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易错点04 曲线运动
目 录
01 易错陷阱（3 大陷阱）
02 举一反三
【易错点提醒一】不会分析小船渡河模型
【易错点提醒二】关联速度模型分解速度错误
【易错点提醒三】不会用运动的合成与分解求平抛运动问题
【易错点提醒四】盲目套用平抛运动的基本规律
【易错点提醒五】不会分析圆周运动向心力的来源
【易错点提醒六】竖直平面圆周运动混淆两种模型
03 易错题通关
易错点一：不会运用运动的合成与分解求解两种模型
1．解决小船渡河问题掌握“三模型、两方案、两确定”
（1）小船渡河三种模型
渡河时间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时
间tmin＝
渡河位移最短
如果v 船>v 水，当船头方向与上游河岸夹角θ 满足
v 船cosθ＝v 水时，合速度垂直河岸，渡河位移最
短，等于河宽d
如果v 船<v 水，当船头方向(即v 船方向)与合速度方
向垂直时，渡河位移最短，等于
（2）小船渡河模型的分析思路
1
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2.关联速度模型
绳（杆）关联速度问题解题思路
易错点
二
：
对
抛体运动理解有误
1 ．平抛
( 或类平抛
) 运动所涉及物理量的特点
物理量
公式
决定因素
飞行时间
t＝
取决于下落高度h 和重力加
速度g，与初速度v0无关
水平射程
x＝v0t＝v0
由初速度v0、下落高度h 和
重力加速度g 共同决定
落地速度
vt＝＝
与初速度v0、下落高度h 和
重力加速度g 有关
速度改变量
Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下
由重力加速度g 和时间间隔
Δt 共同决定
2 ． 平抛运动中物理量的关系图
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
2
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时间为明线，角度为暗线。
3． 平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出
v0=x√
g
2h ；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出v=v0/cosθ；
②推论法：若已知h、x，可求出tanθ=2tanα=2h/x；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：mgh=½mv2-½mv0
2 ，可求出v=√v0
2+2gh 。
4.平抛运动中的临界、极值问题
在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物
时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．
1．若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着
“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值
点，这些极值点也往往是临界点．
易错点
三
：
对
圆周运动理解有误
易错题【02】圆周运动理解有误
竖直面内的圆周运动
1．常见模型
轻“绳”模型
轻“杆”模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能
等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，即mg＝m，得v＝
v＝0，即F 向＝0，此时FN＝mg
α
θ
v0
v
x
h
3
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v＝的意义
物体能否过最高点的临界点
FN表现为拉力还是支持力的临界
点
2.分析思路
.
【易错点提醒一】不会分析小船渡河模型
【例1】．（2023·海南·统考二模）一小船在静水中的速度为
，它在一条河宽
150m，流速为
的河流中渡河，则下列说正确的是（ ）
A．小船渡河时间不少于60s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250m
D．小船以最短位移渡河时，时间为60s
【变式1-1】（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，某河流中水流速度大小恒为v1，A
处的下游C 处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B 点，漩涡的半径为r，AB=
。为使小船从
A 点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为（ ）
A．
B．
C．v1
D．
【变式1-2】（2023·福建福州·统考模拟预测）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，
都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟若采取冲锋舟最小速度和
船头正对河岸两种行驶方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A 处送到对岸安
4
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全地B 处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和船头正对河岸的冲锋舟速度v2之比为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】有甲、乙两只船,它们在静水中航行的速度分别为v1和v2,现在两船从同一渡
口向河对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的
地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比t1
t2
为( )。
A.v2
2
v1
B.v1
v2
C.v2
2
v1
2 D.v1
2
v2
2
【易错点提醒二】关联速度模型分解速度错误
【例2】（2023·湖南省隆回县第二中学模拟预测）如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连
杆结构的示意图和简图。气缸内高压气体推动活塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为
，
连杆AO 与活塞轴线BO 垂直，气缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，
已知
，不计一切摩擦，则此刻（ ）
A．活塞对连杆AB 的作用力为2F
B．气缸壁对活塞的作用力为
C．连杆AB 的A 端沿连杆AB 方向的线速度为
D．连杆OA 的A 端绕O 点转动的线速度为
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【变式1-1】如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在水平升降台
上，升降平台以速度v 匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为θ 时，棒的角速度为( )
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】质量为
的物体
置于倾角为
的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮
分别连接着
与小车，
与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线
运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角
时如图，下列判断正确的是
A．
的速率为
B．
的速率为
C．绳的拉力等于
D．绳的拉力小于
【变式1-3】（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）两个相同的正方形铁丝框按图所
示放置，它们沿对角线方向分别以速度v 和2v 向两边运动，则两线框的交点M 的运动速度
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错点提醒三】不会用运动的合成与分解求平抛运动问题
【例3】（2021·河北高考真题）铯原子钟是精确的计时仪器，图1 中铯原子从O 点以
的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面
所用时间为
；图2 中铯原子在
真空中从P 点做竖直上抛运动，到达最高点Q 再返回P 点，整个过程所用时间为
，O 点
到竖直平面
、P 点到Q 点的距离均为
，重力加速度取
，则
为（
6
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）
A．100∶1
B．1∶100
C．1∶200
D．200∶1
【变式1-3】（2021·江苏高考真题）如图所示，A、B 两篮球从相同高度同时抛出后直接
落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（ ）
A．A 比B 先落入篮筐
B．A、B 运动的最大高度相同
C．A 在最高点的速度比B 在最高点的速度小
D．A、B 上升到某一相同高度时的速度方向相同
【变式1-3】（2023·湖南卷·第2 题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒
进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平
面内，抛出点均为
，且轨迹交于
点，抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为
和
，
其中
方向水平，
方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正
确的是（ ）
A. 谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度
B. 谷粒2 在最高点的速度小于
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C. 两谷粒从
到
的运动时间相等
D. 两谷粒从
到
的平均速度相等
【变式1-3】（2022·广东卷·T6）如图5 所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木
悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P 点等高且相距为L。当玩具子弹以水
平速度v 从枪口向P 点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间
为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（ ）
A. 将击中P 点，t 大于
B. 将击中P 点，t 等于
C. 将击中P 点上方，t 大于
D. 将击中P 点下方，t 等于
【易错点提醒四】盲目套用平抛运动的基本规律
【例4】如图所示为置于竖直平面内的光滑杆AB，它是依照初速度为v0、水平射程为x 的
平抛运动轨迹制成的，A 端为抛出点，B 端为落地点。现将一质量为m 的小球套于其上，
小球由静止开始从A 端滑下，重力加速度为g，则当小球到达B 端时，下列说法正确的是(
)
A．小球在水平方向的速度大于v0
B．小球运动的时间为
C．小球的速率为
D．小球所受重力的功率为
【变式1-1】（2022·广东卷·T3）图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上
的M 点由静止自由滑下，经过水平NP 段后飞入空中，在Q 点落地。不计运动员经过N 点
的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v 或加速度大
小a 随时间t 变化的图像是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【变式1-2】（2022·全国甲卷·T24）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动
的小球进行拍摄，频闪仪每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪
恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两
个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度
和
之比为3：7。重力加速度
大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【易错点提醒五】不会分析圆周运动向心力的来源
【例5】（2021·浙江高考真题）质量为m 的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图
所示，对该时刻，下列说法正确的是（ ）
A．秋千对小明的作用力小于
B．秋千对小明的作用力大于
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
【变式1-1】.（2021·广东高考真题）由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，
道闸由转动杆
与横杆
链接而成，P、Q 为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆
始终保持水平。杆
绕O 点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法
正确的是（ ）
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A．P 点的线速度大小不变
B．P 点的加速度方向不变
C．Q 点在竖直方向做匀速运动
D．Q 点在水平方向做匀速运动
【变式1-2】.（2020·全国高考真题）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均
为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千
支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A．200 N
B．400 N
C．600 N
D．800 N
【变式1-3】.（2022·全国甲卷·T14）北京2022 年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图
所示。运动员从a 处由静止自由滑下，到b 处起跳，c 点为a、b 之间的最低点，a、c 两处
的高度差为h。要求运动员经过一点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动
过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（
）
A.
B.
C.
D.
【易错点提醒六】混淆竖直平面内的两种模型
【例6】（2023·江苏扬州中学模拟）如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆
轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为
的磁性圆轨道竖直固
定，质量为
的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，
、
分别为轨道的最高点和最低点，
轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为
，
则（ ）
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A. 铁球绕轨道可能做匀速圆周运动
B. 由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒
C. 铁球在
点的速度必须大于
D. 轨道对铁球的磁性引力至少为
，才能使铁球不脱轨
【变式1-1】（2023·辽宁·模拟预测）图1 是某体操运动员在比赛中完成“单臂大回环”
的高难度动作时的场景：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动员
运动到最高点时，运动员与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v。其F-v2
图像如图2 所示，g 取10m/s2。则下列说法中正确的是（ ）
A．此运动员的质量为50kg
B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9m
C．在最高点速度为4m/s 时，运动员受单杆的弹力大小跟重力大小相等
D．在最高点速度为4m/s 时，运动员受单杆的弹力大小为428N，方向向下
【变式1-2】（2023·山东·模拟预测）如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R 的光滑
圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小
球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（ ）
11
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A．v 的最小值为
B．当
时，小球处于完全失重状态，不受力的作用
C．当
时，轨道对小球的弹力方向竖直向下
D．当v 由
逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
（3.确。
错
1．（2023·全国甲卷·第14 题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅
球在平抛运动过程中（ ）
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变D．被推出后瞬间动能
最大
2．（2023·山东·模拟预测）如图，汽车从静止开始通过缆绳将质量为m 的货物从A 处沿光
滑斜面拉到B 处，此过程中货物上升高度为h，到B 处时定滑轮右侧缆绳与水平方向间的
夹角为θ，左侧缆绳与斜面间的夹角为2θ，汽车的速度大小为v，此时货物的速度大小为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·云南·昆明高三模拟预测）跑马射箭是民族马术中的一个比赛项目，如图甲所示，
运动员需骑马在直线跑道上奔跑，弯弓射箭，射击侧方的固定靶标，该过程可简化为如图
乙（俯视图）所示的物理模型：假设运动员骑马以大小为
的速度沿直线跑道匀速奔驰，
箭被射出前箭头沿直线运动，其轨迹所在直线与靶心的水平距离为
。为保证箭能命中靶
12
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心且在空中运动的时间最短，运动员应在合适的位置将箭水平射出，若箭射出瞬间相对弓
的速度大小为
，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．箭射中靶心的最短时间为
B．箭射中靶心的最短时间为
C．箭射出瞬间箭头到靶心的水平距离为d
D．箭射出瞬间箭头到靶心的水平距离为
4．（2023 春·云南昆明·高三云南师大附中校考）如图所示，一矩形白纸
平铺在水平
桌面上，一钢笔的笔尖压在白纸上的P 点，现使白纸从静止开始沿与
边平行的方向以
加速度a 在桌面上向右做匀加速直线运动，白纸开始运动的同时用外力控制笔尖开始运动，
最终笔尖在白纸上留下如图中
所示的与
垂直的划痕．以地面为参考系，考虑笔尖的
运动，下列说法正确的是（ ）
A．笔尖的加速度不可能小于a
B．笔尖的运动轨迹一定是曲线
C．笔尖的速度可能沿图中箭头1 所示方向
D．笔尖离开白纸瞬间其速度一定与
边垂直
5．（2022 秋·陕西·高三校联考）某可调式升降台构造如图所示，升降台的下面是一个弧形
滑道，通过向右或向左旋转螺母即可实现升降台的上升或下降。当过螺母顶端的半径与水
平方向的夹角为
时，升降台下降的速度大小为
，则此刻螺母向左运动的速度大小
为
（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江高考真题）如图所示，钢球从斜槽轨道末端以
的水平速度飞出，经过时
间t 落在斜靠的挡板
中点。若钢球以
的速度水平飞出，则（ ）
A．下落时间仍为t
B．下落时间为2t
C．下落时间为
D．落在挡板底端B 点
7.（2020·浙江高考真题）如图所示，底部均有4 个轮子的行李箱a 竖立、b 平卧放置在公交
车上，箱子四周有一定空间。当公交车（ ）
A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a 一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b 一定相对车子向内侧运动
8．（2019·海南高考真题）如图，一硬币（可视为质点）置于水平圆盘上，硬币与竖直转
轴
的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为
（最大静摩擦力等于滑动摩擦
力），重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起
轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速
度为（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
9．（2021·山东高考真题）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H 的高处，现
将质量为m 的物资以相对地面的速度
水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知
投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断
正确的是（ ）
A．投出物资后热气球做匀加速直线运动
B．投出物资后热气球所受合力大小为
C．
D．
10．（2020·海南高考真题）小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出的速度大小
为
，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地高度为
，
，忽略空气
阻力，则射出的水（ ）
A．在空中的运动时间为
B．水平射程为
C．落地时的速度大小为
D．落地时竖直方向的速度大小为
11.（2022·山东卷·T11）如图所示，某同学将离地
的网球以
的速度斜向上击出，
击球点到竖直墙壁的距离
。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为
的P 点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75 倍。平行墙面
的速度分量不变。重力加速度g 取
，网球碰墙后的速度大小v 和着地点到墙壁的距
离d 分别为（ ）
A
B.
C.
D.
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12．（2020·江苏高考真题）如图所示，小球A、B 分别从
和l 的高度水平抛出后落地，
上述过程中A、B 的水平位移分别为l 和
。忽略空气阻力，则（ ）
A．A 和B 的位移大小相等
B．A 的运动时间是B 的2 倍
C．A 的初速度是B 的
D．A 的末速度比B 的大
13.（2023·湖南卷·第8 题） 如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段
BC 组成，两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C
的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到
达C 点，下列说法正确的是（ ）
A. 小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B. 小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C. 小球
初速度
D 若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
14.（2023·江苏卷·第13 题）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m 的发光物
体放在半径为r 的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平
面内绕A 点做匀速圆周运动。当角速度为
时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体
的速度大小
和受到的静摩擦力大小f。
15.（2023·湖北·统考高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形
竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B 在桌面边缘，B 与半径为R 的固定
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光滑圆弧轨道
在同一竖直平面内，过C 点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物
块以某一水平初速度由A 点切入挡板内侧，从B 点飞出桌面后，在C 点沿圆弧切线方向进
入轨道
内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为
，
重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D 点的速度大小；
（2）B 和D 两点的高度差；
（3）小物块在A 点的初速度大小。
16．（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字
揭示了滑冰的动作要领。
短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其
创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前
用时
。该过程可视为匀加速直线运
动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为
的匀速圆周运动，速度大小为
。
已知武大靖的质量为
，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实
现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角
的大小。（不
计空气阻力，重力加速度大小取
，
、
、
、
）
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