文档内容
第10讲 函数模型及其应用
最新考纲 考向预测
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长 考查根据实际问题建立函数模型解决
特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等 问题的能力，常与函数图象、单调性、
命题
不同函数类型增长的含义． 最值及方程、不等式交汇命题，预计高
趋势
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 考对本讲考查将延续近几年的考查风
函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社 格，各种题型均有可能，属中档题.
会生活中的广泛应用． 核心
数学建模、数学运算
素养
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
指数函数模型
a>0且a≠1，b≠0)
f(x)＝blog x＋c
a
对数函数模型
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
在(0，＋∞)
增函数 增函数 增函数
上的单调性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x值增大，图象与y 随x值增大，图象与x
图象的变化 随n值变化而不同
轴接近平行 轴接近平行
常用结论
1．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成
倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
常见误区
1．解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，考生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不
会做或函数解析式写错．
2．解应用题建模后一定要注意定义域．
3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的
增长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log x
2
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入
计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log x，可知满足题意．
2
3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(
)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故
A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2
月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的
平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
4．(易错题)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶
千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得y＝
答案：y＝
5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的
生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月
应生产该商品数量为________万件．
解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝
－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．
答案：18
用函数图象刻画变化过程
[题组练透]
1．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画
出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状
况的正确判断是( )
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
解析：选BD.由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故A错误，B项正确；最后两小时
内没有生产产品，故C项错误，D项正确．故选BD.
2．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，
当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时
间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后
快，故选B.
3．(多选)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑
到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时
间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个
固定位置不可能是图1中的( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
解析：选ABC.假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函
数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y
的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，
从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小时的距离，
而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，故选
ABC.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图
象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否
吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．
已知函数模型求解实际问题
人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：
W/m2)满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上课
时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强
度的( )
A．1倍 B．10倍
C．100倍 D．1 000倍
【解析】 设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为 xW/m2，
1xW/m2，
2
根据题意得d(x)＝9lg ＝63，解得x＝10－6，
1 1
d(x)＝9lg ＝54，解得x＝10－7，所以，＝10，
2 2
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B.
【答案】 B
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c
为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A
的值分别是( )
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
解析：选D.由题意可知42 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以
第4年，即2024年全年投入的科研经费开始超过2 000万元，故选C.
【答案】 C
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型
表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解
析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际
意义．
1．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增
加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，
年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y万元，则y与x
的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝
年销售总收入－年总投资)．
解析：年销售总收入减去年总投资即可得到年利润，年总投资为(x＋100)万元，故函数关
系式为
y＝
当020时，y<140.
故年产量为16件时，年利润最大．
答案：y＝ 16
2．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大
0
振幅，A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此
0
时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地
震最大振幅的________倍．
解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A，A，则9＝lg A－lg A＝lg ，
1 2 1 0
则＝109，
5＝lg A－lg A＝lg ，则＝105，所以＝104.
2 0
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
答案：6 10 000
高考新声音系列3 数学与美育教育——“断臂维纳斯”身高推演
2019年高考全国卷Ⅰ数学第4题考查了断臂维纳斯的身高，此题以著名的雕塑“断臂
维纳斯”为命题背景，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育，考查类比归纳与
合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算的核心素养．我们应该为这次高考数学命题者点一个
赞，让维纳斯进入了高考数学，可以说这是一次全国性的数学美的普及活动，使人们对抽象
的数学不得不刮目相看．从该题的命题立意、命题导向、解题途径等方面来看，这道网红题可
圈可点．
(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚
脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也
是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，
则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【解析】 26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故
选B.
【答案】 B
本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．
以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家
熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培
养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．
中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由
黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、
和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为
这个圆的“优美函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；
②函数f(x)＝ln(x2＋)可以是某个圆的“优美函数”；
③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；
⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是________．(填序号)
解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；
②函数f(x)＝ln(x2＋)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上
方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x
的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数
个圆的“优美函数”，③正确；④函数y＝2x＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的
“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比
如“双曲线”．
答案：①③④
[A级 基础练]
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售
400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之
间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log x＋100
2
解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入
数据验证即可得．故选C.
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P
运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4100，则9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③
由共需支付门票费为1 290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，
得11a＋13b＝1 290，④联立③④解得a＝70，b＝40.所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B.
5．(2021·合肥第一次教学检测)射线测厚技术原理公式为I＝Ie－ρμt，其中I，I分别为射线
0 0
穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测
物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线
对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指
将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001)( )
A．0.110 B．0.112
C．0.114 D．0.116
解析：选C.由射线测厚技术原理公式得＝Ie－7.6×0.8μ，所以＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，
0
μ≈0.114，故选C.
6．某购物网站在11月份开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受
“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单
价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．
解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免
100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11
件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
答案：3
7．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 v km/h 的速度直达灾区，已知某
市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全
部到达灾区的最少时间是________h．(车身长度不计)
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km
所用的时间，
因此，t＝＝＋≥2＝12，
当且仅当＝，即 ＝时取等号．
v
故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
答案：12
8．(2021·陕西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据
实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝(如图所示)实验表明，当药物
释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害．
(1)k＝________；
(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经
过________分钟人方可进入房间．解析：(1)由题图可知，当t＝时，y＝1，所以＝1，所以k＝2.
(2)由(1)可知，y＝
当t≥时，y＝，令y<0.75，得t>，
所以在消毒后至少经过小时，即40分钟人方可进入房间．
答案：(1)2 (2)40
9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明： “活水围
网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度
x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，
v
的值为2千克/年；当40.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由≤0.2可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝<0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递
减，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．
14．(2020·高考江苏卷)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：
谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线
AO上任一点D到MN的距离h(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h ＝a2；右侧曲
1 1
线BO上任一点F到MN的距离h(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h＝－b3＋6b.
2 2
已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上
(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，
桥墩CD与EF的总造价最低？
解：(1)设AA，BB，CD，EF 都与MN垂直，A，B，D，F 是相应
1 1 1 1 1 1 1 1
垂足．
由条件知，当O′B ＝40时，
BB＝－×403＋6×40＝160，则AA＝160.
1 1
由O′A2＝160，得O′A＝80.
所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝ 120(米)．
(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．
设F(x，y)，x∈(0，40)，
2
则y＝－x3＋6x，
2
EF＝160－y＝160＋x3－6x.
2
因为CE ＝80，所以O′C＝80－x，
设D(x－80，y)，则y＝( 80－x)2，
1 1
所以CD＝ 160－y＝160－(80－x)2＝－x2 ＋4x.
1
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f(x)＝k＋k
＝k(0
