第16讲存在与任意问题（微专题）（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 16 讲 存在与任意问题（微专题） 题型一 、 函数的存在问题 f xex cosx2a gxx x x 0, 例1、（2021·山东济宁市·高三二模）设函数 ， ，若存在 1、 2 使得 f x 1  gx 2  成立，则 x 2 x 1的最小值为1时，实数 a ______． 变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数 存在最小值，则实数a的 取值范围为___________. 变式2、（山东省威海市2020-2021学年高三模拟）若关于 的方程 在 （0，+ ） 上有两 个不等的实数根，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 方法总结：函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采 用参变分离法，可遵循以下两点原则： ① ，则只需要 ，则只需要 ② ，则只需要 ，则只需要 题型二、 函数的恒成立问题 f xex aelnexa x f x0 例2、（2021·山东济南市·高三二模）已知函数 ，若关于 的不等式 a 恒成立，则实数 的取值范围为______． 变式1、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)已知函数f(x)＝x3＋mx，若f(ex)≥f(x－1)对x∈R恒成 立，则实数m的取值范围为 ．变式2、【2019年高考天津理数】已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 变式3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知函数f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，若对于任意x ， 1 x∈(0，1]，都有f(x)≥g(x)成立，则a的取值范围为 ． 2 1 2 变式4、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知直线 恒在函数 的图象的上方，则 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 方法总结：函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采 用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分 离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他 方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复 杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析 法“中的相关题目） 参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设 为自变量，其范围设为 ， 为函数； 为参数， 为其表达式）（1）若 的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要 ② ，则只需要，则只需要 题型三、函数的存在与恒成立的综合问题 例3、已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对任意的x∈[0,3]，存在x∈[1,2]，使得f(x)≥g(x)，则实数m 1 2 1 2 的取值范围是 ；若对任意的x∈[0,3]，任意x∈[1,2]，有f(x)≥g(x)，则实数m的取值范围是 . 1 2 1 2 变式1、已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x∈，∃x∈[2,3]，使得f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围 1 2 1 2 是 . 方法总结：存在于恒成立的综合性问题主要存在一下几方面的题型 1、 设函数 f(x)，g(x)，对任意的 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≥g(x )，则 1 2 1 2 f(x ) ≥g(x ) . 1 min 2 min 2、 设函数 f(x)，g(x)，对任意的 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≤g(x )，则 1 2 1 2 f(x ) ≤g(x ) . 1 max 2 max 3、设函数f(x)，g(x)，存在x ∈[a，b]，存在x ∈[c，d]，使得f(x )≥g(x )，则f(x ) ≥g(x ) . 1 2 1 2 1 max 2 min 4、 设函数f(x)，g(x)，存在x ∈[a，b]，存在x ∈[c，d]，使得f(x )≤g(x )，则f(x ) ≤g(x ) . 1 2 1 2 1 min 2 max