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必刷小题 4 函数与方程
一、单项选择题
1．函数f(x)＝ex＋2x－5的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 函数f(x)＝ex＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0，
由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内．
2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速
走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间
t之间的函数图象大致是( )
答案 D
解析 小明沿 走时，与O点的直线距离保持不变，
沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，
沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．
3．函数y＝的图象大致是( )
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答案 D
解析 因为y＝＝－，x≠0，故y＝为奇函数，图象关于原点成中心对称，
将函数图象向右平移1个单位长度可得y＝的图象，
所以y＝的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A，B；
又当y＝＝0时，x＝0或x＝2，故y＝的图象与x轴有2个交点，排除C.
4．在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，
如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的，
3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为3＝>0.1，不满足题意，
4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为4＝<0.1，满足题意．
5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成
信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，
声压的衰减过程可以用指数模型：P(s)＝Pe－Ks描述声压P(s)(单位：帕斯卡)随传播距离s(单
0
位：米)的变化规律，其中P 为声压的初始值，常数K为试验参数．若试验中声压初始值为
0
900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数
据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( )
A．0.162 B．0.164
C．0.166 D．0.168
答案 B
解析 由题意知，400＝900e－5K，
两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K，
所以K＝＝≈＝0.164.
6．已知f(x)＝则函数y＝3f2(x)－2f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题设，当x<0时，f(x)∈R且单调递减，当x≥0时，f(x)∈(0,1)且单调递减，
令t＝f(x)，则y＝3t2－2t＝0，可得t＝0或t＝，作出函数f(x)的图象，如图所示，
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由图知，当t＝0时有一个零点，当t＝时有两个零点，故共有3个零点．
7．已知函数f(x)＝2x＋log x，且实数a>b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x 是函数y＝f(x)
2 0
的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是( )
A．xa
0 0
C．x0，f(b)>0，f(c)>0，
即不满足f(a)f(b)f(c)<0，
故选项D不可能成立．
8．(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－log (x＋1)恰有3个零点，则实数a的
a
取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 令g(x)＝f(x)－log (x＋1)＝0，可得f(x)＝log (x＋1)，
a a
所以曲线y＝f(x)与曲线y＝log (x＋1)有三个交点，
a
当a>1时，曲线y＝f(x)与曲线y＝log (x＋1)只有一个交点，不符合题意；
a
当00时，两个函数的图象有1个交点，
当m≤0时，两个函数的图象有2个交点，
所以函数g(x)＝f(x)－m的零点可能有1个或2个．
11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注
射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据
进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )
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A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时
答案 AD
解析 由函数图象可知y＝
当t＝1时，y＝4，
即1－a＝4，解得a＝3，
∴y＝故A正确，
药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝，
药物刚好失效的时间t－3＝0.125，
解得t＝6，
故药物有效时长为6－＝5(小时)，
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每
毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误．
12．已知定义域为R的偶函数f(x)有4个零点x ，x ，x ，x (x0时f(x)有2个零点，
即解得a>2，A不正确；
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝x2＋ax＋1，B正确；
偶函数f(x)的4个零点满足：x0，xx＝1且x＝－x，x＝－x，
3 3 4 1 4 2 3
于是得xxxx＝(xx)2＝1，C正确；
1 2 3 4 3 4
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由C选项知，x＋2x＋3x＋4x＝x＋3x＝x＋，
1 2 3 4 3 4 3
且00时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移得到的，由图象可得，若
想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g(0)＝ln a<1，即0
