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第 5 课时 专题强化：圆周运动的临界问题
目标要求 会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题。
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F ＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
fm
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一
个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静
摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
例1 (2024·安徽省合肥一中模拟)港珠澳大桥总长约55 km，是世界上总体跨度最长、钢结
构桥体最长、海底沉管隧道最长的路海大桥，设计时速 100 km/h。如图所示，该路段是港
珠澳大桥的一段半径r＝150 m的圆弧形弯道，总质量m＝1 800 kg的汽车通过该圆弧形弯道
时以速度v＝90 km/h做匀速圆周运动(汽车可视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度)。
已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的，重力加速度g取10 m/s2，
则( )
A．汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、牵引力和向心力
B．汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4 000 N
C．汽车过该弯道时的向心加速度大小为4 m/s2
D．汽车能安全通过该弯道的最大速度为15 m/s
例2 (多选)(2023·陕西西安市庆安中学期中)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可
视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间
的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓
慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法
正确的是( )A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
拓展 如图所示，若在a、b之间拴一根轻绳，当轻绳恰好出现弹力时，角速度多大？当a、
b开始滑动时，角速度多大，此时剪断轻绳，分析a、b各做什么运动？
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例3 (多选)(2024·黑龙江哈尔滨市第二中学期中)质量为m的小球(视为质点)由轻绳a和b
分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴以角速度ω匀速转动时，a绳与
水平方向成θ角，b绳在水平方向上且长为l。重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．a绳的弹力随角速度的增大而增大
B．当角速度ω>时，b绳中产生弹力
C．当b绳中产生弹力后，角速度再增大时a绳的弹力不变
D．当b绳突然被剪断时，a绳的弹力一定发生变化
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩
擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动
临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。考点二 竖直面内圆周运动的临界问题
1．竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型 轻杆模型
常见类型
小球最高点没有支撑
小球最高点有支撑
最高点受 除重力外，物体受到的弹 除重力外，物体受到的弹力方向：向
力特征 力方向：向下或等于零 下、等于零或向上
最高点受
力示意图
动力学方程 mg＋F ＝m mg±F ＝m
弹 弹
F
弹
＝0 ①恰好过最高点，v＝0，F
弹
＝mg
临界特征 mg＝m ②恰好无弹力，
即v
min
＝ F
弹
＝0，v＝
过最高点
在最高点的速度v≥ v≥0
的条件
2.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律
求出压力。
例4 (多选)(2023·陕西延安市黄陵中学模拟)如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为
质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法正确的是(
)A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力大小为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
例5 如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小
球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。小球A、B
的质量分别为m ＝1 kg、m ＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且
A B
A的速度大小为v ＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小v 为(取g＝10
A B
m/s2)
( )
A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
考点三 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力
大小相等。
物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝
mω2R。
例6 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，
盘面与水平面的夹角为37°，盘面上离转轴距离1.0 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静
止，小物体的质量为1.0 kg，小物体与盘面间的动摩擦因数为0.8(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。则当ω达到最大值时，小物体运动到最高点时所受摩擦力的大小为(g取10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．5.6 N B．6.0 N C．6.4 N D．8.0 N
