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必刷大题 18 统计与统计分析
1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这
200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．
一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数．
解 (1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为3 000×0.28＝840.
(2)由样本的频率分布直方图可知，总体成绩的众数为＝75，
平均数为
0.002×10×35 ＋ 0.006×10×45 ＋ 0.012×10×55 ＋ 0.024×10×65 ＋ 0.028×10×75 ＋
0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解疫情防护知识，提高
预防能力，做到科学防护．某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答．共有 100人参加了
这次问答，将他们的成绩(满分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；(同一组数据用该组数据的
中点值代替)
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，
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再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率．
解 (1)由图可知，10×(2×0.005＋a＋0.02＋0.025＋0.03)＝1，
解得a＝0.015.
设中位数为x，
则0.05＋0.15＋0.2＋0.03×(x－70)＝0.5，
所以x＝.
这100人问答成绩的平均数为
45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，
则问答成绩在[60,70)内的有×5＝2(人)，分别记为A，B；
问答成绩在[70,80)内的有×5＝3(人)，分别记为a，b，c.
从中任意抽取2人，则试验的样本空间
Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，
共有10个样本点．
设事件A为2人的问答成绩均在[70,80)内，
则A＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有3个样本点，
所以这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率P(A)＝.
3．为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳
动大比拼”活动．某班统计了本班同学1～7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立
了人均月劳动时间y关于月份x的经验回归方程y＝bx＋4，y与x的原始数据如表所示：
月份x 1 2 3 4 5 6 7
人均月劳动时间y 8 9 m 12 n 19 22
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 y＝452.
i i
(1)求m，n的值；
(2)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差)．
参考公式：在经验回归方程y＝bx＋a中，b＝ ，a＝－b.
解 (1)由表知，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(8＋9＋m＋12＋n＋19＋22)＝，
所以－72＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72－7×42＝28，
所以b＝＝，
即m＋n＝43－7b，①
因为经验回归直线恒过点(，)，
所以＝4b＋4，
即m＋n＝28b－42，②
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由①②，得b＝，m＋n＝26，③
因为 y＝8＋18＋3m＋48＋5n＋114＋154＝452，
i i
所以3m＋5n＝110，④
由③④，得m＝10，n＝16.
(2)由(1)知，经验回归方程为y＝x＋4，
所以当x＝6时，预测值y＝×6＋4＝，
此时残差为19－＝.
4．为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，
其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，
都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护
知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了 200名
居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位：岁)
分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；
(2)把年龄在[15,45) 内的居民称为中青年，年龄在[45,65]内的居民称为中老年，若选出的
200人中通过纸质阅读的中老年有 30人，请完成下面2×2列联表，并依据小概率值 α＝
0.025的独立性检验，分析阅读方式是否与年龄有关．
电子阅读 纸质阅读 合计
中青年
中老年
合计
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
α
解 (1)由频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，
解得a＝0.035，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为
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20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．
(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×＝150，
通过纸质阅读的人数为200－150＝50.
因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，
所以通过电子阅读的中青年的人数为150×＝90，
中老年的人数为150－90＝60.
2×2列联表为
电子阅读 纸质阅读 合计
中青年 90 20 110
中老年 60 30 90
合计 150 50 200
零假设为H：阅读方式与年龄无关．
0
由表中数据，得χ2＝≈6.061>5.024＝x ，
0.025
所以依据小概率值α＝0.025的独立性检验，推断H 不成立，即认为阅读方式与年龄有关．
0
5．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改
电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省某年1～7月份煤改气、煤改电的用户数
量．
图1
图2
(1)在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图
和样本相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
(2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)，预测该年11月份该省煤改气、煤改电的
用户数量．
参考公式：对于一组数据(u ，v)，(u ，v)，…，(u ，v)，其经验回归方程v＝βu＋α的斜率
1 1 2 2 n n
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和截距的最小二乘估计公式分别为β＝＝，α＝－β.
参考数据：＝9.24，y＝39.75，≈0.53，≈2.646.
i i i
样本相关系数r＝.
解 (1)作出散点图如图所示．
由条形图数据和参考数据得，
＝4，(t－)2＝28，≈0.53，
i
(t－)(y－)＝y－＝39.75－4×9.24＝2.79，
i i i i i
所以r≈≈0.99.
y与t的样本相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝＝1.32，
又由(1)得b＝＝≈0.10，
a＝－b≈1.32－0.10×4＝0.92，
所以y关于t的经验回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将t＝11代入经验回归方程得y＝0.92＋0.10×11＝2.02.
所以预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．
6．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某
地区2015年年底到2022年年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：
年份(年) 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8
保有量y/千
1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
辆
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(1)根据统计表中的数据画出散点图(如图)，请判断y＝bx＋a与y＝ecx＋d哪一个更适合作为y
关于x的经验回归模型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果建立y关于x
的经验回归方程；
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下
降的百分比相同．若2022年年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2027年年
底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源
汽车保有量．
参考公式：对于一组数据(u ，v)，(u ，v)，…，(u ，v)，其经验回归方程v＝βu＋α的斜率
1 1 2 2 n n
和截距的最小二乘估计公式分别为β＝＝，α＝－β.
参考数据：＝12.1，＝2.1，＝204，y＝613.7，t＝92.4，其中t＝ln y，lg 2≈0.30，lg
i i ii i i
3≈0.48，lg e≈0.43.
解 (1)根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝
ecx＋d，因为t＝ln y，则t＝cx＋d，
因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝4.5，＝204，t＝92.4，＝2.1，
ii
所以c＝＝＝＝0.4，
d＝－c＝2.1－0.4×4.5＝0.3，
所以t＝0.4x＋0.3，
即y＝e0.4x＋0.3.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，500(1－r)5＝500(1－10%)，解
得1－r＝ ，
设从2022年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，
则有y＝500(1－r)x＝ ，
设从2022年底起经过x年后新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量，
则有e0.4(x＋8)＋0.3> ，
所以(0.4x＋3.5)lg e>3－lg 2＋0.2x(2lg 3－1)，
解得x>≈6.64，
故从2022年年底起经过7年后，即2029年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保
有量．
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