文档内容
§2.10 函数模型的应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”
“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，
了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝log x y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现为 随x的增大逐渐表 随n值变化而各有
图象的变化
与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行 不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则
每件还能获利．( × )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝
log x(a>1)的增长速度．( √ )
a(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
教材改编题
1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log x
2
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计
算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log x，可知满足题意．
2
2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休
息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的
路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
3．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个
时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放
射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少
要经过________个“半衰期”．
答案 10
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，
由n<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半
衰期”.
题型一 用函数图象刻画变化过程例1 (1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中
匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的
图象大致是( )
答案 B
解析 水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．
(2)(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表
明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．
为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔 1 min测量一次茶水的温度，根据
所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻
画茶水温度y随时间x变化的规律( )
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0,00，a>1)
D．y＝mlog x＋n(m>0，a>0，a≠1)
a
答案 B
解析 由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0≈≈4.87，则n>5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6.
(2)(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，
成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上
的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年
男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________．
答案 k＝(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可．
答案不唯一)
解析 由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增，
设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160,190]，
由
解得
所以k(x)＝x－，
所以k＝
教师备选
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30或30以下，飞机票每张收费900
元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数
75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 设该旅行团的人数为x，飞机票的价格为y元．旅行社可获得的利润为w元．
(1)①当0≤x≤30时，y＝900，
②当302)元，
则发行量为万册，
则该杂志销售收入为x万元，
所以x≥22.4，
化简得x2－6x＋8.96≤0，
解得2.8≤x≤3.2.
(2)(2022·南京模拟)拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定
长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，
师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后
去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条
粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是________．
答案 3克
解析 拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去
掉面的质量为6×18＝108(克)；剩下64根面条的总质量为300－108＝192(克)，则每根1米
长的细丝面条的质量为＝3(克)．
课时精练
1．(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的
关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x，y)(i＝1,2，…，20)得
i i到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x
的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
答案 D
解析 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．
2．(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，
其部分数据如下表：
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数
据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，
则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)( )
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，
令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.
3．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加
0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120
分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训
练后，立定跳远距离增加了( )
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
答案 B
解析 该女生训练前立定跳远距离为
1.84－0.03×＝1.72(米)，
训练后立定跳远距离为
1.84＋0.1×＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．
4．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25
℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋
25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保
留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) ( )
A．6 min B．7 min
C．8 min D．9 min
答案 B
解析 由题意可知，
当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，
所以y＝60×0.908 5x＋25.
当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，
即0.908 5x＝0.5，
则x＝log 0.5＝＝
0.908 5
≈≈7，
所以茶水泡制时间大约为7 min.
5．(多选)(2022·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定
的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满
足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病
有效，则( )
A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时
答案 AD
解析 由函数图象可知y＝
当t＝1时，y＝4，即1－a＝4，解得a＝3，
∴y＝故A正确，
药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝，
药物刚好失效的时间t－3＝0.125，解得t＝6，
故药物有效时长为6－＝5(小时)，
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每
毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误．
6．(多选)某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个
城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐
年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x 2016 2017 2018 2019
包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝asin ＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg
2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是( )
A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·x－2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万
吨)与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin ＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量
y(万吨)与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超
过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超
过40万吨
答案 AD
解析 若选y＝4·x－2 016，计算可得对应数据近似为4,6,9,13.5，
若选y＝4sin ＋2 016，计算可得对应数据近似值都大于2 012，
显然A正确，B错误；
按照选择函数模型y＝4·x－2 016，
令y>40，即4×x－2 016>40，
∴x－2 016>10，
∴x－2 016> ，
∴x－2 016>＝≈5.678 6，
∴x>2 021.678 6，
即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．
7．(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝
alog (x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
2
答案 300解析 由题意知100＝alog (1＋1) a＝100，
2
当x＝7时，可得y＝100log
2
(7＋1)⇒＝300.
8．(2022·临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始
温度为θ ℃，空气温度为θ ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ ＋(θ －
1 0 0 1
θ)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要
0
的时间为________分钟．(参考数据：ln 3≈1.1)
答案 22
解析 由题知θ＝30，θ＝90，θ＝50，
0 1
∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，
∴e－0.05t＝，
∴－0.05t＝ln ，
∴0.05t＝ln 3，
∴t＝＝20×ln 3≈22.
9．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营
运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元．
(1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)；
(2)该车若干年后有两种处理方案：
①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；
②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．
解 (1)∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋
6x)万元，若该车x年开始盈利，
则30x>2x2＋6x＋50，
即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9，
∴该车营运第3年开始盈利．
(2)方案①盈利总额y＝30x－(2x2＋6x＋50)
1
＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22，
∴x＝6时，盈利总额达到最大值为22万元．
∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元)．
方案②年平均盈利总额y＝＝－2x－＋24＝24－2≤4(当且仅当x＝5时取等号)．
2
∴x＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元．
∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元)．
∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算．10．(2022·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤
眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 24 m2，三月底测得凤眼
莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函
数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝ ＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份．(参考数据：lg
2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝ ＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为
增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，
而函数y＝ ＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得
解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为y＝·x(x∈N)．
(2)当x＝0时，y＝·0＝，
故元旦放入凤眼莲的面积为 m2，
由·x>10×，
即x>10，
故x> ＝＝，
由于≈≈5.7，
故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
11．(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，
同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济
发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数
关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间
为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为( )
A．72小时 B．36小时
C．24小时 D．16小时
答案 A解析 当x＝6时，e6a＋b＝216；
当x＝24时，e24a＋b＝8，则＝＝27，
整理可得e6a＝，于是eb＝216×3＝648，
当x＝12时，
y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72.
12．(2022·南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，
声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌
起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I(I 约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数
0 0
称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分
贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、
乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强
大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为( )
A．10 B．100 C．200 D．1 000
答案 B
解析 设甲同学的声强为I，乙同学的声强为I，
1 2
则140＝10lg ，120＝10lg ，
两式相减即得20＝10lg ，即lg ＝2，
从而＝100，所以n的值约为100.
13．如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m
(01时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程f(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)＝2x
i 1
－1，f(x)＝x2，f(x)＝x，f(x)＝log (x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二
2 3 4 2
次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f(2)＝3，f(2)＝4，所以A不正确；
1 2
当x＝5时，f(5)＝31，f(5)＝25，所以B不正确；
1 2
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最
后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数
型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
16．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 y(单位：万元)随投资收
益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假
定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，①
f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤恒成立．
(1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)＝x＋10；(Ⅱ)f(x)＝2－6.试分析这两个函数模型是否符合
公司要求？
(2)已知函数f(x)＝a－10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
解 (1)对于函数模型：(Ⅰ)f(x)＝x＋10，验证条件③：当x＝30时，f(x)＝12，而＝6，
即f(x)≤不成立，故不符合公司要求；
对于函数模型：(Ⅱ)f(x)＝2－6，
当x∈[25,1 600]时，条件①f(x)是增函数满足；
∴f(x) ＝2－6＝2×40－6＝74<90，满足条件②；
max
对于条件③：
记g(x)＝2－6－(25≤x≤1 600)，
则g(x)＝－(－5)2－1，
∵∈[5,40]，
∴当＝5时，
g(x) ＝－(5－5)2－1＝－1≤0，
max
∴f(x)≤恒成立，即条件③也成立．
故函数模型： (Ⅱ)f(x)＝2－6符合公司要求．
(2)∵a≥2，
∴函数f(x)＝a－10符合条件①；
由函数f(x)＝a－10符合条件②，
得a－10＝a×40－10≤90，
解得a≤；
由函数f(x)＝a－10符合条件③，
得a－10≤对x∈[25,1 600]恒成立，
即a≤＋对x∈[25,1 600]恒成立．
∵＋≥2，当且仅当＝，
即x＝50时等号成立，∴a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是.
