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第16讲 函数模型及其运用
【基础知识全通关】
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝ k x ＋ b( k ≠ 0 ).
(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)对数函数模型：y＝mlogx＋n(a>0，a≠1，m≠0).
a
2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数 y＝ax y＝logx y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现为与 y 轴 平 随x的增大逐渐表现为与 随n值变化
图象的变化
行 x 轴 平行 而各有不同
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有logx0,f(x)单调递增;
当x∈(9,10)时,f '(x)<0,f(x)单调递减.
1
故f(x) =f(9)=81×9- ×93-100=386.
max 3
当100.2, 不符合要求.
150 x 150 x 150
当y=4lg x-3时,该函数在定义域上为增函数,最大值为9.
y 20−xln10
≤ 0.2⇔ y-0.2x≤ 0. 令 g(x)=4lg x-3-0.2x, 则 g'(x)= <0. 所 以
x 5xln10
y
g(x)≤g(10)=-1<0,即 ≤0.2.故函数y=4lg x-3符合公司的要求.
x4.某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天
到该商场领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前
一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1 200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几
天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?
【解析】设促销奖的领奖活动为x天,三种方式对应的奖品总价值分别为f(x),g(x),h(x)
(f(x),g(x),h(x)的单位均为元).
则f(x)=40x;g(x)=10+20+30+…+10x=5x2+5x;
h(x)=0.4+0.4×2+0.4×22+…+0.4×2x-1=0.4·2x-0.4.
要使奖品总价值不超过1 200元,则
{ f (x)≤1 200, { x≤30,
g(x)≤1 200, x2+x-240≤0,
即 解得x<12,x∈N.
h(x)≤1 200, 2x≤3 001,
x∈N, x∈N,
又f(11)=400,g(11)=660,h(11)=818.8,所以h(11)>g(11)>f(11).
故促销奖的领奖活动最长设置为11天,在这11天内选择方式三会让领奖者受益最多.
【巩固提升】
1．一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于500mg，病人就危
险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时 的比例衰
减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
求出药物保有量随时间 的关系式，列不等式求解可得．
【详解】设 小时保有量为 mg，则 ，
由 ， ， ，
所以 ．
故选：A．
2.视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：① ，② ， 表示小数记录数据， 表示五
分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视
力为 ，则小明同学的小数记录数据为（附 ， ， ）（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令 ，解方程即可得
解.
【详解】
由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为 ，
令 ，解得 .
故选：B.
3．生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量 （单位：mg）与时间 （单位：
年）近似满足数学函数关系式 ，其中 为抗生素的残留系数．经测试发
现，当 时， ，则抗生素的残留系数 的值约为（ ）
A．10 B． C．100 D．
【答案】B
【解析】
将 ， 代入给定的函数关系，解指数方程即得.
【详解】
当 时， ，则 ， ， ，即
，故 .
故选：B
4.某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加
0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为
120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女
生训练后，立定跳远距离增加了（ ）
A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米
【答案】B
【解析】
根据到1.84米得90分，先求得该女生训练前立定跳远距离，再求得训练后立定跳远距离，
两者相减即可.
【详解】该女生训练前立定跳远距离为 （米），
训练后立定跳远距离为 （米），
则该女生训练后，立定跳远距离增加了 （米）.
故选：B．
5．在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量
( 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为 ，其中 为环境最
大容量.当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）
A．63 B．65 C．66 D．69
【答案】B
【解析】
由给定模型计算出P(t)，建立方程，求解即得.
0
【详解】
由题意知， ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：B
6.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M用距震
中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公
式为： （其中常数 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅； 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．
地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． （单
位：焦耳），其中M为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的
倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震
中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ）
A．2A B．10A C．100A D．1000A
【答案】C
【解析】
设甲地地震震级为 ，乙地地震震级为 ，首先根据题意求得 ，代入里
氏震级的计算公式为： 求出 即可.
【详解】
设甲地地震震级为 ，乙地地震震级为 ，
因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 倍，
所以 ,故 ，
又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A
因为 ，所以 ，
解得： ，
甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为 .
故选：C.
7.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量 水价
不超过 的部分 3元/
超过 但不超过 的部分 6元/
超过 的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.
【详解】
设此户居民本月用水量为 ,缴纳的水费为 元,
则当 时, 元,不符合题意;
当 时, ,令 ,解得 ,符合题
意；
当 时, ,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15 .
故选：C.
8. 年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成
了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的
关系是：贫困户年总收入y（元）=1200+ 年扶贫资金（元）+ 年自投资金（元）
自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力， 年自投资金 元，以后每年的自投资金均比上一年增长 ， 年获得的扶贫资金为 元，以后每年
获得的扶贫资金均比上一年减少 元，则该贫困户在 年的年总收入约为
（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】B
【解析】
根据题意，分别求得 年的自投资金和扶贫资金，进而求得该贫困户 年的年总收
入，得到答案.
【详解】
由题意， 年的自投资金为 （元），
年的扶贫资金为 （元），
所以该贫困户 年的年总收入约为
（元）．
故选：B.
9.声强级 （单位：dB）由公式 给出，其中 为声强（单位：W/m2）
一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一
般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）
A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍
【答案】C
【解析】
根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.
【详解】
设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，平时常人交谈时声强为 ，由题意得
解得
∴
故选：C
10.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富
书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 截去同心扇形 所得部分．已知扇环
周长 ，大扇形半径 ，设小扇形半径 ， 弧
度，则
① 关于x的函数关系式 _________．
②若雕刻费用关于x的解析式为 ，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值
为________．
【答案】 ， ；
【解析】
利用弧长公式求 与 根据扇环周长可得 关于x的函数关系式；根据扇形面积公式
求出扇环面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.【详解】
由题意可知， ， ， ，
所以 ， ， ，
扇环周长 ，
解得 ，
砖雕面积即为图中环形面积，记为 ，
则
，
即雕刻面积与雕刻费用之比为 ，
则 ，
令 ，则 ，
，当且仅当 时（即 ）取等号，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为 .
故答案为： ， ；
11.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大
约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据： )
【答案】60
【解析】
设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为 ，可得不等式 ，两边取对数解不等式，即可
得到答案；
【详解】
设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为 ，
，
故答案为： .
20 r
12.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来 天内,这种水果每箱的销售利润
1
r t10
(单位:元)与时间t(1t 20,tN ,单位:天)之间的函数关系式为 4 , 且日销售
y t y 1202t
量 (单位:箱)与时间 之间的函数关系式为
①第4天的销售利润为__________元;
20 1 m(mN* )
②在未来的这 天中,公司决定每销售 箱该水果就捐赠 元给 “精准扶贫”
对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则 m 的最小值是
__________．
【答案】1232 5
【解析】1
r4 41011 y412024112
①因为 4 ， ，所以该天的销售利润为
111121232
；
1
W yrm1202t t10m
②设捐赠后的利润为W 元，则 4 ，
1
W t2 2m10t1200120m
化简可得， 2 ．
W f t
t 2m10
令 ，因为二次函数的开口向下，对称轴为 ，为满足题意所以，
2m1020
f 10 ，解得 ．
nN*
m5
故答案为：①1232；②5．
13.基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者
0
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数
增长率r与R，T近似满足R=1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新
0 0 0
冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.7天 D．3.6天
【答案】D
【解析】
根据所给模型求得 ，令 ，求得 ，根据条件可得方程 ，然后解出 即
可．
【详解】
把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，两边取对数得 ，解得 ．
故选：D
14.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条
件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常
数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时
间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【答案】B
【解析】
(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5) pat2 btc
由图形可知，三点 都在函数 的图象上，
9a3bc0.7
{16a4bc0.8
所以 ，解得 ，
25a5bc0.5 a 0.2,b1.5,c2
15 13 15
0.2(t )2 t 3.75
所以 p0.2t2 1.5t2 4 16，因为t 0，所以当 4 时， p
取最大值，
故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.
15.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： ）满足函数关系
（ 为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0 的保鲜时间设计192
小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是 小时.
【答案】24【解析】
1
由题意得：¿，所以x=33时，y=e33k+b=(e11k ) 3 ⋅eb= ×192=24.
8
16.为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利
用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万
元，每生产x万件，需另投入可变成本 万元，在年产量不足8万件时，
（万元）；在年产量不小于8万件时， （万元）．
每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润 （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润 年销售
收入 固定成本 可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ；
（2）年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
【解析】
（1）由题意列出解析式，再写成分段函数的结构；
（2）分别求出每一段的最大值，即可得到利润的最大值，及取最大值时的产量.
【详解】
（1）当 时， ，
当 时， ，所以
（2）当 时， ，即 时，
最大；
当 时，因为 ，所以 ，所以
，当且仅当x=10时，
所以 ，此时x=10.
即年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
17.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地
上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（040，
x
即x2−65x+900>0，
解得x<20或x>45，
∴x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当0
