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第 08 讲 函数模型及其应用
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解指数函数、对数函数与 高考对函数模型的考查相对稳定，考
一次函数增长速度的差异． 查内容、频率、题型、难度均变化不
（2）理解“指数爆炸”“对数增 大．2024年高考可能结合函数与生活
2020年II卷第3题，5分
长”“直线上升”等术语的含义． 应用进行考察，对学生建模能力和数
2020年I卷第6题，5分
（3）会选择合适的函数模型刻画 学应用能力综合考察．
现实问题的变化规律，了解函数模
型在社会生活中的广泛应用．1、几种常见的函数模型：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 k
f(x)= +b(k， 为常数且
x b a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2 +bx+c(a，b， 为常数且a≠0)
c
指数函数模型 f(x)=bax +c(a，b，
c
为常数，b≠0， ，
对数函数模型 f(x)=blog
a
x+c(a，b，c为常数，b≠0， ，
幂函数模型 f(x)=axn +b(a，b为常数，a≠0)
2、解函数应用问题的步骤：
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数
学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
题型一：二次函数模型，分段函数模型
【例1】（2023·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为 的弯
道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹
车距离略超过 ，乙车的刹车距离略超过 .已知甲车的刹车距离 与车速 之间的关系为
，乙车的刹车距离 与车速 之间的关系为 .请判断甲、乙两车哪
辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
【答案】C
【解析】对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以甲未超速；
对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以乙超速；
故选:C.
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次
小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行
边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上
方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，并根据题意作如下示意图，由图和题意得： ， ，
所以 ，且 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，即 ，
设 ， ，则 ，
，所以在 中，
有 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则要使 最大，
即 要取得最小值，即 取得最大值，
即 在 取得最大值，
令 ， ，
所以 的对称轴为： ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 最大，此时 ，即 ，
所以 ，所以 ，即为获得最佳的射门角度（即 最大），
则射门时甲离上方端线的距离为： .
故选：B.【对点训练2】（2023·云南·统考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件
5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
数
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
【答案】C
【解析】设购买的件数为 ，花费为 元，
则 ，当 时， ，
当 时， ，所以最多可购买这种产品 件，
故选：C.
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一
智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另投入成本 万元.其中
，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业
每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
【答案】C【解析】该企业每年利润为
当 时，
在 时， 取得最大值 ；
当 时，
（当且仅当 时等号成立），即在 时， 取得最大值 ；
由 ，可得该企业每年利润的最大值为 .
故选：C
【解题方法总结】
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化
规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．
题型二：对勾函数模型
【例2】（2023·全国·高三专题练习）某企业投入 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 万
元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比
上一年增加 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该企业需要更新设备的年数为 ，设备年平均费用为 万元，
则 年后的设备维护费用为 ，
所以 年的平均费用为 （万元），
当且仅当 时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 .
故选：B.
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成
为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验
安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间
满足函数关系式 已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，
若每件产品的售价定为“进货价的 ”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________万元.
【答案】
【解析】根据题意，得到 ，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解.由题
意，产品的月销量 万件与投入实体店体验安装的费用 万元之间满足 ，
即 ，
所以月利润为
，
当且仅当 时，即 时取等号，
即月最低利润为 万元.
故答案为: .
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔
成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横
截面示意图，其中 ， ，曲线段 是圆心角为 的圆弧，设该迷你KTV
横截面的面积为 ，周长为 ，则 的最大值为___________．（本题中取 进行计算）
【答案】
【解析】设圆弧的半径为 ，根据题意可得：令 ，则
根据基本不等式， ，当却仅当 ，即 时取“=”.
， 时，
故答案为： .
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精
致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 截去同心扇形 所得部分．
已知扇环周长 ，大扇形半径 ，设小扇形半径 ， 弧度，则
① 关于x的函数关系式 _________．
②若雕刻费用关于x的解析式为 ，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．
【答案】 ， ；
【解析】由题意可知， ， ， ，
所以 ， ， ，
扇环周长 ，
解得 ，
砖雕面积即为图中环形面积，记为 ，
则
，
即雕刻面积与雕刻费用之比为 ，
则 ，令 ，则 ，
，当且仅当 时（即 ）取等号，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为 .
故答案为： ， ；
【解题方法总结】
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
b
f(x)=ax+
x
2、利用模型 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
【例3】（2023·全国·高三专题练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取
得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶
活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实
现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值： ）
（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【解析】由题意，设年平均增长率为 ，则 ，
所以 ，故年平均增长率为20%.
故选：B
【对点训练7】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）近年来，天然气表观消费量从2006年的不
到 m3激增到2021年的 m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，
， .经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合 ，其中 是
从2000年后第k年天然气消费量， 是2000年的天然气消费量， 是过去20年的年复合增长率.已知
2009年的天然气消费量为 m3，2018年的天然气消费量为 m3，根据拟合的模型，可以预
测2024年的天然气消费量约为（ ）
（参考数据： ，
A． m3 B． m3
C． m3 D． m3
【答案】B【解析】据题意 ， ，两式相除可得 ，
又因为 ，
故选：B．
【对点训练8】（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全
部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧
饱和度一般情况下不低于 ，否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:
描述血氧饱和度 （单位 ）随机给氧时间 （单位:时）的变化规律，其中 为初始血氧饱
和度， 为参数.已知 ，给氧1小时后，血氧饱和度为 ，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时
间至少还需要（ ）小时.（参考数据: ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得， ，则 ， ，
所以 ，
则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时.
故选：D.
【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的
化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协
同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产
中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t
秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足 ，其中k，a为非零常数．已
知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米
的位置，信息素浓度为 ，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意 ， ，
所以 ），
即 ．又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
故选：B．【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性
数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率 与其体重 满足 ，其中 和 为
正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到
初始状态的8倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设初始状态为 ，则 ， ，
又 ， ，即 ，
， ， ， ， ．
故选：D．
【解题方法总结】
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，
与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，
再借助函数图像求解最值问题．
题型四：已知函数模型的实际问题
【例4】（2023·全国·高三专题练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： ，
其中 为时间（单位： ）， 为环境温度， 为物体初始温度， 为冷却后温度），假设在室内温度
为 的情况下，一桶咖啡由 降低到 需要 .则 的值为_________．
【答案】
【解析】由题意，把 ， ， ， 代入 中，
得 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
【对点训练11】（2023·四川宜宾·统考模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，
大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数
关系式 ，（其中 为生物死亡之初体内的碳14含量， 为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为 ，则该生物的死亡时间大约是______年前．
【答案】
【解析】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 ，
因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为 ，
令 ，可得 ，所以 ，解得 年.
故答案为： 年.
【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量 （毫克/毫升）随时
间 （小时）变化的规律近似满足表达式 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处
罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车___________.
（精确到 小时）
【答案】4
【解析】当 时，由 得 ，
解得 ，舍去；
当 时，由 得 ，即 ，
解得 ，
因为 ，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
故答案为：4
【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）能源是国家的命脉， 降低能源消耗费用是重要抓手之一，
为此， 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层， 据
当年的物价， 每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物
30 年间的每年的能源消耗费用 （单位：万元）与隔热层厚度 （单位： 厘米） 满足关系：
， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万
元人民币. 设 为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使 达到最小值时， 隔
热层厚度 __________厘米.
【答案】【解析】由题意得，当 时， ，解得 ，
又 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
【对点训练14】（2023·全国·高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值 （单位，亿元）
与时间 （单位：年）之间的关系为 ，其中 为 时的 值.假定 ，那么在
时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注： ，当 取
很小的正数时，
【答案】0.52
【解析】由题可知 ，
所以 ，
所以 ,
即GDP增长的速度大约是 .
故答案为： .
【解题方法总结】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
题型五：构造函数模型的实际问题
【例5】（2023·浙江·高三专题练习）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为
120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使
过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约
为（ ）（参考数据： ）
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米【答案】B
【解析】如图设横截面为等腰梯形 ， 于 ， ，
要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则 ，解得 米，
设 ，则 ，故 ，且 ，
梯形 的面积 ，
当 时， ，
此时 ，
即当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为0.87米.
故选：B.
【对点训练15】（2023·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每
增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（ ）
（参考数据： ）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【答案】D
【解析】设经过 次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，
则 ，即 ，
不等式两边取常用对数得： ，解得： ，
故至少需要过滤5次.
故选：D
【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月
球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地
面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月
１ ２距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近
似值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以
【解题方法总结】
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，
得到实际问题的解．
1.（2020·海南·统考高考真题）基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指
0
一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以
用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满
0
足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数
0 0
增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天【答案】B
【解析】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B.
2.（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份
订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知
该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完
成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（
）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
3.（2018·浙江·高考真题）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡
母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个
数分别为 ， ， ，则 当 时， ___________， ___________．
【答案】
【解析】
