文档文本内容
第16讲 函数模型及其运用
【基础知识全通关】
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝ k x ＋ b( k ≠ 0 ).
(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)对数函数模型：y＝mlogx＋n(a>0，a≠1，m≠0).
a
2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数 y＝ax y＝logx y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现为与 y 轴 平 随x的增大逐渐表现为与 随n值变化
图象的变化
行 x 轴 平行 而各有不同
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有logx<xn<ax
0 0 a
【重点总结】
解答函数应用题的一般步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立
相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【考点研习一点通】
考点01 ：一次函数与分段函数模型
1.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高
160 及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 及其以上的是理所当然
的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系
数k关于身高 的函数关系式___________.
【变式1-1】某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种
优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元
【变式探究1-2】某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购
买饲料优惠政策如下：
（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；
（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折
优惠.
某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元
A．540 B．620 C．640 D．800
考点02：二次函数模型
2、山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞
争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场
价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预
测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香
菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保
存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y
与x之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=
销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【变式2-1】共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公
里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某
自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000
元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单
位：元)满足分段函数h(x)＝其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
考点03：指数函数模型
3、“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古
代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整
合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位： ）满足函数关系
（a，b为常数），若该果蔬在6 的保鲜时间为216小时，在24 的保鲜时间
为8小时，那么在12 时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时．
A．72 B．36 C．24 D．16
3
【变式3-1】一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有4 的质量发生衰变,剩
1
余质量为原来的4 .若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ）
3 4 5 6
A． B． C． D．
考点04：对数函数模型
4、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
5 E
lg 1
m
2
−m
1
=2 E
2
，其中星等为m
k
的星的亮度为E
k
（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天
狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【变式4-1】科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 可定义为 .2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里
氏 级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏 级地震，则自贡地震所散发出来的能
量是余江地震所散发出来的能量的（ ）倍．
A． B． C． D．
【变式4-2】声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的
最小声强为 （瓦/平方米）.对于一个声音的声强 ，用声强 与 比值的常用对
数的10倍表示声强 的声强级，单位是“分贝”，即声强 的声强级是 （分贝）.
声音传播时，在某处听到的声强 与该处到声源的距离 的平方成反比，即 （ 为
常数）.若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声
强不小于 ）的位置到声源的最大距离为（ ）
A．100米 B．150米 C．200米 D． 米
考点05：分式函数模型
5、上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通
车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 ， ，经测算，在某一时
段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当 时地铁可达到满载状态，载客量为
1200人，当 时，载客量会减少，减少的人数与 的平方成正比，且发车时
间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为 .（1）求 的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间
间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【变式5-1】某工厂有旧墙一面长 ，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积
为 的厂房．工程条件是：①建 新墙的费用为 元；②修 旧墙的费用是 元；
③拆去 旧墙，用所得的材料建 新墙的费用为 元．利用旧墙的一段 为矩
形厂房的一面边长：
（1）向如何利用旧墙，即 为多少时建墙费用最省，最省费用是多少？
（2）由于地理位置的限制，厂房另一边长（旧墙的临边）不能超过 ，如何利用旧墙
使总费用最省？
【考点易错】
1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)(单位:万
1
{ 108− x2(0<x≤10),
元),且R(x)= 3
175
-x+ +57(10<x≤25).
x
(1)写出年利润f(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销
售收入-年总成本)
2.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色
小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)
{5(x2+2),0≤x≤2,
满足如下关系:W(x)= 其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x
50x
,2<x≤5,
1+x
元.已知这种水果的市场价大约为
15元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位:元).
(1)求f(x)的函数关系式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
3.某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元~1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:资金y(单位:万元)随收益x(单位:万元)的增加而增加,
且资金总数不超过9万元,同时资金总数不超过收益的20%.
y
(1)若建立奖励方案的函数模型为 y=f(x),试研究这个函数的定义域、值域和 的取值范
x
围;
x
(2)现有两个奖励方案的函数模型:①y= +2;②y=4lg x-3.试分析这两个函数模型是否
150
符合公司的要求,并说明理由.
4.某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天
到该商场领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前
一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1 200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几
天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?【巩固提升】
1．一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于500mg，病人就危
险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时 的比例衰
减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（ ）
A． B． C． D．
2.视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：① ，② ， 表示小数记录数据， 表示五
分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视
力为 ，则小明同学的小数记录数据为（附 ， ， ）（
）
A． B． C． D．
3．生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残
留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量 （单位：mg）与时间 （单位：
年）近似满足数学函数关系式 ，其中 为抗生素的残留系数．经测试发现，当 时， ，则抗生素的残留系数 的值约为（ ）
A．10 B． C．100 D．
4.某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加
0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为
120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女
生训练后，立定跳远距离增加了（ ）
A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米
5．在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量
( 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为 ，其中 为环境最
大容量.当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）
A．63 B．65 C．66 D．69
6.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M用距震
中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公
式为： （其中常数 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大
振幅； 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．
地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． （单位：焦耳），其中M为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的
倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震
中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ）
A．2A B．10A C．100A D．1000A
7.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 的部分 3元/
超过 但不超过 的部分 6元/
超过 的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A． B． C． D．
8. 年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成
了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的
关系是：贫困户年总收入y（元）=1200+ 年扶贫资金（元）+ 年自投资金（元）
自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力， 年自投资金 元，以
后每年的自投资金均比上一年增长 ， 年获得的扶贫资金为 元，以后每年
获得的扶贫资金均比上一年减少 元，则该贫困户在 年的年总收入约为
（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
9.声强级 （单位：dB）由公式 给出，其中 为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一
般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）
A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍
10.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富
书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 截去同心扇形 所得部分．已知扇环
周长 ，大扇形半径 ，设小扇形半径 ， 弧
度，则
① 关于x的函数关系式 _________．
②若雕刻费用关于x的解析式为 ，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值
为________．
11.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大
约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整
数)(参考数据： )
20 r
12.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来 天内,这种水果每箱的销售利润
1
r t10
(单位:元)与时间t(1t 20,tN ,单位:天)之间的函数关系式为 4 , 且日销售
y t y 1202t
量 (单位:箱)与时间 之间的函数关系式为
①第4天的销售利润为__________元;20 1 m(mN* )
②在未来的这 天中,公司决定每销售 箱该水果就捐赠 元给 “精准扶贫”
对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是
__________．
13.基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者
0
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数
增长率r与R，T近似满足R=1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新
0 0 0
冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.7天 D．3.6天
14.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条
件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常
数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时
间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
15.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： ）满足函数关系
（ 为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0 的保鲜时间设计192
小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是 小时.
16.为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利
用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本 万元，在年产量不足8万件时，
（万元）；在年产量不小于8万件时， （万元）．
每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润 （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润 年销售
收入 固定成本 可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
17.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地
上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0<x<100）的成员自
驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x)=¿（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不
受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意
义．
