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易错点04 对曲线运动的分析存在误区
目 录
01 易错陷阱
易错点一：不会运用运动的合成与分解求解两种模型
易错点二：对抛体运动理解有误
易错点三：对圆周运动理解有误
02 易错知识点
知识点一、绳杆末端速度分解的三种方法
知识点二、常见斜面平抛模型与结论
类型一：沿着斜面平抛
类型二：垂直撞斜面平抛运动
类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
知识点三、水平方向上的圆周运动
知识点四、竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比
知识点五、竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
03 举一反三——易错题型
题型一：对绳、杆端速度进行分解
题型二：平抛运动与斜面、曲面的结合
题型三：多体平抛运动
题型四：斜抛运动
题型五：水平面上的圆周运动（圆锥摆，圆碗……）
题型六：竖直面的绳、杆模型及临界条件
04 易错题通关
易错点一：不会运用运动的合成与分解求解两种模型
1．解决小船渡河问题掌握“三模型、两方案、两确定”
（1）小船渡河三种模型
渡河时间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，
最短时间tmin＝
1
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渡河位移最短
如果v 船>v 水，当船头方向与上游河岸夹角
θ 满足v 船cosθ＝v 水时，合速度垂直河岸，
渡河位移最短，等于河宽d
如果v 船<v 水，当船头方向(即v 船方向)与合
速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
2.绳（杆）关联速度问题
（1）易错注意点
①绳或杆质量忽略不计
②绳或杆不可伸长
③沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
（2）思路方法
合运动（实际发生的运动）→合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
分运动（对合运动沿某方向分解的运动）→分速度→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
（3）绳、杆末端速度分解四步
①找到合运动——物体的实际运动；②确定分运动——沿绳(杆)和垂直于绳(杆)；③作平行四边形；
④根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
易错点二：对抛体运动理解有误
1．平抛(或类平抛)运动所涉及物理量的特点
物理量
公式
决定因素
飞行时间
t＝
取决于下落高度h 和重力加
速度g，与初速度v0无关
水平射程
x＝v0t＝v0
由初速度v0、下落高度h 和
重力加速度g 共同决定
落地速度
vt＝＝
与初速度v0、下落高度h 和
2
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重力加速度g 有关
速度改变量
Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下
由重力加速度g 和时间间隔
Δt 共同决定
2． 平抛运动中物理量的关系图
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
3． 平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出v0= x√
g
2h
；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出v=v0/cosθ；
②推论法：若已知h、x，可求出tanθ=2tanα=2h/x；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：mgh=½mv2-½mv0
2 ，可求出v =√v0
2+2gh。
4.平抛运动中的临界、极值问题
在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可
能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．
α
θ
v0
v
x
h
3
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1．若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止
点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这
些极值点也往往是临界点．
易错点三：对圆周运动理解有误
1．匀速圆周运动的向心力公式为F＝m＝mω
2 r ＝mr()2.
2．物体做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，提供物体
做圆周运动的向心力．
易错分析
3．向心力是效果力：向心力是根据力的作用效果命名的，不是性质力，它可以是重力、弹力、摩
擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，或某个力的分力．注意在分析物体受力时，不能说物
体还受一个向心力的作用，向心力可以是某一种性质力，也可以是几个性质力的合力或某一性质力
的分力．
知识点一、绳杆末端速度分解的三种方法
方法一、微元法
要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段
时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
如图所示，设船在θ 角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，当绳与水平方
向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有△L=△x cosθ，两边同除以△t 得：
4
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，即收绳速率v0=vA cosθ，因此船的速率为：vA=υ0/cosθ。
方法二、效果分解法
首先确定合运动，即物体实际运动；其次确定物体A 的两个分运动。两个分运动：一是沿绳的方向
被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于v1=v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变
绳长，只改变角度θ 的值。这样就可以将vA按图示方向进行分解。所以v1及v2实际上就是vA的两
个分速度，如图所示，由此可得vA=υ0/cosθ。
方法三、功率等值法
由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功，即二者做功的功率相等。人对绳子的拉力为
F，则对绳子做功的功率为P1=Fv0；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，
则绳子对物体做功的功率为P2=FvAcosθ ，因为P1= P2所以vA=v0/cosθ。
知识点二、常见斜面平抛模型与结论
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速
度方向相同。
3.与斜面的最大距离问题
【构建模型】如图所示，从倾角为θ 的斜面上的A 点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面
上的B 点，不计空气阻力．
)α
)α
θ(
v0
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法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x 轴，垂直于斜面方向为y 轴，建立坐标系，如图
(a)所示
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加
速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
A、B 间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v 的切线反向延长与v0交点为此
时横坐标的中点P，
则tan θ＝＝，t＝.
(2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B 间距离s＝＝.
法三：(1)设物体运动到C 点离斜面最远，所用时间为t，将v 分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan
θ＝＝，得t＝.
(2)设由A 到B 所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得
tan θ＝，y＝xtan θ
①
y＝gt′2
②
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x＝v0t′
③
由①②③式得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B 间的距离s＝＝.
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B 点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
x
H-y
H
)θ
v0
θ
)θ
v0
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知识点三、水平方向上的圆周运动
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在
水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为m，只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的
合力，就是摆球做圆周运动的向心力
，如图所示（也可以理解为拉力
的竖直分力与摆球的重
力平衡，
的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为l，摆线与竖直方向的夹角为θ的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周
运动的轨道半径是r =lsinθ
向心力 F合=mg tanθ =man=mω
2lsinθ =m v
2/(lsinθ)
摆线的拉力 FT =mg/cosθ
【讨论】：(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据
cosθ = g/(ω
2l)可知，若角速度ω越大，则θ越大，摆线拉力FT =mg/cosθ也越大，向心加速度
an= g tanθ也越大，线速度v =ωr =√glsinθ tanθ也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若θ越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越
大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当lcosθ为定值时（lcosθ =h为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量
相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力FT =mg/cosθ，向心力
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F合=mg tanθ，向心加速度an= g tanθ，角速度ω=√g/h
，线速度v =ωr =√gh tanθ
。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但θ角
大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
知识点四、竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比
轻绳模型（没有支撑）
轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的
临界条件
由mg＝m 得v 临＝
由小球能运动即可得v 临＝0
对应最低点速度v 低≥√5 gr
对应最低点速度v 低≥√4 gr
绳不松不脱
轨条件
v 低≥√5 gr或v 低≤√2gr
不脱轨
最低点弹力
F 低-mg =mv 低2/r
F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
F 低-mg =mv 低2/r
F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
最高点弹力
过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，
绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg
向下压力
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支
持力，随v 的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力
并随v 的增大而增大
在最高
点的FN
图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
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知识点五、竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最
低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为R
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由mg=m v
2
R
可得v √gR①
对应C 点的速度有机械能守恒mg2 R = 1
2 mvC
2 - 1
2 mv A
2 得vC =√5 gR②
当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒
mgR = 1
2 mvc
2得vc =√2 gR③
小结：(1).当vc>√5 gR时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力由牛顿第二定律
F A+mg=m v A
2
R
④
(2).当vc =√5 gR时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0 由牛顿第二定律
mg=m v A
2
R
。⑤
(3).当√2gR<vc<√5 gR时小球不能通过最高点A 小球在A 点，上升至DA 圆弧间的某一位向右做
斜抛运动离开圆周，且v 越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为θ则mgcosθ =m v
2
R
、cosθ = h
R
(4).当0<vc≤√2 gR时小球不能通过最高点A 上升至CD 圆弧的某一位置速度减为0 之后沿圆弧返回。
上升的最高点为C 永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A 点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒mg2 R = 1
2 mvC
2
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在C 点由牛顿运动定律：F N -mg=m vC
2
R
得F N =5mg⑥
(2)从与O 等高的D 点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒 mgR = 1
2 mvC
2
在C 点由牛顿运动定律：F N -mg=m vC
2
R
得F N =3mg⑦
(3)从A 点以初速度v A =√gR释放小球到达最低点
由机械能守恒mg2 R = 1
2 mvC
2 - 1
2 mv A
2
在C 点由牛顿运动定律：F N -mg=m vC
2
R
得F N =6mg⑧
题型一：对绳、杆端速度进行分解
【例1】（2024•荆门三模）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一
箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到
图示的位置时，货箱速度为v，连接货车的缆绳与水平方向夹角为θ，不计一切摩擦，下列说法
正确的是（ ）
A．货车的速度等于vcosθ
B．货物处于失重状态
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C．缆绳中的拉力FT大于（m0+m）g
D．货车对地面的压力大于货车的重力
【变式1-1】（2024•锦江区校级模拟）为了减小关后备箱时箱盖和车体间的冲力，在箱盖和车体间
安装液压缓冲杆，其结构如图所示。当液压杆AO2 长度为L 时，AO2 和水平方向夹角为75°，
AO1和水平方向夹角为45°，A 点相对于O1的速度是vA，则A 点相对于O2的角速度为（ ）
A．√3 v A
2 L
B．v A
2 L
C．√2v A
2 L
D．√2v A
3 L
【变式1-2】（2024•浙江模拟）如图所示，有一半径为r 的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆
心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成
锐角为θ。则木板转动的角速度ω 为（ ）
A．v
r cosθtan θ
2
B．v
r sinθtan θ
2
C．v
r cos θ
2 tanθ
D．v
r cosθcot θ
2
【变式1-3】（2024•西城区校级模拟）如图所示，小球A、B 用一根长为L 的轻杆相连，竖直放置
在光滑水平地面上，小球C 挨着小球B 放置在地面上。由于微小扰动，小球A 沿光滑的竖直墙
面下滑，小球B、C 在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹角为θ，小球A 和墙面恰好分离，
最后小球A 落到水平地面上。下列说法中不正确的是（ ）
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A．当小球A 的机械能取最小值时，小球B 与小球C 的加速度为零
B．小球A 由静止到与墙面分离的过程中，小球B 的速度先增大后减小
C．当小球A 和墙面恰好分离时，小球B 与小球C 也恰好分离
D．当小球A 和墙面恰好分离时，A、B 两球的速率之比为tanθ：1
题型二：平抛运动与斜面、曲面的结合
【例2】（2024•五华区校级模拟）国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自
于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名可视为
质点的运动员从跳台a 处先后沿水平方向向左飞出，初速度大小之比为2：3，不计空气阻力，
则甲、乙从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙飞行时间之比为3：2
B．甲、乙飞行的水平位移之比为4：9
C．甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为2：3
D．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为2：3
【变式2-1】（2024•德州模拟）如图所示，把一小球从斜面上先后以相同大小的速度抛出，一次水
平抛出，另一次抛出的速度方向与斜面垂直，两小球最终都落到斜面上，水平抛出与垂直斜面
抛出落点到抛出点的距离之比为（ ）
A．1：2
B．2：1
C．1：1
D．1：3
【变式2-2】（2024•观山湖区校级模拟）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB 为水平直径，O
为圆心，现同时从A、B 两点水平相向抛出甲、乙两个小球，其初速度大小分别为v1、v2，且均
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落在轨道上的C 点，已知OC 与竖直方向的夹角θ＝30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。
则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球不会同时落到轨道上
B．两者初速度关系为v1＞v2
C．整个下落过程，甲球速度变化量大于乙球速度变化量
D．甲球可沿半径方向垂直打在轨道上C 点
【变式2-3】（多选）（2023•海口三模）如图所示，DOE 为竖直半圆，O 为圆周的最低点，B、C
关于过O 点的竖直线左右对称。现从D 点分别水平抛出三个小球a、b、c，其落点分别为圆周上
的A、B、C 三点。不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．飞行时间最短的是小球c
B．飞行位移最小的是小球a
C．三个小球飞行的加速度大小关系为aa＜ab＝ac
D．小球c 的初速度比小球b 的初速度大
题型三：多体平抛运动
【例3】（2024•南京二模）如图所示，在同一竖直面内，物块1 从a 点以速度v1水平抛出，同时物
块2 从b 点以速度v2抛出，两物块在落地前相遇，两物块均视为质点，除重力外不受其他作用
力。下列说法正确的是（ ）
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A．相遇点在二者初速度连线交点的正下方
B．只改变v1的大小，两物块仍可相遇
C．只改变v2的大小，两物块仍可相遇
D．只把v2的方向向左转动，两物块仍可相遇
【变式3-1】（2023•铁东区校级二模）如图所示，A、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时
间t 在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的1
2，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇的过
程中，下列说法正确的是（ ）
A．相遇时间变为t
4
B．相遇时间变为t
2
C．相遇点的高度下降了3
2 gt
2
D．相遇点的位置在原来的左下方
【变式3-2】如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P 点水平射出的同时乙黄豆从
另一吸管末端M 点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N 点相遇，曲线1 和2 分别为甲、乙
黄豆的运动轨迹。若M 点在P 点正下方，M 点与N 点位于同一水平线上，且PM 长度等于MN
的长度，不计黄豆的空气阻力，可将黄豆看成质点，则（ ）
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A．两黄豆相遇时，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍
B．甲黄豆在P 点速度与乙黄豆在最高点的速度不相等
C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍
D．乙黄豆相对于M 点上升的最大高度为PM 长度一半
【变式3-3】（2024•安康模拟）如图所示，小球从O 点的正上方离地h＝40m 高处的P 点以v1＝
10m/s 的速度水平抛出，同时在O 点右方地面上S 点以速度v2斜向左上方与地面成θ＝45°抛出
一小球，两小球恰在O、S 连线靠近O 的三等分点M 的正上方相遇。若不计空气阻力，则两小
球抛出后到相遇过程中所用的时间为（ ）
A．1s
B．√2s
C．2s
D．3s
题型四：斜抛运动
【例4】（2024•朝阳区校级模拟）如图为烟花在空中的运动轨迹，虚线为轨迹上a、b、c 三点的切
线，其中最高点b 的切线方向水平，c 点的切线方向竖直，可知该烟花（ ）
A．由a 点运动到c 点过程中，水平方向做匀速运动
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B．由b 点到c 点做平抛运动
C．在b 点的加速度方向竖直向下
D．在b 点处于失重状态
【变式4-1】（2024•南昌一模）一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所
示甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处清火点B，两水柱最高点在同一
水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动
的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是（ ）
A．v1＞v2，t1＝t2
B．v1＜v2，t1＝t2
C．v1＞v2，ι1＜t2
D．v1＜v2，t1＜t2
【变式4-2】（2024•江苏模拟）如图所示，从水平面上A 点以倾角为α 斜向上方抛出一小球，抛出
时速度大小为v0，小球落到倾角为θ 的斜面上C 点时，速度方向正好与斜面垂直，B 为小球运
动的最高点，已知重力加速度为g，则（ ）
A．小球在B 点的速度大小为v0sinα
B．小球从A 点运动到B 点的时间为v0cosα
g
C．小球落到C 点前瞬间竖直方向的速度为v0cosα
tanθ
D．小球从B 点运动到C 点的时间为v0 sinα
gtanθ
【变式4-3】（2024•东莞市校级模拟）过水门仪式是国际民航中最高级别的礼仪。如图所示，“过
水门”仪式中的“水门”是由两辆消防车喷出的水柱形成的。两条水柱形成的抛物线对称分布，
且刚好在最高点相遇。已知两水柱均沿与水平方向成45°角喷出，且从喷出到在最高点相遇所用
时间为3s。重力加速度g 取10m/s2，忽略空气阻力和水流之间的相互作用，下列说法正确的是
（ ）
17
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A．“水门”的高度一定为90m
B．“水门”的跨度一定为180m
C．在最高点相遇时，水柱的速度为零
D．水喷出的瞬间，速度水平方向分量为15m/s
题型五：水平面上的圆周运动（圆锥摆，圆碗……）
【例5】（2023•朝阳区一模）如图所示，可视为质点的小球用轻质细绳悬挂于B 点，使小球在水
平面内做匀速圆周运动。现仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O 到悬点B 的高度不变，小球仍在
水平面内做匀速圆周运动。增加绳长前后小球运动的角速度、加速度以及所受细绳的拉力大小
分别为ω1、a1、F1和ω2、a2、F2。则（ ）
A．ω1＝ω2
B．a1＞a2
C．F1＝F2
D．F1＞F2
【变式5-1】（2023•河北一模）如图所示，光滑水平板开有小孔，顶角θ＝60°的光滑圆锥的顶点紧
靠着小孔，圆锥的高位于竖直面。质量相同的小球用穿过小孔的轻绳连接，两球分别位于水平
板和圆锥侧面上。为了保证小球Q 的高度不变且刚好不脱离圆锥面，让两小球分别做匀速圆周
运动。重力加速度为g，则小球P、Q 做匀速圆周运动的向心加速度的差值为（ ）
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A．1
2 g
B．√3-2
2
g
C．0
D．√3
3 g
【变式5-2】（多选）（2023•郴州模拟）如图所示。在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用
轻绳相连的物体A 和B，A 和B 质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，
RB＝3r，A、B 与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转
速从零开始逐渐加快到两物体刚好要发生但还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）
A．绳子的最大张力为FT＝2μmg
B．当A 所受的摩擦力为零时，圆盘的角速度为ω=√
2 μg
r
C．随着角速度的增大，A 所受摩擦力的方向和大小都会变化，而B 所受的摩擦力方向不变
D．随着角速度的增大，A 所受的摩擦力一直减小，而B 所受的摩擦力一直增大
【变式5-3】（多选）（2024•博望区校级模拟）通用技术课上，某兴趣小组制作了一个小球爬杆装
置，如图所示，竖直杆OM 与光滑杆ON 均固定在电动机底座上，且ON 与水平面间的夹角α＝
60°，一弹簧上端固定在OM 杆上的P 点，下端与穿在ON 杆上质量为m 的小球相连。装置静止
时弹簧与竖直方向间的夹角β＝30°，当电动机带动底座开始转动时，小球开始爬杆。已知OP 两
点间的距离为L，重力加速度为g。则（ ）
A．装置静止时杆对小球的弹力方向垂直杆ON 斜向下
B．装置静止时弹簧弹力的大小为mg
C．装置静止时杆对小球的弹力大小为√3mg
D．电动机转动后，当小球稳定在与P 点等高的位置时杆的角速度为√
6 g
L
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题型六：竖直面的绳、杆模型及临界条件
【例6】（多选）（2024•南昌模拟）如图所示，一物块放在水平木板上，现用木板托住物块一起绕
O 点在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，角速度大小为ω，物块与木板之间的动摩擦因
数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若在运动过程中物块和木板始终保持
相对静止且木板始终保持水平，则下列说法正确的是（ ）
A．在圆心等高处时物块受到的摩擦力为μmg
B．在圆心等高处时物块受到的摩擦力为mω2R
C．ω 的最大值为√
μg
R
D．ω 的最大值为√
μg
R√1+ μ
2
【变式6-1】（2024•西城区一模）如图1 所示，长为R 且不可伸长的轻绳一端固定在O 点，另一端
系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小
不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F 与v2的关系图线如图2
所示。下列说法中正确的是（ ）
A．根据图线可以得出小球的质量m= aR
b
B．根据图线可以得出重力加速度g= a
R
C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
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D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
【变式6-2】（2024•洛阳一模）如图（甲），轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上。
现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水
平分速度vx随时间t 的变化关系如图（乙）所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．在t1时刻小球通过最低点
B．图（乙）中S1面积的数值为0.8m
C．图（乙）中S1和S2的面积不相等
D．图线第一次与横轴的交点对应小球的速度为4m/s
【变式6-3】（2024•安徽模拟）如图所示，一滑块（可视为质点）在水平力F 的作用下由静止沿粗
糙水平直轨道AB 开始运动，该力的功率恒定，达到最大速度后，撤掉该力，滑块继续前进一段
距离后进入竖直光滑半圆轨道BCD，并恰好通过该轨道最高点D，然后进入光滑半圆管道
DEF，最终停在粗糙水平直轨道FG 上。已知水平力的恒定功率为10W，滑块的质量为0.2kg，
滑块与轨道AB 的动摩擦因数为0.5，半圆轨道BCD 的半径R＝0.5m，重力加速度g 取10m/s2，
下列说法正确的是（ ）
A．滑块在D 点的速度大小为√10m/ s
B．半圆管道DEF 的半径r 可能为0.15m
C．在轨道AB 上，滑块的最大速度为10m/s
D．在轨道AB 上，滑块减速过程的距离为2.5m
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1.
（2024•黄州区校级二模）如图所示，小球A 从地面向上斜抛，抛出时的速度大小为
10m/s，方向与水平方向夹角为53°，在A 抛出的同时有小球B 从某高处自由下落，当A 上升
到最高点时恰能击中下落的B，不计空气阻力，sin53°＝0.8，重力加速度g 取10m/s2。则A、
B 两球初始距离是（ ）
A．4.8m
B．6.4m
C．8.0m
D．11.2m
2.
（2024•顺庆区校级模拟）如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端把一
高尔夫球水平击出让其在与斜面垂直的面内运动，小球刚好落在斜面底端。B 点是运动过程中
距离斜面的最远处，A 点是在阳光照射下小球经过B 点的投影点，不计空气阻力，则（ ）
A．小球在斜面上的投影做匀速运动
B．OA 与AC 长度之比为1：3
C．若斜面内D 点在B 点的正下方，则OD 与DC 长度不等
D．小球在B 点的速度与整个段平均速度大小相等
3.
（2024•清江浦区模拟）金秋九月，正是收割玉米的季节，加工过程中，农民会采用
如图甲所示的传送带装置。具体过程如图乙所示，将收割晒干的玉米投入脱粒机后，玉米粒从
静止开始被传送到底端与脱粒机相连的顺时针匀速转动的传送带上，一段时间后和传送带保持
静止，直至从传送带的顶端飞出，最后落在水平地面上，农民迅速装袋转运。提升了加工转运
的效率。已知传送带与水平方向的夹角为θ、顶端的高度为h，玉米粒相对于传送带顶端的最
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大高度也是h，重力加速度为g，若不计风力，空气阻力和玉米粒之间的相互作用力，下列说
法正确的是（ ）
A．玉米粒在传送带上时，所受摩擦力始终不变
B．玉米粒落地点与传送带底端的水平距离为(2+2√2)h
tanθ
C．传送带的速度大小为√2 gh
sinθ
D．玉米粒飞出后到落地所用的时间为3√
h
g
4.
（2024•合肥三模）如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度v0从跳台顶
端A 水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B 点，运动员运动到P 点时离倾斜赛道最
远，P 点到赛道的垂直距离为PC，P 点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为θ，重力加速
度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D 两点间的距离是（ ）
A．v0
2 sinθtan
2θ
2 g
B．v0
2 sinθtan
2θ
g
C．v0
2 sin
2θtan
2θ
2 g
D．v0
2 sin
2θtan
2θ
g
5.
（2024•盐城三模）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶
面竖直固定，O 点为镖靶中心，OP 水平、OQ 竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一
位置M 点水平射出飞镖，且M、O、Q 三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶
面O、P、Q 三点的飞镖，下列说法错误的是（ ）
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A．射中O 点的飞镖射出时的速度最小
B．射中P 点的飞镖射出时的速度最大
C．射中Q 点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中O、P 两点的飞镖空中飞行时间相等
6.
（2024•浙江二模）如图在水平地面上放置一边长为0.8m 的正方形水箱，一水管可在
ABCD 面内绕A 点转动θ≤90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管
口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则（ ）
A．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH 或CGFB 侧面
B．水在空中运动时间的最大值为0.32√2s
C．空中运动的水的质量最大值为0.5kg
D．若保持θ 不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短
7.
（2024•镇海区校级一模）汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分
路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C 处，其中B 处的曲率半径最大，A 处的曲
率半径为ρ1，C 处的曲率半径为ρ2，ρ1＞ρ2，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为
m 的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ，当该车以恒定的速率v 沿这段凹凸路面行驶
经
过
A
、
B
、
C
三
点
时
，
下
列
说
法
正
确
的
是
（
）
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A．汽车在A 处受到的摩擦力大小为μmg
B．汽车经过A 处时处于失重状态，经过C 处时处于超重状态
C．汽车在A 点的行驶速度小于√g ρ1时，汽车将做平抛运动
D．汽车经过C 处时所受的向心力最小
8.
（2024•盐城三模）如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m 的
带孔小球穿于环上，一长为R 的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链连接于圆环最低
点，重力加速度为g。当圆环以角速度ω=√
6 g
R
绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小
和方向为（ ）
A．2mg，沿杆向上
B．2mg，沿杆向下
C．(2√3-1)mg，沿杆向上
D．(2√3-1)mg，沿杆向下
9.
（2024•江苏四模）长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分
别固定在等高的A、B 两点，A、B 两点的距离也为L，重力加速度大小为g，今使小球在竖直
平面内以A、B 连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，
则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小均为（ ）
A．√3mg
B．2√3mg
C．3mg
D．4√3mg
3
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10. （2024•河南模拟）如图所示，轻杆上端可绕光滑铰链O 在竖直平面内自由转动。可
视为质点的小球A 固定在轻杆末端。用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O 点正下方的小
孔P 与A 相连。用沿绳斜向上的拉力F 作用于小球A，使杆保持水平，某时刻撤去拉力，小球
A、B 带动轻杆绕O 点转动。已知小球A、B 的质量均为m，杆长为3L，OP 长为5L，重力加
速度为g，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．杆保持水平时，轻杆对小球A 的拉力大小为2mg
5
B．运动过程中，两小球速度大小相等时的速度值为√(√34 - 11
3 )gL
C．运动过程中，两小球速度大小相等时细绳对小球A 的拉力大小为1
10 mg
D．运动过程中，两小球速度大小相等时轻杆对小球A 的拉力大小为( √34
5
- 2
15 )mg
11. 【好题】（2024•二模拟）武汉“东湖之眼”摩天轮，面朝东湖、背靠磨山，是武汉
东湖风景区地标之一。摩天轮在竖直放置的圆轨道内围绕其圆心O 点做半径为R 的匀速圆周
运动，角速度为ω，在匀速转动的过程中轿厢地板总保持水平状态。如图所示，放置在地板上
的物体，其与地板之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，
为了保证物体在匀速转动的过程中始终不相对于地板滑动，则角速度ω 的最大值为（ ）
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A．√
μg
R√μ
2+1
B．√
μg
R
C．√
g
R√μ
2+1
D．√
μg
R√1- μ
2
12. （2024•济南模拟）如图所示，MN 为半径为r 的1
4 圆弧路线，NP 为长度13.5r 的直线
路线，MN'为半径为4r 的1
4 圆弧路线，N'P'为长度10.5r 的直线路线。赛车从M 点以最大安全
速度通过圆弧路段后立即以最大加速度沿直线加速至最大速度vm并保持vm匀速行驶。已知赛
车匀速转弯时径向最大静摩擦力和加速时的最大合外力均为车重的n 倍，最大速度vm＝5√ngr
，g 为重力加速度，赛车从M 点按照MNP 路线到P 点与按照MN'P'路线运动到P'点的时间差
为（ ）
A．( π
2 - 13
10 )√
r
ng
B．( π
2 - 3
2 )√
r
ng
C．(π - 23
10 )√
r
ng
D．( π
2 + 4 -2√7)√
r
ng
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