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第四章 曲线运动
第 03 练 圆周运动
知识目标 知识点
目标一 圆周运动的运动学问题
目标二 圆周运动中的动力学分析
目标三 水平面内和竖直面内圆周运动的临界问题
目标四 平抛、圆周运动综合问题
1．(2022·湖南省长沙市·同步练习)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为
10m，该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架
的正下方时，速度大小为8m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A. 200N B. 410N C. 600N D. 800N
【答案】B
【知识点】向心力
【解析】
v2
该同学在最低点的向心加速度为：a= =6.4m/s2
r
对该同学在最低点受力分析可知：T-mg=ma，带入数据可求解绳子拉力为：T=820N，
而拉力由两根绳子提供，故每根绳子拉力约为410N，B正确，ACD错误；
故选B；
2．(2022·云南省·单元测试)如图，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴
OO'的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，
重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起OO'轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为( )1√μg √μg √2μg √μg
A. B. C. D. 2
2 r r r r
【答案】B
【知识点】圆盘上物体的圆周运动
【解析】
对硬币进行受力分析，找出向心力的来源，确定临界条件，利用牛顿第二定律与滑动摩擦
力公式列式分析即可。硬币在圆盘上受重力、支持力、静摩擦力三个力的作用，静摩擦力
提供向心力，当摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，由牛顿第二定律有：
√μg
μmg=mω2r，则可得最大的角速度为ω= ，故B正确，ACD错误。
r
故选B。
3．(2021·江苏省·单元测试)火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的
指南针在10s内匀速转过了约10°角，在此10s时间内，乘客( )
A. 加速度为零 B. 运动位移为600m
C. 角速度约为1rad/s D. 经过的弯道半径约为3.44km
【答案】D
【知识点】线速度、线速度与角速度的关系
【解析】解：A、因为火车的运动可看做匀速圆周运动，其所受到的合外力提供向心力，
根据牛顿第二定律可知加速度不等于零，故A错误；
B、由于火车的运动可看做匀速圆周运动，则可求得火车在此10s时间内的路程为
s=vt=600m，位移小于600m，故B错误；
C、利用指南针在10s内匀速转过了约10°，则30s转30°，根据角速度的定义式有：
π
Δθ
ω= ，解得角速度的大小为： 6 π 。故C错误；
Δt ω= rad/s= rad/s
30 180
v 60
r= = m=3.44km
D、根据v=ωr得 ω π ，故D正确。
180
故选：D。
4．(2021·安徽省·历年真题)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿
过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉
动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度
大小约为( )A. 10m/s2 B. 100m/s2 C. 1000m/s2 D. 10000m/s2
【答案】C
【知识点】角速度与转速、向心加速度
【解析】解：根据匀速圆周运动的规律，ω=2πn=2π×50rad/s=100πrad/s，
r=1cm=0.01m， 向 心 加 速 度 为 ： a =ω2r=(100π) 2×0.01m/s2=100π2
n
m/s2≈986m/s2，接近1000m/s2，故C正确，ABD错误。
故选：C。
根据纽扣的转速，结合 ω=2πn、a =ω2r 计算圆盘转动的向心加速度。
n
5．(2021·安徽省·历年真题)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，
对该时刻，下列说法正确的是
A. 秋千对小明的作用力小于mg B. 秋千对小明的作用力大于mg
C. 小明的速度为零，所受合力为零 D. 小明的加速度为零，所受合力为零
【答案】A
【知识点】竖直平面内的圆周运动、向心力的概念及来源分析
【解析】解：AB、小明在秋千上摆动，在最高点，受力如图所示，
此时速度为零，向心力为零，即沿半径方向的合力为零，有：F=mgcosθω
A B A B
C. 加速度a =a D. 周期T =T
A B A B
【答案】D
【知识点】向心加速度、向心力的计算、线速度与角速度的关系、牛顿第二定律的理解及
简单运用【解析】
小球在水平面内做圆周运动，抓住竖直方向上的合力为零，根据合力提供向心力求出向心
力大小之比，结合合力提供向心力求出线速度和角速度的表达式，从而得出线速度和角速
度之比，周期与向心加速度之比。
AB.小球做圆周运动的向心力F =mgtanθ，θ为细线与竖直方向的夹角，θ <θ ，根据
向 A B
v2 √g
mgtanθ=m⋅htanθ⋅ω2=m 得，角速度ω= ，线速度v=√ghtanθ，可知角速
htanθ h
度相同，线速度v r ，则当绳子有张力后，物
b b a a b b a b a
块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2 )的变化图像斜率大于绳子张力为零时图像斜率，
故D正确，ABC错误。
故选D。
4．(2020·云南省·历年真题)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于
Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所
示。将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点：
A. P球的速度一定大于Q球的速度
B. P球的动能一定小于Q球的动能
C. P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D. P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
【答案】C
【知识点】竖直平面内的圆周运动、机械能守恒与曲线运动
【解析】
对物体受力分析，利用机械能守恒定律得到小球到达最低点时的速度和动能，再根据圆周
运动得到绳子的拉力大小和小球向心加速度大小。
A.两小球由静止释放后，小球做单摆运动，在摆动过程中只有重力做功，根据机械能守恒1
定律理得：mgL= mv2 ，解得到达最低点时小球速度表达式为：v=√2gL，由于悬挂P
2
球的绳比悬挂Q球的绳短，所以P球速度小于Q球速度，故A错误；
B.在最低点E =mgL，由于质量P大，绳长P短，所以二者动能无法比较，故B错误；
k
v2
C.设绳子的拉力为T，则在最低点最小球受力分析，根据牛顿第二定律得：T-mg=m ，
L
v2 (√2gL) 2
则绳子的拉力为：T=mg+m =mg+m =3mg，由于P球的质量大于Q球的质
L L
量，所以T >T ，故C正确；
P Q
v2 (√2gL) 2
D.由向心加速度的表达式得：a = = =2g，所以PQ两球的向心加速度相等，
n L L
故D错误。
故选C。
5．(2022·浙江省·模拟题)如图所示，质量忽略不计、长度分别为l 和l 的不可伸长的轻绳，
1 2
分别系质量为5m和m的小球，它们以相同的转速绕中心轴线做匀速圆周运动。稳定时绳子
1 2
与竖直方向夹角的正切值分别为 及 ，圆周运动半径分别为r 和r ，两绳子中的张力
√5 √5 1 2
分别为T 和T ，则( )
1 2
A. r :r =2:5 B. T :T =5:2
1 2 1 2
C. l :l =1:1 D. l :l =3:2√6
1 2 1 2
【答案】A
【知识点】圆锥摆问题、向心力的计算
【解析】
B.设绳子与竖直方向夹角分别为α、β，对下面小球受力分析竖直方向有mg=T cosβ
2
对两个球看作整体竖直方向上有5mg+mg=T cosα稳定时绳子与竖直方向夹角的正切值
1
1 2
分别为 及 ，联立解得T :T =2√6:1，故B错误;
√5 √5 1 2
A.对下面小球受力分析水平方向有T sinβ=mω2r
2 2
对上面小球受力分析水平方向有T sinα-T sinβ=5mω2r
1 2 1
联立解得r :r =2:5，故A正确；CD.根据几何关系r =l sinα r =l sinα+l sinβ联立
1 2 1 1 2 1 2解得l :l =4√6:9，故CD错误;
1 2
6．(2022·江苏省泰州市·模拟题)如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为
半径R的大圆弧和r的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L.赛车沿弯道路线行驶时，路面
对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的K倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在
圆心角为120°弯道上做匀速圆周运动，若R=4r，要使赛车安全且绕赛道一圈时间最短(
发动机功率足够大，重力加速度为g).求
(1)赛车行驶的最大速率；
(2)赛车绕赛道一圈的最短时间．
【答案】
解：(1)当赛车在圆弧上运动的速度达最大时，赛车安全且绕赛道一圈时间最短，此时赛
车所受的静摩擦力恰好达到最大
当赛车在小圆弧上运动时，由牛顿第二定律：
v2
Kmg=m 1解得赛车在小圆弧上运动的最大速度v =√Kgr
r 1
当赛车在大圆弧上运动时，由牛顿第二定律：
v2
Kmg=m 2解得赛车在大圆弧上运动的最大速度v =2√Kgr
2
R
可见赛车行驶的最大速率为v=v =2√Kgr；
2
120° 2πr 2π√Kgr
(2)赛车在小圆弧上运动的时间t = · =
1 360° v 3Kg
1
240° 2πR 8π√Kgr
赛车在大圆弧上运动的时间t = · =
2 360° v 3Kg
2
v +v
由L= 1 2t
2 3
2L√Kgr
解得赛车在一条直道上运动的时间t =
3 3Kgr
10π√Kgr 4L√Kgr
故赛车绕赛道一圈的最短时间t=t +t +2t = + 。
1 2 3 3Kg 3Kgr
【知识点】圆周运动中的临界问题、圆盘上物体的圆周运动、平均速度和中间时刻速度公
式
【解析】本题综合考查了向心力来源分析及公式的应用、匀变速直线运动规律的应用，解答时要注意赛车运动过程的分析。
(1)根据静摩擦力提供向心力且摩擦力达到最大值，分别计算赛车在大、小圆弧运动的最
大速度，从而得出赛车行驶的最大速率；
(2)根据圆周运动的特点求出刹车在大、小圆弧上运动的时间，由平均速度公式求出赛车
在一条直道上行驶的时间，从而求出赛车绕赛道一圈的最短时间。
1．(2022·福建省福州市·模拟题)有关圆周运动的基本模型，下列说法错误的是( )
A. 如图甲，汽车汽车通过凹形桥的最低点处于失重状态
B. 如图乙，小球固定在轻杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，小球的过最
高点的速度至少等于√gr
C. 如图丙，用相同材料做成的 A、B 两个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做
圆周运动，m =2m ，r =2r ，转台转速缓慢加快时，物体 A 最先开始滑动
B A A B
D. 如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
【答案】C
【知识点】向心力的概念及来源分析、动力学中的临界与极值问题
【解析】解：A、汽车过凹桥最低点时，加速度的方向向上，处于超重状态，故A错误。
B、小球在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，杆不仅提供拉力也可以提供支持力，所以
小球的过最高点的速度只要大于零即可，故B错误。
C、物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做圆周运动，摩擦力充当向心力，最大角
√μg
速度对应最大静摩擦力，μmg=mω2r，即ω= ，A最先开始滑动，故C正确。
r
D、火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，外轨受到挤压，
故D错误。
故选：C。分析每种模型中物体的受力情况，根据合力提供向心力求出相关的物理量，进行分析即可。
2．(2022·福建省泉州市·月考试卷)在2022年3月23日的“天宫课堂”上，航天员王亚平摇
晃装有水和油的小瓶，静置后水和油混合在一起没有分层。图甲为航天员叶光富启动“人
工离心机”，即用绳子一端系住装有水油混合的瓶子，以绳子的另一端O为圆心做如图乙
所示的圆周运动，一段时间后水和油成功分层(水的密度大于油的密度)，以空间站为参考
系，此时( )
A. 水和油的线速度大小相等 B. 水和油的向心加速度大小相等
C. 水对油的作用力大于油对水的作用力 D. 水对油有指向圆心的作用力
【答案】D
【知识点】牛顿第三定律、圆周运动规律及其应用
【解析】
水油分层后水在瓶底，油在表面，水和油做圆周运动的半径不相同，角速度相同，根据
v=ωr知，水与油的线速度关系；根据a =ω2r知，角速度相同时，半径大的向心加速度
向
也大；水对油的作用力和油对水的作用力是一对相互作用力；油做圆周运动的向心力由水
提供。Ａ.水的密度大于油的密度，所以混合液体中取半径相同处体积相等的水和油的液
体小球，水球的质量更大，根据F =mω2r可知，水球需要的向心力更大，故当水油分层
向
后水在瓶底，油在表面，水和油做圆周运动的半径不相同，角速度相同，根据v=ωr知，
水比油的半径大时，线速度也大，A错误；
Ｂ.根据a =ω2r知，角速度相同时，水的半径大，向心加速度也就大，B错误；
向
Ｃ.水对油的作用力和油对水的作用力是一对相互作用力，根据牛顿第三定律，此二力大
小相等方向相反，C错误；
Ｄ.油做圆周运动的向心力由水提供，故水对油有指向圆心的作用力，D正确。
故选D。
3．(2022·湖北省武汉市·历年真题)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直
轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO’重合。转台以一定角速度匀
速转动，一质量为m的小物块(可视为质点)落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一
起转动且相对罐壁静止，小物块与陶罐内壁间的动摩擦因数为μ，且它和O点的连线与
OO’之间的夹角为θ，转动角速度为ω，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )g
A. 当ω2= 时，小物块与陶罐内壁间的弹力为mgcosθ
Rcosθ
g mg
B.
当ω2=
时，小物块与陶罐内壁间的弹力为
Rcosθ cosθ
g
C.
当ω2=
时，小物块与陶罐内壁间的摩擦力沿罐壁向上
Rcosθ
2g(sinθ+μcosθ)
D. 当ω2= 时，小物块将向陶罐上沿滑动
Rsin2θ
【答案】B
【知识点】圆周运动中的临界问题、圆锥摆问题
【解析】
ABC、当摩擦力恰好为零，支持力和重力的合力提供向心力，设此时角速度为ω ，有：
0
g mg
mgtanθ=mRsinθω2 ，解得ω2= ，此时小物块与陶罐内壁间的弹力为N= ，
0 0 Rcosθ cosθ
故AC错误，B正确；
D、当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，超过最大值物块将向陶罐上
沿滑动，重新作出受力分析图如下：
设 此 最 大 角 速 度 为 ω， 由 牛 顿 第 二 定 律 得 ， fcosθ+Nsinθ=mRsinθω2，
fsinθ+mg=Ncosθ，f =μN，
g(sinθ+μcosθ)
联立解得ω2=
，故D错误。
Rsinθ(cosθ-μsinθ)
4．(2021·北京市市辖区·期中考试)风速仪结构如图(a)所示，光源发出的光经光纤传输，被
探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统
时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间
Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片( )
8πnr 4πnr
A. 转速逐渐减小，平均速率为 B. 转速逐渐减小，平均速率为
Δt Δt
4πnr 8πnr
C. 转速逐渐增大，平均速率为 D. 转速逐渐增大，平均速率为
Δt Δt
【答案】A
【知识点】圆周运动的其他应用实例、角速度与转速
【解析】
根据图b可知，在Δt内，通过的光照的时间越来越长，且在Δt内挡了4次光，据此求出周
2πr
期，再求出风轮叶片转动的周期，根据v= 求解平均线速度即可。据题意，从b图可以
T
看出，在Δt时间内，相邻两次光强为零(光被挡住时)的时间间隔越来越大，且挡光时间也
在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt时间内可以从图看出有4次挡光，即圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l=4n×2πr，叶片转动的
8πnr
平均速率为：v= ，故BCD错误，A正确。
Δt
故选A。
5．(2022·山东省·历年真题)无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m的半圆弧
BC与长8m的直线路径AB相切于B点，与半径为4m的半圆弧CD相切于C点。小车以最
大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC
和CD。为保证安全，小车速率最大为4m/s。在ABC段的加速度最大为2m/s2，CD段
的加速度最大为1m/s2。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直
线运动的最长距离l为( )
( 7π)
A. t= 2+ s,l=8m
4
(9 7π)
B. t= + s,l=5m
4 2
( 5 7√6π)
C. t= 2+ √6+ s,l=5.5m
12 6
[ 5 (√6+4)π]
D. t= 2+ √6+ s,l=5.5m
12 2
【答案】B
【知识点】匀变速直线运动多过程综合问题、圆周运动的其他应用实例
【解析】
v2
小车在圆周轨道中有：a= ，代入数据解得：v =√6m/s，v =2m/s，
R BC CD
小车保持速率不变依次经过BC和CD，所以为保证安全，小车的速度为v=2m/s，
从A到B，根据运动学规律有：v2 -v2=2ax，将a=2m/s2代入解得：x=3m，
m
则小车在AB段做匀速直线运动运动的最长距离l=8m-x=8m-3m=5m，
v -v l
小车在AB段减速所用时间为t = m ，匀速所用时间t = ，在圆周轨道运动时间为：
1 a 2 v
m
πR +πR
t = BC CD，
3 v9 7π
则小车从A到D所需最短时间t=t +t +t ，联立代入数据解得：t=( + )s，故ACD
1 2 3 4 2
错误，B正确；
故选：B。
6．(2022·广东省·模拟题)有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。取
g=10m/s2，求：
(1)若汽车到达桥顶时速度为5m/s，桥对汽车的支持力F的大小;
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v;
(3)已知地球半径R=6400km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也
不考虑地球自转，那它开到多快时就可以“飞”起来。
【答案】
解：(1)汽车到达桥顶时，重力和支持力的合力提供向心力，据牛顿第二定律得
v 2
mg-F=m 0 解得F=7600N
r
(2)汽车经过桥顶恰好对桥没有压力而腾空，则N=0，汽车做圆周运动的向心力完全由其
v2
自身重力来提供，有mg=m ❑
r
解得v=10√5m/s=22.4m/s
(3)汽车要在地面上腾空，所受的支持力为零，重力提供向心力，则有
v'2
mg=m 得：v'=8000m/s
R
答：(1)若汽车到达桥顶时速度为5m/s，桥对汽车的支持力F的大小为7600N；
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v为22.4m/s；
(3)已知地球半径R=6400km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也
不考虑地球自转，那它开到8000m/s时就可以“飞”起来。
【知识点】向心力的概念及来源分析、牛顿第二定律的理解及简单运用、汽车过桥问题
【解析】(1、2)明确汽车在桥顶时受力情况，根据牛顿第二定律列式求解；注意当重力充
当向心力时汽车恰好对桥面没有压力；
(3)地球为球体，汽车在地面上做圆周运动，根据重力充当向心力即可确定飞起时的速度。
本题考查向心力的应用，要注意物体在竖直方向上做圆周运动时的临界条件的分析方法，知道汽车在地面上行驶时做圆周运动。
