖直方向先加速后减速，小球先处于
失重状态后处于超重状态，故C 正确。
D．小球从最高点B 顺时针运动到最低点A 的过程中，细线给铁架台的拉力在水平方
向上有向右的分力，即在水平方向上有向左的摩擦力作用，故D 正确。故选BCD。
例9．如图所示，在固定的水平横杆上，套有质量为m 的光滑圆环，轻绳一端拴在环
上，另一端系着质量为M（M>m）的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速
度射入木块并立刻留在木块中。在以后的摆动过程中，木块不会碰到和超过水平横杆，
重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于(M＋m0)g
B．子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力大于(M＋m＋m0)g
C．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量不守恒 D．m 不可能向左
运动
解：A．子弹射入木块后的瞬间，子弹和木块系统的动量守恒，则m0v0＝(M＋m0)v1
解得速度大小为v1＝
子弹射入木块后的瞬间，根据牛顿第二定律可得T－(M＋m0)g＝(M＋m0)
可知绳子拉力大于(M＋m0)g，选项A 错误；
B．子弹射入木块后的瞬间，对子弹、木块和圆环整体N＝T＋mg> (M＋m＋m0)g
选项B 正确；
C．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统只在水平方向动量守恒，选项C
正确；
D．由弹性碰撞公式可知， 从子弹打入木块到木块摆回到最低点时
，
由于M+ m0>m，木块经过最低点时圆环速度有两个解，分别是最大速度
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方向向右；最小速度：0，圆环不可能向左运动，选
项D 正确。故选BCD。
例10．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于管
道内径，ab 为过圆心的水平线。则小球（ ）
A．过最高点的速度越小，对管壁的弹力可能越大
B．过最高点的速度越小，对管壁的弹力一定越小
C．在ab 以下运动时，对内侧管壁可能有作用力
D．在ab 以下运动时，对内侧管璧一定无作用力
解：AB．在最高点时，若小球对轨道的下壁有压力，则
则此时过最高点的速度越小，对管壁的弹力越大；若小球对轨道的上壁有压力，则
则此时过最高点的速度越小，对管壁的弹力越小，选项A 正确，B 错误；
CD．在ab 以下运动时，因向心力指向圆心，而重力方向向下，则外侧管壁对小球一
定提供支持力，而内侧管壁对小球一定无作用力，选项C 错误，D 正确。故选AD。
例11．如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s 时，车对桥顶的压力为车重的
，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的
速度应为（ ）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s
D．30m/s
解：如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，即汽车只受重力作
用，则有
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当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s 时，车对桥顶的压力为车重的
，即支持力为
，则有
联立解得
所以B 正确；ACD 错误；故选B。
例12．为了安全，汽车通过凸形桥时的速度不能过大。某汽车通过凸形桥桥顶时的示
意图如图所示，已知凸形桥为一段半径为15m 的圆弧，要求汽车运动到桥顶时对桥面
的压力大小至少等于其所受重力大小的
。取重力加速度大小
。则汽车通过
桥顶时的最大速度为（ ）
A．36km/h
B．54km/h
C．60km/h
D．72km/h
解：汽车运动到桥顶时对桥面的压力大小至少等于其所受重力大小的
。根据牛顿第
二定律
解得
故选A。
例13．如图所示，一辆可视为质点的小汽车沿着两个相同的圆弧组成的竖直轨道以恒
定的速率从A 点经BCD 点运动到E 点，其中A、C、E 在同一水平面上B、D 两点分别
为轨道的最低点和最高点，下列说法正确的是（ ）
A．小汽车的合外力始终为零 B．小汽车在从A 到C 的过程中加速度大小不变
C．小汽车从A 到C 的平均速度大于从C 到E 的平均速度
D．B、D 两点轨道对小车的支持力相等
解：A．小汽车做匀速圆周运动，所受合力提供向心力用于改变速度的方向，故A 错
误；
B．小汽车做匀速圆周运动，合力提供向心加速度，其大小不变，方向沿径向改变，故
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B 正确；
C．小汽车从A 到C 和从C 到E 的位移相同，做匀速圆周运动的时间相同，根据
可知两过程的平均速度相同，故C 错误；
D．小汽车在B 点加速度向上，处于超重，可知支持力大于其重力；小汽车在D 点的
加速度向下，处于失重，可知支持力小于重力，则B、D 两点轨道对小车的支持力不
相等，故D 错误；故选B。
例14．如图所示，一质量为m 的汽车以恒定的速率运动。若通过凸型路面时对路面的
压力F1，通过凹形路面最低点时对路面的压力为F2，则（ ）
A．F1<mg
B．F1>mg
C．F2<mg
D．F2=mg
解：AB．通过凸型路面时，汽车受到的重力和支持力提供向心力，有
可知，支持力小于重力，根据牛顿第三定律可知支持力大小等于压力F1，所以可得
故A 正确，B 错误；
CD．通过凹型路面时，汽车受到的重力和支持力提供向心力，有
可知，支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知支持力大小等于压力F2，所以可得
故CD 错误。故选A。
例15．一汽车通过半径为R=10m 的拱形桥顶点，如果要使汽车在桥顶对桥面有压力，
取g=10m/s2，则汽车的最大速度不能超过（ ）
A．5m/s
B．10m/s
C．15m/s
D．20m/s
解：汽车在桥顶时对桥面恰好无压力时，由重力作为向心力，可得
解得
要使汽车在桥顶对桥面有压力，最大速度不能超过10m/s，B 正确。故选B。
例16．汽车通过拱形桥时的运动可以看作圆周运动，如图所示。质量为m 的汽车以速
度v 通过半径为R 的拱形桥最高点时，下列说法正确的是（ ）
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A．桥对汽车的支持力等于汽车对桥的压力
B．汽车对桥的压力大小为mg
C．桥对汽车的支持力大小为
D．无论汽车的速度有多大，汽车对桥始
终有压力
解：A．根据牛顿第三定律，桥对汽车的支持力与汽车对桥的压力是作用力与反作用
力，大小相等，故A 正确；
B．汽车对桥的压力小于
，故B 错误；
C．根据牛顿第二定律
桥对汽车的支持力大小
故C 正确；
D．当汽车的速度
，重力提供向心力，汽车将要飞起来，汽车对桥没有压力，
故D 错误。故选AC。
例17．如图一辆试验车过拱桥，车的质量为
，桥的半径为
。下列说法正确
的是（ ）
A．汽车以
的速度过桥顶时恰好处于完全失重状态
B．车在桥顶时速度越大，车对桥的压力越小
C．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径越大越安全
D．汽车以
的速度过桥顶时，汽车对桥的压力为
解：A．当支持力为零时有
计算得出
汽车以
的速度过桥顶时恰好处于完全失重状态，故A 错误；
BC．根据牛顿第二定律
可知，随着车速的增加车对桥的压力逐渐减小；对于同样的车速，拱桥圆弧的半径越
大越安全。故BC 正确；
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D．根据牛顿第二定律
车的质量为
，桥的半径为
，以
的速度过桥顶时，解得
故D 正确。故选BCD。
例18．如图所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程
中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，则（ ）
A．物块的速度不变
B．物块的加速度大小不变，且一定指向
圆心
C．物块受到的重力的瞬时功率逐渐减小
D．物块受的摩擦力越来越大，支持力越
来越小
解：A．物块的速度大小不变，方向一直改变，故A 错误；
B．物体做匀速圆周运动，合外力完全提供向心力，加速度即为向心加速度，一定指向
圆心且大小不变，故B 正确；
C．从碗口到最低点，重力的瞬时功率为P=mgvcosθ
物块的速度与重力的夹角θ 从0 逐渐增大至90°，重力的瞬时功率逐渐减小，故C 正确；
D．物块下滑过程中，在半径方向上根据牛顿第二定律
式中α 为重力与半径方向的夹角（锐角）随着物块下滑，α 逐渐减小，所以物块所受支
持力逐渐增大，根据滑动摩擦力f=μN 可知物块所受摩擦力越来越大，故D 错误。故选
BC。
例19．一辆可视为质点的汽车以大小不变的速度驶过竖直面内的凸形桥。已知凸形桥
面是圆弧形柱面，半径为R，则下列说法中正确的是（ ）
A．汽车在凸形桥上行驶的过程中，所受合力始终为零
B．汽车行驶的速度越大，在最高点对桥面的压力就越大
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C．为了让汽车在最高点不离开桥面，则汽车的速度
D．凸形桥的圆弧半径R 越小，则汽车在最高点不离开斜面的最大速度就越小
解：A．汽车以大小不变的速度驶过竖直面内的凸形桥，做匀速圆周运动，汽车受到
的合力提供向心力，所受合力不为零，故A 错误；
B．当汽车通过凸形桥最高点时，有
则汽车行驶的速度越大，在最高点对桥面的压力就越小，故B 错误；
CD．当压力为0 时，有
为了让汽车在最高点不离开桥面，则汽车的速度
凸形桥的圆弧半径R 越小，则汽车在最高点不离开斜面的最大速度就越小，故CD 正
确。故选CD。
例20．在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸形桥面
的坡道。要求学员在半坡位置a 启动汽车，一段时间后匀速率通过最高点b 以及剩下
路段，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．若汽车以额定功率从a 点加速到b 点，牵引力大小保持不变
B．在最高点b，汽车所受外力的合力竖直下向
C．在最高点b，汽车对路面的压力小于汽车重力
D．从a 点运动到b 过程中，发动机对汽车做的功大于重力功的绝对值
解：A．汽车以额定功率从a 点开始加速，由功率P=Fv 可知，牵引力应减少，故A 错
误；
BC．在最高点b 汽车的加速度向下，汽车所受外力的合力竖直下向，汽车处于失重状
态，汽车对路面的压力小于汽车的重力，故BC 正确；
D．汽车从a 加速到b 运动过程中，动能增加，合外力做功大于0，即发动机对汽车做
的功大于重力功的绝对值，故D 正确。
故选BCD。
对应题型精炼
一、单选题
1．如图所示，一辆重为
的汽车以某一速度驶过凸形桥桥面的最高点时，受到桥面的
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支持力为
，则此时汽车受到的支持力
与重力
之间的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．条件不足，无
法确定
【答案】A
【详解】汽车过凸形桥最高点，重力和支持力的合力提供向心力，设汽车的速度为，
桥的半径为
，则根据牛顿第二定律得
解得支持力
故选A。
2．如图所示，一内壁光滑、质量为m、半径为r 的环形细圆管（管的内径相对于环半
径可忽略不计）用硬杆竖直固定在地面上。有一质量为m 的小球可在圆管中运动（球
直径略小于圆管直径，可看做质点），小球以速率
经过圆管最低点时，此时硬杆对
圆管的作用力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】小球在最低点时，由自身重力和圆管对小球向上的支持力提供向心力，可得
根据牛顿第三定律可得，小球对管壁的作用力为
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根据平衡可知，硬杆对圆管的作用力大小为
故选D。
3．如图所示，质量为4 kg、半径为0.5 m 的光滑管状细圆环用轻杆固定在竖直平面内，
A、B 两小球的直径略小于管的内径，它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，
A、B 两球分别位于圆环最低点和最高点，且A 的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆的下
端受到向上的压力，大小为56 N。则B 球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（ ）
A．2 m/s
B．4 m/s
C．6 m/s
D．8 m/s
【答案】C
【详解】对A 球，合力提供向心力，设环对A 球的支持力为FA，由牛顿第二定律有
FA－mAg＝mA
代入数据解得
FA＝28 N
由牛顿第三定律可得，A 球对环的力向下，大小为28 N。设B 球对环的力为FB′，由环
的受力平衡可得
FB′＋28 N＋m 环g＝－56 N
解得
FB′＝－124 N
负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B 球的力FB为124 N、方向竖
直向下，对B 球由牛顿第二定律有
解得
19
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vB＝6 m/s
故选C。
4．如图所示，一长为
的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为
的小球，小球随杆在竖直平面内做速度为2m/s 的匀速圆周运动，重力加速度
为g 取
，则（ ）
A．小球运动到水平位置A 时，杆对球的作用力为10N
B．小球运动到最高点时，杆对球的拉力为8N
C．小球运动到最高点时，杆对球的推力为2N
D．小球运动到最低点时，杆对球的推力为18N
【答案】C
【详解】A．小球运动到水平位置A 时，水平方向有
竖直方向有
小球运动到水平位置A 时，杆对球的作用力为
故A 错误；
BC．小球运动到最高点时，有
可得
可知小球运动到最高点时，杆对球的推力为2N，故B 错误，C 正确；
D．小球运动到最低点时，有
20
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解得
可知小球运动到最低点时，杆对球的拉力为18N，故D 错误。
故选C。
5．如图甲所示，轻绳一端固定在O 点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在
竖直平面内做圆周运动．小球以不同的速度v 通过最高点，测得相应的轻绳弹力大小
F，得到
图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为
，且过点
，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法不正确的是（ ）．
A．该小球的重力大小为b
B．小球运动的轨道半径为
C．当
时，小球的向心加速度大小为
D．图线与横轴的交点对应小球的动能为
【答案】D
【详解】ABD、小球在最高点受到竖直向下的重力和绳子的拉力，根据牛顿第二定律
即
则图像的斜率为
21
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截距为
-b=-mg,
解得
，
图线与横轴的交点横坐标为
对应动能为
故D 错误，AB 正确；
C、当
时，弹力大小为
F=b=mg
小球通过最高点时的向心力为绳子的拉力和重力的合力，大小为2mg
根据牛顿第二定律
2mg=ma
解得加速度为
a=2g
故C 正确。
本题选择错误选项；
故选D。
6．如图，质量
、半径
的内表面光滑细圆管轨道用轻质细绳悬挂在
天花板上，位于管内的小球A 和B 的直径略小于细圆管的内径，A、B 两球的质量分
别为
、
．某时刻，小球A、B 分别位于圆管的最低点和最高点，A
的速度大小为
，此时细线上的拉力恰好为0．重力加速度
，此时
B 球的速度大小为（ ）
22
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对A 球，合外力提供向心力，设环对A 的支持力为
，由牛顿第二定律可得
解得
由牛顿第三定律可得，A 球对环的力向下，大小为28N；设B 球对环的力为
，由环
的受力平衡可得
解得
由牛顿第三定律可得，环对B 球的力
为44N，方向竖直向下，对B 球由牛顿第二定
律可得
解得
故选B。
7．如图所示，质量为M 的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆
形轨道的竖直面做圆周运动，A、C 为圆周的最高点和最低点，B、D 与圆心O 在同一
水平线上。小滑块运动时，物体保持静止，关于物体对地面的压力N 和地面对物体的
摩擦力，下列说法正确的是（ ）
23
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A．滑块运动到A 点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B 点时，N=Mg，摩擦力方向向右
C．滑块运动到C 点时，N>(M+m)g，摩擦力方向向左
D．滑块运动到D 点时，N=(M+m)g，摩擦力方向向左
【答案】B
【详解】A．滑块运动到A 点时，若恰好由重力作为向心力，则滑块与物体间没有相
互作用力，则
N=Mg
若滑块速度较大，则滑块对物体的作用力竖直向上，则
N<Mg
由于系统在水平方向上不受外力，故地面对物体没有摩擦力，A 错误；
C．滑块运动到C 点时，对滑块满足
故滑块对物体的作用力竖直向下且大于mg，则
N>(M+m)g
由于系统在水平方向上不受外力，故地面对物体没有摩擦力，C 错误；
B．滑块运动到B 点时，滑块与物体在竖直方向没有相互作用，则
N=Mg
滑块对物体有向左的作用力，故物体受到的摩擦力方向向右，B 正确；
D．滑块运动到D 点时，滑块与物体在竖直方向没有相互作用，则
N=Mg
滑块对物体有向右的作用力，故物体受到的摩擦力方向向左，D 错误。
故选B。
二、多选题
8．如图所示，长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方
处有一钉子C，把悬线另一
端的小球m 拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线
24
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碰到钉子，则小球的（ ）
A．线速度突然增大为原来的2 倍
B．角速度突然增大为原来的2 倍
C．向心加速度突然增大为原来的2 倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2 倍
【答案】BC
【详解】A．悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与球运动方向垂直，不改变小球线
速度大小，故小球的线速度大小不变，故A 错误；
B．当半径减小时，由
知半径减小为原来的
倍，
变大，为原来的2 倍，故B
正确；
C．由
知向心加速度突然增大为原来的2 倍，故C 正确；
D．在最低点
，故碰到钉子后合力变为原来的2 倍，悬线拉力变大，但
不是原来的2 倍，故D 错误。
故选BC。
9．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计
一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为
v，其
图像如图乙所示，则（ ）
A．当地的重力加速度为
25
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B．轻质绳长为
C．当
时，轻质绳的拉力大小为
D．只要
，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【答案】BD
【详解】AB．设绳长为L，小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律
得
解得绳子上的拉力
由图像可得
斜率
解得
，
故A 错误，B 正确；
C．当
时，由图像和拉力表达式得轻质绳的拉力大小为
故C 错误；
D．当
时，轻质绳的拉力大小为
当
时
当小球运动到最低点时速度为
，根据动能定理可知
26
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最低点，根据牛顿第二定律得
解得
故D 正确。
故选BD。
10．如图所示，半径为R 的
圆弧轨道固定在竖直平面内，一质量为m 的小球由距槽
口M 正上方
的O 点无初速度释放，经过一段时间小球运动到圆弧轨道的最高点N，
且此时小球与轨道之间压力的大小为mg。重力加速度为g，则对小球由O 到N 的过程，
下列描述正确的是（ ）
A．小球在N 点的速度大小为
B．机械能的减少量为mgR
C．合力对小球做功为2mgR
D．摩擦力对小球做功为
【答案】AB
【详解】A．小球沿轨道到达最高点N 时对轨道压力为mg，小球受重力和支持力，合
力为2mg，向下，根据牛顿第二定律，有
2mg=
解得
故A 正确；
B．从O 到N 过程，重力势能减小量
27
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动能的增加量
机械能的减少量为
故B 正确；
C．合外力做功等于动能增加量，故为
故C 错误；
D．克服摩擦力做功等于机械能减小量，故为
则摩擦力对小球做功为
，故D 错误。
故选AB。
11．如图所示，竖直平面内固定一半径为R = 0.5m 的表面粗糙的四分之一圆弧轨道，
其圆心O 与A 点等高。一质量m = 1kg 的小物块（可视为质点）在不另外施力的情况
下，能以速度
沿轨道自A 点匀速率运动到B 点，P 为弧AB 的中点，重力加
速度g = 10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．在P 点时，重力的瞬时功率为
B．小物块从A 运动到B 的过程中合力对小物块做的功为零
C．小物块在AP 段和PB 段产生的内能相等
D．在B 点时，小物块对圆弧轨道的压力大小为11N
【答案】BD
【详解】A．在P 点时，重力的瞬时功率为
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PG = mgv0cos45° = 5W
故A 错误；
B．小物块从A 运动到B 的过程中做匀速率运动，根据动能定理，合力做的功为零，
故B 正确；
C．小物块在AP 段和PB 段克服摩擦力做功产生的内能都等于重力势能的减少量，在
AP 段产生的内能为
在PB 段产生的内能为
故在AP 段和PB 段产生的内能不相等，故C 错误；
D．在B 点时，运用牛顿第二定律得，圆弧轨道对小物块的支持力大小
根据牛顿第三定律，小物块对圆弧轨道的压力大小
故D 正确。
故选BD。
12．如图所示，管壁光滑的圆形轨道固定在竖直平面内，半径为R。质量为m 的小球
在管道内做圆周运动，管道内径远小于轨道半径，下列有关说法中正确的是（ ）
A．小球通过最高点的最小速度为0
B．小球通过最高点的最小速度为
C．若小球经过最低点时速度大小为
，则此时小球对管道的作用力大小为
6mg
29
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D．若小球经过最高点时速度大小为
，则此时小球对管道作用力大小为mg
【答案】AC
【详解】AB．小球在管道内做圆周运动，在最高点时管道能给小球竖直向上的支持力，
则小球能够通过最高点的最小速度为零，故A 正确，B 错误；
C．若小球经过最低点时速度大小为
，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，此时小球对管道的作用力大小为6mg，故C 正确；
D．若小球经过最高点时速度大小为
，则根据牛顿第二定律有
解得
则可知此时小球对管道恰好无作用力，即作用力大小为0，故D 错误。
故选AC。
13．一质量为m 的小球，以O 为圆心，在竖直面内做半径为R 的圆周运动。图甲是用
轻杆连接小球，图乙是用轻绳连接小球，如图所示。已知重力加速度为g，则下列说
法正确的是（ ）
A．图甲中小球过最高点的最小速度为
B．图乙中小球过最高点的最小速度为
C．图甲中小球过最高点时，轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大
D．图乙中小球过最高点时，轻绳对小球的作用力一定随速度的增大而增大
【答案】BD
【详解】B．当小球到达最高点绳子拉力为零时，重力提供向心力，有
30
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解得
所以小球过最高点的最小速度为
，故B 正确；
A．小球过最高点时，由于杆能支撑小球，所以小球通过最高点的最小速度为零，故A
错误；
D．小球过最高点时
，则有
显然绳子对球的作用力F 随着速度增大而增大，故D 正确。
C．小球在最高点，若
时，则有
解得
杆子杆对球的作用力随着速度的增大而减小；
小球在最高点，若
时，则有
解得
杆子杆对球的作用力随着速度的增大而增大，故C 错误。
故选BD。
14．质量为m 的小球，用细绳系在边长为a、横截面积为正方形的木柱的顶角 A 处，
如图所示。细绳长为4a，所能承受的最大拉力T=7mg，开始时细绳拉直并处于水平状
态。若以某初速度v0下抛小球，能使细绳绕在木桩上且小球在各段均做圆周运动最后
击中A 点。（不计空气阻力）则v0的大小可能是（ ）
31
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A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】要使使细绳绕在木桩上且小球在各段均做圆周运动最后击中A 点，以
为圆
心运动到最高点
有
从
到
根据机械能守恒有
解得
点下抛小球的最小速度
要使细绳不断裂，在最低点
有
从
到
根据机械能守恒有
解得
要使细绳不断裂，在
点有
32
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从
到
根据机械能守恒有
解得
要使细绳不断裂，在
点有
从
到
根据机械能守恒有
解得
综上所述，v0的取值范围为
故选AB。
三、解答题
15．如图所示，质量m＝3kg 的小物块以初速度v0＝4m/s 水平向右抛出，恰好从A 点
沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道。圆弧轨道的半径为R＝3.75m，B 点是圆弧轨道的
最低点，圆弧轨道与水平轨道BD 平滑连接，A 与圆心O 的连线与竖直方向成37°角。
MN 是一段粗糙的水平轨道，小物块与MN 间的动摩擦因数μ＝0.1，轨道其他部分光滑。
最右侧是一个半径为r＝0.4m 的半圆弧轨道，C 点是半圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道
与水平轨道BD 在D 点平滑连接。已知重力加速度g 取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝
0.8。
（1）求小物块经过B 点时对轨道的压力大小；
（2）若MN 的长度为L＝6m，求小物块通过C 点时对轨道的压力大小；
（3）若小物块恰好能通过C 点，求MN 的长度L′。
33
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【答案】（1）62N；（2）60N；（3）10m
【详解】（1）根据平抛运动的规律有
v0＝vAcos37°
解得小物块经过A 点时的速度大小
vA＝5m/s
小物块从A 点运动到B 点，根据动能定理有
小物块经过B 点时，有
解得
FN＝62N
根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小是62N。
（2）小物块由B 点运动到C 点，根据动能定理有
在C 点
解得
FN′＝60N
根据牛顿第三定律，小物块通过C 点时对轨道的压力大小是60N。
（3）小物块刚好能通过C 点时，根据
解得
vC′＝2m/s
小物块从B 点运动到C 点的过程中，根据动能定理有
34
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解得
L′＝10m
16．如图所示，A、B 为一固定在竖直平面的内径可忽略的光滑细管的两个端点，细管
的圆心为О 点，OA 竖直，OB 与竖直线成θ 角。某人在A 点处以水平初速度v0入射一
个质量为m 的小球，小球从细管的B 端射出后，恰好沿水平方向到达平台的最左端C
点。若已知m=2kg，v0=6m/s；细管半径R=2m，θ=53°，不计空气阻力，重力加速度大
小取g=10m/s2，cos53°=0.6，sin53°=0.8。求：
（1）小球在A 点时轨道对小球的作用力大小及方向；
（2）从A 至B 小球重力做的功及小球到达B 点时的速度大小；
（3）B、C 两点间的水平距离。
【答案】（1）16N，方向竖直向下；（2）64J，10m/s；（3）4.8m
【详解】（1）设小球在A 点时轨道对小球的作用力的方向和重力方向相同，由牛顿第
二定律有
解得
方向竖直向下；
（2）从A 到B 小球重力做的功为
从A 到B 的过程由动能定理得
解得
（3）将球在B 点的速度分解，水平方向的速度为
35
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竖直方向的速度为
所以小球运动的时间为
则
两点间的水平距离
17．半径
竖直放置的光滑圆轨道与水平直轨道相连接（如图所示）。质量
的小球A 以一定的初速度由直轨道向左运动，并沿圆轨道的内壁冲上去。如A
经过轨道最高点M 后做平抛运动，平抛的水平距离为160m。求：
（1）小球经过M 时速度多大；
（2）小球经过M 时对轨道的压力多大。（
）
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）A 经过轨道最高点M 后做平抛运动，在竖直方向则有
在水平方向则有
（2）小球经M 点时，由牛顿第二定律可得
代入数据解得
36
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由牛顿第三定律，可知小球经过M 时对轨道的压力大小是150N。
18．某游乐场游戏装置示意图如图甲所示。质量为
的物块从
圆形轨道
某处静
止释放，经过
飞出后沿半圆轨道
运动，之后进入水平粗糙平台
，平台离地面
高度为
。半圆轨道的最高点
处有一力传感器，可以测出物块经过
点时对轨道的
压力
，取不同的圆心角
得到相应的压力
，作出
关系图，如图乙所示。
已知圆形轨道
与
半径均为
，平台
长度为
，物块与平台之间的动摩擦因
数
满足
（
为物块所在平台上的位置到
点的距离），平台离地面高度为
，不计空气阻力，所有圆形轨道光滑且与平台在同一竖直面内。求：
（1）
、
的值；
（2）若物块
恰好到达
处，求物块释放点离
的竖直高度；
（3）若将平台左端截去长为
的一小段，物块仍从第（2）问中位置静止释放，落在
水平地面上的
点，要使
的水平距离最大，求
的值。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）物块从静止释放，根据动能定理
在
点有
解得
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由图像可知，
时，
；
时，
解得
，
（2）从释放点到
点，由动能定理可知
摩擦力做功为
其中
代入数据可知
（3）截去
以后，设物块离开平台速度为，则
摩擦力做功为
物块
落点到
点的水平距离为
又因为
根据几何关系联立求得
的水平距离最大时，
值为
19．如图所示为一游戏装置的竖直截面图，A、B、D、E、H、I 处于同一水平面上，
在A 端的弹簧装置能将滑块（可视为质点）水平弹出，并从B 点顺利进入曲线轨道
BC、半径为R 的螺旋圆轨道CD、曲线轨道CE。在E 点连接了倾角为
的斜面EF 和
水平平台FG，平台FG 高度为且平台长度为
。靠在平台右侧的小车上表面与平台
FG 齐平，小车的长度为
，在B、F 处均设置了转向防脱离轨道装置。已知滑块的质
38
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量
，小车的质量
，
，
，
，
，
，滑块与斜面EF、平台FG 间的动摩擦因数均为
，滑块与小车上表面
间的动摩擦因数为
，其余部分均光滑，各处平滑连接，不计空气阻力，取
，
。求：
（1）若滑块在C 处对轨道的压力为
时，此时滑块的向心加速度大小；
（2）若弹簧的弹性势能为
，螺旋圆轨道能承受的最大压力为
，且螺旋
圆轨道半径R 可以通过改变C 的位置而改变（保持最高点D 的高度不变），要使滑块
第一次进入螺旋圆轨道时能顺利通过，求螺旋圆轨道半径R 需满足的条件；
（3）螺旋圆轨道半径
时，若要求滑块最终停在小车上，车获得的动能和弹簧
的弹性势能
之间应满足的关系。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（
）
【详解】（1）滑块在C 处，根据牛顿第二定律可得
解得此时滑块的向心加速度大小为
（2）临界1：滑块恰好过最高点D 点，有重力提供向心力得
根据能量守恒可得
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解得
临界2：对最低点C 点的压力为
，根据牛顿第二定律可得
根据能量守恒可得
解得
则轨道半径
需要满足
（3）设滑块到G 点的速度为
，滑块从A 到G 的过程，根据能量守恒可得
小车与滑块共速，根据动量守恒可得
可得
联立可得
要保证滑块不滑出小车右端，如滑块恰好滑到小车右端，则有
可得
则有
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综上所述可得
（
）
20．如图甲所示，用不可伸长轻绳将质量为
的物块A 悬挂在O 点，轻绳长
度为
。初始时，轻绳处于水平拉直状态，现将物块A 由静止释放，当A 下摆
至最低点时，恰好与静止在水平面上的长木板B 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。长
木板B 的质量为
，长木板B 的左端放置有可视为质点的小物块C，小物块C
的速度随时间变化图像如图乙所示，小物块C 的质量为
，在运动过程中，小
物块C 未从长木板B 上掉落。重力加速度g 取
，不计空气阻力的影响。求：
（1）碰撞前瞬间轻绳拉力的大小；
（2）小物块C 与长木板B 间的动摩擦因数
以及长木板B 与地面间的动摩擦因数
。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）设物块A 与长木板B 碰撞前瞬间的速度大小为
，对物块A 由静止释
放运动到最低点的过程，根据动能定理有
解得
则根据牛顿第二定律有
解得
41
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（2）由题图乙可知小物块C 相对长木板B 滑动过程中的加速度大小为
解得
设碰撞后瞬间物块A 和长木板B 的速度分别为
、
，物块A 与长木板B 发生弹性碰
撞，根据动量守恒定律有
再根据机械能守恒有
解得
在0~1s 时间内，设长木板B 的加速度大小为
，根据牛顿第二定律有
由题图乙知
时，长木板B 和小物块C 达到共速度，且
对长木板B
解得
42
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43
