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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通
用）
第 16 讲 导数与函数的极值、最值（精
讲）
题型目录一览
①求函数的极值与极值点
②极值、极值点中的参数问题
③求函数的最值
④最值中的参数问题
⑤函数极值、最值的综合应用
★【文末附录-导数与函数的极值、最值思维导图】
一、知识点梳理
1．函数的极值
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函
数的一个极大值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称
是函数的一个极小值，记作 ．极大值与极小值统称为极值，称 为极
值点．
求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右
侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右
侧附近为正，那么函数 在这个根处取得极小值.
注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即
，且在 左侧与右侧， 的符号导号.
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不
是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导
1的，于是有如下结论： 为可导函数 的极值点 ；但 为
的极值点.
2．函数的最值
函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小
值与靠近极大值的端点之间的最小者．
一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数
在 上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为
最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最
值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也
可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【常用结论】
（1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
（2）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即
，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
（3）对于任意的 ，总存在 ，使得
；
2（4）对于任意的 ，总存在 ，使得
；
（5）若存在 ，对于任意的 ，使得
；
（6）若存在 ，对于任意的 ，使得
；
（7）对于任意的 ， 使得
；
（8）对于任意的 ， 使得
；
（9）若存在 ，总存在 ，使得
（10）若存在 ，总存在 ，使得
．
二、题型分类精讲
题型 一 求函数的极值与极值点
策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程
【典例1】已知函数 ，求函数 的极值.
3【答案】见详解.
【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进
而求得极值.
【详解】 ，定义域为R， .
①当 时， ， 在R上为增函数， 无极值.
②当 时，令 ，得 ， .
当 ， ；当 ， ；
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 取得极小值，极小值为 ，无极大值.
综上所述，当 时， 无极值；当 时， 有极小值 ，无极大
值.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数 的大致图
象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数 在x＝c处取得最大值，在 处取得最小值
C．函数 在x＝c处取得极大值，在 处取得极小值
D．函数 的最小值为
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定 的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四
个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又ae时， ．所以函数 在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x
＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当 时， ，所以函数 在[d，e]上单调递减，从而
，所以D不正确．
故选：C．
2．（2023·广西·统考模拟预测）函数 在 处取得极小值，则极小值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的导数，利用极小值点求出a值，再借助导数求出极小值作答.
【详解】依题意， ，因为函数 在 处取得极小值，则 ，
解得 ，
此时 ，当 或 时， ，当 ，时
，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极小值 .
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极值点为1，且 ，则
的极小值为（ ）
A． B． C．b D．4
【答案】D
【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解 ，再求函数的极小值.
【详解】 ， ， ，
所以 ，解得： ， ，
所以 ，得 ， 时， ， ， ，
5所以 是函数的极小值点， .
故选：D
4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则 的极
大值为（ ）
A．-3 B．1 C．27 D．-5
【答案】C
【分析】求导数，求出 ，得到 解析式，利用导数求函数单调区间，得到极值.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
故 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值27.
故选：C
5．（2023·四川·高三专题练习）函数 的极值点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】对函数求导，求出导函数的零点，并求出在零点两侧导函数值的正负，即可判断
零点个数.
【详解】由题意得， ，
令 得 ，令 得 ，令 得 ，
故 为函数 的极小值点，
即函数 的极值点个数为1个.
故选：B
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，则下列说法
正确的有（ ）
6A． 的极大值为 B． 的极小值为
C． 的单调减区间为 D． 的值域为
【答案】ABD
【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数
的值域.
【详解】 ， ，令 ，得 或 ，
当 ， ，函数 单调递增，当 ， ，函数
单调递减，当 ， ，函数 单调递增，
所以 是函数的极大值点，极大值 ， 是函数的极小值点，极小值
，故AB正确；C错误；
， ，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最
大值是 ，所以函数的值域是 ，故D正确.
故选：ABD
7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．曲线 在 处的切线与直线 垂直
B． 在 上单调递增
C． 的极小值为
D． 在 上的最小值为
【答案】BC
【分析】求出函数的导函数，求出 ，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断
B、C、D.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ，
而 ，所以 在 上单调递增，故B正确；
7当 时 ，所以 的单调递减区间为 ，
所以 的极小值为 ，故C正确；
在 上单调递减，所以最小值为 ，故D错误；
故选：BC
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 的极大值点为___________.
【答案】
【分析】利用导数可求得 的单调性，根据单调性可得极大值点.
【详解】由题意知： 定义域为 ，
，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
是 的极大值点.
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在x＝1处取得极值，则函数
的一个极大值点为______．
【答案】 (答案不唯一）
【分析】先利用条件求出 ，从而得到 ，再利用导数与函数单调性间的关
系，求出 的单调区间，进而利用极值点的定义求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，解得a＝1，则
，所以 ，
由 ，得到 或 ， ，
由 ，得到 ， ，
8由 ，得到 ， ，所以 的极大值点为 ，
，
当k＝0时， ，故 的一个极大值点为 （答案不唯一，满足 ，
即可）.
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且
，现给出如下结论：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
其中正确结论的序号是__．
【答案】③④⑤
【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.
【详解】求导函数可得 ，
当 时， ；当 ，或 时， ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
所以 的极大值为 ，
的极小值为 ，函数没有最值，
要使 有三个解 、 、 ，那么结合函数 草图可知： ，
所以 ，且 ，所以 ，
， ， ，故①②错误；③④⑤正确.
故答案为：③④⑤．
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
9(1)若 ，求函数 在区间 上的值域；
(2)求函数 的极值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，判断函数单调性求得极值，然后比较极值与端点函数值大小可得；
（2）求导，分 ， ， 讨论函数单调性，然后可得极值.
【详解】（1）当 时， ．
则 ．
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单
调递减．
而 ， ， ，显然 ，故在区间 上，
， ．
故函数 在区间 上的值域为 ．
（2） ， ，
则 ．
①当 时， ，所以 在定义域上单调递增，不存在极值．
②当 时，令 ，解得 或 ，又 ，所以当 或
时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极大值， ，
在 处取得极小值， ．
③当 时，令 ，解得 或 ，又 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极大值， ；
在 处取得极小值， ．
10综上，当 时， 无极值；当 时， ， ；
当 时， ， ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)设a＝0．
①求曲线 在点 处的切线方程．
②试问 有极大值还是极小值？并说明理由．
(2)若 在 上恰有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)①y＝－3x＋1；②有极大值， 没有极小值，理由见解析
(2) ．
【分析】（1）①由导数的几何意义计算即可；②利用导函数判定函数的极值即可；
（2）法一、分离参数得 ，构造函数 判定其单调性及极（最）值，
即可得出结果；法二、半分离参数，将问题转化为 ，两函数在 上有
两个交点，利用导数的几何意义，结合图象分析即可.
【详解】（1）因为a＝0，所以 ， ．
①由 及 ，
得曲线 在点 处的切线方程为：y－（－2）＝－3（x－1），
即y＝－3x＋1．
②令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值， 没有极小值．
（2）法一、
由 ，得 ，
则 ．设函数 ，则 ．
令函数 ，易知 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ，当 时， ．所以 在 上单调递增，在
上单调递减，
11则 ．由 ， ，得 ，
故a的取值范围是 ．
法二、
由 ，得 ，
则 ．设函数 ，则 ．
设直线 与曲线 切于点 ，则 ，
整理得 ．令 ，易知其为增函数，且 ，所以a＝1．
直线y＝a（x＋1）过定点 ，当该直线经过点 时， ．
数形结合可知，当且仅当 时，直线y＝a（x＋1）与函数
的图象恰有两个交点，即 在 上恰有两个零点，
故a的取值范围是 ．
【点睛】本题考察导数与函数的综合，属于压轴题.第二问含参函数在定区间的零点问题的
处理方式常有：分离参数法，将问题转化为参数与一个函数在定区间的交点问题；半分离
参数，将问题转化为一个简单的含参函数与另一个简单的函数的交点问题.
题型二 极值、极值点中的参数问题
【典例1】已知函数 ， ．
(1)若函数 在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数 的单调区间．
【答案】(1)
12(2)答案见解析
【分析】（1）求定义域，求导，根据 求出 ，验证后得到答案；
（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分 ， ， 与 分类
讨论，得到函数的单调区间.
【详解】（1） 定义域为 ，
，因为 在x＝1处取得极值，
所以 ，解得： ，
经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故 ；
（2） ，
当 时， 恒成立，令 得： ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， ，故令 得： 或 ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 恒成立，故 的单调递增区间为 ；
当 时， ，令 得： 或 ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
综上：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
13当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当 时，函数 取得最大值 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据条件列方程组求出a和b.
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ，
而 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因此当 时， ,故函数在 递增； 时， ,
故函数在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ；
故选：C．
2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若 在 和 处有极值，
则函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意 且 ，即可得到方程组，从而求出 、
的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为 ，所以 ，
由已知得 ，解得 ，
14所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间是 .
故选：C．
3．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数 无极值，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，因为 无极值，所
以 ，解得 ，所以a的取值范围为 ．
故选：A.
4．（2023·四川凉山·三模）已知函数 的导函数 ，若1不是函
数 的极值点，则实数a的值为（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据极值点的定义即可求解.
【详解】由题意可知 ，若1不是函数 的极值点，则
，即 ，
当 时， ，故当 ，当
，因此 是 的极值点，1不是极值点，故 满足题意，
故选：D
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的极值点为1和2，且
在 上单调递增，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】对函数求导，由极值点建立方程组找出 间的关系，利用基本不等式求最值即
可.
15【详解】因为 ，
所以
由题函数 的极值点为1和2，且在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：D．
6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 ， 是 的
一个极值点，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据极值点的定义结合正弦函数图像的性质， 是 的一条对称轴，可求
得 表达式，即可求出答案.
【详解】由 是 的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知， 是 的一条
对称轴，
即 ， ，求得 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故选：A.
二、多选题
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 在
处有极值，且极值为8，则（ ）
A． 有三个零点
16B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．函数 为奇函数
【答案】AC
【分析】由条件根据极值与导数的关系求 ，判断B，利用导数分析函数 的单调
性，结合零点存在性定理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定
义判断D.
【详解】由题意得 ，又 ，又
，解得 (舍去）或 ，故B项错误；
， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ， ， ， ，
所以 有三个零点，故A项正确；
又 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，故C项
正确；
，故D项错误.
故选：AC.
8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数 ，若 有两个不
同的极值点 ，且当 时恒有 ，则 的可能取值有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先求导函数，再根据存在极值点个数，参数分离构造新函数根据函数单调性及最
17值列式求解可得范围.
【详解】由题可知， ，因为 有两个不同的
极值点 ，所以 且 ，
若 ，则 ．当 时， ，即 ，即
，即 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，则
，则 ，所以 ．
若 ，则 ．当 时， ，即 ，
若 ，则当 时， ，不满足题意，所以 ，此时
，即 ．
设 ，则
易得 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 解得 ，所以
．
综上， 的取值范围是 ，
故选:BD．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极小值为2，则 ______
【答案】
【分析】求函数 的极小值的表达式，列方程求 .
【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，令 可得 ，
18当 时， ，函数 在 单调递减；
当 时， ，函数 在 单调递增，
故 的极小值为 ，
由已知可得 ，
所以 ．
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）若 在 上存在极值，则数m的取值范
围为_____．
【答案】
【分析】先求导，再转化为 在 上有解求解．
【详解】解：由题得 ，
要使 在 上存在极值，则 在 上有解．
因为当 时， ，
令 ，则 ，
设 ，则 ， 在 上单调递增，
，
又 恒成立，故m的取值范围为 ．
故答案为：
11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且
，则 ______.
【答案】
【分析】根据函数有两个极值点得到 是方程 的两个不相等的实数根，然后分
离变量，构造函数 ，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.
【详解】 ， 是 的两个零点，
19即是方程 的两个不相等的实数根，
， 是方程 的两个不相等的实数根.
令 ，则 .
当 或 时， ；
当 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ；当 时， .
，且 .
由 ，得 ，
， ，由 ，即 .
故答案为： .
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 ，若 是
的极小值点，则 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】首先根据题意得到 ，从而得到 ，再分类
讨论其单调性即可得到答案.
【详解】 ，
因为 是 的极小值点，所以 ，解得 .
所以
.
当 时， ，
， ， 为减函数； ， ， 为增函数，
所以 是 的极小值点，符合条件.
20当 时，令 ，解得 或 .
当 时， ， ， 为增函数；
， ， 为减函数；
， ， 为增函数，
所以 是 的极小值点，符合条件.
当 ，即 时， ，
则 在R上为减函数，无极值点，舍去.
当 时，即 ，
， ， 为减函数；
， ， 为增函数；
， ， 为减函数，
所以 是 的极大值点，舍去.
当 时，即 ，
， ， 为减函数；
， ， 为增函数；
， ， 为减函数，
所以 是 的极小值点，符合条件.
综上，a的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数
21(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，函数 在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时，求得 ，得到 ，结合导数的几
何意义，即可求得 在点 处的切线方程；
（2）求得 ，①当 时，取得 ，求得 在 上递减，
在 上递增，不符合题意；②当 时，令 ，根据 和 两种情
况讨论，分别求得函数 的单调区间，求得函数的极值，进而求得 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时， ，可得 ，
则 ，即切线的斜率为 ，切点坐标为
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：由函数 ，其中 ，可得 ，
①当 时， ，此时 ，令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，且极小值为 ，不符合题意；
②当 时，令 ，则 ，
（i）若 ，即 时，则对 ， ，
即 恒成立，此时 在 上无极值，不符合题意；
（ii）若 ，即 ，则 图象的对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，由函数单调性和零点存在性定理得，在 上存在唯一
的实数 ，使得 ，此时 ，
22当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 仅在 处取得极小值，极小值为 ，
因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，符合题意.
综上，实数 的取值范围为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有两
个极值点 ， ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）函数 在区间 上有两个极值点，即方程 在区间
上有两个不等实根，即 在区间 上有两个不等实根．设
，对 求导，讨论 的单调性和最值，即可得出答案；
（2）要证 ，即证 ，设 ，即证当 时，
成立，令 ，对 求导，得到 的单调性，即可证明.
【详解】（1）由题意得 ，
函数 在区间 上有两个极值点，即方程 在区间 上有两个不
等实根．
又 ，所以 在区间 上有两个不等实根．
设 ，则 ．
当 时， ，函数 单调递增，与方程 在区间 有两个根矛盾．
当 时，由 ，得 ，
当 时， ， 为单调递减函数；
23当 时， ， 为单调递增函数．
， ，
当 时， 与方程 在区间 上有两个根矛
盾．
当 时， ．
又 ， ．
设 ， ，
当 时， ， ，
所以 ，
故函数 在区间 上和区间 上各存在一个零点．
综上， 时，函数 在区间 上有两个极值点．
（2）证明：不妨设 ，故有 ，
要证 ，即证 ，即 ．
由 得
故 ．
要证 ，即证 ，
即证 ，即 ．
设 ，即证当 时， 成立．
设 ， ．
所以 在区间 上为增函数，
故 ，即当 时， 成立，
24综上， 成立．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的
数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：
方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称
差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；
方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的
单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；
方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 为实数．
(1)已知函数 在 处取得极值，求 的值；
(2)已知不等式 对 都成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由极值点的定义可得 ，解出 的值并验证即可；
（2）由题意可得 对任意 都成立，按照 的不同取值结合二次
函数的图象和对称轴分情况讨论即可.
【详解】（1）由题意可得 ，
因为函数 在 处取得极值，
所以 ，
解得 ，
当 时， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 在 处取得极大值，符合题意.
（2）由题设知 ，对任意 都成立，
即 对任意 都成立，
令 ，
①当 时，由 解得 ，显然 时不成立，故 ；
②当 ，即 时， 为开口向下的抛物线， 的对称轴
25为 ，
所以 在 上单调递减，
所以由 对任意 都成立可得 ，解得 ，与
矛盾，
故 不符合题意；
③当 ，即 时， 为开口向上的抛物线， 的对称轴
为 ，
若 ，即 时， ，解得 或
，所以 ；
若 ，即 时，由 对任意 都成立可得 ，
解得 ，所以 ；
综上所述， .
题型三 求函数的最值
策略方法
1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究
其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观
察得到函数的最值．
【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
26(2)若f(x)在区间 上的最大值为－3，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；
（2）求出 ，分 和 两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最
值，结合题意列出方程，求解 的值即可.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
所以 ，
所以当 时，求 的最大值为 ；
（2）解：函数 ，
则 ， ， ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增，
故 ，不符合题意；
②若 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
则 ，
令 ，可得 ，
解得 ，
因为 ，
所以 符合题意，
综上所述 .
27【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知 为函数 的极值点，则
在区间 上的最大值为（ ）（注： ）
A．3 B．
C．5 D．
【答案】B
【分析】由 以及极值点的知识求得 ，求得 的单调区间，进而求得 在
区间 上的最大值.
【详解】 ，由于 是 的极值点，
所以 ，
此时 ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以 是 极小值点， 符合题意.
， ，
由于 ，
所以 在区间 上的最大值为 .
故选：B
2．（2023·江西南昌·统考三模）函数 ，若关于 的不等式
的解集为 ，则实数 的取值范围是（ ）
[ e]
A． B． 0，, C． D．
2
【答案】C
【分析】当 时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当
时根据二次不等式的解法讨论 的范围进而即得.
28【详解】由题意知，当 时， ；当 时， ；当
时， ．
当 时， ，即 ，构造函数 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
， ；
当 时， ，当 时，由 ，解得 ，不合
题意；
当 时，由 ，得 ，不合题意；
当 时，由 ，得 ， ，所以 ，此时
，不合题意；
当 时， ，由 ，解得 ，
此时当 时 恒成立，所以 的解集为 ，符合题意；
当 时，由 ，得 ，又 ，所以 ，此时
适合题意；
综上，关于 的不等式 的解集为 ，则 .
故选：C.
3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数 ，且
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．e C． D．
【答案】A
【分析】根据 展开得到 的解析式，根据导数求出解析式单调性继而判
断解析式的取值范围，即可得到答案.
【详解】由 ，得 ，化简整理得 ，
因为g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为R，所以 的取值范围也是R，
令 ，令 ，解得 .
当 时， ，即h（x）在（-∞，0）上单调递减；
当 时， ，即 （x）在（0，+∞）上单调递增；
29所以 ，故
故选：A.
4．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，函数 ，
则（ ）
A． 有最小值，有最大值 B． 无最小值，有最大值
C． 有最小值，无最大值 D． 无最小值，无最大值
【答案】C
【分析】利用导数判断函数的单调性进而求出最值.
【详解】由已知得 ，
记 ，∵ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴当 时 ，当 时
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 有最小值 ，无最大值.
故选： .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对任意 ，
，都有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为 ，利用导数求 在 上的最小值、 在
上的最小值，即可得结果.
【详解】对任意 ， ，都有不等式 成立 ，
， ， ，则 在区间 上单调递增，
∴ ，
， ， ，则 在 上单调递增，
30， ，则 在 上单调递减，
， ，故 ，
综上， .
故选：C
二、填空题
6．（2023·安徽·校联考二模）若不等式 对 恒成立，则实数a
的取值范围为_________．
【答案】
【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】设 ，则 ．当 时， 恒成立，
则函数 在 上单调递增，
，不合题意，舍去；
当 时，由 得 ．
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，令 ，易得 在 上单调递减，
，则 的解集为 ，即实数a的取值范围是 ．
故答案为： .
7．（2023·湖南岳阳·统考三模）若对任意 ， 恒成立，则实数a的
取值集合为____________．
【答案】
【分析】设函数 ， ，则 恒成立，由函数 在
处取得最大值，则 ，得出 ，再验证当 时， 符合题意．
【详解】由题意设 ， ，则 恒成立，显然 ，
31函数 在 处取得最大值， ，而 ，
，即 ．
当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
，符合题意．
故实数a的取值集合为 ．
故答案为： .
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 ， ，且 ，
则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】先根据 得出 所满足的关系式，然后用 表示 ，然后利用导数工
具求解 的最小值.
【详解】由 ，得 ，化简整理得 ．
令 ，则 ，
令 ，解得 ．当 时， ，即 在 上单调递
减；
当 时， ，即 在 上单调递增，
， ．
故答案为：
9．（2023·甘肃·模拟预测）若关于 的不等式 对任意的 恒成
立，则整数 的最大值为______.
【答案】1
【分析】分离参数，构造函数 ，利用导数求函数的最小值，分析最小
值的范围，得解.
【详解】因为 对于任意 恒成立，
32等价于 对于任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以 ，
由对勾函数可知 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，所以 .
故整数 的最大值为1.故答案为：1
三、解答题
10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 在区间 上的最大值和最小值；
(2)若 恒成立，求实数 的值．
【答案】(1)最小值为 ，最大值为
(2)
【分析】（1）先求 的导函数，再根据导函数在区间 上的正负确定 的单调
性，从而可求其在给定区间的最大与最小值；
（2）设 ，由已知得，当 时， ；当 时， ，从
而可得，当 时， ；当 时， ，所以 ，得 ，再证
明当 时， 恒成立即可．
【详解】（1）因为 ，
33所以 在区间 上单调递增．
所以 的最小值为 ； 的最大值为 ．
（2） 的定义域为 ．
由（1）知 ，且 在 上单调递增，
所以当 时， ；当 时， ．
设 ．
若 恒成立，则当 时， ；当 时， ．
所以 ，即 ，解得 ．
下面证明：当 时， 恒成立．
此时， ， ．
当 时， ．
所以 在 上单调递增， ．
当 时，设 ．
因为 ，所以 在 上单调递增．
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ．
且当 ， ，当 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且 ，
所以当 时， 恒成立．
综上， ．
【点睛】关键点睛：本题第一小问考查函数在给定区间的最值，通过对单调性的讨论即可，
属于基础题；第二小问主要考查不等式恒成立求参数问题，关键是通过 的正负得到
的正负，从而确定 的值再证明，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．
11．（2023·全国·模拟预测）已知 .
(1)求 的最值；
(2)当 ， 时，若 恒成立，求正整数 的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)3
34【分析】（1）对函数求导，然后分类讨论确定函数的单调性，从而得最值；
（2）先根据题意把恒成立问题转化成求函数的最小值问题，然后利用导数确定函数的最小
值即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
当 时， ，所以 在 上单调递增，无最大值，也无最小值；
当 时，令 ，即 ，所以 ，
令 ，即 ，所以 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时 取得极小值，也是最小值， ，无最大值.
综上，当 时， 在 上无最大值，也无最小值；
当 时， 在 上有最小值 ，无最大值.
（2）因为 ， 时， ，
恒成立，即 恒成立.
设 ， ，
.
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，显然 ，
35由 得 ，
设 ， 在 时恒成立，
在 上单调递减， ，
，所以 ，
所以 ，
则满足 的最大的正整数 的值为3.
【点睛】恒成立问题解题策略
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2) 恒成立⇔ ；
恒成立⇔ ；
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借
助函数单调性求解．
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 .
(1)证明：曲线 在 处的切线经过坐标原点；
(2)记 的导函数为 ，设 ，求使 恒成立的 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数 在 处的切线方程即可证明；
（2）把不等式 恒成立转化为求函数 的最大值小于等于零恒成立，然后利用
导数求出函数 的最大值即可得结果.
【详解】（1）由已知得 ，
所以 ，又 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ，恒过坐标原点.
（2） ，定义域为 ，
36.
当 时， 在 上单调递增，且 ，故 不恒成立.
当 时，设 ，则 ，
则当 时， 在 上单调递减，
又 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由零点存在定理知 在 内存在唯一零点 ，
即 ，即 .
当 时， ，于是 在 上单调递增，
当 时， ，于是 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值也是最大值 ，要使 恒成立，只需 .
因为 ，
由 ，解得 ，
故所求的 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若 在区间 上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
题型四 最值中的参数问题
【典例1】已知 和 有相同的最大值（ ），求 的值；
37【答案】
【分析】分别用导数法求出 与 的最大值，由最大值相等建立等式即可求解.
【详解】解： 的定义域为 ，且 ， ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
的定义域为 ，且 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
又 和 有相同的最大值，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数 ， ，在区间
上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值
可知，区间含极大值点
【详解】 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数在 ， 上递增函数，在 上递减函数，
故 时函数有极大值，且 ，
所以当函数在 上有最大值，则 且 ，
即 ，解得 .
故选：B.
382．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数 在 内有最小值，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，设 ，得出 有一正根
一负根，因此题意说明正根在区间 内，从而由 得参数范围．
【详解】 ，
设 ，因为 ，因此 有两个不同实根，
又 ，因此 两根一正一负，
由题意正根在 内，
所以 ，解得 ，
故选：A．
3．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数 的最小值是 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数 在 上的极小值，然后对实数 的取值进行分类讨
论，结合 可求得实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以，函数 的极小值为 ，
因为函数 的最小值为 ，当 时，函数 在 上单调递减，
此时，函数 在 上无最小值，不合乎题意；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
39此时，函数 在 上的极小值为 ，且 ，则 ，
综上所述， .
故选：A.
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 在区间
上的最大值为k，则函数 在 上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
【答案】D
【分析】利用导函数研究 单调性，结合区间最值求得 ，进而判断在 上的单
调性，即可得答案.
【详解】由 ，则 时 ， 时 ，
所以 在 上递增， 上递减，
而 ， 在 上的最大值为k，
所以 ，即 ，此时 在 上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
5．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）设 ，若函数 的最小值
为 ， 是从 六个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时， 无最小值；当 时， ；当 时，利用导数可求
得 时的 ，结合 时 可构造不等式组，结合 的单调
性和 可求得 的范围，从而确定 的取值；列举出所有基本事件和满足题意的基本
事件，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】若 ，当 时， 为增函数，且 ，不合题意；
若 ， ，则 最小值为 ；
若 ，当 时， 的最小值为 ；
当 时， ，则若 ，则 ；若 ，则 ；
40在 上单调递减，在 上递增， 此时的最小值为 ；
， ，则 ；
设 ，则 在 上单调递增，又 ，
的解为 ；
综上所述：实数 的取值范围为 ，又 ， 或 ；
设事件 ：“ 恒成立”，
所有取值构成的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 个；
事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ，
，共 个；
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与概率的综合应用问题；解题关键是能够通过分类讨
论的方式，结合导数的知识求得 的单调性，从而利用 最小值来构造不等式求得
的值，进而采用列举法来求得所求概率.
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 区间 的最小值
为 且最大值为1，则 的值可以是（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解
【详解】 ，
令 ，解得 或 .
①当 时，可知 在 上单调递增，
所以 在区间 的最小值为 ，最大值为 .
此时 ， 满足题设条件当且仅当 ， ，
即 ， .故A正确.
41②当 时，可知 在 上单调递减，
所以 在区间 的最大值为 ，最小值为 .
此时 ， 满足题设条件当且仅当 ， ，
即 ， .故B正确.
③当 时，可知 在 的最小值为 ，
最大值为b或 或 ， ，
则 ，与 矛盾.
若 ， ，
则 或 或 ，与 矛盾.故C､D错误.
故选：AB
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 只有一个零点
B．函数 只有极大值而无极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．若当 时， ，则t的最大值为2
【答案】CD
【分析】解方程 判断A；利用导数探讨 的极值判断B；分析函数 的性质，
借助图象判断C；由 结合取最大值的x值区间判断D作答.
【详解】对于A，由 得： ，解得 ，A不正确；
对于B，对 求导得： ，当 或 时，
，当 时， ，
即函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
因此，函数 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ，B不
正确；
对于C，由选项B知，作出曲线 及直线 ，如图，观察图象得当 时，
42直线 与曲线 有2个交点，
所以当 时，方程 有且只有两个实根，C正确；
对于D，因 ，而函数 在 上单调递减，因此当 时，
，
当且仅当 ，即 ，所以t的最大值为2，D正确.
故选：CD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：
作出函数f(x)的图象，观察
与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察
它们的公共点个数.
三、填空题
8．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数 在区间 上存
在最小值，则整数 的取值可以是______．
【答案】 （答案不唯一， 、 均可）
【分析】利用导数分析函数 的单调性与极值，作出图形，求出使得
的 的值，根据函数 在区间 上有最小值可得出关于实数
的不等式组，解之即可.
【详解】因为 ，则 .
由 可得 ，由 可得 或 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 、 ，
43所以，函数 的极大值为 ，极小值为 ，
令 ，其中 ，则 ，解得 ，
因为函数 在区间 上存在最小值，则 ，解得 ，
所以，整数 的取值集合为 .
故答案为： （答案不唯一， 、 均可）.
9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数 的最小值为 ，则
______．
【答案】
【分析】分类讨论，根据函数的单调性与最值的关系求解.
【详解】当 时， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 解得 ，与 矛盾；
当 时， ，
(i)若 ，即 ，
则有 在 单调递减， 单调递增，
所以 解得 ，与 矛盾；
(ii)若 ，即 ，
则有 在 单调递减， 单调递增，
所以 解得 ，满足题意；综上， ，故答案为:
.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
44(1)当 时，求函数 在 内的极值；
(2)若函数 在 上的最小值为5，求实数 的取值范围．
【答案】(1)极大值为9，无极小值
(2)
【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值
域；
（2）求得函数的导函数，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实
数 的取值范围.
【详解】（1）由题意得，当 时， ，
则 ，
令 ，得 ， ，
， 在 内随x变化而变化的情况如下表所示：
x 1
+ 0
单调递增 极大值9 单调递减
故 在 内的极大值为9，无极小值；
（2） ，
①当 时， ， 且不恒为0，
所以函数 在区间 上单调递增，
所以在 上， ，
由题意，则 ，解得 ，与 矛盾，
②当 时， ， 且不恒为0，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以在 上， ，符合题意，
③当 时，当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
所以在 上， ，
由题意，则 ，即 ，即 ，
45即 ，解得 或 ，与 矛盾，
综上，实数a的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：求函数 在区间 上的最值的方法：
（1）若函数 在区间 上单调，则 与 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数 在区间 内有极值，则要求先求出函数 在区间 上的极值，
再与 、 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数 在区间 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，
此结论在导数的实际应用中经常用到.
11．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知函数 （ ）.
(1)若 的零点有且只有一个，求 的值；
(2)若 存在最大值，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，令 得到 ，令 ，利用导
数说明函数的单调性，求出函数的极大值，即可得解；
（2）由（1）知，当 时， ，显然不符合题意，当 时， 有
两个零点 ，易知 ，即可得到 的单调性，依题意可得 有最大
值 ，即可求出 的取值范围，再结合 的单调性，计算可得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，即 ，得 ，令 ，
由 ，则 时， ， 时， ，
所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减，
所以 在 处取得极大值即最大值，
46又 时， ； 时， ， ，
所以当 时， 有且只有一个零点.
（2）因为 ，由（1）知，当 时， ，
所以 在区间 单调递减， 无最大值；
当 时， 有两个零点 ，易知 ，
当 或 时， ，故 单调递减，
当 时， ，故 单调递增，
又 时， ， 时， ，
所以 有最大值 ，
消去 得 ，
结合 以及 在区间 单调递减，且 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得 ，即可得到其单调区间；
47（2）根据题意，整理可得当 时， 恒成立，构造 ，转
化为 即可，然后通过求导研究函数 的最大值，即可得到a的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
易知 在 上单调递增，且 ，
故当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）当 时， ．
整理得 ，即 恒成立．
令 ，则 即可，
所以必有 成立，即 ．
易知 ，
令 ，则 ， ，易知 ．
当 时， ，所以当 和 时， ；
当 时， ．
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
故 ，
故 ，解得 ．
当 时， ， ，所以当 时， ；当 时，
．
48所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
故 ，解得 ，
所以 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于转化为 时， 恒成立，然后构造
，由 来求解 的值.
题型 五 函数极值、最值的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间 上的最大值为－3，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；
（2）求出 ，分 和 两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最
值，结合题意列出方程，求解 的值即可.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
所以 ，
所以当 时，求 的最大值为 ；
（2）解：函数 ，
则 ， ， ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增，
49故 ，不符合题意；
②若 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
则 ，
令 ，可得 ，
解得 ，
因为 ，
所以 符合题意，
综上所述 .
6．已知函数 的最小值为0．求实数 的值；
【答案】
【分析】求导函数 ，导函数为增函数，由题意 在定义域内有实数解 ，即
，而 ，由此得出关于 的方程 ，引入新函数 ，
利用导数证明此方程只有唯一解，从而可得结论.
【详解】 ，显然 在定义域内是增函数， 有最小值，
则 有实数解 ， 时， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
则有 ， ，
， ，
令 ， ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以 ，因此由 得 .
【典例2】7．已知函数 ．
(1)证明：
(2)若 ，求 ．
50【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）求导分析函数的单调性与最大值证明即可；
（2）构造函数 ，求导分析单调性可得当 时
，结合（1）中的结论求解即可
【详解】（1）证明： 的定义域为 ，且
令 ，得 ．
当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以
（2）令 ，则 ．
当 时，有 ，与题设矛盾，故舍去．
当 时，令 ，得
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以
由 知， 当且仅当 时，取等号 ，
所以 ，所以 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数 ，若对任意的
， 成立，则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】C
【分析】设 ，求得 ，当 时，得到 在 上单调递
增，得到 ，即 ，设 ，求得 ，得到
时， 在 上单调递增，得到 ，即 ，得到 ，
51进而得到 ，即可求解.
【详解】设 ，可得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，故当 时， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，所以 ，所以 ，
所以 的最大值是 .
故选：C.
2．（2023·四川·校联考模拟预测）若 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设 ，然后构造 ，由导数研究函数
的最小值，即可得到结果.
【详解】不等式 ，即 ，
所以 .设 ，则 ，
可知 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递增，则 ，
则 ，故 满足条件；
当 时，则 在 上单调递减；在 上单调递增，则
，
52设 ，则 ，则 在 单调递减，又
，所以 ，则 ，
综上所述， 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】解答本题的关键在于，先换元令 ，然后构造函数
，得到其最值，即可得到结果.
3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.
【详解】 ，
设 ，函数定义域为 ，
则 ，
故 在 上为增函数，有 ，即 ，
所以 ，故 .
设 ，函数定义域为 ，则 ，
，解得 ； ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 取最大值，所以 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，即 ，
又 ，所以 .
故选：D．
4．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数 ，若 有两个
不同的极值点 ，且当 时恒有 ，则 的取值范围是（ ）
53A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】 有两个不同的极值点，则 有两个不同的零点，则
且 ， 恒成立，即 恒成立，分 和 两种
类型讨论，通过构造函数，利用导数求最值，求 的取值范围.
【详解】由题可知， ，
因为 有两个不同的极值点 ，所以 且 ，
若 ，则 ， ，当 时， ，即 ，即
，即 ，
设 （ ），则 ，所以 在 上单调递减，则
，则 ，所以 .
若 ，则 ， ，当 时， ，即 ，若
，则当 时， ，不满足题意，
所以 ，此时 ，即 .
设 （ ），则 ， 解得 ， 解得
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则有 解得 ，所以
.
综上， 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一
种常用技巧， 不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，运用这种思想去解
54决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 有两个零点 ， ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项，由题 ， ，判断 在 上的单调
性即可；
B选项，由 单调性， ；
C选项，由 有两个零点 ， ，构造函数应用极值点偏移可解；
D选项，因 ，及 在 上单调递增，结合B选项分析可判
断选项.
【详解】对于A选项， ， .
又当 时， ，则 在 上是增函数，故A正确；
对于B选项， 时， ，又 为正实数，所以 ，又 时，
，
所以 在 单调递增，故 ，即 .
令 ，知 ，所以 在 上递增，在 上递减，所以
，
得正实数 的最小值为 ，故B正确；
对于C选项， 有两个根 ， ，等价于函数 有两个零点 ， .
55注意到 ，则 在 上单调递减，在 上单调递
增，
因函数有零点，则 .
设 ，
令 ， ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ， 单调递减；
所以 在 上单调递减，所以 ，即当 时， ，
由题意 ， ， ，且 在 上单调递增，
所以 ，即 ．故C错误；
对于D选项，由AB选项分析可知， 在 上单调递增，
又 ， ，
则 .由 ，即 ，即有
，
又 ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以
，
其中 .由B选项分析可知， ，其中 时取等号，则 ，
其中 时取等号，所以 ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分
离参数法将问题转化为求最值.
对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.
6．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 ，则（ ）
A．存在唯一实数 ，使函数 图象关于直线 对称
56B．存在实数 ，使函数 为单调函数
C．任意实数 ，函数 都存在最小值
D．任意实数 ，函数 都存在两条过原点的切线
【答案】ACD
【分析】根据对称性先用特殊值求得 的值，再判断对称性是否对所以自变量均成立即可
判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点
判断方程的实根个数即可判断D.
【详解】对于A，若函数 图象关于直线 对称，则 恒成立
所以 且 ，所以 ，解得 ，
且当 时， ，则
，
所以存在唯一实数 ，使函数 图象关于直线 对称，故A正确；
对于B， ， ，则 ，所以函数 不是单调函数，
故B不正确；
对于C，由于 ，又令 ，则
恒成立，
所以 在 上单调递增，且 ，故 存在唯一的
零点 ，使得 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函
数 单调递增，故对任意实数 ，函数 都存在最小值，故C正确；
对于D，由于 ，设曲线 上的切点坐标为 ，则
，
所以切线方程为 ，当切线过原点时，
有
整理得 ，方程在实数范围内有两个根，故D正确.
故选：ACD.
57三、填空题
7．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且
，则 ______.
【答案】
【分析】根据函数有两个极值点得到 是方程 的两个不相等的实数根，然后分
离变量，构造函数 ，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.
【详解】 ， 是 的两个零点，
即是方程 的两个不相等的实数根，
， 是方程 的两个不相等的实数根.
令 ，则 .
当 或 时， ；
当 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ；当 时， .
，且 .
由 ，得 ，
， ，由 ，即 .
故答案为： .
8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若 ，则
的取值范围是____________.
【答案】
【分析】根据题意，将不等式变形然后转化为一元二次不等式恒成立问题，将范围转化为
函数的值域问题，再结合导数即可得到结果.
58【详解】
，原不等式变形得 .
， 或 ，
，
由于 ，
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增， 无最大值，不符合题意；
若 ，则 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
综上： ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
所以 有两个零点 ，
由 得
，当且仅当 时等号成立.
，
且当 ， ， 单调递增，且当 ， ， 单调递减；
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 的取值范围是 .
59故答案为：
【点睛】解答本题的关键在于先转化为恒成立问题，再构造函数，结合导数作为工具研究
函数的最值，即可得到结果.
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：存在 ， 且 时， .
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）要使 ，即 ，求得 ，得到 的单调性和最
值，即可求出实数a的值；
（2）求得 ，设 ，得到 ，利用导数性质推
导出 是 在 的唯一极大值点，即可证明.
【详解】（1）解：由函数 ，可得其的定义域为 ，且
，
因为 ，且 ，故只需 ，
又因为 ，则 ，解得 ，
当 时，则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在（1，+∞）上单调递增.
所以 是 的唯一极小值点，故 ，
综上可得，实数 的值为1.
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
设 ，则
当 时， ；当 时， ，
60所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又由 ，
所以 在 有唯一零点 ，在 上有唯一零点1，
且当 时， ；当 时 ，
因为 ，所以 是 的唯一极大值点.
即 是 在 的最大值点，所以 成立.
10．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求定义域，求导后，对 进行分类讨论，即可得到函数的单调性；
（2）由题意，可取 ，得 ，对原不等式进行放缩可得 ，构
造函数 ，求导得 ，再构造
，求导得 ，取特殊值可得 的最小值为正数，
所以可知 在 处取得极小值，可得 ，所以 恒成立，
故实数 的取值范围是 .
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，由 ，解得： ，由 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上：当 时， 在 上单调递减；
61当 时， 在 上单调递减，在， 上单调递增.
（2）由 ，得 ，
取 时，得 ，所以 ，
下证： ，即证： ，
令 ，则 ，
构造 ，则 ，
易知 在 上是单调递增函数，
又 ， ，
在 上存在唯一零点，设该零点为 ，
且满足 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
当 时， ，当 时， ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
在 上恒成立，即 ，
在 上恒成立，
故实数 的取值范围是 .
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以
下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
624、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或
求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数
与单调性等解决.
【附录-导数与函数的极值、最值思维导图思维导
图】
6364
