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易错点09 静电场
目 录
01 易错陷阱（4 大陷阱）
02 举一反三
【易错点提醒一】误认为洛伦兹力不做功，也不能改变电荷的运动状态，
【易错点提醒二】误认为洛伦兹力不做功，其分力也不能做功
【易错点提醒三】带电粒子在磁场中运动的时间确定错误
【易错点提醒四】混淆磁偏转和电偏转
【易错点提醒五】不能正确分析带电粒子在磁场中的临界问题
03 易错题通关
易错点一：误认为洛伦兹力不做功，也不能改变电荷的运动状态，共分力也不做功
1 对洛伦兹力的理解
特点
（1）洛仑兹力的大小正比于v 的大小，方向垂直于v 的方向，随着v （方向、大
小）同时改变，具有被动性的特点
（2）洛仑兹力的方向垂直于v 的方向，不做功，只改变v 的方向不改变v 的大小
易错点二： 带电粒子在磁场中运动的时间确定错误
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a 中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图c 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
1
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平行边界存在临界条件，图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c 中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
易错点三：混淆磁偏转和电偏转
带电粒子在组合场中运动分析思路
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1 步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。
第2 步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3 步中表图所示。
第3 步：用规律
2．“电偏转”与“磁偏转”的比较
垂直电场线进入
匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入
匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，
与速度v 无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v
而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例
2
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求解方法
利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，
x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2
偏转角φ 满足：tan φ＝＝
半径：r＝
周期：T＝
偏移距离y 和偏转角φ 要结合圆的几何关系
利用圆周运动规律讨论求解
运动时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
易错点四：不能正确分析带电粒子在磁场中的临界问题
1.解题关键点
（1）关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题
的切入点.
（2）关注涉及临界点条件的几个结论:
①粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；
②当速度v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则粒子在有界磁场中运动的时间
越长；
③当速度v 变化时，圆心角越大，对应的运动时间越长.
2.一般思维流程
.
【易错点提醒一】误认为洛伦兹力不做功，也不能改变电荷的运动状态；．误
认为洛伦兹力不做功，所以洛伦兹力分力也不能做功。
【例1】如图所示，在竖直绝缘的平台上，一个带正电的小球以水平速度V0抛出，落到在
地面上的A 点，若加一垂直纸面向里的匀强磁场，
V0
A
θ
qvB
f
V
mg
3
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则小球的落点（ ）
A．仍在A 点 B．在A 点左侧
C．在A 点右侧 D．无法确定
易错分析：错选A，理由是洛伦兹力不做功，不改变小球的运动状态，故仍落在A 点。
【答案】C
解析：事实上洛伦兹力虽不做功，俣可以改变小球的运动状态，可以改变速度的方向，
小球做曲线运动，在运动中任一位置受力如图所示，小球此时受到了斜向上的洛伦兹力的
作用，小球在竖直方向的加速度
g
＜
m
qvB
mg
a y
cos
，故小球平抛的时间将增加，落
点应在A 点的右侧．所以选项C 对．
【例2】如图所示，一个带正电荷的物体从粗糙斜面
顶端滑到
斜面底端时的速度为V，若再加上一个垂直纸面指向读者的
磁场，则
物体滑到底端时的速度将（ ）
A．大于V B．小于V C．等于V D．不能确定
易错分析：错解原因是部分同学认为洛伦兹力不做功就直接得出C，事实上，虽然洛
伦兹力不做功，但随着物体垂直磁场向下滑，一旦加上磁场，就引起弹力比未加磁场时小，
滑动摩擦力减小，滑到底端摩擦力做功减小，则滑到底端时的动能增大，速率增大，应该
选A。
【答案】A
解析：物体垂直磁场向下滑，一旦加上磁场，就引起弹力比未加磁场时小，滑动摩擦
力减小，滑到底端摩擦力做功减小，则滑到底端时的动能增大，速率增大，应该选A
【变式1-1】．如图所示，光滑半圆形轨道与光滑斜面轨道在B 处与圆孤相连，将整个
装置置于水平向外的匀强磁场中，有一带正电小球从A 静止释放，且能沿轨道前进，并恰
能通过圆弧最高点，现若撤去磁场，使球仍能恰好通过圆环最高点C，
释放高度H′与原释放高度H 的关系是（ ）
A．H′=H B. H′＜H C. H′＞H D.不
能确定
【答案】C
解析：无磁场时，小球队在C 点由重力提供向心力，
R
v
m
mg
c
2
，临
界速度
Rg
vc
。
从A 至C 由机械能守恒定律得：
mRg
mgR
mgH
2
1
2
/
，有
R
H
2
5
/
θ
V
B
C
4
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加磁场后，小球在C 点受向上的洛仑兹力，向心力减小，
R
v
m
qvB
mg
2
临界速度v 减小。洛仑兹力不做功，由A 到C 机械能守恒
2
2
1
2
mv
mgR
mgH
因
，所以
，故选项C 正确
【变式1-2】．（2022·湖南·校联考模拟预测）如图所示，光滑的水平桌面处于匀强磁场
中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B；在桌面上放有内壁光滑、长为L 的试管，底
部有质量为m、带电量为q 的小球，试管在水平向右的拉力作用下以速度v 向右做匀速直线
运动（拉力与试管壁始终垂直），带电小球能从试管口处飞出，关于带电小球及其在离开
试管前的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．小球带负电，且轨迹为抛物线
B．小球运动到试管中点时，水平拉力的大小应增大至
C．洛伦兹力对小球做正功
D．对小球在管中运动全过程，拉力对试管做正功，大小为qvBL
【答案】BD
【详解】A．小球能从试管口处飞出，说明小球受到指向试管口的洛伦兹力，根据左手定则
判断，小球带正电；小球沿试管方向受到洛伦兹力的分力
恒定，小球运动的轨迹
是一条抛物线，故A 错误；
B．由于小球相对试管做匀加速直线运动，会受到与试管垂直且向左的洛，则拉力应增大伦
兹力的分力
小球运动到中点时沿管速度为
则拉力应增大至
以维
持匀速运动，故B 正确；
C．沿管与垂直于管洛伦兹力的分力合成得到的实际洛伦兹力总是与速度方向垂直，不做功，
故C 错误；
D．对试管、小球组成的系统，拉力做功的效果就是增加小球的动能，由功能关系
故D 正确；故选BD。
【变式1-3】．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）如图所示，竖直放置的光滑
绝缘斜面处于方向垂直竖直平面（纸面）向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，一带
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电荷量为
的滑块自a 点由静止沿斜面滑下，下降高度为h 时到达b 点，滑块恰好对
斜面无压力。关于滑块自a 点运动到b 点的过程，下列说法正确的是（ ）（重力加速度
为g）
A．滑块在a 点受重力、支持力和洛伦兹力作用B．滑块在b 点受到的洛伦兹力大小为
C．洛伦兹力做正功
D．滑块的机械能增大
【答案】B
【详解】A．滑块自a 点由静止沿斜面滑下，在a 点不受洛伦兹力作用，故A 错误；
BCD．滑块自a 点运动到b 点的过程中，洛伦兹力不做功，支持力不做功，滑块机械能守恒
得
故滑块在b 点受到的洛伦兹力为
故B 正确，C 错误，D 错误。
故选【易错点提醒二】 带电粒子在磁场中运动的时间确定错误
【例3】 如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都
相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O 射入匀强磁场，又都从该
磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只
受磁场力的作用，则在磁场中运动时间越长的带电粒子( )．
A．速率一定越小 B．速率一定越大
C．在磁场中通过的路程越长
D．在磁场中的周期一定越大
易错分析： 因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据
s
t
v
得
选项A、C 正确。造成上述错解的原因是具体分析带电粒子在磁场中运动的时间由什么物理
量来决定，而生搬公式
s
t
v
，而公式中的两物理都变化时，我们就不能仅由一个物理量来
判断。必须弄清带电粒子在圆形磁场中的运动时间决定因素，应养成配图分析的习惯、推
导粒子在磁场中运动时间的决定因素，在这个基础上再对各个选项作出判断。
【答案】A
解析 根据公式T＝可知，粒子的比荷相同，它们进入匀强磁场后做匀速圆
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周运动的周期相同，选项D 错误；如图所示，设这些粒子在磁场中的运动圆弧所对应的圆
心角为θ，则运动时间t＝T，在磁场中运动时间越长的带电粒子，圆心角越大，运动半径越
小，根据r＝可知，速率一定越小，选项A 正确、B 错误；当圆心角趋近180°时，粒子在磁
场中通过的路程趋近于0，所以选项C 错误．
【变式1-1】（2023 全国甲卷）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒
上P 点开有一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO
射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线
方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。
下列说法正确的是（ ）
A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B. 最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【答案】BD
【解析】D．假设粒子带负电，第一次从A 点和筒壁发生碰撞如图，
为圆周运动的圆
心
由几何关系可知
为直角，即粒子此时的速度方向为
，说明粒子在和筒壁碰
撞时速度会反向，由圆的对称性在其它点撞击同理，D 正确；
A．假设粒子运动过程过O 点，则过P 点的速度的垂线和OP 连线的中垂线是平行的不能
交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A 点的速度垂线和AO 连线的中垂线依旧
平行不能确定圆心，则粒子不可能过O 点，A 错误；
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B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，
最少应为三角形如图所示
即撞击两次，B 正确；
C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定
减少， C 错误。
故选BD。
【变式1-2】．比荷（
）相等的带电粒子M 和N，以不同的速率经过小孔S 垂直进入匀
强磁场，磁感应强度为B，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．N 带负电，M 带正电
B．N 的速率大于M 的速率
C．N 的运行时间等于M 的运行时间
D．N 受到的洛伦兹力一定等于M 受到的洛伦兹力
【答案】C
【详解】A．根据左手定则，N 粒子带正电，M 粒子带负电，故A 错误；
B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
可推知
由于两粒子的比荷相等，可知，粒子做圆周运动的半径与粒子速度成正比，根据
图片可知，M 粒子做圆周运动的半径比N 粒子做圆周运动的半径大，故M 粒子的速率比N
粒子的速率大，故B 错误；
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C．根据匀速圆周运动速度与周期的关系
可推知
由于两粒子的比荷相等，
故两粒子做圆周运动的周期相同，图片可知，两粒子在磁场中做圆周运动的圆心角相同，
故两粒子在磁场中运动的时间相等，故C 正确；
D．粒子在磁场中受洛伦兹力的大小为
在同一磁场，B 相同，根据以上的分析可知
M 粒子的速率比N 粒子的速率大，但是，题设只已知比荷相等，并不知道两粒子电荷量的
大小关系，故不能确定两粒子所受洛伦兹力的大小关系，故D 错误。故选C。
【变式1-3】如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子（不
计重力）沿直线AB 方向从A 点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q 两点射出，则下列说法
正确的是（ ）
A．若两粒子比荷相同，则从A 分别到P、Q 经历时间之比为1:2
B．若两粒子比荷相同，则从A 分别到P、Q 经历时间之比为2:1
C．若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为2:1
D．若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1
【答案】AD
【详解】AB．两粒子运动轨迹如图
粒子运动时间为
若两粒子比荷相同，则从A 分别到P、Q 经历时间之比为
，
A 正确；
C．设圆形区域半径为R，由题意可知，两粒子运动半径之比为
根据
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若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为
，C 错误；
D．同理C 选项，若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1，D 正确。故选AD。
【易错点提醒三】 混淆磁偏转和电偏转
【例4】电子以与磁场垂直的速度v 从P 处沿PQ 方向进入长为d、宽为h 的匀强磁场区域，
从N 点射出，如图所示，若电子质量为m，电荷量为e，磁感应强度为B，则
( )
A．电子在磁场中运动的时间为
d
v
B．电子在磁场中运动的时间在于为
d
v
C.．电子竖直方向的的位移为
h= Bev
2m ( d
v )2
D．电子的水平位移
d=√
2mvh
eB
−h2
错解 电子进入磁场后，水平方向上做匀速直线运动，所以有d=vt ，故电子在磁场中运动
的时间为
d
v ，选项 A 正确；竖直方向上做初速度为零的匀加速进线运动，加速度
a= Bev
m
，
所以有
h=1
2 at 2
=
Bev
2m ( d
v )2
，故移过项C 正确。
易错分析： 造成上述错解的原因是把磁偏转当成了电偏转，误认为电子在磁场中使粒子
做匀变速曲线运动——“类平抛运动”，实际上电子在磁场中，洛伦兹力是变力，使电子
做【答案】D
变速曲线运动——匀速圆周运动，只不过其轨迹是一段圆弧。
解析 由带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动，电子在磁场中运动的时间等于弧长与速
率的比值，要大小
d
v ，所以选项A 错误、B 正确；为所以过P 点和N 点作速度的垂线，两
垂线的交点即为电子在磁场中做匀速圆周运动时的圆心O，如图14 所示，图中L=d ，由
勾股定理可得(R －h)2 ＋d2 ＝R2 ，整理知d=√2Rh−h2
，而
R= mv
eB ，故
d=√
2mvh
eB
−h2
，所以选项D 正确、C 错误。
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【变式1-1】2023 海南卷）如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点以
初速度
射入第一象限内的电磁场区域，在
（
为已知）区域
内有竖直向上的匀强电场，在
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场后偏转打到接收器
上，则（ ）
A 粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
B. 粒子从
中点射入磁场时速度为
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D. 粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
【答案】AD
【解析】若粒子打到PN 中点，则
，
解得
，选项A 正确；
粒子从PN 中点射出时，则
速度
选项B 错误；
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C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则
粒子从电场中射出时的速度
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则
则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN 的距离为
解得
选项C 错误；
D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N 点进
入磁场，此时竖直最大速度
出离电场的最大速度
则由
可得最大半径
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选项D 正确；
【变式1-2】如图所示，
坐标系中，在
的范围内存在足够大的匀强电场，方向
沿y 轴正方向，在
的区域内分布有垂直于
平面向里的匀强磁场。在
处
放置一垂直于y 轴的足够大金属板
，带电粒子打到板上即被吸收，如果粒子轨迹与板相
切则刚好不被吸收。一质量为m、带电量为
的粒子以初速度
由
点沿x 轴正方
向射入电场，第一次从
点经过x 轴，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．粒子刚好不打在挡板上则
C．要使粒子不打到挡板上，磁感应强度B 应满足的条件为
D．要使粒子不打到挡板上，磁感应强度B 应满足的条件为
【答案】AC
【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，水平方向
竖直方向
解得
故A 正确；
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B．设粒子进入磁场时与x 轴夹角为
粒子进入磁场
时的速度为
粒子运动轨迹与挡板相切时粒子刚好不打在挡板上，由几何知
识得
解得
故B 错误；
CD．粒子做匀速圆周运动，伦兹力提供向心力得
解得
粒子不打在挡板
上，磁感应强度需要满足的条件是
故C 正确，D 错误。故选AC。
【变式1-3】如图所示，在xoy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，在
第四象限内存在沿x 轴负方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q 的粒子①与②从y 轴上的
点P（0，l0）处同时以速率v0分别沿与y 轴正方向和负方向成60°角射入磁场中，两粒子均
垂直穿过x 轴进入电场，最后分别从y 轴上的M、N 点（图中未画出）离开电场。两粒子所
受重力及粒子间的相互作用均忽略不计,下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度大小为
B．粒子①与粒子②在磁场中运动的时间之比为2:1
C．粒子①与粒子②在电场中运动的时间之比为2:1
D．粒子①与粒子②在电场中运动的时间之比为
【答案】BD
【详解】A．两粒子运动轨迹如图
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则由几何关系知两粒子在磁场中的轨迹半径为
又因为
解得
故A 错误；
B．由几何关系得，粒子①与粒子②在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
和
，又因为
粒子在磁场中运动时间为
所以粒子①与粒子②在磁场中运动的时间之比为2:1，故
B 正确；
C．由几何关系得，粒子①与粒子②在电场中沿电场线方向的位移分别为
和
，则满足
；
故
粒子①与粒子②在电场中运动的时间之比为
，故C 错
误，D 正确。
故选BD。
【易错点提醒四】 不能正确分析带电粒子在磁场中的临界问题
【例5】 如图所示，一带电粒子，质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v 从
y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该粒子能从x 轴上的b
点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁
感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，重力忽略
不计，试求该圆形磁场区域的最小半径。
错解 带电粒子在磁场中作半径为R 的圆周运动，，由牛顿第二定律
有 qvB=m，得R= ，所以该圆形磁场区域的最小半径是
易错分析： 造成上述错解的原因是认为带电粒子做匀速圆周运动的轨道半径就是
圆形磁场区域的最小半径。没有结合“最小”来正确地画出临界圆形磁场。然后利用几何
关系求半径。
【答案】r=
解析 根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4 圆周，这段圆弧
应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a 点作平行于x 轴的直线，过b 点作平行于
y 轴的直线，则与这两直线均相距R 的O′点就是圆周的圆心。如图16 所示。
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质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R 为半径的圆(图16 中虚线圆)上的圆弧
MN，M 点和N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。
在通过M、N 两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN 连线为直径的圆周。
所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为
MN=R r=MN
得r= 所求磁场区域如图中实线圆所示.
【变式1-1】（2023·四川成都·石室中学校考三模）一匀强磁场的磁感应强度大小为
，
方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，
，
，一束
粒子
在纸面内从a 点垂直于
射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
已知粒子的质量为
、电荷量为
。则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
又有
设粒子运动轨迹所对的圆心角为
，则运动时间为
可知，
越大，运动时间
越长，当粒子运动时间最长时，运动轨迹如图所示，可知
越大则
越小，而
即当圆弧经过c 点时
最大，此时最大
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由几何关系有
解得
联立可得
故选B。
【变式1-2】（2023·甘肃兰州·统考一模）如图所示，直角三角形
区域内存在垂直于
纸面向里的匀强磁场，∠B=900，
。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从
边上D 点垂直
边射入磁场，速率为
时粒子垂直
边射出磁场，速率为
时粒子从
边射出磁场，且运动轨迹恰好与
边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为
、
，运
动时间为
、
。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】．由题意再结合左手定则可知粒子带负电，故A 错误；
B．根据题意做出粒子在磁场中运动得轨迹如下图所示
由图中几何关系可得
可知粒子再磁场中运动得半径之比
故B 错误；
C．根据洛伦兹力充当向心力有
解得粒子在磁场中运动时的速度为
由此
可知粒子在磁场中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即
故C 正确；
D．根据粒子在磁场中运动得轨迹可知，一个在场中偏转了
，另一个在磁场中偏转了
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，而同一种粒子在相同磁场中运动得周期为
相同，则可知粒子在磁场中运动
的时间之比等于偏转角度之比，即
故D 错误。故选C。
【变式1-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感
应强度大小为B 的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O
处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，
速度方向均在纸面内。已知以最大速度v 射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其
做圆周运动周期的
。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是
（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中运动的周期为
C．在下边界有粒子飞出的长度为
L
D．从上边界飞出的粒子速度大小范围为
【答案】AD
【详解】AB．速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的
，运动轨迹如
图所示
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圆心为
，其圆弧所对圆心角为
，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得粒子比荷
粒子在磁场
中运动的周期
故A 正确，B 错误；
D．当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为
。
设这种情况下粒子速度大小为
，半径为
，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
可知粒子从上边界飞出的粒子速度
大小范围为
，故D 正确；
C．下边界有粒子飞出的长度为
故C 错误。故选AD。
1.（2023 全国乙卷）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy
平面）向里，磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另
一侧的S 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP =
l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电
场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达接收屏。该粒子的比荷为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题知，一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，
则根据几何关系可知粒子做圆周运动的半径
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r = 2a
则粒子做圆周运动有
则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入
射后则会沿x 轴到达接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
故选A。
2.（2023 年海南高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁
场，关于小球运动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A 正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，
BC 错误；
D．洛仑兹力永不做功，D 错误。
故选A。
3.（2023·北京·统考高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀
强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道
横截面半径为a，长度为l（
）。带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子
在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一
端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为
，不计粒子的重力、粒子间的
相互作用，下列说法不正确的是（ ）
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A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【答案】C
【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为
r=a 故A 正确，不符合题意；
B．根据
可得粒子的质量
故B 正确，不符合题意；
C．管道内的等效电流为
单位体积内电荷数为
则
故C 错误，
符合题意；
D．由动量定理可得
粒子束对管道的平均作用力大小
联立解得
故D 正确，不符合题意。故选C。
4．如图所示，在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一段静止的长为L 截面积为S 的通电导
线，磁场方向垂直于导线。设单位体积导线中有n 个自由电荷，每个自由电荷的电荷量都
为q，它们沿导线定向移动的平均速率为v。下列选项正确的是（ ）
A．导线中的电流大小为nSqv
B．这段导线受到的安培力大小为nLqvB
C．沿导线方向电场的电场强度大小为vB
D．导线中每个自由电荷受到的平均阻力大小为qvB
【答案】A
【详解】A．根据电流定义
其中
根据题意
带入化解即可得到I 的微观表
达式为
故A 正确；
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B．由安培力公式可得
；
联立得
故B 错误；
C．沿导线方向的电场的电场强度大小为
（U 为导线两端的电压）它的大小不等于
vB，只有在速度选择器中的电场强度大小才是vB，且其方向是垂直导线方向，故C 错误；
D．导线中每个自由电荷受到的平均阻力方向是沿导线方向的，而qvB 是洛伦兹力，该力的
的方向与导线中自由电荷运动方向垂直，二者不相等，故D 错误。故选A。
5.如图所示，一个带正电的粒子，从静止开始经加速电压
加速后，水平进入两平行金属
板间的偏转电场中，偏转电压为
，射出偏转电场时以与水平方向夹角为
的速度进入金
属板右侧紧邻的有界匀强磁场，虚线为磁场的左边界，场范围足够大，粒子经磁场偏转后
又从磁场左边界射出，粒子进入磁场和射出磁场的位置之间的距离为，下列说法正确的是
（ ）
A．只增大电压
变小
B．只减小电压
变大
C．只减小电压
，距离变小
D．只增大电压
，距离变大
【答案】BD
【详解】AB．粒子先加速运动后做类平抛运动
；
；
；
；
解得
只增大电压U2，θ 变大，B 正确，只减小电压U1，θ 变大，选项A 错误，B
正确；
CD．在磁场中做匀速圆周运动
；
；
；
解得
只减小电压U2，距离l 不变，只增大电压U1，距离l 变大，选项C 错误，D 正确。
故选BD。
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6．如图所示，已知甲空间中没有电场、磁场；乙空间中有竖直向上的匀强电场；丙空间中
有竖直向下的匀强电场；丁空间中有垂直纸面向里的匀强磁场。四个图中的斜面相同且绝
缘，相同的带负电小球从斜面上的同一点O 以相同初速度v0同时沿水平方向抛出，分别落
在甲、乙、丙、丁图中斜面上A、B、C、D 点(图中未画出)。小球受到的电场力、洛伦兹力
都始终小于重力，不计空气阻力。则（ ）
A．O、C 之间距离大于O、B 之间距离
B．小球从抛出到落在斜面上用时相等
C．小球落到B 点与C 点速度大小相等
D．从O 到A 与从O 到D，合力对小球做功相同
【答案】AC
【详解】A．带电小球在乙图中受到竖直向下的电场力与重力，而在丙图中受到竖直向上的
电场力与重力，根据类平抛运动规律，则有
=cotθ 可知，当加速度越大时，所用时间
越短，因此OB 间距小于OC 间距，故A 正确；
B．由题意可知，甲图带电小球做平抛运动，由A 分析可知，运动的时间介于乙图与丙图之
间，故B 错误；
C．由
=cotθ 那么vy=at=2v0tanθ 则有它们的竖直方向的速度相等，根据矢量的合成法则，
可得，小球落到B 点与C 点速度大小相等，故C 正确；
D．由于洛伦兹力的作用，竖直方向的加速度小于g，则使得竖直方向的速度小于甲图的平
抛竖直方向的速度，又因洛伦兹力不做功，则球从O 到A 重力做的功少于球从O 到D 做的
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功，因此合力对小球做功不同，故D 错误。故选AC。
7．如图所示，在xOy 坐标系平面内，x 轴上方有沿y 轴正方向的匀强电场，x 轴下方有垂直
坐标系平面向里的匀强磁场，一电子，质量为m、电荷量为
从图中坐标原点O 处以与x 轴
负方向成
角的速度
沿坐标平面射入匀强磁场中，经磁场到达A 点
，再进入竖直
向上的匀强电场中，结果恰好从O 点回到磁场，不计电子的重力，则下列说法正确的是（
）
A．磁感应强度大小
B．电场强度大小
C．电子运动过程中最高点的坐标为
D．电子从O 点出发到下一次回到O 点的时间
【答案】BC
【详解】轨迹如图所示
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A．根据几何关系可知，电子在磁场中做圆周运动的半径
根据
解得
，A 错误；
B．电子刚要进入电场时，其速度沿x 轴的分量
沿y 轴的分量
则
；
；
解得
；
，B 正确；
C．电子运动过程中最高点的坐标为
，C 正确；
D．电子在磁场中运动的时间
电子从O 点出发到下一次回到O 点的时间
，D 错误。故选BC。
8．（2022·湖南衡阳·校考一模）如图所示，两个倾角分别为
和
的光滑绝缘斜面固定
于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场中，两个质量为
m、带电荷量为
的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两
小滑块都将飞离斜面，则（ ）
A．飞离斜面时甲滑块动量比乙滑块动量大
B．飞离斜面时甲滑块动量比乙滑块动量小
C．飞离斜面时甲滑块重力做功的瞬时功率与乙滑块重力做功瞬时功率不同
D．飞离斜面时甲滑块重力做功的瞬时功率与乙滑块重力做功瞬时功率相同
【答案】AD
【详解】AB．设斜面倾角为
，当滑块恰好飞离斜面时，有
可得
由题意可知，因为甲物块所在斜面倾角较小，所以甲滑块飞离斜面时的速度大，由
可知飞离斜面时甲滑块动量比乙滑块动量大，故A 正确，B 错误；
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CD．飞离斜面时滑块重力做功的功率为
代入两
个斜面的倾角可知飞离斜面时甲滑块重力做功的瞬时功率与乙滑块重力做功瞬时功率相同，
故D 正确，C 错误。故选A
9．（2022·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R 的圆形区域中
充满了垂直于纸面向里的匀强磁场。a、b、c 三个带电粒子以相同的动能从M 点沿着直径
MON 方向垂直射入磁场，运动轨迹如图所示，并从P、Q 两点离开。已知P、Q、O（圆
心）三点共线，直径MON、POQ 夹角为
（如图），
，
，
分别为a、b、c 三个粒子在磁场中运动的时间。不计粒子的重力，
下列说法正确的（ ）
A．a 一定带负电，b 可能带正电
B．a、b 从P 点射出，c 从Q 点射出
C．
D．
【答案】BC
【详解】AB.公式
又
，
可知
那么MQ、MP 必定为两粒
子a、c 的运动轨迹，而b 粒子的运动轨迹应该与其中一个粒子重合；根据
，
可知
即b 与a 同一电性，都从P 点射出，A 错误，B 正确；
C.由以上可知
由几何关系可知
再由公式
可知
联立可得
，C 正确；
D.由公式
得
，D 错误。故选BC。
10．（2023·全国·模拟预测）如图所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内存在磁感应强度大
小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个
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方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为
的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S
最远的位置是x 轴上的P 点。已知
，粒子带负电，粒子所受重力及粒子间
的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
C．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
D．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】AD
【详解】A．根据几何关系可得
所有粒子射出磁场时离S 最远的位置
是x 轴上的P 点，可知粒子做圆周运动的半径满足
可得
根据洛伦兹力提
供向心力可得
解得
故A 正确；
B．从x 轴上射出磁场的粒子中，沿
轴正方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，从O
点射出的粒子时间最短，运动轨迹如图所示
根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角分别为
；
从x 轴上射出磁场
的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
故B 错误；
C．沿平行x 轴正方向射入的粒子，其圆心在
点，离开磁场时的位置到O 点的距离为，
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即沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
，故C 错误；
D．从
点射出的粒子轨迹如图所示
对应的圆心角为
从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
故D 正确。故选
AD。
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面一、
二象限内发射大量质量为m，电荷量为q 的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。
圆心在（0，R）半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度
为B，磁场右侧有一长度为R 且平行于y 轴的荧光屏，其中心O1位于（2R，R）。已知初速
度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子的初速度大小为
B．从O 点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足
【答案】AD
【详解】A．由题意，初速度沿
轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有
；
解得
，A 正确；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直
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高度最大值为
，并不会垂直打在光屛上，B 错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为
根据周期公式
可得
，C 错误；
D．粒子初速度方向与
轴夹角为
时，若能打在光屛下端，如图
由几何关系可得圆心角
即初速度与
轴夹角为
同理，粒子打在光屛上端时
（图同B），初速度与
轴夹角为
，D 正确。故选AD。
12．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸
面向里，图中虚线为磁场的部分边界，其中
段是半径为R 的四分之一圆弧，
、
的
延长线通过圆弧的圆心，
长为R．一束质量为m、电荷量大小为q 的粒子流，在纸面内
以不同的速率从O 点垂直
射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N 是圆
弧边界上的两点。不计粒子的重力及它们之间的相互作用。则下列说法中正确的是
（ ）
A．粒子带负电
B．从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
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C．从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子所用时间
D．在磁场中运动时间最短的粒子用时为
【答案】BD
【详解】ABC．由题意，画出从M、N 两点射出的粒子轨迹图，如图所示，由此可知，粒子
带正电；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力。可得
解得
；
由图可知，从M 点射出粒子的轨迹半径小于从
N 点射出粒子轨迹半径，则有从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率；由
图可知，从M 点射出粒子的轨迹所对圆心角大于从N 点射出粒子轨迹所对圆心角，由
可知，从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定大于从N 点射出粒子所用时间，AC
错误，B 正确；
D．由几何知识可知，当粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心恰好在b 点时，粒子在磁场中
运动的圆弧所对的圆心角最小，此时粒子的运动半径r=R，由几何关系可求得此时圆弧所对
圆心角θ=120°，所以粒子在磁场中运动的最短时间是
，D 正
确。故选BD。
13．（2023·安徽宿州·统考一模）如图所示，边长为
的正三角形
区域内存在垂直纸
面向里的匀强磁场，质量为
、电荷量为
的同种粒子自
点沿角平分线射入磁场，若以
初速度
射入，经过时间，粒子从
边界距
点
处射出磁场，不计粒子的重力，则（
）
A．粒子圆周运动的周期为
B．粒子的初速度等于
时，在磁场中运动的时间仍为
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C．粒子的初速度小于
时，离开磁场时的速度反向延长线均垂直于
边
D．粒子的初速度大于
时，离开磁场时速度的偏转角大于
【答案】BC
【详解】A．粒子若以初速度
射入，设其轨迹半径为，圆心为
，轨迹对应的圆心角为
，粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可得
则有
解得粒子圆周运动的周期为
故A 错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力
可得
粒子的初速度等于
时，粒子轨迹半
径变为原来的
倍，粒子从
边射出，粒子轨迹对应的圆心角不变，粒子在磁场中运动的
时间不变，所以在磁场中运动的时间为，故B 正确；
C．粒子的初速度等于
时，粒子轨迹半径变为原来的倍，粒子刚好从
点离开磁场，
如上图所示；粒子射入时速度方向与
边夹角为
，则粒子离开磁场时的速度反向延长
线垂直于
边；所以粒子初速度小于
时，均从
边射出，离开磁场时的速度反向延
长线均垂直于
边，故C 正确；
D．粒子的初速度大于
时，粒子从
边离开磁场，轨迹对应的弦长变短，所以粒子轨迹
对应的圆心角小于
，由于粒子轨迹对应的圆心角等于速度方向偏向角，所以离开磁场时
速度的偏转角小于
，故D 错误。
故选BC。
14.（2023·湘豫名校高三下学期4 月联考）如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直
于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q 的同种粒子以
相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果在bc 边仅有一半的区域内有粒子射出。已知
bc 边的长度为L，bc 和ac 的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法
正确的是（ ）
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A. 粒子的入射速度为
B. 粒子的入射速度为
C. 粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为πL
2
D. 从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
【答案】A
【解析】粒子进入场向上做匀速圆周运动，洛伦力提供向心力
因bc 边只有一半区城有粒子射出，在bc 边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关
系可得
，则粒子的入射速度
，所以A 项正确；B 项错误；粒子在场中运动
的最长轨述为
，C 项错误；与bc 边相切恰从bc 边射出的粒子的对应的圆心角
最大为
，从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
15.（2023·湖北武汉二中模拟）如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束
负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀
强磁场。已知O、A 两点间的距离为s，负离子的比荷为
，速率为v，OP 与OQ 间的夹角
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为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向可能是（ ）
A．
，垂直纸面向里
B．
，垂直纸面向里
C．
，垂直纸面向外
D．
，垂直纸面向外
【答案】BD
【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约
束在OP 之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP 相切。如图（大圆弧）
由几何知识知
，而
，所以
所以当离子轨迹的半径小于s 时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
，，所以得
，故A 错误，B 正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，
由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP 之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP
相切。如图（小圆弧）
由几何知识知道相切圆的半径为
，所以当离子轨迹的半径小于
时满足约束条件。
由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
，故C 错误，D 正确。
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