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专题强化七 圆周运动的临界问题
【复习目标】
会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及临界问题。
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
【知识梳理】
1.运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运
动。
2.常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹
力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例剖析】
例1 (多选)如图所示 ，两个质量均为m 的小物块A 和B(可视为质点)放在水平圆盘上，A 与转轴
OO'的距离为L，B 与转轴的距离为2L。物块与圆盘间的最大静摩擦力为物块所受重力的k 倍，重
力加速度大小为g。整个装置能绕过圆盘中心的竖直转轴转动，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地
加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(
)
A.B 一定比A 先开始滑动
B.A、B 所受的摩擦力始终相等
C.ω＝√
kg
2 L是B 开始滑动的临界角速度
1
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D.当ω＝√
2kg
3 L 时，A 所受摩擦力的大小为kmg
拓展 (多选)例1 中，若在A、B 之间拴一根长为L、不可拉伸的轻绳，如图所示，开始时，轻绳
恰好伸直但无拉力，现让该转盘从静止开始转动，使角速度ω 缓慢增大，直到物块A 恰要在转盘
上滑动。在此过程中，下列说法正确的是(重力加速度为g，物块A、B 均可视为质点)( )
A.当角速度增大到ω＝√
kg
L 时，绳开始出现拉力
B.当角速度增大到ω＝√
kg
L 时，物块A 恰要在转盘上滑动
C.物块A 恰要在转盘上滑动时，绳的拉力大小为1
3kmg
D.若物块A 即将在转盘上滑动时剪断轻绳，则此时物块A 所受摩擦力大小为2
3kmg
【解题妙招】
物块随圆盘转动的几种临界问题分析(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
一物块随圆盘
一起运动
两物块用轻绳连接，
其中一个位于圆盘中
心(μ 相同)
两物块用轻绳连接，
位于圆盘中心同侧(μ
相同)
两物块用轻绳连接，
分别位于圆盘中心两
侧(rA>rB，mA＝mB，
μ 相同)
情境图
出现临
界状态
之前
静摩擦力提供向
心力，即F 静＝
mω2r。
对物块B:静摩擦力提
供向心力，即F 静＝
mBω2rB。
对物块A:FA 静＝
mAω2rA，对物块B:FB
静＝mBω2rB。
对物块A:FA 静＝
mAω2rA，对物块B:FB
静＝mBω2rB。
临界状
态1
物块刚好相对圆
盘滑动:静摩擦力
达到最大静摩擦
力，由μmg＝
轻绳恰好绷直时，对
物块B 有:静摩擦力
达到最大静摩擦力，
由μmBg＝mBω2rB得
轻绳恰好无拉力时，
物块B 的静摩擦力达
到最大静摩擦力，由
μmBg＝mBω2rB得ω＝
轻绳恰好无拉力时，
物块A 的静摩擦力达
到最大静摩擦力，由
μmAg＝mAω2rA得ω＝
2
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mω2r 得ω＝√
μg
r
(临界角速度)。
ω＝√
μg
rB
。
√
μg
rB
。
√
μg
r A
。
临界状
态2
——
物块A 刚好相对圆盘
滑动时，对A 有FT＝
μmAg，对B 有μmBg
＋FT＝mBω2rB。
物块A 刚好要相对圆
盘滑动时，对A 有
μmAg－FT＝mAω2rA，
对B 有μmBg＋FT＝
mBω2rB。
物块B 刚好要相对圆
盘滑动时，对B 有FT
－μmBg＝mBω2rB，对
A 有μmAg＋FT＝
mAω2rA。
【即时训练】
1.(多选)(2025·四川南充模拟)如图，足够大水平圆盘中央固定一光滑竖直细杆，质量分别为2m 和
m 的小球A、B 用轻绳相连，小球A 穿过竖直杆置于原长为l 的轻质弹簧上，弹簧劲度系数为k＝
6mg
l
，B 紧靠一个固定在圆盘上且与OAB 共面的挡板上，在缓慢增加圆盘转速过程中，弹簧始终
在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，则( )
A.小球B 离开圆盘后，弹簧弹力不变
B.绳子越长小球B 飞离圆盘时的角速度就越大
C.当角速度为√
g
l 时，弹簧长度等于l
2
D.当角速度为√
4 g
l 时，弹簧弹力等于3mg
考点二 竖直面内圆周运动的临界问题
【知识梳理】
竖直面内圆周运动的两种模型对比
物理情景
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内
轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中
运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
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受力
特征
在最高点除重力外，物体受
到的弹力方向向下或等于零
在最高点除重力外，物体受到
的弹力方向向下、等于零或向
上
受力
示意图
力学
方程
mg＋FT＝mv
2
r
mg±FN＝mv
2
r
临界
特征
FT＝0
mg＝mvmin
2
r
即vmin＝√gr
v＝0
即F 向＝0
FN＝mg
过最高点
的条件
在最高点的速度
v≥√gr
v≥0
模型1 轻绳模型
【典例剖析】
例2 (2025·北京西城一模)如图甲所示，长为R 且不可伸长的轻绳一端固定在O 点，另一端系一小
球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测
量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F 与v2的关系图线如图乙所示。下列
说法中正确的是( )
A.根据图线可以得出小球的质量m＝aR
b
B.根据图线可以得出重力加速度g＝a
R
C.绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
D.用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
4
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【即时训练】
2.(2024·江西模拟)如图，玩具小车在轨道上做匀速圆周运动，测得小车1 s 绕轨道运动一周，圆轨
道半径为0.3 m，玩具小车的质量为0.5 kg，AC 为过圆心的竖直线，BD 为过圆心的水平线，重力
加速度g 取10 m/s2，小车看作质点，下列说法正确的是( )
A.小车在BD 下方运动时处于失重状态
B.小车在B 点不受摩擦力作用
C.小车在C 点时对轨道的压力恰好为零
D.小车在A 点时对轨道的压力比在C 点时大10 N
【解题妙招】
(1)最高点，若v≥√gR，F 弹＋mg＝mv
2
R ，绳或轨道对球产生弹力F 弹。
(2)若v<√gR，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
模型2 轻杆模型
【典例剖析】
例3 (多选)(2024·陕西咸阳模拟)如图所示，长为0.1 m 的轻杆一端固定一质量为0.1 kg 的小球，小
球绕圆心O 在竖直面内做圆周运动。P 是圆周上的最高点，重力加速度g＝10 m/s2，下面说法正
确的是( )
A.当小球运动到与O 相平的水平位置时，杆对小球作用力为零
B.若小球经过P 点时速度为1 m/s，杆对小球作用力为零
C.若小球经过P 点时杆对小球作用力等于0.36 N，小球的速度一定等于0.8 m/s
D.若小球经过Q 点时杆对小球作用力等于5 N，小球速度一定等于2 m/s
【解题妙招】
1.在最高点，杆(或管道)的弹力与速度的关系
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(1)当v＝0 时，F 弹＝mg，F 弹背离圆心。
(2)当0<v<√gR时，mg－F 弹＝mv
2
R ，F 弹背离圆心并随v 的增大而减小。
(3)当v＝√gR时，F 弹＝0。
(4)当v>√gR时，mg＋F 弹＝mv
2
R ，F 弹指向圆心并随v 的增大而增大。
2.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。
(3)注意:求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
【即时训练】
3.如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m 的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A 和B(均
可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。小球A、B 的质量分别为mA＝
1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B 分别位于圆管最低点和最高点，且A 的速度大小为vA＝3
m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B 球的速度大小vB为(g＝10 m/s2)( )
A.2 m/s
B.4 m/s
C.6 m/s
D.8 m/s
考点三 倾斜面上圆周运动的临界问题
【典例剖析】
例4 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω 转动，盘面与水平
面的夹角为15°，盘面上离转轴距离为r＝1 m 处有一质量m＝1 kg 的小物体，小物体与圆盘始终
保持相对静止，且小物体在最低点时受到的摩擦力大小为6.6 N。若重力加速度g 取10 m/s2，sin
15°＝0.26，则下列说法正确的是( )
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A.小物体做匀速圆周运动线速度的大小为√2 m/s
B.小物体受到合力的大小始终为4 N
C.小物体在最高点受到的摩擦力大小为0.4 N，方向沿盘面指向转轴
D.小物体在最高点受到的摩擦力大小为1.4 N，方向沿盘面背离转轴
【解题妙招】
物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大
小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。
在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcos θ－mgsin θ
＝mω2R。
【即时训练】
4.如图所示，在与水平地面夹角为θ＝30°的光滑斜面上，有一半径为R＝0.1 m 的光滑圆轨道，一
质量为m＝0.2 kg 的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法中正确的是( )
A.小球能通过圆轨道最高点的最小速度为0
B.小球能通过圆轨道最高点的最小速度为1 m/s
C.小球以2 m/s 的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为8 N
D.小球通过圆轨道最低点和最高点时对圆轨道的压力之差为6 N
【限时训练】（40min）
1.(2025·福建三明市模拟)如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s 时，汽车对桥顶的压力
为车重力的3
4 ，如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，恰好不受摩擦力作用，则汽车通过轿顶
的速度应为( )
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A.15 m/s
B.20 m/s
C.25 m/s
D.30 m/s
2.(2025·四川成都模拟)如图，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω 做匀速圆周运动，紧贴在一起
的A、B 两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动，B 恰好不下滑，A 恰好不滑动，两物体与转轴距
离为r，已知A 与B 间的动摩擦因数为μ1，A 与圆盘面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于
滑动摩擦力。μ1与μ2应满足的关系式为( )
A.μ1＋μ2＝1
B.
μ1
μ2
＝1
C.μ1μ2＝1
D.
μ1＋μ2
μ1 μ2
＝1
3.(2025·湖南邵阳模拟)如图所示，竖直杆AB 在A、B 两点通过铰链连接两等长轻杆AC 和BC，AC
和BC 与竖直方向的夹角为θ，轻杆长为L，在C 处固定一质量为m 的小球，重力加速度为g，当
装置绕竖直轴AB 转动的角速度ω 从0 开始逐渐增大时，下列说法正确的是( )
A.当ω＝0 时，AC 杆和BC 杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC 杆对球的作用力先增大后减小
C.一定时间后，AC 杆与BC 杆上的力大小之差恒定
D.当ω＝√
Lcosθ
g
时，BC 杆的作用力为0
4.如图所示，竖直固定的光滑圆轨道内有一质量为m 的小球在做完整的圆周运动。已知轨道半径
为R，a 为最高点，b 为最低点，c 和d 为与圆心O 等高的点，e 和f 为关于圆心O 的对称点，重力
加速度大小为g。下列说法正确的是( )
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A.小球在a 点的速度必须大于√gR
B.小球在c 点和d 点时与轨道之间没有弹力
C.小球在e 点所受合力和在f 点所受合力等大反向
D.若小球运动到a 点时，速度为√3 gR，则小球对轨道的压力大小为2mg
5.用生活中常见的细绳和塑料容器制作“水流星”模型，如图所示，容器中盛有质量为m 的清水，
然后使其在竖直平面内做半径为L 的圆周运动(不考虑细绳和容器质量，重力加速度为g)。则下列
说法正确的是( )
A.“水流星”通过最高点时，绳子张力不可以为零
B.“水流星”通过最高点时，清水恰好不流出来的速度是0
C.假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张
力差为4mg
D.假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张
力差为2mg
6.如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和球B(均可视为质点)，光滑水平
转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运
动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B 在最高点时(
)
A.球B 的速度为零
B.球A 的速度大小为√2 gL
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
7.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω 转动，盘面与水平
面的夹角为37°，盘面上离转轴距离1.0 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，小物体的质量
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为1.0 kg，小物体与盘面间的动摩擦因数为0.8(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。则当ω 达到最
大值时，小物体运动到最高点时所受摩擦力的大小为(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(
)
A.5.6 N
B.6.0 N
C.6.4 N
D.8.0 N
8.如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω 转动，圆筒的半径r＝1.5 m。筒壁内
有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为√3
2 (设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g 取10 m/s2，则ω 的最小值是( )
A.1 rad/s
B.√30
3 rad/s
C.√10 rad/s
D.5 rad/s
9.如图所示，相同的物块a、b 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时，
物块a、b 始终相对圆盘静止。下列关于物块a 所受的摩擦力Ffa随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关
系图像正确的是( )
10.(多选)如图甲、乙所示，分别用长度均为1 m 的轻质细绳和轻质细杆的一端拴质量均为1 kg 的
小球A、B，另一端分别固定在O、O'点，现让A、B 两小球分别绕O、O'点在竖直平面内做圆周
运动，小球均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
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A.A 球做圆周运动到最高点的最小速度为0
B.B 球做圆周运动到最高点的最小速度为0
C.某次A、B 两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B 两球的速
度大小之比可能为2√15∶5
D.某次A、B 两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B 两球的速
度大小之比可能为2∶√5
11.(多选)如图所示，质量均为m 的物块A、B 放在水平转盘上，两物块到转轴的距离均为r，与转
盘之间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A、B 分别用细绳系于转盘转轴上
的O1、O2点，细绳都刚好拉直。现缓慢增大转盘的转速，重力加速度为g。已知O1A、O2B 与竖
直方向的夹角分别为θ1、θ2，且μ<tan θ1<tan θ2，则( )
A.物块B 比物块A 先脱离转盘
B.细绳即将出现张力时转盘的角速度为√
μg
r
C.物块A 脱离转盘时角速度为√
g tan θ1
r
D.物块B 脱离转盘时角速度为√
gsin θ2
r
12.(2025·福建泉州高三期中)如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，原长为L、劲度系
数为k 的轻弹簧一端固定于轴O 上，另一端连接质量为m 的小物块A。当圆盘静止时，把弹簧拉
长后将物块放在圆盘上，使物块能保持静止的弹簧的最大长度为5 L
4 ，已知最大静摩擦力与滑动摩
擦力大小相等，转动过程中弹簧伸长始终在弹性限度内，则:
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(1)若开始时弹簧处于原长L，当圆盘的角速度为多大时，物块A 将开始滑动?
(2)若物块与圆盘一起匀速转动的周期T＝2π√
3m
k ，物块恰好不受摩擦力作用，此时弹簧的伸长量
x2为多大?
(3)若弹簧的长度L'＝3 L
2 时，物块与圆盘能一起匀速转动，试求转动角速度的可能值。
12
