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专题06 竖直面内圆周运动模型
一．汽车过拱（凹）形桥模型
1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心
力。如图甲所示。
由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m。
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力
小于重力，而且车速越大，压力越小。
(1)当0≤v<时，0<FN≤G。
(2)当v＝时，FN＝0.
(3)当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
甲 乙
2．汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提
供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋m，大于汽
车的重力。
二．竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，都是绳模型，如
图所示。
甲 乙
(1)向心力分析
①小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向
心力，mg＋FN＝m。
1
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②小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向
心力，FN－mg＝m。
(2)临界条件
小球恰好过最高点时，应满足弹力FN＝0，即mg＝m，可得小球在竖直面内做圆周运动的临界速度v
＝。
(3)能过最高点的条件：v≥v 临。
(4)不能通过最高点的条件：v＜v 临，实际上小球在到达最高点之前就脱离了圆轨道，如图所示。
三．竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，都是杆模型，
如图所示。
甲 乙
(1)向心力分析
①小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力。若弹
力向上：mg－FN＝m；若弹力向下：mg＋FN＝m。
②小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力，
FN－mg＝m。
(2)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v 临＝0，轻杆或轨道对小球
有支持力FN＝mg。
(3)当0＜v＜时，杆或内管壁对小球的支持力FN＝mg－m，支持力FN随v 的增大而减小，其取值范围
是0＜FN＜mg。
(4)当v＞时，杆对小球施加的是拉力，且拉力F＝m－mg；或外管壁对小球有竖直向下的压力FN＝m
－mg。
2
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【模型演练1】（2023 下·北京延庆·高一统考期中）杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中
装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳
与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到
转轴的距离L=40 cm。（g=10 m/s2）
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
（2）若在最高点水桶的速率v=4 m/s，求桶底对水的压力大小
【方法总结】竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
【模型演练2】（2024·高一课时练习）长度为
的轻杆OA 绕O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着
一个质量
的小球，g 取
。求在下述两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方
向。
(1)杆做匀速圆周运动的转速为
；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为
。
【方法总结】(1)注意r/s 与rad/s 的不同。
(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力。
(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法。
【模型演练3】（2023 下·山东日照·高一校考阶段练习）如图所示，质量m=2.0×104kg 的汽车以不变的速率
先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，重
力加速度g=10m/s2，则：
（1）分析汽车以相同速率分别通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点时，哪种情况对桥面压力较大？
（2）汽车允许的最大速率是多少？
（3）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
3
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【规律总结】对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列
出，明确向心力的来源；
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
【模型演练4】1.（2023 下·高一全国联考期中）如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O 在竖直面内
做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如
图乙所示，图像中的数据a 和b 以及重力加速度g 都为已知量，以下说法正确的是( )
A.数据a 与小球的质量有关
B.数据b 与小球的质量无关
C.比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径
2.如图所示，一轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运
动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说
法正确的是( )
A.当地的重力加速度大小为
B.小球的质量为R
C.v2＝c 时，杆对小球弹力方向向上
4
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D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞时绳子的弹力F＝m－mg，方向竖直向下
②v＝时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞时轻杆对物体的弹力F＝m－mg ，方向竖直向下
②v＝时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜时轻杆对物体的弹力FN＝mg－m，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。如1：FT＋mg＝m。
2.根据物理方程整理成函数关系。如1：FT＝v2－mg。
3.将物理方程与一次函数相对应。如1：FT＝v2－mg――→y＝kx＋b。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
【题后感悟】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b 要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
一、单选题
1．（2023 下·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为
10m，该同学的质量为50kg，秋千踏板的质量约为
，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正
下方时，速度大小为
，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）（g=10m/s2）
A．
B．
C．
D．
5
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2．（2023 下·江苏·高一阶段练习）如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，质量为M，管道里
有一个直径略小于管道内径的小球，质量为m，小球在管道内做圆周运动，已知M > m，下列说法正确的
是（ ）
A．小球通过管道最低点时，管道对地面的压力为(m＋M)g
B．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力可能大于(m＋M)g
C．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力不可能为零
D．小球通过管道最高点时，管道对地面压力可能为Mg
3．（2023·四川眉山·统考一模）如图，竖直面内两个完全相同的
光滑圆弧轨道平滑对接，P、Q 是等高
的两端。让一可视为质点的小球以沿切线的初速度从P 端进入轨道，则（ ）
A．小球在轨道最低点的机械能最大
B．小球在轨道最低点对轨道的压力最大
C．初速度足够大时，小球可能飞离“凹形”轨道
D．初速度足够大时，小球一定能通过“凸形”轨道最高点
4．（2024 上·江苏扬州·高三统考期末）某同学将手机用长约1m 的充电线悬挂于固定点，拉开小角度释放，
手机在竖直面内摆动，手机传感器记录角速度随时间变化的关系，如图所示，则手机（ ）
A．在A→B 过程中，速度增大
6
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B．在A、C 两点时，速度方向相反
C．在C 点时，线中的拉力最小
D．在B、D 两点时，线中拉力方向相同
5．（2024 下·高一课时练习）如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的
圆周运动，已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，速度大小为v1，在最高点时对轨道的压力大小为
N2，速度大小为v2，重力加速度大小为g，且v1、v2满足关系式
，则N1-N2的值为（ ）
A．3mg
B．4mg
C．5mg
D．6mg
6．（2023 下·贵州遵义·高一仁怀市第一中学校联考期中）如图所示，长为
的轻杆一端固定质量为
的小
球，另一端固定在转轴
，现使小球在竖直平面内做圆周运动，
为圆周的最高点，若小球通过圆周最低
点时的速度大小为
，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是（ ）
A．小球不能到达
点
B．小球到达
点时轻杆受到的弹力为0
C．小球能到达
点，且在
点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达
点，且在
点受到轻杆向下的弹力
7．（2024 上·北京海淀·高一清华附中校考期末）在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示。一辆质
量为m 的汽车，通过凸形路面的最高处时对路面的压力为
，通过凹形路面最低处时对路面的压力为
，
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则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 上·上海静安·高一上海市市西中学校考期末）如图所示，拱桥可以视为半径为40m 的圆弧面，
如果要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，
，则汽车通过桥顶的速度应为（ ）
A．10m/s
B．20m/s
C．25m/s
D．30m/s
9．（2023 上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）一个质量为m 的物体（体积可忽略），在
半径为R 的光滑半球顶点处以水平速度
运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则物体对半球顶点压力为mg
B．若
，则物体对半球顶点的压力为
C．若
，则物体对半球顶点的压力为
D．若
，则物体对半球顶点的压力为零
10．（2023 下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通
过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有
限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6 倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的
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半径为100m，则该限速标志所示速度约为（取
）（ ）
A．36km/h
B．54km/h
C．72km/h
D．80km/h
11．（2023 下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）如图所示，一汽车过半径均为50m 的圆弧形凹桥和凸桥，
在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处
和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小之比为（ ）
A．3:2
B．2:3
C．2:1
D．3:1
12．（2023 下·四川德阳·高一什邡中学校考阶段练习）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶
时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标
志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6 倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为
100m，则该限速标志所示速度约为（取
）（ ）
A．36km/h
B．54km/h
C．70km/h
D．80km/h
二、多选题
13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，杆的一端固定一小球，另一端固定在水平转轴上，小球随转
轴在竖直平面内做圆周运动的圆心为O，半径为l，重力加速度为g。当小球通过最高点时（
）
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A．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向上
B．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向下
C．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向上
D．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向下
14．（2023 下·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）如图甲所示，一轻杆一端固定在O 点，另一
端固定一小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，
小球在最高点的速度大小为v，
图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
R
C．v2=c 时，杆对小球弹力方向向下
D．若c=2b，则杆对小球弹力大小为2a
15．（2023 下·天津和平·高一统考期末）如图甲所示，小球（可视为质点）穿在竖直平面内光滑的固定圆
环上，绕圆心O 点做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F， 小球在
最高点的速度大小为v， 其F-v2图像如图乙所示，g 取10m/s2，则（ ）
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A．小球的质量为 2kg
B．固定圆环的半径 R 为 0.4m
C．小球在最高点速度为 4m/s 时，圆环受到小球施加的竖直向下20N 的弹力
D．若小球恰好能做完整圆周运动，则其运动中所受圆环给的最大弹力为100N
三、解答题
16．（2024 上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）如图，轻杆长为3L，在杆的两端分别固定质量均为m 的
球A 和球B，杆上距球A 为L 处的点O 装在光滑的水平转动轴上，杆和球可在竖直面内转动，已知球B 运
动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力，重力加速度为g。
（1）当球B 在最高点时，球B 的速度为多大；
（2）当球B 在最高点时，杆对球A 的作用力为多大；
（3）若球B 转到最低点时的速度大小为
，求此时杆对球A 的作用力。
17．（2023 上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）如图，长为
的细绳一端拴一质量为
的小
球，另一端固定在
点。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，转轴
离地高
，绳所能承受的最
大张力为
。
（1）求小球通过最高点时最小速度的大小；
（2）分析小球在何位置绳最易被拉断?求出在此位置绳恰被拉断时小球的角速度大小；
（3）在（2）的情况下，求小球落地点距转轴
的水平距离及落地速度的大小和方向。
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18．（2023 下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）如图，AB 为竖直半圆轨道的竖直直径，轨道
A 端与水平面相切。质量为0.4kg 的光滑木块从水平面上滑上A 再经过B，若在A、B 两点速度大小分别是
、
，到B 点对轨道的压力恰好为零，g 取10m/s2，求
（1）轨道半径的大小；
（2）木块经A 点时对轨道的压力；
（3）木块落地点到A 点的距离。
19．（2023 下·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）如图所示，一质量为
的小球，用长
为
的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g 取
，求：
（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
（2）当小球在最高点的速度为
时，轻绳拉力多大？
（3）若轻绳能承受的最大张力为
，小球的速度不能超过多大？
20．（2023 下·广东广州·高一统考期末）现有一根长
的刚性轻绳，其一端固定于
点，另一端系
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着一质量
的小球（可视为质点），将小球提至
点正上方的A 点处，此时绳刚好伸直且无拉力，
如图所示。不计空气阻力，取
。
（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点小球至少需要获得多大的水平速度；
（2）在小球以
的速度水平抛出的瞬间，绳中的拉力为多大；
（3）小球以
的速度水平抛出，求绳再次伸直时所经历的时间。
21．（2023 下·广东梅州·高一丰顺县丰顺中学校联考期中）如图所示，小球A 质量为m，固定在长为
的
轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运动。当小球经过最高点时，杆对球的
弹力大小为
，求这时小球的瞬时速度大小。
22．（2023 下·江西景德镇·高一统考期中）轻杆长L＝60cm，一端固定于转轴O，另一端系一质量为m＝
0.5kg 的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度
，求：
（1）若小球在最低点速率v＝6m/s，小球对杆的作用力；
（2）若小球刚好能做圆周运动，在最高点的速度为多大；
（3）若小球经过最高点时受杆的作用力向上，则通过最高点的速率的范围。
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23．（2023 下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示，长L=0.5m、质量可忽略的硬
杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m=2kg 的小球，它绕O 点做竖直平面内的圆周运动。当小球通
过最高点时，求下列情况球对杆的作用力（g 取10m/s2）。
（1）当
时；
（2）当v=4m/s 时。
24．（2023 下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）如图甲所示，长
的轻杆的一端固定在
水平转轴O 上，另一端固定一质量
的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度
的匀速圆周运动，重力加速度g 取
，不计空气阻力。
（1）小球运动到最高点时，求轻杆对小球的作用力
；
（2）小球运动到水平位置A 时，求轻杆对小球的作用力大小
。
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25．（2023 下·江西南昌·高一统考期中）如图，图甲和图乙分别是竖直平面内圆周运动的绳模型和杆模型，
甲乙两模型中小球
和
的质量均为
，绳长均为
，小球过最高点时，细绳恰好对小球没有作用力，而
轻杆对小球的作用力大小
，其中
为当地的重力加速度，不计空气阻力。求：
（1）小球
在最高点的加速度；
（2）小球
和
在最高点时的速度大小之比。
15
