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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 13 讲 函数的应用和函数模型（精讲）
题型目录一览
①求函数的零点和判断零点所在区间
②与零点有关的参数问题
③二分法的应用
④常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数
⑤常见函数模型Ⅱ-指对幂函数
【★文末附录-函数的应用思维导图】
一、知识点梳理
1.函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
2.方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
3.零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
4.二分法
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值.
5.用二分法求函数 零点近似值的步骤（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）~
（4）步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）
6.几种常见的函数模型：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 k
f(x)= +b(k， 为常数且
x b a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2 +bx+c(a，b，
c
为常数且a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax +c(a，b，
c
为常数，b≠0， ，
对数函数模型 f(x)=blog
a
x+c(a，b，c为常数，b≠0， ，
幂函数模型 f(x)=axn +b(a，b为常数，a≠0)
7.解函数应用问题的步骤：
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
【常用结论】
函数的零点相关技巧:
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200
份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已
知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能
完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
2．（2020·海南·统考高考真题）基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数
0
指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可
以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似
0
满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例
0 0
数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时
间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数 若函数 恰有4
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
4．（2021·天津·统考高考真题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】由 最多有2个根，可得 至少有4个根，分别讨论当
和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
二、填空题
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
6．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若
至少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】设 ， ，分析可知函数 至少有一个零点，可得出 ，求出
的取值范围，然后对实数 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式，综合可求
得实数 的取值范围.
【详解】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
题型 一 求函数的零点和判断零点所在区间
策略方法 1.确定函数零点个数的方法
2.判断函数零点所在区间的方法
【典例1】已知函数 是奇函数，且 ，若 是函数 的一个零点，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.
【详解】因为 是函数 的一个零点，则 ，于是 ，即 ，
而函数 是奇函数，则有 ，
所以 .
故选：D
【典例2】设方程 ， ， 的实数根分别为 ， ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用零点存在性定理分别求出根的范围即可判断．
【详解】构建 ，可知 在定义域内单调递增，且 ，
所以 的实数根 ，
构建 ，可知 在定义域内单调递增，且 ，
所以 的实数根 ，
构建 ，可知 在定义域内单调递增，且 ，
所以 的实数根 ，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了指数函数对数函数的性质以及方程根的问题，属于基础题
【题型训练】
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的解在 内，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算.
【详解】构建 ，则 在定义域内单调递增，故 在定义域内至多有一个零点，
∵ ，
∴ 仅在 内存在零点，即方程 的解仅在 内，
故 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点依次为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别讨论 的零点所在的区间，然后比较大小.
【详解】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点
；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
；
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 ，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可
得出答案.
【详解】令 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
，
所以函数 在区间 上有唯一零点，
所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是 .
故选：B.
二、填空题
4．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数 的零点是_________．
【答案】1和3
【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令 即可求解
【详解】依题意，令 ，解得： 或 ，
故答案为：1和3.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 则函数 的所有零点之和为
___________.
【答案】
【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数 的所有零点，从而得解．【详解】解： 时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
函数 的所有零点为 ， ， ， ，所以所有零点的和为
故答案为： ．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为________．
【答案】1
【分析】解法一，将函数 的零点转化为函数 与 图象的交点问题，作出
函数图象，数形结合，可得答案；
解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.
【详解】解法一：令 ，可得方程 ，即 ，
故原函数的零点个数即为函数 与 图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数 与 的图象只有一个交点，
故函数 只有一个零点，
故答案为：1解法二：∵ ， ，
∴ ，
又 的图象在 上是不间断的，
∴ 在 上必有零点，
又 在 上是单调递增的，
∴函数 的零点有且只有一个，
故答案为：1
7．（2023·全国·高三专题练习）设 为实数，函数 在 上有零点，则实数 的取值范围
为________．
【答案】
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】因为 在 单调递增，且有零点，
所以 ，解得 ，
故答案为：
题型二 与零点有关的参数问题
策略方法 已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围【典例1】．若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论 或 三种情况，然后根据函数判断
【详解】①当 时， 则 只有一个零点0，不符合题意；
②当 时，作出函数 的大致图象，如图1， 在 和 上各有一个零点，符合题意；
③当 时，作出函数 的大致图象，如图2， 在 上没有零点．
则 在 上有两个零点，此时必须满足 ，解得 ．
综上，得 或 ．
故选：A【题型训练】
一、单选题
1．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题）设
表示m，n中的较小数．若函数 至少有3个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可知函数 至少有一个零点，可得出 ，求出 的取值范围，然后对实
数 的取值范围进行分类讨论，即可得出实数 的取值范围.
【详解】由题意可得 有解，
所以 ，解得 或 ，
当 时，必有 ，解得 ；
当 时，必有 ，不等式组无解，
综上所述， ，∴ 的取值范围为 .
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）若方程 ，且 有两个不同实数根，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质及函数的图象，再结合函数的零点与方程的根的关系即可求解.【详解】由题意可知，方程 有两个不同实数根，
等价于函数 与 的图象有两个不同的交点，
当 时，如图所示，
由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个不同的交点，满足题意
当 时，如图所示
由图可知，当 时，函数 与 的图象有且仅有一个交点，
不满足题意,
综上所示，实数 的取值范围为 ．
故选：D．
3．（河北省2023届高三适应性考试数学试题）已知函数 ，若 恰有两个
零点，则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为 恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函
数图象即可确定 的取值.
【详解】 恰有两个零点,即 恰有两个实数根，由于 ，所以 恰有
两个实数根等价于 恰有两个实数根，
令 ，则 ，
当 时， ，故当 此时 单调递增，当 ，
此时 单调递减，故当 时， 取极小值也是最小值，且当 时， ，
当 时， ，且 单调递增，
在直角坐标系中画出 的大致图象如图：
要使 有两个交点，则 ，
故选：D4．（天津市和平区2021-2022学年高一上学期期末质量调查数学试题）已知函数 有
零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为 与 有交点，再根据 值域求解即可.
【详解】 ，
，
函数 有零点，
与 有交点，
，
即 ，
故选：C
二、多选题
5．（2023·山西晋中·统考三模）已知函数 ，关于x的方程 ，下列结论正
确的是（ ）
A．存在 使方程恰有2个不相等的实根
B．存在 使方程恰有4个不相等的实根
C．存在 使方程恰有5个不相等的实根
D．存在 使方程恰有6个不相等的实根
【答案】AB
【分析】令 ，则 ，利用导数研究函数 的单调性，由此确定方程 的解的个
数及范围，再结合二次函数性质确定结论.
【详解】令 ，则 ，因为 ，所以当 时， ，
所以 ，所以函数 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 ，令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 ， ，且当 时， ，当 时， ，
又当 时， ，故 时， ，
故函数 的大致图象如下：
所以当 时，方程 没有实根；
当 或 时，方程 有1个实根；
当 时，方程 有2个实根；
当 时，方程 有3个实根.
因为方程 的判别式 ，
所以当 ， ，方程 没有实根，故方程 无实根；
当 ， ，此时 ，
故方程 有2个不等实根；
当 ， ，方程 有2个不等实根t1，t2，
不妨取 ，则 ， ，则必有 ， ，
若 ，则 ， 没有实根， 有1个实根，
所以方程 有1个实根；
若 ，则 ， 有1个实根， 有1个实根，
所以方程 有2个实根；
若 ，则 ， 有3个实根， 有1个实根，
所以方程 有4个实根，
综上所述：当 时，方程 有1个实根；
当 或 时，方程 有2个实根；
当 时，方程 有4个实根；
当 时，方程 没有实根.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过换元，将问题转化为方程组的解的问题，再利用数形结合
方法及二次函数性质研究方程的解.
三、填空题6．（北京市昌平区2022届高三二模数学试题）若函数 有且仅有两个零点，则实数
的一个取值为______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由零点的概念求解
【详解】令 ，当 时，由 得 ，即 为函数 的一个零点，
故当 时， 有一解，得
故答案为： （答案不唯一）
7．（天津市河西区2023届高三一模数学试题）已知 ，且函数 恰有 个
不同的零点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】当 时，由 得 ，可转化为当 时， 恰有 个不同的零点，利用
根的分布可得答案.
【详解】当 时， ，
所以由 得 ，
所以当 时， 恰有 个不同的零点，
令 ，则 在 时恰有 个不同的零点，
可得 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为： .【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
题型三 二分法的应用
【典例1】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代
数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程
的近似解，先用函数零点存在定理，令 ， ，
，得 上存在零点，取 ，牛顿用公式 反复迭代，以 作为
的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为______；以 为初始区间，用二分法计算两次后，
以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为______．
【答案】
【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含义，实际上是一个递推数列，反复代入给定的表达式，计算即可；
第二空，根据二分法依次取区间中点值计算即可.
【详解】已知 ，则 ．
迭代1次后， ；选代2次后， ；
用二分法计算第1次，区间 的中点为 ， ， ，所以近似解在区
间 上；
用二分法计算第2次，区间 的中点为 ， ， ，所以近似解在
区间 上，取其中点值 ，
故所求近似解为 ．
故答案为： ，
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得
， ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点 ，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为 ，
由零点存在性知：零点 ，根据二分法，第二次应计算 ，即 ，
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【答案】C
【分析】根据二分法的定义和精确度的要求分析判断即可
【详解】由所给数据可知，函数 在区间 内有一个根，
因为 ， ，
所以根在 内，
因为 ，所以不满足精确度，
继续取区间中点 ，
因为 ， ，
所以根在区间 ，
因为 ，所以不满足精确度，
继续取区间中点 ，
因为 ， ，
所以根在区间 内，
因为 满足精确度，
因为 ，所以根在 内，
所以方程的一个近似解为 ，
故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
是单调函数， ，能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点.
故选：B
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的根在区间 上，第一次用二分法求其近似解时，
其根所在区间应为__________．
【答案】
【分析】由题意构造函数 ，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分
析函数值的符号是否异号即可．
【详解】解：令 ，其在定义域上单调递增，
且 ， ，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为 ．
故答案为： ．题型四 常见函数模型Ⅰ - 二次和分段函数
【典例1】在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非
常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度
（单位：毫克/立方米）随着时间 （单位：天）变化的函数关系式近似为 ，若多次喷
洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空
气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持
续有效去污，求 的最小值.
【答案】(1)7天
(2)
【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可
（2）根据题意，列出空气中去污剂的浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，并解出不等式
即可
【详解】（1）释放的去污剂浓度为 ，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经 天，则浓度，
，当且仅当 即 等号成立.
所以 的最小值为 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，
该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另投入成本 万元.其中
，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业
每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
【答案】C
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大
值.
【详解】该企业每年利润为
当 时，
在 时， 取得最大值 ；当 时，
（当且仅当 时等号成立），即在 时， 取得最大值 ；
由 ，可得该企业每年利润的最大值为 .
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，
一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为 的弯道上，
甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离
略超过 ，乙车的刹车距离略超过 .已知甲车的刹车距离 与车速 之间的关系为
，乙车的刹车距离 与车速 之间的关系为 .请判断甲、乙两车哪
辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
【答案】C
【分析】根据题意列出方程即可确定是否超速.
【详解】对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以甲未超速；
对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以乙超速；
故选:C.
3．（2023·全国·高三专题练习）“空气质量指数（ ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当
大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数 随时间 变化的
趋势由函数 描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
【答案】C
【分析】当 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即 时适合开展户外活动,根据分段
函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【详解】解:由题知,当 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当 小于等于200时,适宜开展户外活动,
即 ,
因为 ,
所以当 时,
只需 ,
解得: ,
当 时,
只需 ,
解得: ,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为 ,
共计7个小时.
故选:C
4．（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关
系为 ，生产x件所需成本为C（元），其中 ，若要求每天获利不少于1300元，则
日销量x的取值范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】由题意求得利润函数 ，然后解不等式 即可得．【详解】由题意日销量x件时，利润是 ，
， ， ．
故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）某企业投入 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 万元，此
外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年
增加 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设该企业需要更新设备的年数为 ，设备年平均费用为 万元，求得 关于 的表达式，
利用基本不等式求出 的最小值及其对应的 值，即可得出结论.
【详解】设该企业需要更新设备的年数为 ，设备年平均费用为 万元，
则 年后的设备维护费用为 ，
所以 年的平均费用为 （万元），
当且仅当 时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 .
故选：B.
二、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）某工厂统计资料显示,一种产品的次品率p与日产量x（件）（ 且
）之间的关系如下表:
日产量x 1 2 3 4 5 … 98 99 100
次品率p …
已知生产一件正品盈利a元,生产一件次品损失 元．
(1)将该厂的日赢利额y（元）表示为日产量x（件）的函数;
(2)为使日赢利最大,该厂的日产量应定为多少？【答案】(1) ,（ , ）
(2)96
【分析】(1)根据表格得到次品率p与日产量x之间的关系,再写出关于日赢利额y和日产量x的函数即可;
(2)根据(1)中的结论，对 进行换元,分离常数,用基本不等式求出最值,以及取等条件即可.
【详解】（1）解:由表可知次品率 ( , ）,
故
（ , ）．
（2）由(1)可得: ,（ , ）
设 ,则 , ,
可得
,
当且仅当 ,即 时等号成立,
由 ,得 ,所以日产量定为96件时可使日赢利最大．
7．（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成
“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系： ，肥料成本投入为 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等
人工费) 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为
(单位：元)
(1)写单株利润 (元)关于施用肥料 (千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ；
(2)4千克，480元﹒
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润 的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出 的最大值即可．
【详解】（1）依题意 ，又 ，
∴ ．
（2）当 时， ，开口向上，对称轴为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上的最大值为 ．
当 时， ，
当且仅当 时，即 时等号成立．
∵ ，∴当 时， ．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．
8．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加
投入100元，已知总收益满足函数 ，其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数 ；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【答案】(1)
(2)当月产量为 时, 最大利润为 元.
【分析】（1）利用利润=总收益 固定成本 投入成本，即可求解利润 关于月产量x的函数；
（2）分段求解利润关于月产量的最大值并比较即可.
【详解】（1）
当 时， ，
当 时， ，
；
（2）当 时，
当 时， ；
当 时， 在定义域内单调递减，
，当 时， ；
当月产量为 台时，公司所获利润最大，最大利润为 元.
题型 五 常见函数模型Ⅱ - 指对幂函数
【典例1】目前，新冠疫情形势依然严峻，因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药
熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药
熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫
克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的）函数关系式为
（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小
时）的变化曲线如图所示．
(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于 毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少
需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 时，设 ，由最高点求出 ，再依据最高点求出参数 ，从而得函数解析式；
（2）解不等式 可得结论．
【详解】（1）依题意，当 时，可设 ，且 ，解得
又由 ，解得 ，
所以
（2）令 ，
即 ，解得 ，即至少需要经过 后，学生才能回到教室.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气
味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 ，否则，该新房
达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风 周与室内甲醛浓度y（单位：
）之间近似满足函数关系式 ，其中
，且 ， ，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通
风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
【答案】D
【分析】由已知数据求得参数 ，然后解不等式 即可得．
【详解】 ，由 ， ，得 ，
，两式相减得 ，则 ，所以 ， .
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则 ，
则 ，即 ，解得 ，
故至少需要通风26周.
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，
是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合
信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的
应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距
释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足 ，其中k，a为非零常数．已知释放信息
素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信
息素浓度为 ，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值.
【详解】由题意 ， ，
所以 ），
即 ．又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大
胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．
该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值： ）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【分析】设年平均增长率为 ，依题意列方程求 即可.
【详解】由题意，设年平均增长率为 ，则 ，
所以 ，故年平均增长率为20%.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常
以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率 与其体重 满足 ，其中 和 为正常数，该类
动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8
倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】初始状态设为 ，变化后为 ，根据 ， 的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为 ，则 ， ，
又 ， ，即 ，
， ， ， ， ．
故选：D．
二、解答题
5．（2023·全国·高三专题练习）声强级 (单位:dB)由公式 给出,其中I为声强(单位: ).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ,能听到的最低声强为 .求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为 ,求其声强级.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)分别代入 与 求解即可.
(2)代入 求解即可.
【详解】解:(1) .
.
因此人听觉的声强级范围为 .
(2) .
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
6．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产 ， 两种产品，根据市场调查和预测， 产品的利润 （万
元）与投资额 （万元）成正比，其关系如图（1）所示； 产品的利润 （万元）与投资额 （万元）的
算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将 ， 两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入 ， 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能
使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？【答案】(1) ， ；
(2)当 产品投入3.75万元， 产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元．
【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；
（2）设 产品投入 万元，则 产品投入 万元，设企业的利润为 万元，则有
，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．
【详解】（1）设投资额为 万元， 产品的利润为 万元， 产品的利润为 万元，
由题设 ， ，
由图可知 （1） ，所以 ，又 （4） ，所以 ，
所以 ， ；
（2）设 产品投入 万元，则 产品投入 万元，设企业的利润为 万元，
， ，
令 ，则 ， ，
所以当 时， ，此时 ，
所以当 产品投入3.75万元， 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为 万元，约为4万元．【附录-函数的应用思维导图】
