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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 16 讲 导数与函数的极值、最值（精讲）
①求函数的极值与极值点
②极值、极值点中的参数问题
③求函数的最值
④最值中的参数问题
一、必备知识整合
一、函数的极值
1.定义
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极大
值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极小值，记作
．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点．
2.求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那
么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左侧与右侧， 的符号导号.
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.另
外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论： 为
可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点.
二、函数的最值
1.定义
函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极大值
的端点之间的最小者．
2.求可导函数 最值的一般步骤
一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上
的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是
对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
（1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
（2）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有
解问题有以下结论：不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
（3）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（4）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（5）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（6）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（7）对于任意的 ， 使得 ；
（8）对于任意的 ， 使得 ；
（9）若存在 ，总存在 ，使得
（10）若存在 ，总存在 ，使得 ．
二、考点分类精讲
【题型一 求函数的极值与极值点】
利用导数研究函数极值问题的一般流程【典例1】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数 ， 的图象在
处的切线交 轴于点 .
(1)求实数 的值；
(2)求函数 的极值.
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 的极小值点为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 处取得最大值
B． 在区间 上单调递减
C． 在 处取得极大值
D． 在区间 上有2个极大值点4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数 ，则函数 （ ）
A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值
C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值
5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 ，则函数 的极小值点为（ ）
A． 或 B． C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型二 极值、极值点中的参数问题】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法
求解后必须验证根的合理性.
【典例1】（2024·辽宁·一模）已知函数 在 处有极值8，则 等于 ．
【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期末）若函数 存在极值点，则实数a的取值范
围为 ．
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）设 为实数，若函数 在 处取得极小值，则 （ ）A．1 B． C．0 D．
2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数 在 处有极小值 ，则 的值等
于（ ）
A．0 B． C． D．6
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 在区间 上有极值点，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在 处有极大值，则实数 的值为（ ）
A．1 B． 或
C． D．
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数 在 处取得最值，且 在 上恰
有两个极值点，则 （ ）
A．4 B．10 C． D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 有极值点在闭区间 上，则 的取值
范围为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【题型三 求函数的最值】
1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并
通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【典例1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 的最值．
一、解答题
1．（23-24高三上·天津·期中）已知函数 .
(1)求 的单调区间与极值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值.2．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值．
3．（2024·河北秦皇岛·三模）已知 ，函数 的图象在点 处的切线与两坐标
轴围成的三角形的面积为2.
(1)求 的值；
(2)求 在 上的值域.
4．（2024·江西南昌·一模）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)求 的最大值.
5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 的最大值．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．讨论函数 的最值；
【题型四 最值中的参数问题】
已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，
通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问
题得以解决.【典例1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若当 时， 恒成立，求实数m的取值范围.
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数 ，若存在 ，使得
成立，则实数m的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
3．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知 ，函数 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
二、填空题
4．（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 ．
5．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若函数 在 内有最小值，则实数 的取值
范围是 .
