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06 圆周运动
[-考点-04-] 竖直面内圆周运动的临界问题
两类模型对比
轻绳模型
(最高点无支撑)
轻杆模型
(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨
道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力
示意图
F 弹向下或等于零
F 弹向下、等于零或向上
力学
方程
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
临界
特征
F 弹＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F 向＝0
F 弹＝mg
讨论
分析
(1)最高点，若v≥，F 弹＋mg＝
m，绳或轨道对球产生弹力F 弹
(2)若v<，则不能到达最高点，
即到达最高点前小球已经脱离
了圆轨道
(1)当v＝0 时，F 弹＝mg，F 弹背离圆
心
(2)当0<v<时，mg－F 弹＝m，F 弹背离
圆心并随v 的增大而减小
(3)当v＝时，F 弹＝0
(4)当v>时，mg＋F 弹＝m，F 弹指向圆
心并随v 的增大而增大
解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律
求出压力．
典例1 (轻绳模型)(2023·陕西延安市黄陵中学)如图所示，一质量为m＝0.5 kg 的小球(可视
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为质点)，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( )
A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B．当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
答案 D
解析 设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2
m/s，故A 正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s 时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿
第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B 正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时
轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C 正确，D 错误．
典例2 (轻杆模型)(多选)(2023·四川·期末)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另
一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度
v，下列说法正确的是( )
A.v 的最小值为
B.v 由零逐渐增大，向心力也增大
C.当v 由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D.当v 由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
答案 BCD
解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v 的最小值是
零，故A 错误.v 由零逐渐增大，由Fn＝可知，Fn也增大，故B 正确.当v＝时，Fn＝＝mg，
此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v＞时，杆对球的力为拉力，
由mg＋F＝可得F＝m－mg，则当v 由逐渐增大时，拉力F 逐渐增大；当v＜时，杆对球的
力为支持力，此时，mg－F′＝可得F′＝mg－，当v 由逐渐减小时，支持力F′逐渐增
大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C、D 正确.
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典例3 (轻绳与FT－v 2图像)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面
内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点
的速度大小为v，其FT－v
2图像如图乙所示，则( )
A．数据a 与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c 时，轻质绳的拉力大小为＋a
D．当v2＝2b 时，小球受到的拉力与重力大小相等
答案 D
解析 设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足FT＋mg＝m，即FT＝v2－mg，由
题图乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝，R＝，A、B 错；当v2＝c 时，有FT1＋mg＝m，将g 和
R 的值代入得FT1＝－a，C 错；当v2＝2b 时，由FT2＋mg＝m 可得FT2＝a＝mg，故拉力与
重力大小相等，D 对．
典例4 (轻杆与F－v 2图像)(2023·长春市·期末)如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视
为质点)，另一端套在光滑的水平轴O 上，O 轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通
过最高点时的速度大小v，O 轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O 轴受到的
杆的作用力F，若取竖直向下为F 的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F
－v
2(v 为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则( )
A．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
B．小球在最高点的速度大小为 m/s 时，杆对球的作用力为支持力
C．小球的质量为3 kg
D．O 轴到小球的距离为0.5 m
答案 D
解析 由于是球杆模型，小球恰好通过最高点时的速度为零，A 错误；当小球通过最高点
的速度为零时，杆对小球的支持力恰好等于小球的重力，由题图乙可知，小球的重力为3
N，即质量为0.3 kg，C 错误；由题图乙可知，当小球以v2＝5 m2/s2通过最高点时，恰好对
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杆没有作用力，此时重力提供向心力，设O 轴到小球的距离为L，根据mg＝m，得L＝0.5
m，故D 正确；当小球以 m/s 的速度通过最高点时，根据mg＋F＝m，可得F＝6 N，此时
杆对球的作用力是向下的拉力，大小为6 N，故B 错误．
1.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，若轨道半
径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山
车在最高点时的速度大小为( )
A.0
B. C.
D.
答案 C
解析 由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C 正确.
2.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5
kg 的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，
若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g 取10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流
星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B.
3.如图所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，
小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述
不正确的是(重力加速度为g)( )
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力
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C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
答案 A
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力
为零，选项A 错误；此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心
力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D 正确．
4.(多选)(2023·河北高二学业考试)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O 上，另一端固定一
个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作
用力( )
A．方向一定竖直向上
B．方向可能竖直向下
C．大小可能为0
D．大小不可能为0
答案 BC
解析 设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此
时有mg＝m，解得v＝，当v>时，杆对小球提供拉力，当v<时，杆对小球提供支持力，故
B、C 正确，A、D 错误．
5.如图所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O 做圆周运动.当
小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力
是( )
A.mg 的拉力
B.mg 的压力 C.零 D.mg 的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而<，
故杆对球的作用力是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律可知，球对
杆的作用力是压力，B 正确，A、C、D 错误.
6.(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径
略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列
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说法中正确的是( )
A.若v0＝，则小球对管内壁无压力
B.若v0>，则小球对管内上壁有压力
C.若0 <v0<，则小球对管内下壁有压力
D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
答案 ABC
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压
力，选项A 正确；若v0＞，则有mg＋FN＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确；
若0＜v0＜，则有mg－FN＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确；综上分析，选
项D 错误.
7.(2023·山东省·期中)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直
面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
答案 A
解析 当小球到达最高点弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所受的
弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，
若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：
mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D 错误．
8．(2023·四川绵阳市诊断)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和
B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，
杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，
重力加速度为g，则球B 在最高点时( )
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A．球B 的速度为零
B．球A 的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
答案 C
解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg＝
m，解得vB＝，故A 错误；由于A、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小vA＝，故B
错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有
F－mg＝m，解得F＝1.5mg，即杆受到的弹力大小为1.5mg，可知水平转轴对杆的作用力为
1.5mg，C 正确，D 错误．
9.(多选)如图甲所示，一长为R 的轻绳，一端系在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量
未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与
其速度平方v2的关系图像如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，下列判断正确的是(
)
A.利用该装置可以得出重力加速度，且g＝
B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大
C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标不变
答案 CD
解析 小球在最高点，根据牛顿第二定律得mg＋F＝m，解得v2＝＋gR；由题图乙知，纵
轴截距a＝gR，解得重力加速度g＝，故A 错误；由v2＝＋gR 知，图线的斜率k＝，绳长
不变，用质量较大的球做实验，得到的图线的斜率更小，故B 错误；用质量较小的球做实
验，得到的图线斜率更大，故C 正确；由v2＝＋gR 知，纵轴截距为gR，绳长不变，则图
线与纵轴交点坐标不变，故D 正确.
10.(多选)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动．当小球运动到圆形
管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球的速度平方的关系如图乙所示(取竖
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直向下为正方向)．MN 为通过圆心的一条水平线．不计小球半径、管道的粗细，重力加速
度为g.则下列说法中正确的是( )
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案 AB
解析 由题图乙可知，当v2＝b，FN＝0 时，mg＝m，解得R＝，故A 正确；当v2＝0 时，
mg＝a，所以m＝，故B 正确；小球在水平线MN 以下的管道中运动时，由于向心力的方
向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以
内侧管壁对小球没有力，故C 错误；小球在水平线MN 以上的管道中运动时，重力沿径向
的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力
还可能均无作用力，故D 错误．
11.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球(大小不计)，现让小球在
竖直平面内做半径为R 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球
在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上
D.v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等
答案 ACD
解析 当小球受到的弹力方向向下时，有F＋mg＝，解得F＝v2－mg；当弹力方向向上时，
有mg－F＝m，解得F＝mg－m.对比F－v2图像可知，a＝mg，当v2＝b 时，F＝0，可得b
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＝gR，则g＝，m＝，A 正确，B 错误；v2＝c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆
的弹力方向向上，C 正确；v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确.
12.(多选)(2023·四川省·三模)如图所示，两段长均为L 的轻绳共同系住一质量为m 的小球，
另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初
速度v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则( )
A．小球运动到最高点的速度v＝
B．小球运动到最高点的速度v＝
C．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
D．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
答案 AD
解析 小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点重力恰好提供向心力，则mg＝
m，r＝Lsin 60°，解得v＝ ，A 正确，B 错误；小球在最低点，由向心力公式得：FT－mg
＝m，每段绳子的拉力F＝，由以上两式解得：F＝mg＋m，C 错误，D 正确．
13．(2022·浙江安吉县高级中学高一开学考试)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，
其结构可简化为图乙所示．质量为M、半径为R 的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，
陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转．陀螺的质量为m，其余部分质量不计．陀螺磁芯对轨
道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg.不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.
(1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小；
(2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度；
(3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小；
答案 (1)10mg (2) (3)g
解析 (1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力
为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知：
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mg＋FN1－F1＝m
解得FN1＝10mg
(2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为
FN2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2－FN2－mg＝m
由题意可知，当FN2＝0 时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2＝
(3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺
的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg.则：
Fn＝F3－FN3＝m
解得FN3＝4mg
由牛顿第三定律可知FN3′＝FN3，F3′＝F3
固定支架对轨道的作用力为F＝
解得F＝g.
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