文档文本内容
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微专题二 圆周运动的临界问题
目录
01 考情解码•命题预警..............................................................................................................................2
02 体系构建•思维可视..............................................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚..............................................................................................................................5
考点一 竖直面内圆周运动 ........................................................................................................5
知识点1 竖直平面内圆周运动问题概述................................................................................5
知识点2 竖直平面内圆周运动问题的解题思路....................................................................5
知识点3 绳子模型与轻杆模型对比.........................................................................................5
考向1 轻“绳”模型
.............................................................................................................6
考向2 轻“杆”模型
.............................................................................................................8
【思维建模】 竖直圆周运动的解题关键及总结.........................................................10
考点二 圆周运动的临界问题 ...............................................................................................10
知识点1 圆周运动的临界问题概述......................................................................................10
知识点2 圆周运动临界问题的解题思路..............................................................................10
知识点3 水平面内圆周运动临界问题的典型模型特征.....................................................11
知识点4 物块随圆盘转动的几种临界问题分析(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)........11
知识点5 斜面上圆周运动的临界问题..................................................................................12
考向1 发生相对滑动时的临界问题......................................................................................12
考向2 绳的弹力恰好有无的临界问题
.............................................................................14
考向3 物体间恰好分离的临界问题......................................................................................15
04 真题溯源•考向感知............................................................................................................................16
1
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考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
竖直面
内圆周
运动
综合应用
高频
2025•安徽、
2025•福建
2024•安徽、2024•贵
州
2023•湖南
圆周运
动的临
界问题
综合应用
中频
\
2024•江苏、2024•广
东
\
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：本专题属于热点内容，高考命题以选择题或计算题的形式出现；模型考察集中，力学综合题
大部分围绕"绳球模型"和"杆球模型"展开， 近年命题中绝大部分的题目会明确给出"恰好通过最高点""绳
子刚好松弛"等临界提示语，题目通常需要联合机械能守恒定律求解，在电磁学综合题中也是出现热点。
；尤其是几个热点模型（绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，水平面内、竖直面内圆
周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型）结合功能关系、牛顿运动定律综合考查，也可与电场
力、洛伦兹力联系起来考查．
3.备考建议：本讲内容备考时候，竖直方向圆周运动建立“绳杆模型对比表”，标注竖直面最高点临界条
件差异，分类整理典型模型。绘制"最高点-最低点-侧位点"受力对比图，重视向心力方向误判。临界问题
重点突破“相对滑动、恰好分离、恰好没有作用力”的模型分析
4.命题情境：
①生活实践类：自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星、太空离心机
②学习探究类：过山车改造、过山车安全压杆力学分析
5.常用方法：模型化思想（水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型）；
极值分析法
复习目标：
1.理解竖直面内圆周运动的特点，能分析物体在最高点和最低点的受力情况。
2.掌握物体在水平面、竖直面及倾斜面内做圆周运动的临界条件，会运用牛顿第二定律解决相关问题。
2
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4
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考点一 竖直面内圆周运动
知识点1 竖直平面内圆周运动问题概述
1. 竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向
圆心，其他位置合外力不指向圆心。
2. 在变速圆周运动中，只需要把合外力沿半径方向和切线方向(速度方向)正交分解，指向圆心的分力提供
向心力，只改变速度的方向，沿切线方向(速度方向)的分力改变速度的大小。
3. 只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒定
律解题。
知识点2 竖直平面内圆周运动问题的解题思路
1.定模型:首先判断是绳子模型还是轻杆模型.
2.确定临界点: v临=√gr ,对绳子模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是FN表现为
支持力还是拉力的临界点.
3.研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
4.受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程, F合=F向.
5.过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
知识点3 绳子模型与轻杆模型对比
轻“绳”模型
轻“杆”模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的
“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
5
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受力
示意图
F 弹向下或等于零
F 弹向下、等于零或向上
力学
方程
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
过最高
点的临
界条件
F弹=0
mg=m vmin
2
R
vmin=√gR
v=0
即F向=0
F弹=mg
讨论
分析
①过最高点时, v≥√gR ,
F 弹+mg=m v2
R ,绳、圆轨道对球产
生弹力F弹
②不能过最高点时, v<√gR ,在到
达最高点前小球已经脱离了圆轨道
①当v=0 时, F弹=mg ,F弹为支持力,
沿半径背离圆心
②当0<v<√gR 时,
-F弹+mg=m v2
R ,F弹背离圆心,随v 的
增大而减小
③当v=√gR 时, F弹=0
④当v>√gR 时,
F 弹+mg=m v2
R ,
F弹指向圆心并随v 的增大而增大
考向1 轻“绳”模型
例1
（2025·山东·模拟预测）猫猫很怕水，当其身上沾到水后，会通过高速抖动的方式将水甩干，
于是gs 用这样一个模型来研究这一现象：如图所示，将猫猫的躯干视作轴线水平，半径为R 的圆柱（其腿
长可忽略），某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转，角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩
出，重力加速度为g，则角速度ω 的最小值为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对最高点的水滴，根据牛顿第二定律得
解得
故选A。
【变式训练1·变情境】（2025·上海·一模）在舞台中固定一个直径为6.5 m 的球形铁笼，三辆摩托车始终以
70 km/h 的速率在铁笼内旋转追逐，旋转轨道有时水平，有时竖直，有时倾斜，非常震撼。关于摩托车的
旋转运动，下列说法正确的是（ ）
A．摩托车在铁笼的最高点时，对铁笼的压力最大
B．摩托车驾驶员始终处于失重状态
C．摩托车所受合外力做功为零
D．摩托车的速度小于70 km/h，就会脱离铁笼
【答案】C
【详解】A．在最高点根据牛顿第二定律可知
解得
结合牛顿第三定律可知，摩托车在铁笼的最高点时，对铁笼的压力最小，A 错误；
B．摩托车驾驶员在最低点时加速度向上，处于超重状态，B 错误；
C．摩托车速度不变，根据动能定理可知，摩托车所受合外力做功为零，C 正确；
D．设恰好做圆周运动的速度为v，最高点有
解得
，D 错误。
7
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故选C。
考向2 轻“杆”模型
例2（2025·湖北武汉·三模）如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），
一质量为m 的小球放置于管内顶端A 点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管
道下滑。管内的B 点与管道的圆心O 等高，C 点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是
（ ）
A．小球不可能回到A 点
B．小球对细管的作用力不可能为零
C．从A 点运动到C 点，小球对细管的作用力一直增大
D．从A 点运动到B 点，小球对细管的作用力先减小后增大
【答案】D
【详解】A．因不计摩擦阻力，则小球无机械能损失，到达A 点时速度为零，小球可回到A 点，选项A
错误；
B．小球下滑在AB 段时，若满足
（θ 为该位置与圆心连线与竖直方向的夹角）时对细管的作用力为零，选项B 错误；
CD．由上述分析，小球从A 点运动到C 点，在AB 之间存在一个压力为零的位置，可知从A 点运动到C
点小球对细管的作用力先减小后增大，选项C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练2·变考法】
（2025·安徽·模拟预测）如图所示，质量均为m 的小球1、2 分别固定在
长为2L 的轻质硬杆的中点以及一端点，硬杆可绕过另外顶端O 点的轴在竖直面内转动。若小球1 在最低
点的速度大小为v，重力加速度大小为g，不计阻力，则轴受到的作用力F1的大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若小球1 在最低点的速度大小为v，则小球2 在最低点的速度大小为2v，对球2 根据牛顿第二
定律得
对球1 根据牛顿第二定律得
解得
故选C。
【变式训练3·变情境】
（2025·湖北十堰·模拟预测）如图所示的机械装置由摆锤和底座两部分组
成，摆锤通过轻质直杆与底座上的转轴
连接，整个机械装置放置在上表面水平的压力传感器上，底座内
部的电机可以驱动摆锤在竖直平面内做半径为
的匀速圆周运动，底座始终保持静止。已知摆锤的质量为
，底座的质量为
，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．若摆锤的速率为
，则摆锤运动到最高点时，压力传感器的示数等于
B．摆锤运动到最低点时，压力传感器的示数可能小于
C．当摆锤重心与
点等高且在
点右侧时，直杆对摆锤的弹力指向
点
D．当摆锤重心与
点等高且在
点右侧时，底座所受摩擦力水平向左
【答案】AD
【详解】A．若摆锤的速率为
，摆锤运动到最高点时，直杆上无弹力，而底座保持静止，压力传感
器的示数等于
，故A 正确；
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B．摆锤运动到最低点时，摆锤处于超重状态，压力传感器的示数一定大于
，故B 错误；
CD．当摆锤重心与
点等高且在
点右侧时，直杆对摆锤弹力的竖直分量与摆锤的重力
平衡，水平
分力提供向心力，直杆对重锤的弹力斜向左上，直杆对底座的弹力斜向右下，而底座保持静止，所以底
座所受摩擦力水平向左，故C 错误D 正确。
故选AD。
【思维建模】 竖直圆周运动的解题关键及总结
1）在最高点，杆(或管道)的弹力与速度的关系
①当v=0 时，F 弹=mg，F 弹背离圆心。
②当0<v<√gR
时，mg－F 弹=m
v
2
R ，F 弹背离圆心并随v 的增大而减小。
③当v=√gR时，F 弹=0。
④当v>√gR
时，mg+F 弹=m
v
2
R ，F 弹指向圆心并随v 的增大而增大。
2）解题技巧
①物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
②物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。
③注意:求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
考点二 圆周运动的临界问题
知识点1 圆周运动的临界问题概述
物体做圆周运动时，若物体的线速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发
生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角
速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。
知识点2 圆周运动临界问题的解题思路
1. 若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。
2. 若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点
也往往是临界状态。
3. 当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理
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规律，然后再列方程求解
知识点3 水平面内圆周运动临界问题的典型模型特征
1.运动特点
①运动轨迹是水平面内的圆。
②合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.常见的两种临界极值问题
①与摩擦力有关的临界极值问题：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达
到最大静摩擦力。
②与弹力有关的临界极值问题：压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界
条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
③物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零
知识点4 物块随圆盘转动的几种临界问题分析(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
一物块随圆盘
一起运动
两物块用轻绳连接，其
中一个位于圆盘中心(μ
相同)
两物块用轻绳连接，位
于圆盘中心同侧(μ 相
同)
两物块用轻绳连接，分
别位于圆盘中心两侧
(rA>rB，mA=mB，μ 相同)
情境图
出现临
界状态
之前
静摩擦力提供向心
力，即F 静=mω2r。
对物块B:静摩擦力提供
向心力，即
F
静
=mBω2rB。
对物块A:FA 静=mAω2rA，
对物块B:FB 静=mBω2rB。
对物块A:FA 静=mAω2rA，
对物块B:FB 静=mBω2rB。
临界状
态1
物块刚好相对圆盘滑
动:静摩擦力达到最大
静摩擦力，由
μmg=mω2r 得ω=√
μg
r
(临界角速度)。
轻绳恰好绷直时，对物
块B 有:静摩擦力达到最
大静摩擦力，由
μmBg=mBω2rB 得ω=√
μg
rB
。
轻绳恰好无拉力时，物
块B 的静摩擦力达到最
大静摩擦力，由
μmBg=mBω2rB 得ω=√
μg
rB
。
轻绳恰好无拉力时，物
块A 的静摩擦力达到最
大静摩擦力，由
μmAg=mAω2rA 得ω=√
μg
r A
。
临界状
态2
——
物块A 刚好相对圆盘滑
动时，
对A 有FT=μmAg，对B
有μmBg+FT=mBω2rB。
物块A 刚好要相对圆盘
滑动时，对A 有μmAg－
FT=mAω2rA ，对B 有
μmBg+FT=mBω2rB。
物块B 刚好要相对圆盘
滑动时，对B 有FT －
μmBg=mBω2rB ，对A 有
μmAg+FT=mAω2rA。
知识点5 斜面上圆周运动的临界问题
1. 题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制
等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
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2. 解题关键：重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解
决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝
mω2R.
考向1 发生相对滑动时的临界问题
例3
（2025·河南·模拟预测）如图所示，半径为r3=5r 的圆形餐桌中心有一转盘，其半径为
r2=3r，可绕其中心轴转动。a、b 为两个相同的杯子，其中a 置于距中心轴r1=r 处，b 置于转盘边缘。两个
杯子与转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，转盘厚度及转盘与
餐桌的间隙不计，餐桌始终保持静止，两个杯子均可视为质点，现缓慢增大转盘的角速度。
(1)求a、b 分别相对转盘刚发生滑动时转盘的角速度之比；
(2)b 相对转盘滑下后，恰不从餐桌边缘掉下，求杯子与桌面间的动摩擦因数μ'。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）杯子相对转盘发生滑动时，根据摩擦力提供向心力可得
解得
即
、相对转盘发生滑动时转盘的角速度之比为
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（2）相对转盘滑动
线速度与角速度的关系
b 沿切线滑到桌面上
由牛顿第二定律可得
解得b 沿切线滑到桌面上的加速度大小为
结合运动学公式
解得
联立可得
【变式训练4·变角度】（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m 的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面
的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O 且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s 的角速度匀速转动，如图所示。
一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距O 点距离r 处，小孩与盘面间的动摩擦因数为
，已知最大静摩
擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则距离r 的可能取值范围为（
）
A．0<r≤2.5m
B．1m≤r≤3.5m
C．2.5m≤r≤4m
D．2.5m≤r≤5m
【答案】A
【详解】当小物体转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，设半径为，
根据牛顿第二定律有
解得
当小物体转到圆盘的最高点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，设半径为
，根据牛
顿第二定律有
解得
可知
，故
不符合要求。
故距离r 的可能取值范围为
故选A。
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考向2 绳的弹力恰好有无的临界问题
例4
（2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量
的小球C 用轻绳AC 和BC 系在竖直杆
AB 上，现在小球绕AB 杆匀速转动，轻绳伸直，OC 垂直于AB，此时
，
。已知轻
绳AC 长为1.0m，足够结实，轻绳BC 能承受的最大拉力为1.44N，小球C 可视为质点，g 取
，
，
。那么小球做圆周运动的角速度（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当轻绳AC 和BC 的拉力达到最大时，小球C 的角速度最大，在竖直方向，有
在水平方向，根据牛顿第二定律，有
解得
当轻绳BC 的拉力为零时，小球C 的角速度最小，在竖直方向，有
在水平方向，根据牛顿第二定律，有
解得
所以小球做圆周运动的角速度满足
故选A。
考向3 物体间恰好分离的临界问题
例5（2025·湖北·模拟预测）如图所示，一轻质竖直挡板AB 固定在光滑斜面顶端，一根长2m 的轻绳一端
系在挡板AB 上另一端系一重50N 的小球，已知轻绳与竖直方向的夹角为
，斜面倾角为
，整个装置
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处于静止状态，重力加速度
，（
，
）下列说法正确的是（ ）
A．轻绳对小球拉力的大小为
B．斜面对小球支持力的大小为
C．若斜面向右做加速度大小为
的匀加速直线运动，则绳的拉力为0
D．若斜面以AB 所在的竖直边为轴做角速度为
的匀速圆周运动，则球对斜面的压力为0
【答案】BD
【详解】AB．对小球进行分析，如图所示
根据正弦定理有
解得
，
故A 错误，B 正确；
C．若斜面向右做匀加速直线运动时，绳的弹力恰好为0，对小球进行分析，根据牛顿第二定律有
解得
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可知，若斜面向右做加速度大小为
的匀加速直线运动，则绳的拉力不为0，故C 错误；
D．若斜面以AB 所在的竖直边为轴做匀速圆周运动时，绳的弹力恰好为0，对小球进行分析，根据牛
顿第二定律有
解得
假设成立，可知，若斜面以AB 所在的竖直边为轴做角速度为
的匀速圆周运动，则球对斜面
的压力为0，故D 正确。
故选BD。
21．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根
长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
16
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（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
18．（2023·湖南·高考真题）（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段BC 组
成，两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C，A 与C 的高度差等于圆弧轨
道的直径2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C 点，则小球在C 点的速度为vC = 0
则小球从C 到B 的过程中，有
，
联立有FN= 3mgcosα－2mg
则从C 到B 的过程中α 由0 增大到θ，则cosα 逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B 到C 的过程中，
对轨道的压力逐渐增大，A 正确；
B．由于A 到B 的过程中小球的速度逐渐减小，则A 到B 的过程中重力的功率为P = －mgvsinθ
则A 到B 的过程中小球重力的功率始终减小，则B 错误；
C．从A 到C 的过程中有
解得
C 错误；
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D．小球在B 点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v0增大，小球在B 点的速度有可能为
，故小球有可能从B 点脱离轨道，D 正
确。
故选AD。
6．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的
动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点，则（ ）
A．离转轴越近的陶屑质量越大
B．离转轴越远的陶屑质量越大
C．陶屑只能分布在台面的边缘处
D．陶屑只能分布在一定半径的圆内
【答案】D
【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，
根据牛顿第二定律可得
解得
因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质
量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ 与ω 均一定，故
为定值，即陶屑离转轴
最远的陶屑距离不超过
，即陶屑只能分布在半径为
的圆内。故ABC 错误，故D 正确。
故选D。
7．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r 的卷轴可绕其固定的中心点O 在水平面
内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l 的细管，管底在O 点。细管内有一根原长为
、劲度系数为k
的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v 匀速拉动细绳时，
插销做匀速圆周运动。若v 过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限
度内。要使卷轴转动不停止，v 的最大值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】有题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为
，根据胡克定律有
插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力
对卷轴有
联立解得
故选A。
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