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专题强化七 水平面、竖直面内的圆周运动
目标要求 1.掌握水平面内、竖直面内的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平
面内、竖直面内圆周运动的临界问题.
题型一 水平面内圆周运动的临界问题
1.运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆.
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速
圆周运动.
2.几种常见的临界条件
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力.
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大
承受力等.
例1 (多选)如图1所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a
与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力
的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动
的角速度，下列说法正确的是( )
图1
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC
解析 小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即F＝mω2R.当角速度增加时，
f
静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块 a：F ＝mω2l，当F ＝
fa a fa
kmg时，kmg＝mω2l，ω ＝；对木块b：F ＝mω2·2l，当F ＝kmg时，kmg＝mω2·2l，ω
a a fb b fb b b
＝，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则 F ＝
fa
mω2l，F ＝mω2·2l，F 时，A、B相对于转盘会滑动
B.当ω>，绳子一定有弹力
C.ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D.ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大答案 ABD
解析 当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝
mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，
即有：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达
到最大静摩擦力，则ω在 <ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<
范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由F－F ＝mLω2可知，当ω
f T
增大时，静摩擦力也增大，D项正确.
题型二 竖直面内圆周运动的临界问题
1.两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
球与绳连接、水流星、沿内轨
实例 球与杆连接、球在光滑管道中运动等
道运动的“过山车”等
图示
受力示意图
F 弹 向下或等于零 F 向下、等于零或向上
弹
力学方程 mg＋F ＝m mg±F ＝m
弹 弹
F
弹
＝0 v＝0
临界特征 mg＝m 即F ＝0
向
即v ＝ F ＝mg
min 弹
(1)当v＝0时，F
弹
＝mg，F
弹
背离圆心
(1)最高点，若v≥，F
弹
＋mg＝
(2)当0时，mg＋F
弹
＝m，F
弹
指向圆心
了圆轨道
并随v的增大而增大
2.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求轨道压力时，转换研究对象，先求支持力，再根据牛顿第三定律求出压力.
轻绳模型
例2 如图4所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨
道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质
量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道
的压力大小为(重力加速度为g)( )
图4
A.2mg B.3mg C.4mg D.5mg
答案 C
解析 小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过其最高点A时，
有F ＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mv 2－mv 2，解得F ＝4mg，结合牛顿第
N A B N
三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为4mg，C正确.
轻杆模型
例3 如图5所示，在伦敦奥运会体操男子单杠决赛中，荷兰选手宗德兰德荣获冠军.若他的
质量为70 kg，做“双臂大回环”，用双手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动.此
过程中，运动员到达最低点时手臂受的总拉力大小至少约为(忽略空气阻力，g取10 m/s2)(
)
图5
A.600 N B.2 400 N
C.3 500 N D.4 600 N
答案 C
解析 设运动员在最低点受的总拉力至少为F ，此时运动员的重心的速度为v，运动员的重
T
心到单杠的距离为R，由牛顿第二定律得F －mg＝m，由机械能守恒定律得mg·2R＝mv2，
T最高点速度为零时，v最小，F 最小，联立解得F ＝5mg＝3 500 N，选项C正确.
T T
例4 如图6所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为
R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F ，小球在最高点的速度大小
N
为v，F －v2图象如图乙所示.下列说法正确的是( )
N
图6
A.当地的重力加速度大小为
B.小球的质量为
C.当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
答案 B
解析 小球在最高点，若v＝0，则F ＝a＝mg；若F ＝0，则mg＝m＝m，解得g＝，m＝
N N
R，故A错误，B正确；由题图可知：当v2b时，杆
对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则
F ＋mg＝m，解得F ＝a，故D错误.
N N
3.(轻绳模型)如图7所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分
别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当
小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则
此时每段线中张力大小为(重力加速度为g)( )
图7
A.mg B.2mg
C.3mg D.4mg
答案 A
解析 当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力均为零，有mg＝m，当小球到达最高点
速率为2v时，应有F＋mg＝m，所以F＝3mg，此时小球在最高点受力如图所示，所以F ＝
T
mg，A正确.4.(轻杆模型)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半
径为R的圆周运动，如图8所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图8
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度的增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度的增大而减小
答案 A
解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所
受的弹力为零，所以A正确.小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误.小球在最高点，
若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：
mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大而增大，所以C、D错误.
课时精练
1.(2020·全国卷Ⅰ·16)如图1，一同学表演荡秋千.已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和
秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计.当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大
小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
图1
A.200 N B.400 N
C.600 N D.800 N答案 B
解析 取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，
设每根绳子中的平均拉力为F.
由牛顿第二定律知：2F－mg＝
代入数据得F＝405 N，故每根绳子平均承受的拉力约为405 N，
选项B正确.
2.如图2所示，杂技演员表演“水流星”节目.一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员
握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯
子洒出，重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )
图2
A. B. C. D.
答案 B
解析 杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点水的重力
提供向心力，则有mg＝，可得ω＝，故B正确，A、C、D错误.
3.(多选)如图3所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为
R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图3
A.小球通过最高点时的最小速度v ＝
min
B.小球通过最高点时的最小速度v ＝0
min
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BC4.如图4所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过
最高点P时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到 P点的水平
距离为( )
图4
A.R B.R C.R D.R
答案 D
解析 小球从P点飞出后，做平抛运动，设做平抛运动的时间为t，则2R＝gt2，解得t＝2，
在最高点P时，有mg＋mg＝m，解得v＝，因此小球落地点到P点的水平距离为x＝vt＝
R，选项D正确.
5.一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在该桥顶
对桥面没有压力，车速至少为( )
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
答案 B
解析 当F ＝G时，因为G－F ＝m，所以G＝m；当F ＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20
N N N
m/s，选项B正确.
6.(2016·全国卷Ⅱ·16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球
的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图5所示.
将两球由静止释放.在各自轨迹的最低点，( )
图5
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案 C
解析 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因L m 且L v ＝3.5 m/s，故小球不可能运动到最高点，小球会脱离圆轨道，故
0 0
A错误，B正确；设当小球脱离轨道时，其位置与圆心连线和水平方向间的夹角为 θ，小球
此时只受重力作用，将重力分解如图所示.
在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得：mgsin θ＝m，从最低点到脱离点，由机械能
守恒定律得：mv2＝mgR(1＋sin θ)＋mv2，联立解得：sin θ＝，即θ＝30°，则v＝＝ m/s，
0 1 1
故C、D正确.
