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专题强化五 动力学中的连接体问题和临界极值问题
目标要求 1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题.2.理
解几种常见的临界极值条件.3.会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题.
题型一 动力学中的连接体问题
1.连接体
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆联系)在一起构成的物体系统称为连接
体.连接体一般具有相同的运动情况(速度、加速度).
2.常见连接体的类型
(1)同速连接体(如图1)
图1
特点：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同速度和相同加速度.
处理方法：用整体法求出a与F 的关系，用隔离法求出F 与a的关系.
合 内力
(2)关联速度连接体(如图2)
图2
特点：两连接物体的速度、加速度大小相等，方向不同，但有所关联.
处理方法：分别对两物体隔离分析，应用牛顿第二定律进行求解.同速连接体
例1 (2020·江苏卷·5)中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国
力量.某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道
匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F.若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，
则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为( )
A.F B. C. D.
答案 C
解析 设列车的加速度为a，每节车厢的质量为m，每节车厢受到的阻力为F，对后38节
f
车厢，由牛顿第二定律有F－38F＝38ma；设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为
f
F，对后2节车厢，由牛顿第二定律得F－2F＝2ma，联立解得F＝，故选项C正确.
1 1 f 1
关联速度连接体
例2 (多选)物块B放在光滑的水平桌面上，其上放置物块A，物块A、C通过细绳相连，
细绳跨过定滑轮，如图3所示，物块A、B、C质量均为m，现释放物块C，A和B一起以相
同加速度加速运动，不计细绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度大小为 g，则细线中的拉力
大小及A、B间的摩擦力大小分别为( )
图3
A.F ＝mg B.F ＝mg
T T
C.F＝mg D.F＝mg
f f
答案 BD
解析 以C为研究对象，由牛顿第二定律得mg－F ＝ma；以A、B为研究对象，由牛顿第
T
二定律得F ＝2ma，联立解得F ＝mg，a＝g，以B为研究对象，由牛顿第二定律得 F＝
T T f
ma，得F＝mg，故选B、D.
f
1.(同速连接体)(多选)(2021·湖北黄冈中学模拟)如图4所示，材料相同的物体m 、m 由轻绳
1 2
连接，在恒定拉力F的作用下沿斜面向上加速运动.轻绳拉力的大小( )图4
A.与斜面的倾角θ有关
B.与物体和斜面之间的动摩擦因数μ有关
C.与两物体的质量m 和m 有关
1 2
D.若改用F沿斜面向下拉连接体，轻绳拉力的大小与θ，μ无关
答案 CD
解析 对整体受力分析有F－(m ＋m)gsin θ－μ(m ＋m)gcos θ＝(m ＋m)a，对m 有F －
1 2 1 2 1 2 2 T
mgsin θ－μm gcos θ＝ma，解得F ＝F，与μ和θ无关，与两物体的质量m 和m 有关，故
2 2 2 T 1 2
A、B错误，C正确；若改用F沿斜面向下拉连接体，同理可得F ＝F，故D正确.
T
2.(同速连接体)(多选)如图5所示，倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上，现有一带固定
支架的滑块m正沿斜面加速下滑.支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后，
悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ，斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是( )
图5
A.斜面光滑
B.斜面粗糙
C.达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向左
D.达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向右
答案 AC
解析 隔离小球，可知稳定后小球的加速度方向沿斜面向下，大小为 gsin θ，小球稳定后，
支架系统的加速度与小球的加速度相同，对支架系统进行分析，只有斜面光滑，支架系统的
加速度才是gsin θ，A正确，B错误.隔离斜面体，斜面体受到的力有自身重力、地面的支持
力、支架系统对它垂直斜面向下的压力，因斜面体始终保持静止，则斜面体还应受到地面对
它水平向左的摩擦力，C正确，D错误.
题型二 动力学中的临界和极值问题
1.常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件：F ＝0.
N(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值.
(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张
力；绳子松弛的临界条件是F ＝0.
T
(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力(加速度)为零.
2.解题基本思路
(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；
(2)寻找过程中变化的物理量；
(3)探索物理量的变化规律；
(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系.
3.解题方法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达
极限法
到正确解决问题的目的
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可
假设法
能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
脱离的临界问题
例3 (2019·江西宜春市期末)如图6所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的
光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m ＝6 kg的物体P，Q为一质量为m ＝10 kg的物
1 2
体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态.现给物体Q施加一个方向
沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为
变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
图6
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x；
0
(2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a；
(3)力F的最大值与最小值.
答案 (1)0.16 m (2) m/s2 (3) N N
解析 (1)设开始时弹簧的压缩量为x，
0
对整体受力分析，平行斜面方向有(m＋m)gsin θ＝kx
1 2 0
解得x＝0.16 m.
0
(2)前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2 s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力
为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x，
1对物体P，由牛顿第二定律得：
kx－mgsin θ＝ma
1 1 1
前0.2 s时间内两物体的位移：
x－x＝at2
0 1
联立解得a＝ m/s2.
(3)对两物体受力分析知，开始运动时F最小，分离时F最大，则
F ＝(m＋m)a＝ N
min 1 2
对Q应用牛顿第二定律得
F －mgsin θ＝ma
max 2 2
解得F ＝ N.
max
相对滑动的临界问题
例4 (多选)如图7所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上.A、
B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力
加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则( )
图7
A.当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
B.当F＝μmg时，A的加速度为μg
C.当F>3μmg时，A相对B滑动
D.无论F为何值，B的加速度不会超过μg
答案 BCD
解析 当03μmg时，A相对B向右做加速运动，B相对地面也
向右加速，选项A错误，选项C正确.当F＝μmg时，A与B共同的加速度a＝＝
μg，选项B正确.F较大时，取物块B为研究对象，物块B的加速度最大为a ＝＝μg，选项
2
D正确.
3.(脱离的临界问题)如图8所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，
此时，细绳平行于斜面.取g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).下列说法正确的是( )图8
A.当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为20 N
B.当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为30 N
C.当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为40 N
D.当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为60 N
答案 A
解析 小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零，斜面对小球的弹力恰
好为零时，设绳子的拉力为F，斜面的加速度为a ，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律
0
有Fcos θ＝ma ，Fsin θ－mg＝0，代入数据解得a≈13.3 m/s2.
0 0
①由于a ＝5 m/s2a ，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示，设绳子与
2 0
水平方向的夹角为α，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有Fcos α＝ma ，Fsin α－mg
2 2 2
＝0，代入数据解得F＝20 N，选项C、D错误.
2
4.(极值问题)如图9甲所示，木板与水平地面间的夹角 θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视
为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以
大小相同的初速度v ＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距
0
离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.
图9
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值.
答案 (1) (2)θ＝60° m
解析 (1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mgsin θ＝F，F＝μmgcos θ
f f
联立解得：μ＝.(2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为 a，则－mgsin θ－μmgcos θ＝
ma，
由0－v2＝2ax得x＝，
0
令cos α＝，sin α＝，
即tan α＝μ＝，
故α＝30°，
又因x＝
当α＋θ＝90°时x最小，即θ＝60°，
所以x最小值为x ＝
min
＝＝ m.课时精练
1.(多选)(2020·贵州贵阳市摸底)如图1所示，水平地面上有三个靠在一起的物块A、B和C，
质量均为m，设它们与地面间的动摩擦因数均为μ，用水平向右的恒力F推物块A，使三个
物块一起向右做匀加速直线运动，用F 、F 分别表示A与B、B与C之间相互作用力的大小，
1 2
则下列判断正确的是( )
图1
A.若μ≠0，则F∶F＝2∶1
1 2
B.若μ≠0，则F∶F＝3∶1
1 2
C.若μ＝0，则F∶F＝2∶1
1 2
D.若μ＝0，则F∶F＝3∶1
1 2
答案 AC
解析 三物块一起向右做匀加速直线运动，设加速度为a，若μ＝0，分别对物块B、C组成
的系统和物块C应用牛顿第二定律有F ＝2ma，F ＝ma，易得F∶F ＝2∶1，C项正确，D
1 2 1 2
项错误；若μ≠0，分别对物块B、C组成的系统和物块C应用牛顿第二定律有F －2μmg＝
1
2ma，F－μmg＝ma，易得F∶F＝2∶1，A项正确，B项错误.
2 1 2
2.(多选)如图2所示，在粗糙的水平面上，质量分别为 m和M的物块A、B用轻弹簧相连，
两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F作用于B上且两物块共同向右以加速
度a 匀加速运动时，弹簧的伸长量为x；当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方
1 1
向作用于B上且两物块共同以加速度a 匀加速沿斜面向上运动时，弹簧的伸长量为x ，则
2 2
下列说法正确的是( )
图2
A.若m>M，有x＝x B.若msin θ，有x>x D.若μ0，而B恰好被拉动时，即a ＝0时F ＝μ ·2mg＝
B B T BC
4 N，
故当F＝17 N时，F ′>4 N，B错误；
T
A、B保持相对静止时，A、B的最大加速度a ＝＝μ g＝4 m/s2
max AB
对A、B整体：F ″－μ ·2mg＝2ma
T BC max
对C：F－μ ·2mg－μ ·3mg－F ″＝ma
BC 桌 T max
得F＝23 N，C正确；
A、B发生相对滑动后，A的加速度保持不变，故D错误．
10.(2021·广东深圳市模拟)如图10所示，两个质量均为m的相同的物块叠放在一个轻弹簧上面，处于静止状态.弹簧的下端固定于地面上，弹簧的劲度系数为 k.t＝0时刻，给A物块一
个竖直向上的作用力F，使得两物块以0.5g的加速度匀加速上升，下列说法正确的是( )
图10
A.A、B分离前合外力大小与时间的平方t2成线性关系
B.分离时弹簧处于原长状态
C.在t＝时刻A、B分离
D.分离时B的速度大小为g
答案 C
解析 A、B分离前两物块做匀加速运动，合外力不变，选项A错误；开始时弹簧的压缩量
为x，则2mg＝kx；当两物块分离时，加速度相同且两物块之间的弹力为零，对物体 B，有
1 1
kx －mg＝ma，且x －x ＝at2，解得x ＝，x ＝，t＝，此时弹簧仍处于压缩状态，选项B错
2 1 2 1 2
误，C正确；分离时B的速度大小为v＝at＝g·＝g，选项D错误.
