第16讲存在与任意问题（微专题）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 16 讲 存在与任意问题（微专题） 题型一 、 函数的存在问题 f xex cosx2a gxx x x 0, 例1、（2021·山东济宁市·高三二模）设函数 ， ，若存在 1、 2 使得 f x 1  gx 2  成立，则 x 2 x 1的最小值为1时，实数 a ______． 1  【答案】 2 Fx f xgxex cosx2ax 【解析】设 ， f x  gx  x ex 1 cosx 2a x x ex 1 x cosx 2a 由 1 2 可得 2 1 ， 2 1 1 1 ， x x Fx 0,  2 1的最小值为1，即求函数 在区间 上的最小值为1， Fxex 1sinx x0, x0, sinx0 ex 10 Fx0 且 ，当 时， ， ，则 ， Fx 0, 所以，函数 在区间 上为增函数， 1 a  Fx  F02a 1 所以， ，解得 2. min 1  故答案为： 2 . 变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数 存在最小值，则实数a的 取值范围为___________. 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，则 .当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，得 ， 若 时， 在 上单调递增，在 单调递减，在 上单调递增，要使得 存在最 小值，则 ，所以 ，此时 ； 若 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，要使得 存在最小值，则 ，此时 ； 若 时， 在 上单调递减， 上单调增，则 存在最小值. 综上，则实数a的取值范围为 . 故答案为： . 变式2、（山东省威海市2020-2021学年高三模拟）若关于 的方程 在 （0，+ ） 上有两 个不等的实数根，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故 则设 ， 故 在（1，+ ）上为减函数， . 故 时 ； 时 . 故 在 上为增函数，在（1，+ ）上为减函数. ， 且 时 ； 时 与 的图象要有两个交点 则 的取值范围为 . 故选：B 方法总结：函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采 用参变分离法，可遵循以下两点原则： ① ，则只需要 ，则只需要 ② ，则只需要 ，则只需要 题型二、 函数的恒成立问题 f xex aelnexa x f x0 例2、（2021·山东济南市·高三二模）已知函数 ，若关于 的不等式 a 恒成立，则实数 的取值范围为______．,0 【答案】 e2 e3 a f(x)ex  f(x)ex  0 x 【解析】 exa ， (exa)2 在 e 恒成立，   a  a   ,  x  f(x)在 e 单调递增， e 时， f(x)，x, f(x)，   a  e2 x 0     e ,   使得 fx 0，即 ex 0  ex a 0 ； 0 0 a   x x , f(x)0 且 e 0 ， x x , f(x)0 ， 0  a   ,x  f(x)在   e 0  单调递减，在 x 0 , 单调递增， e2 e2  elne2x 0 aex  2ea  f(x)�f x 0  ex 0 a 0 ex 0 a e2 ex 0 aelnex a elnex aa 0 ex a 0 0 e2 ex a 2e2a 0 ex a 厖2e2e2a 0，解得：a0， ,0 实数 a 的取值范围为 ， ,0 故答案为： . 变式1、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)已知函数f(x)＝x3＋mx，若f(ex)≥f(x－1)对x∈R恒成 立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】[－1，＋) 【解析】由题意可知，令h(x)＝ex－(x－1)，易可知h(x)≥2恒成立，且f′(x)＝3x2＋m，则当m≥0时，f′ (x)≥0，即f(x)在R上单调递增，则f(ex)≥f(x－1)对x∈R恒成立，满足题意；当m＜0时，因为函数f(x)为 奇函数，所以可得2≤2，解得m≥－1，则－1≤m＜0，综上，实数m的取值范围为[－1，＋)．变式2、【2019年高考天津理数】已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， 恒成立； 当 时， 恒成立， 令 ， 则 ， 当 ，即 时取等号， ∴ ，则 . 当 时， ，即 恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减， 则 时， 取得最小值 ， ∴ ， 综上可知， 的取值范围是 . 故选C. 变式3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知函数f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，若对于任意x ， 1 x∈(0，1]，都有f(x)≥g(x)成立，则a的取值范围为 ． 2 1 2 【答案】[0，＋∞) 【解析】由题意，f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，且对于任意x ，x∈(0，1]，都有f(x)≥g(x)成立，则 1 2 1 2 f(x) ≥g(x) ，因为g(x)＝4x－2在(0，1]上单调递增，所以g(x) ＝g(1)＝2，所以ax－x2＋3≥2对于任意 1 min 2 max max 任意x∈(0，1]恒成立，即a≥x－对于任意x∈(0，1]恒成立，又在区间(0，1]上单调递增，所以h(x) ＝ max h(1)＝0，所以a≥0，则a的取值范围为[0，＋∞)． 变式4、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知直线 恒在函数 的图象的上方，则 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】很明显 ， 否则 时，函数 单调递减，且 时 ， 而 当 时 ，不合题意， 时函数 为常函数， 而 当 时 ，不合题意， 当 时，构造函数 ， 由题意可知 恒成立，注意到： ， 据此可得，函数在区间 上的单调递减，在区间 上单调递增，则： ， 故 ， ， 构造函数 ，则 ，还是 在 处取得极值， 结合题意可知： ，即 的取值范围是 . 故选：A. 方法总结：函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采 用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分 离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他 方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复 杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析 法“中的相关题目） 参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设 为自变量，其范围设为 ， 为函数； 为参数， 为其表达式）（1）若 的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要 ② ，则只需要 ，则只需要 题型三、函数的存在与恒成立的综合问题 例3、已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对任意的x∈[0,3]，存在x∈[1,2]，使得f(x)≥g(x)，则实数m 1 2 1 2 的取值范围是 ；若对任意的x∈[0,3]，任意x∈[1,2]，有f(x)≥g(x)，则实数m的取值范围是 . 1 2 1 2 变式1、已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x∈，∃x∈[2,3]，使得f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围 1 2 1 2 是 . 【答案】【解析】①当x∈[0,3]时，f(x) ＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x) ＝g(2)＝－m.对任意的x∈[0,3]，存在 min min 1 x∈[1,2]，使得f(x)≥g(x)等价于f(x) ≥g(x) ，即0≥－m，所以m≥. 2 1 2 1 min 2 min ②当 x∈[0,3]时，f(x) ＝f(0)＝0，当 x∈[1,2]时，g(x) ＝g(1)＝－m.对任意的 x∈[0,3]，任意 min max 1 x∈[1,2]，有f(x)≥g(x)，等价于f(x) ≥g(x) ，即0≥－m，所以m≥. 2 1 2 1 min 2 max 变式1、已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x∈，∃x∈[2,3]，使得f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围 1 2 1 2 是 . 【答案】 【解析】 由题意知f(x) ≤g(x) .因为f(x)＝x＋在上是减函数，所以f(x) ＝f＝.又g(x)＝2x＋a在[2,3]上 1 max 2 max max 是增函数，所以g(x) ＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. max 方法总结：存在于恒成立的综合性问题主要存在一下几方面的题型 1、 设函数 f(x)，g(x)，对任意的 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≥g(x )，则 1 2 1 2 f(x ) ≥g(x ) . 1 min 2 min 2、 设函数 f(x)，g(x)，对任意的 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≤g(x )，则 1 2 1 2 f(x ) ≤g(x ) . 1 max 2 max 3、设函数f(x)，g(x)，存在x ∈[a，b]，存在x ∈[c，d]，使得f(x )≥g(x )，则f(x ) ≥g(x ) . 1 2 1 2 1 max 2 min 4、 设函数f(x)，g(x)，存在x ∈[a，b]，存在x ∈[c，d]，使得f(x )≤g(x )，则f(x ) ≤g(x ) . 1 2 1 2 1 min 2 max