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§2.1 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不
同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并
会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( × )(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( × )
(4)函数f(x)＝的定义域为R.( √ )
教材改编题
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案 AC
3．(2022·长沙质检)已知函数f(x)＝则f 等于( )
A．－1 B．2 C. D.
答案 D
解析 ∵f ＝log <0，
3
∴f ＝ ＝.
题型一 函数的定义域
例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案 B
解析 要使函数有意义，
则需解得－12或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝，则函数的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案 D
解析 令1－2x>0，
即2x<1，即x<0.∴f(x)的定义域为(－∞，0)．
∴函数中，有解得x<1且x≠－1.
故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．
思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，
则⇒1)
解析 令＋1＝t(t>1)，
则x＝，
所以f(t)＝lg (t>1)，
所以f(x)＝lg (x>1)．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程 f(x)＝0有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝
________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，
又f(x)＝0，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
答案 x
解析 ∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
由①②得f(x)＝x.
教师备选
已知f(x)满足f(x)－2f ＝2x，则f(x)＝________.
答案 －－
解析 ∵f(x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f(x)＝，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，
∴f(x)＝－－.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，则f(x)＝________.
答案 －x2＋2x，x∈[0,2]
解析 令t＝1－sin x，
∴t∈[0,2]，sin x＝1－t，
∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]，
∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]．
(2)(2022·黄冈质检)已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________.
答案 x2－2，x∈[2，＋∞)
解析 ∵f ＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
题型三 分段函数
例3 (1)已知f(x)＝则f ＋f 的值为( )
A. B．－ C．－1 D．1
答案 D
解析 f ＝f ＋1＝f ＋1
＝cos ＋1＝，
f ＝cos
＝cos ＝－，∴f ＋f ＝－＝1.
(2)已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是
__________．
答案 1或－3 [－，－1]
解析 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，
解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝则f(f(2 022))等于( )
A．－ B. C. D.
答案 B
解析 f(2 022)＝sin＝sin ＝，
∴f(f(2 022))＝f ＝ ＝.
2．(2022·百校联盟联考)已知函数f(x)＝若对于任意的x∈R，|f(x)|≥ax，则a＝________.
答案 0
解析 当x≥0时，|f(x)|＝x3≥ax，即x(x2－a)≥0恒成立，则有a≤0；
当x<0时，|f(x)|＝x2≥ax，即a≥x恒成立，
则有a≥0，所以a＝0.
思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f(x)＝则f(f(－1))＝________，f(x)的最小值是
________．
答案 0 2－3
解析 ∵f(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，
当且仅当x＝时取等号，f(x) ＝2－3，
min
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，∴f(x) ＝1，综上有f(x)的最小值为2－3.
min
(2)(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)1，
此时f(x)＝x2－1≤0，
f(x＋1)＝log (x＋1)>0，
2
∴当01时，f(x)0时，f(x)＝1，
代入xf(x)＋x≤2，解得02f ，则称函数
1 2 1 2 1 2
f(x)具有H性质．则下列函数中具有H性质的是( )
A．f(x)＝x
B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝x2(x≥0)
D．f(x)＝tan x
答案 ACD
解析 若对定义域内任意的x，x(x≠x)，有f(x)＋f(x)>2f ，则点(x，f(x))，(x，f(x))连线
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
的中点在点的上方，如图.根据函数f(x)＝x，f(x)＝ln x，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x的图象可
知，函数f(x)＝x，
f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x具有H性质，函数f(x)＝ln x不具有H性质．
16．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，f(x)＝其中a，b为正实数，e为自然对数
的底数，若f ＝f ，则的取值范围为________．
答案 (e，＋∞)
解析 因为f(x＋2)＝f(x)，
所以f ＝f ＝()2f ＝2eb，
f ＝f ＝f
＝＝(a－1)，因为f ＝f ，所以(a－1)＝2eb，
所以a＝eb＋1，
因为b为正实数，
所以＝＝e＋∈(e，＋∞)，
故的取值范围为(e，＋∞)．
