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专题20 圆周运动的临界问题
学习目标
利用所学知识去解释与实际生产相关的圆周运动;注重理解圆周运动和平
抛运动相结合的综合性题型的训练，注重圆周运动与电场和磁场相结合的综
合性题型的训练。
知识点梳理
一、汽车通过拱形桥
1.受力分析(如图)．
2．向心力：F 合＝mg
－
N ＝m.
3．对桥的压力：N′＝mg－.
4．结论：汽车对桥的压力N′小于汽车的重力mg，而且汽车通过最高点时的
速度越大，对桥面的压力就越小．
二、“旋转秋千”
1．物理模型：细线下面悬挂一个钢球，使钢球在水平面内做匀速圆周运动，
悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫圆锥摆．
2.向心力来源：由重力和缆绳拉力的合力提供(如图)．
由F 合＝mgtan α＝mω2r，r＝lsin α
得：ω＝，cos α＝.
3．结论：缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关，与所乘
坐人的体重无关．在绳长一定的情况下，角速度越大则缆绳与中心轴的夹角
也越大(小于90°)．
三、火车转弯
1．运动特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于
其质量巨大，所以需要很大的向心力．
2．向心力来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和
车轮极易受损．
(2)内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重
力
G 和支持力
N 的合力提供．
四、临界极值问题
1．题型概述
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉
力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即
出现临界状态。
2．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定
指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一
个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，
分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆
心。
3．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受
力。
真题汇编
1．（2024•广东）如图所示，在细绳的拉动下，半径为
的卷轴可绕其固定的
中心点
在水平面内转动，卷轴上沿半径方向固定着长度为的细管，管底在
点，细管内有一根原长为
、劲度系数为
的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，
顶端连接质量为
、可视为质点的插销。当以速度
匀速拉动细绳时，插销做
匀速圆周运动，若过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩
擦力，弹簧在弹性限度内，要使卷轴转动不停止，的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】卷轴和插销属于同轴传动模型，角速度相等，对插销进行受力分析，
结合牛顿第二定律得出速度的最大值。
【解答】解：卷轴的角速度为：
插销与卷轴属于同轴传动模型，角速度相等，要使卷轴转动不停止，则弹簧对
插销的弹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
联立解得：
，故
正确，
错误；
故选：
。
2．（2023•江苏）“转碟”是传统的杂技项目。如图所示，质量为
的发光物
体放在半径为的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子
一起在水平面内绕
点做匀速圆周运动。当角速度为
时，碟子边缘看似一个
光环。求此时发光物体的速度大小
和受到的静摩擦力大小
。
【答案】发光物体的速度大小为
，受到的静摩擦力大小为
。
【分析】根据线速度的计算公式得出发光物体的速度大小；
物体受到的摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得出摩擦力的大小。
【解答】解：根据线速度的计算公式可得发光物体的速度大小为：
物体受到的摩擦力提供做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得：
答：发光物体的速度大小为
，受到的静摩擦力大小为
。
3．（2021•山东）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为
的轻
质细杆，一端可绕竖直光滑轴
转动，另一端与质量为
的小木块相连。木块
以水平初速度
出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块
所受摩擦力的大小为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】对小球完成一个完整的圆周运动过程，由动能定理列式可求解。
【解答】解：因为细杆为轻质细杆，又因为其一端绕竖直光滑轴
转动，所以
杆对球的力沿杆，即杆对球不做功，对小球完成一个完整的圆周运动过程，由
动能定理得
，解得摩擦力
，故
正确，
错误。
故选：
。
（多选）4．（2021•河北）如图，矩形金属框
竖直放置，其中
、
足够长，且
杆光滑。一根轻弹簧一端固定在
点，另一端连接一个质量为
的小球，小球穿过
杆。金属框绕
轴分别以角速度
和
匀速转动时，
小球均相对
杆静止。若
，则与以
匀速转动时相比，以
匀速转动时
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【答案】
【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，根据小球在
竖直方向受力平衡，分析小球的高度和弹簧的弹力如何变化，由向心力公式列
式分析杆对小球的作用力如何变化，即可由牛顿第三定律分析小球对杆的压力
变化情况。由向心力公式
分析小球所受合外力变化情况。
【解答】解：
、小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，如
图所示，小球在竖直方向受力平衡，则
若
，假设小球上移，
增大，
减小，弹簧伸长量减小，
减小，则
，小球在竖直方向不能平衡，不可能；
同理，假设小球下移，
减小，也不可能，所以
不变，小球的高度不变，弹
簧弹力的大小
一定不变，故
错误，
正确；
、规定杆对小球的弹力方向向右为正，由牛顿第二定律得：
，可得
，
因为
是定值，所以当
时，
，杆对小球弹力向右；
时，
，杆对小球弹力向左。因为随着
的增大，弹力有个反
向的过程，所以从
开始逐渐增大，弹力变化一定是先变小后变大。因为本
题
与
的关系未知，所以大小关系不确定，因此弹力可能变大、也可
能变小，故
错误；
、小球所受合外力的大小
，
变大，其它量不变，则
一定变
大，故
正确。
故选：
。
5．（2020•新课标Ⅰ）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为
，该同学和秋千踏板的总质量约为
。绳的质量忽略不计。当该同学荡
到秋千支架的正下方时，速度大小为
，此时每根绳子平均承受的拉力约为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】秋千荡到最低点时，需要竖直向上的向心力，分析秋千和同学整体的
受力，根据牛顿第二定律列式子求解每根绳子平均承受的拉力。
【解答】解：以同学和秋千整体作为研究对象，整体受到竖直向下的重力以及
竖直向上的绳子的拉力，令每根绳子的拉力为
，绳长为，
根据牛顿第二定律有：
，
代入数据解得每根绳子的拉力为
，
选项最为接近，故
错误，
正确。
故选：
。
1．火车车轮的结构特点
火车的车轮上有突出的轮缘，火车行驶时，有轮缘的一侧在轨道内．(如图所
示)
作用：有助于固定运动轨迹．
2．弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心
力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其
中R 为弯道半径，θ 为轨道平面与水平面间的夹角(θ 很小的情况下，tan θ≈sin
θ)．
3．速度与轨道压力的关系
(1)当火车在弯道行驶速度v＝v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提
供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用．
(2)当火车在弯道行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
(3)当火车在弯道行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力．
例题精讲：
考点1：火车转弯
【例1】（2025 春•河西区期中）为了解决高速列车在弯路上运行时轮轨间的磨
损问题，保证列车能安全地通过轨道，常用的方法是把弯道曲线外轨垫高，如
图所示。当列车以特定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤
压，为了提高安全转弯的速度，下列措施可行的是
A．增大火车质量
B．减小火车质量
C．减小转弯半径
D．增大轨道倾斜角
【答案】
【分析】当火车转弯与铁轨间无侧向挤压时，其重力与支持力的合力提供向心
力，根据圆周运动向心力公式分析。
【解答】解：设内、外轨间距与水平面之间的夹角为
，当火车转弯与铁轨间
无侧向挤压时，其重力与支持力的合力提供向心力，如图所示，
根据牛顿第二定律，有
，可得规定速度
，可知火车过弯
时其规定速度的平方与该路段的曲线半径及
成正比，故
错误，
正
确。
故选：
。
【例2】（2025 春•邗江区期中）如图所示，几位自行车运动员正在倾斜的弯道
上骑车做匀速圆周运动，若圆周运动的轨道在同一水平面内，运动员连同各自
的自行车均可视为质点，倾斜弯道可视为斜面，下面说法正确的是
A．质点所受支持力竖直向上
B．质点处于平衡状态
C．质点的向心加速度方向沿斜面向下
D．设计成内低外高的赛道可防止运动员因速度过快而发生侧滑
【答案】
【分析】运动员和自行车做匀速圆周运动，据题意由重力和支持力的合力提供
向心力，根据滑道的特点对其分析受力，根据其做匀速圆周运动分析其合力。
【解答】解：
、支持力的方向与垂直斜面向上，不可能竖直方向上，故
错
误；
、质点做匀速圆周运动，其合力指向圆心，具有大小一定、方向指向圆心的
向心加速度，不可能处于平衡状态，故
错误；
、向心加速度指向圆心，不可能沿斜面向下，故
错误；
、将车道设计成内低外高，主要是为了防止侧滑，故
正确。
故选：
。
【例3】（2025 春•香坊区校级期中）如图，一辆摩托车正在水平路面上转弯，
在转弯过程中，摩托车与水平路面成一定夹角
，下列说法正确的是
A．水平路面对摩托车的弹力的方向斜向上
B．摩托车受向心力、重力、支持力和牵引力
C．摩托车所受的合力可能为零
D．摩托车与驾驶员系统转弯需要的向心力来源于地面给摩托车的摩擦力
【答案】
【分析】摩托车拐弯时做圆周运动，在竖直方向上摩托车受重力和支持力，两
者平衡，靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力。
【解答】解：
、水平路面对摩托车的弹力方向垂直于路面竖直向上，故
错
误；
、摩托车做圆周运动，靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力，合力不
为0，故
错误，
正确。
故选：
。
1．受力情况
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物
体间摩擦力恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力f m＝m v
2
r ，方向指向圆
心。
(2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体随水平转盘转动，其临界
情况要根据题设条件进行判断，判断某个力是否存在以及这个力存在时的方
向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
2．运动实例
考点2：水平面内圆周运动的临界问题
例题精讲：
【例4】（2025 春•广东期末）如图所示，水平旋转餐桌与桌面上的花瓶（可视
为质点）一起匀速转动，两者间没有相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，下列说法正确的是
A．花瓶受到重力、支持力、静摩擦力和向心力
B．花瓶所受静摩擦力方向与速度方向相反
C．花瓶受到了背向圆心的力
D．保持餐桌的角速度不变，将花瓶放在更靠近圆心的位置，两者仍可保持
相对静止
【答案】
【分析】向心力是效果力，实际由静摩擦力提供；静摩擦力方向始终指向圆心；
角速度不变时，半径变化影响向心力的需求。
【解答】解：
、花瓶受到重力、支持力、静摩擦力作用，静摩擦力提供做圆
周运动的向心力，静摩擦力方向与速度方向垂直，故
错误。
、花瓶做匀速圆周运动，则受到的合力指向圆心，故
错误。
、保持餐桌的角速度不变，将花瓶放在更靠近圆心的位置，根据
可
知，花瓶受的静摩擦力变小，则花瓶与桌面仍可保持相对静止，故
正确。
故选：
。
【例5】（2025 春•柳州期末）如图，一物块（看作质点）放置在水平圆盘上，
与圆盘间的动摩擦因数为0.3，细线两端分别系在物块、圆盘的中心竖直转轴上，
细线伸直且无拉力，与转轴的夹角为
。物块随圆盘一起绕转轴匀速转动，当
角速度为
时，细线开始出现拉力；当角速度为
时，物块对圆盘的压力恰好
为0。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
，则
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
【答案】
【分析】角速度为
时，刚好是最大静摩擦提供向心力，角速度为
时，拉力
和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解。
【解答】解：角速度为
时，刚好是最大静摩擦提供向心力，根据牛顿第二定
律有：
，
角速度为
时，拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
，
联立解得：
，故
正确，
错误。
故选：
。
【例6】（2025 春•延庆区期末）如图将红、绿两种颜色的石子放在水平圆盘上，
围绕圆盘中心摆成半径不同的两个同心圆圈
。圆盘在电机带动下由静止
开始转动，角速度缓慢增加。每个石子的质量都相同，石子与圆盘间的动摩擦
因数
均相同。则下列判断正确的是
A．绿石子先被甩出
B．红、绿两种石子同时被甩出
C．石子被甩出的轨迹一定是沿着切线的直线
D．在没有石子被甩出前，红石子与绿石子所受的摩擦力一样大
【答案】
【分析】对石子受力分析，找出石子随圆盘做圆周运动的向心力来源，根据牛
顿第二定律列式，即可进行讨论；石子被甩出时，合外力不等于零，根据石子
的受力判断石子的运动性质。
【解答】解：
、对石子受力分析，在没有被甩出之前，受重力、支持力、
圆盘的静摩擦力三个力的作用，静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律有
，当角速度增大时，两石子所受静摩擦力也在增大，当静摩擦力达到
最大静摩擦力时，石子将发生相对运动，即被甩出，由题意可知绿石子的半径
大于红石子的半径，所以绿石子所受摩擦力大于红石子所受摩擦力，而两石子
与圆盘的最大静摩擦力均为
，则可知绿石子先被甩出，故
正确，
错误；
、石子被甩出后，其所受合外力不等于零，而是等于圆盘对它的滑动摩擦力，
石子做离心运动，所以轨迹是曲线，故
错误。
故选：
。
考点3：竖直平面内圆周运动的临界值
一、轻“绳”模型
1．特点：球运动在最高点时无支撑。
2．实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等。
3．最高点规律
(1)若v≥❑√gR，F 弹＋mg＝mv
2
R ，绳、轨道对球产生弹力F 弹。
(2)若v<❑√gR，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
二、轻“杆”模型
1．特点：球运动在最高点时有支撑。
2．实例：如球与杆连接、在弯管内的运动等。
3．最高点规律
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN背离圆心。
(2)当0<v<❑√gR时，mg－FN＝mv
2
R ，FN背离圆心并随v 的增大而减小。
(3)当v＝❑√gR时，FN＝0。
(4)当v>❑√gR时，mg＋FN＝mv
2
R ，FN指向圆心并随v 的增大而增大。
例题精讲：
【例7】（2025•河南开学）如图所示，洗衣机脱水时，衣服贴在筒壁上随脱水
筒一起绕竖直转轴匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是
A．衣服受到筒壁的弹力与向心力是一对平衡力
B．衣服受到筒壁的摩擦力会随转速的增大而增大
C．衣服受到的合力沿水平方向
D．衣服受到的合力为0
【答案】
【分析】合力提供向心力，沿水平方向指向圆心，使物体做匀速圆周运动。
【解答】解：
、向心力是效果力，并非实际受力，衣服受到筒壁的弹力提供
向心力，弹力与“向心力”不是平衡力，平衡力需是实际受力且等大反向，故
错误。
、衣服竖直方向静止，摩擦力与重力平衡，重力不变，所以摩擦力不随转速
增大而增大，故
错误。
、衣服做匀速圆周运动，合力提供向心力，向心力沿水平方向指向圆心，因
此合力沿水平方，故
正确。
、匀速圆周运动是变速运动，速度方向变化，合力不为零，合力提供向心力，
故
错误。
故选：
。
【例8】（2025•重庆开学）如图，在竖直平面内，一半径为
的圆弧轨道
和水平轨道
在
点相切，
为圆弧轨道的直径，
为圆心，
和
之间
的夹角为
。一质量为
的小球沿水平轨道向右运动，经
点沿圆弧轨道
通过
点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球
还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在
点所受合力的方向指向圆心，且
此时小球对轨道的压力恰好为零。不计一切摩擦，重力加速度大小为
，求：
（1）小球受到的水平恒力；
（2）小球到达
点时速度的大小。
【答案】（1）小球受到的水平恒力大小为
，方向水平向右。
（2）小球到达
点时速度的大小为
。
【分析】（1）小球在
点时，对轨道压力为零，重力
与水平恒力
的合力
提供向心力。
（2）先确定小球在
点的合力大小，再根据向心力公式求出小球到达
点时速
度。
【解答】解：（1）小球在
点时，受到重力
、水平恒力
，因为小球在
点所受合力的方向指向圆心，所以水平恒力
与重力
的合力指向圆心，如图
所示。
由几何关系可知可知
，解得
，方向水平向右。
（2）小球在
点时，对轨道的压力恰好为零，此时小球所受的合力提供向心力。
在
点有
，解得
。
答：（1）小球受到的水平恒力大小为
，方向水平向右。
（2）小球到达
点时速度的大小为
。
【例9】（2025 春•崂山区校级期中）如图甲，在竖直平面内固定一光滑的四分
之三圆形轨道
，轨道半径
，质量为
的小球以一定的初速度从
点竖直向下进入轨道，经过最低点
，到达最高点
，图乙是小球在轨道上
从
点运动到
点的过程中，其速度的平方与竖直方向的位移的完整关系图像。
阻力不计，重力加速度取
，下列说法正确的是
A．小球运动到
点时对轨道的作用力方向竖直向上
B．小球在
点进入轨道的初速度大小为
C．图乙中的
点一定对应小球运动过程中的
点
D．小球运动到
点时对轨道的作用力大小为
【答案】
【分析】由图读出小球运动到
点时速度的平方，将求出小球运动到
点时向
心力与重力比较，判断轨道对小球的作用力方向，从而得到小球对轨道的作用
力方向；根据机械能守恒定律求小球在
点进入轨道的初速度大小；根据机械
能守恒定律列式，得到速度的平方与竖直方向的位移的关系式，再判断
项；
根据机械能守恒定律求出小球运动到
点时速度，再由牛顿第二定律、第三定
律求出小球运动到
点时对轨道的作用力大小。
【解答】解：
、由图可知在
点
，在
点小球所需要的向心力
，小球的重力
，因
，故轨道对
小球有向上的支持力，根据牛顿第三定律可知，小球运动到
点时对轨道的作
用力方向竖直向下，故
错误；
、从
到
，根据机械能守恒定律得
，解得
，故
正确；
、从
到
，根据机械能守恒定律得
可得
，
图像为倾斜直线，当
时，有两个位置：
点与
点
关于圆心对称的点，可知图乙中的
点不一定对应小球运动过程中的
点，故
错误；
、从
到
，根据机械能守恒定律得
在
点，对小球，由牛顿第二定律得
解得
根据牛顿第三定律，小球运动到
点时对轨道的作用力大小为
，故
错误。
故选：
。
课后提优练习
一．选择题（共15 小题）
1．（2025 秋•如皋市校级月考）如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度
不同的轻绳悬于O 点，均在水平面内做匀速圆周运动。已知甲、乙在同一水
平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（ ）
A．甲、乙的向心力大小相等
B．甲、乙的向心加速度大小相等
C．乙、丙的角速度大小相等
D．乙、丙的线速度大小相等
【解答】解：A、对其中一个小球受力分析，设绳子与竖直方向之间的夹角
为θ，如图所示：
将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得向心力为：F＝mgtanθ，
故乙的向心力大于甲的向心力，故A 错误；
B、由牛顿第二定律得到：mgtanθ＝ma，解得：a＝gtanθ，乙的向心加速度
大于甲的向心加速度，故B 错误；
C、设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ
由向心力公式得到：mgtanθ＝mω2r，解得：ω= ❑√
g
h，所以丙的角速度大于乙，
故C 错误；
D、设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ
根据向心力公式得到：mgtanθ＝mv
2
r ，解得：v2＝ghtan2θ
设平抛运动的初速度为v0，在抛物线上某点竖直方向的速度为vy，速度方向
偏向角为α，则有：tanα=
2
tanθ = v y
v0
=
❑√2gh
v0
联立解得线速度大小为：v＝v0，故乙、丙的线速度大小相等，故D 正确。
故选：D。
2．（2025 春•扬州期末）如图所示为游乐项目“飞椅”的简化图，座椅A、B
通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆
盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．绳子对座椅的拉力提供向心力
B．A 的向心加速度大于B 的向心加速度
C．悬挂A、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．游客体重越重，缆绳与竖直方向的夹角越大
【解答】解：A．对椅子进行受力分析，绳子对座椅的拉力以及重力的合力
提供向心力，故A 错误；
B．两座椅转动的角速度相同，根据a＝ω2r，因A 的转动半径较大，可知A
的向心加速度大于B 的向心加速度，故B 正确；
C．拉力与重力的合力提供向心力，根据mgtanθ＝mω2r
因A 转动半径较大，可知悬挂A 的缆绳与竖直方向的夹角较大，故C 错误；
D．根据mgtanθ＝mω2r，两边消掉m，则缆绳与竖直方向的夹角与游客体重
无关，故D 错误。
故选：B。
3．（2025•如皋市开学）如图所示，小球甲、乙通过轻绳悬挂在O 点，两球在
同一水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．两球的向心加速度相等
B．甲的向心加速度比乙的大
C．两球的角速度相等
D．甲的角速度比乙的大
【解答】解：对其中一个小球乙受力分析，设绳子与竖直方向之间的夹角为
θ，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向
心力；
将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得合力：F＝mgtanθ…①
由向心力公式得到：F＝mω2r…②
设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ…③；
由①②③三式得：ω= ❑√
g
h，与绳子的长度和转动半径无关；小球的向心加
速度a＝ω2r，乙的半径大，则乙球的向心加速度大于甲球的向心加速度，故
ABD 错误，C 正确。
故选：C。
4．（2024 秋•常州期末）修筑弯道处铁路时，要适当选择内外轨的高度差，以
减轻车轮与铁轨间的挤压。选择内外轨高度差时需要考虑的因素不包含（
）
A．火车的质量
B．弯道的半径
C．规定的行驶速度
D．内外轨之间的距离
【解答】解：对火车在车轨上进行受力分析
结合牛顿第二定律可得mgtanθ = mv
2
R
解得tanθ= v
2
gR
轨道平面与水平面的夹角一般很小，则tanθ≈sinθ = h
L
解得h= v
2 L
gR
因此内外的高度差与火车的质量无关。
故A 正确，BCD 错误；
故选：A。
5．（2025 春•广陵区校级期末）如图所示，竖直平面内有一L 型光滑细杆，杆
上套有小球A、B。细杆可以绕过底部O 点所在的竖直轴转动，若转速缓慢
增加，下列说法正确的是（ ）
A．A 球先从细杆滑出
B．B 球先从细杆滑出
C．两个球同时从细杆滑出
D．质量小的球先从细杆滑出
【解答】解：设杆与竖直方向的夹角为θ，小球距离O 点的高度为h，合力
提供向心力可得mg
tanθ =mω
2htanθ，解得h=
g
ω
2tan
2θ，两个小球的角速度ω 相
同，A 球所在杆与竖直方向的夹角较小，则A 球距离O 点的高度大于B 球距
离O 点的高度，所以随着角速度的逐渐增大，A 球先从细杆滑出。故A 正确，
BCD 错误；
故选：A。
6．（2025 春•邗江区期末）一长为L 的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固
定一质量为m 的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到
最高点A 时，下列说法正确的是（ ）
A．小球的速度大小可能为0
B．杆对小球的作用力方向一定向上
C．小球速度方向可能不沿切线方向
D．小球通过A 点的速度至少为❑√gR
【解答】解：AD．小球到达最高点A 时，杆对球有支撑力，可知球的速度
大小可能为0，故A 正确，D 错误；
B．当刚好杆对球作用力为零时，根据牛顿第二定律可得mg=m v
2
L
解得v = ❑√gL
可知若球的速度0≤v ≤❑√gL，则杆对小球的作用力方向向上；若球的速度
v ＞❑√gL，则杆对小球的作用力方向向下，故B 错误；
C．小球速度方向一定沿切线方向，故C 错误；
故选：A。
7．（2025•如皋市开学）如图所示，一小球在最低点获得一初速度，沿着竖直
平面内的光滑圆轨道做完整的圆周运动，则小球（ ）
A．做匀速圆周运动
B．在最高点可能不受轨道弹力
C．在圆心等高点时的向心力由所受的合力提供
D．在A 点时的向心力由所受的合力提供
【解答】解：A、小球沿着竖直平面内的光滑圆轨道做完整的圆周运动，易
知小球做变速圆周运动，故A 错误；
B、若小球到达最高点时所需向心力恰好等于其重力，则小球不受轨道的弹
力，若小球到达最高点时所需向心力恰好大于其重力，则小球会受到轨道的
弹力，故B 正确；
C、因在圆心等高点时轨道对小球的弹力方向为沿水平方向指向圆心，而重
力竖直向下，故小球所受合力方向不指向圆心，则所需的向心力不是由所受
的合力提供，故C 错误；
D、在A 点时轨道对小球的弹力方向指向圆心，而重力有沿轨道切向方向指
向左下方的分量，故小球所受合力方向不指向圆心，则所需的向心力不是由
所受的合力提供，故D 错误。
故选：B。
8．（2025•江苏学业考试）如图所示，长为L 的细线一端固定，另一端系一质
量为m 的小球。小球在竖直平面内摆动，通过最低点时的速度为v，则此时
细线对小球拉力的大小为（ ）
A．mg
B．mg+m v
2
L
C．m v
2
L
D．mg-m v
2
L
【解答】解：对小球在最低点进行受力分析，根据牛顿第二定律得：
F
mg
﹣
=m v
2
L
解得细线对小球的拉力为：F＝mg+m v
2
L ，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
9．（2025•沛县学业考试）城市公路在通过小型水库泄洪闸的下游时，常常要
修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时（
）
A．汽车所需向心力由车受到的支持力和重力的合力提供
B．车内乘员对座位向下的压力小于自身的重力
C．桥对车的支持力小于汽车的重力
D．为了防止爆胎，车应高速驶过
【解答】解：AC、汽车通过凹形桥最低点时，靠重力和支持力的合力提供向
心力，根据牛顿第二定律可得：FN
Mg
﹣
＝Mv
2
R ，解得：FN＝Mg+Mv
2
R ，则桥
对车的支持力大于汽车的重力，故A 正确、C 错误；
B、对车内乘员分析，根据牛顿第二定律可得：FN
mg
﹣
＝mv
2
R ，解得：FN＝
mg+mv
2
R ，根据牛顿第三定律可知，车内乘员对座位向下的压力大于自身的
重力，故B 错误；
D、根据FN＝Mg+Mv
2
R 可知，速度越大，支持力越大，轮胎承受的压力越大，
越容易爆胎，所以为了防止爆胎，车应低速驶过，故D 错误。
故选：A。
10．（2018 秋•泗阳县月考）如图所示，ABC 为一光滑细圆管构成的3
4圆轨道，
固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA 水平，
OC 竖直，最低点为B，最高点为C．在A 点正上方某位置有一质量为m 的
小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动。已知细圆管
的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若小球刚好能达到轨道的最高点C，则释放点距A 点的高度为1.5R
B．若释放点距A 点竖直高度为2R，则小球经过最低点B 时轨道对小球的支
持力为7mg
C．若小球从C 点水平飞出恰好能落到A 点，则释放点距A 点的高度为2R
D．若小球从C 点水平飞出后恰好能落到A 点，则小球在C 点圆管的作用力
为1.5mg
【解答】解：A、小球刚好能到达轨道的最高点C，即小球到达C 点的速度
为0，以A 点所在水平面为零势能面，
根据机械能守恒可得：mgh＝mgR
解得：h＝R．故A 错误；
B、在B 点对小球由牛顿第二定律可得：F N -mg=m v
2
R
根据动能定理有：3mgR = 1
2 mvB
2
代入数据联立解得：FN＝7mg。故B 正确；
C、小球从C 点飞出做平抛运动。
水平方向上有：R＝vCt
竖直方向上有：R = 1
2 gt
2
可得：vc = ❑√
gR
2
根据机械能守恒可得：mgh′＝mgR+ 1
2 m vc
2
所以：h′＝1.5R
释放点距A 点的高度为1.5R．故C 错误；
D、在C 点由牛顿第二定律可得：mg- F NC =m vC
2
R
代入数据联立解得：F NC = 1
2 mg
根据牛顿第三定律，小球对圆管的作用力大小为1
2 mg，方向竖直向下。故D
错误
故选：B。
11．（2025 春•苏州校级月考）如图，在一半径为R 的球面顶端放一质量为m
的物块，现给物块一初速度v0，则下列正确的是（ ）
A．若v0= ❑√gR，则物块落地点离A 点❑√2 R
B．若v0＜❑√gR，则物块不会落地
C．若v0＜❑√gR，则物块落地点离A 点为R
D．若v0≥❑√gR，则物块落地点离A 点至少为2R
【解答】解：AD、若v0= ❑√gR，在最高点，根据牛顿第二定律得mg- N =m v0
2
R
解得支持力
N＝0
知物体在顶部仅受重力，有水平初速度，做平抛运动，则有
2 R = 1
2 gt
2
x＝v0t
联立解得物块落地点离A 点距离
x＝2R
平抛初速度越大，水平位移越大，综上分析可知，故A 错误，D 正确；
BC、若v0＜❑√gR，结合以上分析可知，在最高点，物块对最高点压力不为
0，物块将沿球面下滑，若摩擦力足够大，则物块可能下滑一段后停在球面
上，若摩擦力较小，物块在圆心上方球面上某处离开，斜向下抛落地，落地
点离A 点距离大于R，故BC 错误。
故选：D。
12．（2024 春•鼓楼区校级期中）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的
是（ ）
A．如图甲，汽车在外侧高内侧低的弯道转弯时最佳速度（无侧向静摩擦时
的速度）会因为雨天路滑而减小
B．如图乙，“水流星”表演中，过最高点时水没有从杯中流出，水对杯底
压力可以为零
C．如图丙，小球竖直面内做圆周运动，过最高点的速度至少等于❑√gR
D．如图丁，A、B 两小球在同一水平面做圆锥摆运动，则A 比B 的角速度
大
【解答】解：A、如图甲，汽车在外侧高内侧低的弯道转弯时最佳速度（无
侧向静摩擦时的速度）时满足
mgtanθ =m v
2
r
即
v = ❑√grtanθ
该速度不会因为雨天路滑而减小，故A 错误；
B、如图乙，“水流星”表演中，过最高点时水没有从杯中流出，此时速度
满足
v ≥❑√gl
其中当v = ❑√gl时水对杯底压力为零，故B 正确；
C、如图丙，杆连小球竖直面内做圆周运动，过最高点的最小速度为零，故
C 错误；
D、如图丁，A、B 两小球在同一水平面做圆锥摆运动，根据
mgtanθ＝mω2lsinθ
可得
ω= ❑√
g
lcosθ
则A、B 的角速度相等，故D 错误。
故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
13．（2025 春•建邺区校级期中）如图所示，一物体从光滑斜面AB 底端A 点以
初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h。甲、乙、丙、丁的四位同学对
斜面做不同的改造：
（甲）把斜面CB 部分截去
（乙）把斜面弯成圆弧D
（丙）把斜面AB 变成曲面AEB
（丁）把斜面AB 与水平面的夹角稍变大
假设物体从A 点上滑的初速度仍为v0，判断在甲、乙、丙、丁四种改造条件
中，有几个能使得物体冲过C 点后上升的最大高度仍有可能为h？（ ）
A．仅有一个做法可能
B．仅有两个做法可能
C．仅有一个做法不可能
D．都可能
【解答】解：（甲）若把斜面CB 部分截去，物体冲过C 点后做斜抛运动，
斜抛运动的最高点有水平分速度，速度不为零，由于物体机械能守恒可知，
故不能到达h 高处；
（乙）若把斜面弯成圆弧形D，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律
得知：到达h 处的速度应为零，而物体要到达最高点，必须由合力充当向心
力，速度不为零，故知物体不能到h 高处；
（丙）若把斜面AB 变成曲面AEB，物体在最高点速度为零，根据机械能守
恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达B 点，故能到达h 高处；
（丁）若把斜面AB 与水平面的夹角稍变大，物体在最高点速度为零，根据
机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大高度仍然为h，故能到达h 高处；
故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
14．（2025 春•盐城期中）如图所示，汽车以恒定速率先后经过某凹形桥面和
拱形桥面，凹形桥面最低点为A 点，拱形桥面最高点为B 点。下列说法正确
的是（ ）
A．过B 点时，汽车对桥面压力小于自身重力
B．过A 点时，汽车对桥面压力小于自身重力
C．拱形桥的B 点汽车容易爆胎
D．凹形桥的A 点容易脱轨
【解答】解：A、汽车经过拱形桥面最高点B 时，汽车做圆周运动，合力向
下，即重力大于桥面的支持力。根据牛顿第三定律，汽车对桥面的压力等于
桥面给汽车的支持力，所以汽车对桥面压力小于自身重力，故A 正确；
B、汽车经过凹形桥面最低点 A 时，汽车做圆周运动，合力向上，即桥面的
支持力大于重力，所以汽车对桥面压力大于自身重力，故B 错误；
C、在拱形桥的 B 点，汽车对桥面的压力小于重力，轮胎受到的压力较小，
不容易爆胎，故C 错误；
D、在凹形桥的 A 点，汽车对桥面的压力大于重力，汽车有紧贴桥面的趋势，
不容易脱轨，故D 错误。
故选：A。
15．（2025•连云港一模）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆
周运动。已知座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速
度为g，则座舱（ ）
A．运动的周期为2πR
ω
B．线速度大小为ω2R
C．运动至圆心等高处时，所受摩天轮的作用力大于mg
D．运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与最高点的相等
【解答】解：A．运动的周期为T = 2π
ω ，故A 错误；
B．线速度大小为v＝ωR，故B 错误；
C ．运动至圆心等高处时，座舱所受摩天轮的作用力
F =
❑√(mg)
2+(ma)
2=
❑√(mg)
2+(mω
2 R)
2
大于mg，故C 正确；
D．在最低点N
mg
﹣
＝mω2R
在最高点mg
N′
﹣
＝mω2R
运动至最低点时，显然N≠N，所受摩天轮的作用力大小与最高点的不相等，
故D 错误。
故选：C。
