文档内容
第 34 讲 等比数列
【基础知识网络图】
通项公式及相关性质
等比数列 等比中项
等比数列与函数的关系
【基础知识全通关】
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与 无关的常
数.
2．等比中项
如果在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等
比中项，此时 ．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为 ，公比为 的等比数列的通项公式是 ．
等比数列通项公式的变形： ．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列 的通项公式 还可以改写为 ，当 且 时，
是指数函数， 是指数型函数，因此数列 的图象是函数
的图象上一些孤立的点．当 或 时， 是递增数列；
当 或 时， 是递减数列；
当 时， 为常数列 ；
当 时， 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异
号．
【考点研习一点通】
考点一：等比数列的概念、公式
例1.若数列 为等比数列， , , 求 .
【变式1-1】已知等比数列 ，若 ， ，求 。
考点二、等比数列的性质例2.（1）等比数列 中， ， ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
(2)设 为等比数列 的前n项和，已知 ,则公比q＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-1】等比数列 中，若 ,求 .
考点三：等比数列的判断与证明
例3．已知数列{a}的前n项和S 满足：log(S+1)=n(n∈N),求出数列{a}的通项公式，
n n 5 n + n
并判断{a}是何种数列？
n
【变式3-1】已知数列{C}，其中C=2n+3n，且数列{C -pC}为等比数列，求常数p。
n n n+1 n
【变式3-2】设{a}、{b}是公比不相等的两个等比数列，C=a+b,证明数列{C}不是等比
n n n n n n
数列.考点四：等比数列的其他考点
例4．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等
差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
【变式4-1】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数
与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
【考点易错】
1.已知 是等比数列，且 ， ，则 等于
A． B．24
C． D．48
2.各项都是正数的等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 的值为
A． B．C． D． 或
3.在等比数列 中， 是方程 的根，则
A． B．2
C．1 D．
4.已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 _______．
5.设 为等比数列，给出四个数列：① ，② ，③ ，④ .其中
一定为等比数列的是
A．①③ B．②④
C．②③ D．①②
6.已知数列 满足 .
（1）证明： 是等比数列；
（2）求 .
7.若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中，
，点 在函数 的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为 ，求 ；（3）在（2）的条件下，记 ，设数列 的前n项和为 ，求使
成立的n的最小值．
【巩固提升】
1.已知 是等差数列，公差 不为零，前 项和是 ，若 ， ， 成等比数列，则
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.在等比数列{a}中，S 表示前n项和，若a=2S+1，a=2S+1，则公比q=（ ）
n n 3 2 4 3
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
3. 已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和等于
.4．在等比数列{a}中，
n
（1）已知：a=2,S=26,求q与a;
1 3 3
（2）已知：a>0且aa+2aa+aa=25，求a+a;
n 2 4 3 5 4 6 3 5
（3）已知：a=3, 求aaa……a；
4 1 2 3 7
a2 a2 a2
（4）已知：对任意自然数n都有a 1 +a 2 +……+a n =2n-1，求 1 2 +……+ n .
5．有四个数，前三个成等比数列，且和为 19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个
数.
6．已知{a}为等比数列，
n
(1)若aaa a -aa-6=0，求aa .
1 4 10 13 5 9 2 12
(2)若a+a+a=2，a+a+a=8，求a+a+a+…+a +a +a .
1 2 3 7 8 9 1 2 3 3m-2 3m-1 3m
{a } S 1a 0
7.已知数列 n 的前n项和 n n，其中 ．
{a }
（I）证明 n 是等比数列，并求其通项公式；31
S
5 32
（II）若 ，求 ．
8．若a=1,q≠1的等比数列前n项和为S，则原等比数列各项的倒数组成的数列的前n项
1
和T是多少？
1
4
9．一个等比数列{a}共有2n项，其中偶数项的和是所有项和的 ，且S=64，求此等比数
n 3
列通项.
10．已知(b-c)logx+(c-a)logy+(a-b)logz=0.
m m m
(1)若a,b,c成公差d≠0的等差数列，证明 x,y,z成等比数列；
(2)若x,y,z成公比q≠1的等比数列，证明a,b,c成等差数列.11．数列{a}是等比数列，项数为偶数，各项为正，它所有项的和等于偶数项和的 4倍，
n
且第2项与第4项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lga}的前多少项的和最大？
n
12．已知数列前n项和S=(p-2)+pa，nN*，p＞1且p≠2
n n
(1)证明：{a}是等比数列；
n
(2)对一切自然数n，当a ＞a 或a ＜a 时，分别确定p的取值范围.
n+1 n n+1 n
13 ． 已 知 数 列 {a} 为 等 差 数 列 ， 公 差 d≠ 0 ， {a} 中 部 分 项 组 成 的 数 列
n n
a ，a , a , ,a ,
k1 k2 k3 kn 恰为等比数列，且知k=1, k=5,k=17.
1 2 3
（1）求k；
n
（2）证明： k+k+……+k=3n-n-1.
1 2 n
