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第10讲 函数模型及其应用
最新考纲 考向预测
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长 考查根据实际问题建立函数模型解决
特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等 问题的能力，常与函数图象、单调性、
命题
不同函数类型增长的含义． 最值及方程、不等式交汇命题，预计高
趋势
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 考对本讲考查将延续近几年的考查风
函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社 格，各种题型均有可能，属中档题.
会生活中的广泛应用． 核心
数学建模、数学运算
素养
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
指数函数模型
a>0且a≠1，b≠0)
f(x)＝blog x＋c
a
对数函数模型
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
在(0，＋∞)
增函数 增函数 增函数
上的单调性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x值增大，图象与y 随x值增大，图象与x
图象的变化 随n值变化而不同
轴接近平行 轴接近平行
常用结论
1．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成
倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
常见误区
1．解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，考生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不
会做或函数解析式写错．
2．解应用题建模后一定要注意定义域．
3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的
增长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log x
2
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入
计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log x，可知满足题意．
2
3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(
)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故
A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2
月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的
平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
4．(易错题)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶
千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得y＝
答案：y＝
5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的
生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月
应生产该商品数量为________万件．
解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝
－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．
答案：18
用函数图象刻画变化过程
[题组练透]
1．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画
出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状
况的正确判断是( )
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
解析：选BD.由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故A错误，B项正确；最后两小时
内没有生产产品，故C项错误，D项正确．故选BD.
2．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，
当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时
间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后
快，故选B.
3．(多选)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑
到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时
间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个
固定位置不可能是图1中的( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
解析：选ABC.假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函
数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y
的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，
从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小时的距离，
而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，故选
ABC.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图
象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否
吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．
已知函数模型求解实际问题
人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：
W/m2)满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上课
时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强
度的( )
A．1倍 B．10倍
C．100倍 D．1 000倍
【解析】 设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为 xW/m2，
1xW/m2，
2
根据题意得d(x)＝9lg ＝63，解得x＝10－6，
1 1
d(x)＝9lg ＝54，解得x＝10－7，所以，＝10，
2 2
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B.
【答案】 B
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c
为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A
的值分别是( )
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
解析：选D.由题意可知4<A，则
解得
构建函数模型解决实际问题
角度一 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
(2021·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学
毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定
成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2
＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生
产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－
固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】 (1)因为每件商品售价为6元，
则x万件商品销售收入为6x万元．
依题意得
当0<x<8时，
P(x)＝6x－－2＝－x2＋4x－2，
当x≥8时，
P(x)＝6x－－2
＝35－.故P(x)＝
(2)当0<x<8时，P(x)＝－(x－6)2＋10.
此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．
当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2＝15(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号)．
此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．
因为10<15，所以当年产量为10万件时，
小王在这一商品的生产中所获利润最大，
最大利润为15万元．
建模解决实际问题的三个步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中
去，得到实际问题的解．
即：
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
角度二 构建指数、对数函数模型
某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2020年全年投入
科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投
入的科研经费开始超过 2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg
2≈0.30)( )
A．2022年 B．2023年
C．2024年 D．2025年
【解析】 若2021年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元，由1
300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以
第4年，即2024年全年投入的科研经费开始超过2 000万元，故选C.
【答案】 C
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型
表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解
析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际
意义．
1．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增
加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，
年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y万元，则y与x
的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝
年销售总收入－年总投资)．
解析：年销售总收入减去年总投资即可得到年利润，年总投资为(x＋100)万元，故函数关
系式为
y＝
当0<x≤20时，x＝16时函数值最大，且最大值为156；当x>20时，y<140.
故年产量为16件时，年利润最大．
答案：y＝ 16
2．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大
0
振幅，A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此
0
时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地
震最大振幅的________倍．
解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A，A，则9＝lg A－lg A＝lg ，
1 2 1 0
则＝109，
5＝lg A－lg A＝lg ，则＝105，所以＝104.
2 0
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
答案：6 10 000
高考新声音系列3 数学与美育教育——“断臂维纳斯”身高推演
2019年高考全国卷Ⅰ数学第4题考查了断臂维纳斯的身高，此题以著名的雕塑“断臂
维纳斯”为命题背景，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育，考查类比归纳与
合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算的核心素养．我们应该为这次高考数学命题者点一个
赞，让维纳斯进入了高考数学，可以说这是一次全国性的数学美的普及活动，使人们对抽象
的数学不得不刮目相看．从该题的命题立意、命题导向、解题途径等方面来看，这道网红题可
圈可点．
(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚
脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也
是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，
则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【解析】 26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故
选B.
【答案】 B
本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．
以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家
熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培
养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．
中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由
黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、
和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为
这个圆的“优美函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；
②函数f(x)＝ln(x2＋)可以是某个圆的“优美函数”；
③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；
⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是________．(填序号)
解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；
②函数f(x)＝ln(x2＋)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上
方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x
的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数
个圆的“优美函数”，③正确；④函数y＝2x＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的
“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比
如“双曲线”．
答案：①③④
[A级 基础练]
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售
400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之
间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log x＋100
2
解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入
数据验证即可得．故选C.
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P
运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝
24－2x，观察四个选项知D项符合要求．
3．“酒驾猛于虎”，所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超
过0.2 mg/mL.假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，
血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则他至少要经过多少个小时后才可以驾驶机动
车．( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.设n个小时后才可以驾驶机动车，则0.8×(1－50%)n＝0.2.解得n＝log 0.25
0.5
＝2.
即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车．故选B.
4．(2020·四川绵阳模拟)2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家
门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：
购票人数 1～50 51～100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1 290元；若合并成一个
团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )
A．20 B．30
C．35 D．40
解析：选B.设两个旅游团队的人数分别为a，b，且a，b∈N*，
不妨令a≥b.因为1 290不能被13整除，所以a＋b≥51.
若51≤a＋b≤100，则11(a＋b)＝990，得a＋b＝90，①
由共需支付门票费为1 290元可知，11a＋13b＝1 290，②
联立①②解得b＝150，a＝－60，不符合题意；
若a＋b>100，则9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③
由共需支付门票费为1 290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，
得11a＋13b＝1 290，④联立③④解得a＝70，b＝40.所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B.
5．(2021·合肥第一次教学检测)射线测厚技术原理公式为I＝Ie－ρμt，其中I，I分别为射线
0 0
穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测
物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线
对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指
将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001)( )
A．0.110 B．0.112
C．0.114 D．0.116
解析：选C.由射线测厚技术原理公式得＝Ie－7.6×0.8μ，所以＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，
0
μ≈0.114，故选C.
6．某购物网站在11月份开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受
“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单
价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．
解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免
100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11
件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
答案：3
7．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 v km/h 的速度直达灾区，已知某
市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全
部到达灾区的最少时间是________h．(车身长度不计)
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km
所用的时间，
因此，t＝＝＋≥2＝12，
当且仅当＝，即 ＝时取等号．
v
故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
答案：12
8．(2021·陕西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据
实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝(如图所示)实验表明，当药物
释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害．
(1)k＝________；
(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经
过________分钟人方可进入房间．解析：(1)由题图可知，当t＝时，y＝1，所以＝1，所以k＝2.
(2)由(1)可知，y＝
当t≥时，y＝，令y<0.75，得t>，
所以在消毒后至少经过小时，即40分钟人方可进入房间．
答案：(1)2 (2)40
9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明： “活水围
网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度
x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，
v
的值为2千克/年；当4<x≤20时，
v
是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，
v
的值为0千克/年．
(1)当0<x≤20时，求
v
关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最
大值．
解：(1)由题意得当0<x≤4时，
v
＝2；当4≤x≤20时，设
v
＝ax＋b，a≠0，
显然
v
＝ax＋b在[4，20]内是减函数，
由已知得
解得所以
v
＝－x＋，
故函数 ＝
v
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x) ＝f(4)＝4×2＝8；
max
当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x) ＝f(10)＝12.5.
max
所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.
因为8<12.5，所以当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为
12.5千克/立方米．
10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，
经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分
钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之
间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库
中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
解：(1)由题意可列方程组
两式相除，解得(2)由题意可列不等式128≤0.5，
所以≤，即t≥8，解得t≥32.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
[B级 综合练]
11．(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有
学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：
I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln
19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
－0.23(t*－53) －0.23(t*－53)
解析：选C. 由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，即＝1＋e ，e
0.23(t*－53)
＝，e ＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C.
12．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．
O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线
BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，
DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为
________cm2.
解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，AM⊥EF于M，交DG于E′，交
BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出
AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，所以∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形，
又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，所以5－3m＝7－5m，得m＝1，所以AF′＝5－3m＝
2，OF′＝7－5m＝2，所以OA＝2，则阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2－＝(cm2)．
答案：＋4
13．某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10～1 000万元的收益．现准备制
定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，
且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合
公司的要求？请说明理由．
解：(1)y＝f(x)的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2]．
(2)①不符合，②符合．理由如下：
当y＝＋2时，＝＋的最大值是>0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由≤0.2可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝<0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递
减，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．
14．(2020·高考江苏卷)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：
谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线
AO上任一点D到MN的距离h(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h ＝a2；右侧曲
1 1
线BO上任一点F到MN的距离h(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h＝－b3＋6b.
2 2
已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上
(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，
桥墩CD与EF的总造价最低？
解：(1)设AA，BB，CD，EF 都与MN垂直，A，B，D，F 是相应
1 1 1 1 1 1 1 1
垂足．
由条件知，当O′B ＝40时，
BB＝－×403＋6×40＝160，则AA＝160.
1 1
由O′A2＝160，得O′A＝80.
所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝ 120(米)．
(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．
设F(x，y)，x∈(0，40)，
2
则y＝－x3＋6x，
2
EF＝160－y＝160＋x3－6x.
2
因为CE ＝80，所以O′C＝80－x，
设D(x－80，y)，则y＝( 80－x)2，
1 1
所以CD＝ 160－y＝160－(80－x)2＝－x2 ＋4x.
1
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f(x)＝k＋k
＝k(0<x<40)．
f′(x)＝k＝x(x－20)，
令f′(x)＝0，得x＝20.
x (0，20) 20 (20，40)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
所以当x＝20时，f(x)取得最小值．
答：(1)桥AB的长度为120米；
(2)当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．
[C级 创新练]
15．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}
表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场
收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时
(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)(
)
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C.如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除
D，故选C.
16．(2021·河南安阳模拟)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog .它表
2
示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功
率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽
W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30%
C．50% D．100%
解析：选A.将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了
＝≈≈10%，故选A.
