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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 09 导数中的极值点偏移问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、极值点偏移基本定义
对于函数 在区间 内只有一个极值点 ，函数 与直线 交于点 ，
两点，即 ，且 .
(1)若 ，则称函数 在区间 上极值点 偏移.
(2)若 ，则称函数 在区间 上极值点 向左偏移，简称极值点左偏.
(3)若 ，则称函数 在区间 上极值点 向右偏移，简称极值点右偏.
如上图所示， 为函数的极值点， 处对应的曲线的切线的斜率为
由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有 ；
当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有 。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时， ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有 。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移， 和 处对应的函数值相等，我们可以作 关于
的对称点 ，则 ，且 ，故 ，即 ，故我们可
以构造函数 ，只需要判断函数 的单调性，然后根据单调性判断函数的最
小值，只要满足 ，我们就可以得到 。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及
凹函数极值点左移或右移的构造函数。
二、答题模板（对称构造）
若已知函数 满足 ， 为函数 的极值点，求证： .
（1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 ；
假设此处 在 上单调递减，在 上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]
（2）构造 ；
注：此处根据题意需要还可以构造成 的形式.[来源:Zxxk.Com]
（3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 与的大小关系；
假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 ，从而得
到： 时， .
（4）不妨设 ，通过 的单调性， ， 与 的大小关系得出
结论；
接上述情况，由于 时， 且 ， ，故
，又因为 ， 且
在 上单调递减，从而得到 ，从而 得证.
（5）若要证明 ，还需进一步讨论 与 的大小，得出 所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为 ，故 ，
由于 在 上单调递减，故 .
三、其他方法1.比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化为
单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.对数均值不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3.指数不等式
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： .
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【详解】（1） ，
该方程有两个不等实根，由 ，
所以直线 与函数 的图象有两个不同交点，
由 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，因此 ，
当 时， ，当 ， ，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需 ，即 的取值范围为 ；
（2）因为 是函数 的两个极值点，
所以 ，由（1）可知： ，不妨设 ，
要证明 ，只需证明 ，显然 ，
由（2）可知：当 时， 单调递增，所以只需证明 ，
而 ，所以证明 即可，
即证明函数 在 时恒成立，
由 ，
显然当 时， ，因此函数 单调递减，
所以当 时，有 ，所以当 时， 恒成立，因此命题得以证明.
【典例2】已知函数
(1)当 ，研究 的单调性；
(2)令 ，若存在 使得 ，求证 .
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
(1) ， ，在 上单调递增，且 ，所以
时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增；(2) ，（ ），
时 ， 递增， 时， ， 递减，
时， ，
存在 使得 ，则 ，令 ， ，
，令 ，
则 ， 在 上单调递增， ， ，
， ， .
【题型训练1-刷真题】
1.（2022届高考全国卷甲理22题）已知函数 ．
（1）若 ,求a的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ,则 ．
2.（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【题型训练2-刷模拟】
1 . 对称构造一、解答题
1．已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
2．已知函数 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
3．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最大值；
(2)设函数 有两个零点 ，证明： ．
4．已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)当 有两个零点时，分别设为 ， ，试判断 与2的大小关系，并证明.
5．已知函数 （ ）．(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
2 . 比值代换
一、解答题
1．设 ，函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 无零点，求实数 的取值范围；
（3）若 有两个相异零点 ，求证： ．
2．已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的零点个数；
（2）设 ， 是函数 的两个零点，证明： .
3．已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .4．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个不相同的零点 ，设 的导函数为 .证明： .
3 . 含指数、对数式
一、解答题
1．已知函数 有两个零点．
（1）求 的取值范围；
（2）设 ， 是 的两个零点，证明： ．
2．已知函数 ， .
（1）若函数 是 上的增函数求 的取值范围；
（2）若函数 恰有两个不等的极值点 、 ，证明： .
3.已知函数 与直线 交于 两点．
求证：
4．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；（2）设 ，证明：当 时， ；
（3）若函数 的图象与 轴交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明： ．
