文档内容
第 08 讲 函数模型及其应用
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：二次函数模型，分段函数模型....................................................................................................................2
题型二：对勾函数模型................................................................................................................................................3
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型....................................................................................................4
题型四：已知函数模型的实际问题............................................................................................................................5
题型五：构造函数模型的实际问题............................................................................................................................6
重难创新练............................................................................................................................................7
真题实战练..........................................................................................................................................12题型一：二次函数模型，分段函数模型
1．（2024·高三·四川巴中·期末）已知甲､乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城
市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x
（小时）记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千
米）表示成时间x（小时）的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距
离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 ，乙车的刹车距
离略超过 .已知甲车的刹车距离 与车速 之间的关系为 ，乙车的刹车距离
与车速 之间的关系为 .请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
3．（2024·高三·浙江·开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价.
高峰时间段用电价格表：
高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分超过50至200的部分
超过200的部分
低谷时间段用电价格表：
低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
超过50至200的部分
超过200的部分
若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付
电费为（ ）元
A． B． C． D．
题型二：对勾函数模型
4．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 （图中阴影部分），上下空白各宽2
，左右空白各宽1 ，则四周空白部分面积的最小值是（ ） .
A．56 B．65
C．120 D．88
5．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买 黄金，店员先将 的砝码放在
天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些
黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则
与20的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅
画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远
处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
7．某厂计划建造一个容积为 ，深为 的长方体无盖水池.若池底的造价为 元每平方米，池壁的造
价为 元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
8．某景区的平面图如图所示，其中 ， 为两条公路， ， 为景点， ， ，
现需要修建一条经过景点 的观光路线 ， ， 分别为 ， 上的点，则 面积的最小值为
.
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
9．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 （ 为
自然对数的底数， 为常数）．若该食品在0 的保鲜时间设计192小时，在22 的保鲜时间是48小
时，则该食品在33 的保鲜时间是 小时．
10．考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估
算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的
一半），已知古生物中该元素的初始存量为a，经检测古生物中该元素现在的存量为 ，请推算古生物距
今大约 年（参考数据：lg2≈0.3）.
11．某医院开展某种病毒的检测工作，第 天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时
（单位：小时）， （ 为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64
天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确
到1小时）
12．测量地震级别常用里氏级，它是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数值．如日本1923年地震是
8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，问日本1923年地震强度是旧金山1906年地震强度的 倍．
题型四：已知函数模型的实际问题
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从 级别跃
升到 乃至 级别．国际数据公司 的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为 2010年增长到 ．若从2008年起，全球产生的数据量
与年份 的关系为 ，其中 均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的
倍.
14．科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的
电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向
空间辐射的电磁波的功率 与该黑体的绝对温度 的 次方成正比，即 ， 为玻尔兹曼常数．而我
们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例， 为纵坐标，以
为横坐标，则能够近似得到 （曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，
试写出其可能的横纵坐标的变量形式 ．
15．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 满足公式 ，其中
是空气密度， 是该飞行器的迎风面积， 是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小
取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 . 当 不变， 比原
来提高 时，下列说法正确的是（ ）
A．若 不变，则 比原来提高不超过
B．若 不变，则 比原来提高超过
C．为使 不变，则 比原来降低不超过
D．为使 不变，则 比原来降低超过
16．小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约
着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例 与小微企业的年收入
（单位：万元）的关系为 .已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为
，若银行希望实际还款比例为 ，则小微企业的年收入约为（参考数据： ，
1）（ ）
A．46.49万元 B．53.56万元 C．64.43万元 D．71.12万元
题型五：构造函数模型的实际问题
17．（2024·江西·二模）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度
最好不要超过 ．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为 ， ，给出三个茶温T（单位： ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：① ；
② ；③ ．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，
模拟茶温T（单位： ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到
饮用至少需要等待的时间为（参考数据 ）（ ）
A．2.72分钟 B．2.82分钟
C．2.92分钟 D．3.02分钟
18．（2024·福建·模拟预测）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如
下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：① ，② ， 表示小数记录数据， 表示五分记录数据，请选
择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 ，则小明同学的小数记录
数据为（附 ， ， ）（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·高三·云南·期中）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期（增加一倍所需
的时间）为21个月，则100只野兔增长到100万只野兔需要（ ）个月.（记 ， ）
A． B． C． D．
20．（2024·云南昆明·模拟预测）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受
到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 ，小于
的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 的驾驶行
为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低 .某人饮酒后测得血液中的酒
精含量为 ，若经过 小时，该人血液中的酒精含量小于 ，则 的最小值
为（参考数据： ）（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
21．（2024·山西朔州·模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住
宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数 与每平米平均建筑成本 （单位：万元）的数据
整理成如图所示的散点图：则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用 和楼层数 的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空
间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪
技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 的A，B两点各放置一个
传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时
间”函数图像，分别如曲线a，b所示. 和 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 和 ，
曲线b经过 .已知 ，并且从 时刻到 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.
分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照
同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是
万，则 （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在 进制的大量随机数据中，以 开头的数出现
的概率为 ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定
律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍
（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
4．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：
月）的关系式为 （ ，且 ），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是 ， ， ，则 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024·陕西西安·模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻
发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国､中国，包括东北亚的日本､韩国，都是沙漠化的受害者，所以防
沙治沙､植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，
发现持续时间大于 的沙尘暴次数 满足 ，目前经测验 地情况气象局发现， 时，次
数 时，次数 ，据此计算 时对应的持续时间 约为（ ）
（参考数据： ）
A．389 B．358 C．423 D．431
6．（2024·贵州遵义·一模）近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样
性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个
月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要 ）
（ ）
A．8年 B．10年 C．12年 D．20年7．（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速
自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强 （单位： ）表示声音
在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级 （单位： ）与声强 的函数关系式为 ，
其中 为基准声强级， 为常数，当声强 时，声强级 ．下表为不同列车声源在距离 处
的声强级：
声源 与声源的距离（单位： ） 声强级范围
内燃列
20
车
电力列
20
车
高速列
20
车
设在离内燃列车､电力列车､高速列车 处测得的实际声强分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西商洛·三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤
过程中废水的污染物数量 与时间 （小时）的关系为 （ 为最初的污染物数量）．如
果前3小时消除了 的污染物，那么污染物消除至最初的 还需要（ ）
A．2.6小时 B．6小时 C．3小时 D．4小时
9．（多选题）（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，
用 表示从 开始，晶体管数量随时间 变化的函数，若 ，则下面选项中，符合摩尔定律
公式的是（ ）
A．若 是以月为单位，则
B．若 是以年为单位，则
C．若 是以月为单位，则
D．若 是以年为单位，则
10．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．
如果物体的初始温度为 ，空气温度 保持不变，则t分钟后物体的温度 （单位： ）满足：
．若空气温度为 ，该物体温度从 （ ）下降到 ，大约所需的时间为 ，若该物体温度从 ， 下降到 ，大约所需的时间分别为 ，则（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆
一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间 （单位：
天）之间的函数关系 ．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C． 天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D． 天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
12．（多选题）（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式： （
和 均为大于0的常数）， 为反应速率常数（与反应速率成正比）， 为热力学温度（ ），在同一
个化学反应过程中 为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为 和 时，反应速率
常数分别为 和 （此过程中 ， 与 的值保持不变），则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
13．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为 的竖直墙壁面上有一电子眼 ，已知 到天花板的距离为
，电子眼 的最大可视半径为 ．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为
0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：
位移与时间的函数关系为 ，重力加速度 取 ）
14．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率 ；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型
，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为 ，则 （精确到0.01）
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的
含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常
数）．根据图所提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为
；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，
至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
16．（2024·北京朝阳·一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变
化遵循兰彻斯特模型： ，其中正实数 ， 分别为红、蓝两方初
始兵力，t为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方
对红方的战斗效果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、
蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列
四个结论：
①若 且 ，则 ；②若 且 ，则 ；
③若 ，则红方获得战斗演习胜利；
④若 ，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是 ．
1．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））某辆汽车每次加油都把油箱加满，下
表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油量
加油时间 加油时的累计里程（千米）
（升）
年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A． 升 B． 升 C． 升 D． 升
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占
加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数
关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得
到最佳加工时间为
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿
者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概
率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不
小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷））某市生产总值连续两年持续增加.第一
年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B．
C． D．
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））顾客请一位工艺师把 、 两件玉石
原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间 粗加工 精加工
原料
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））我国古代数学著作《张邱建算经》中记载
百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、
雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 ， ， ，则 当 时，
， ．
7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草
莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种
水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明
会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
．
