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§6.1 数列的概念
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
如果数列{a}的第n项a 与它的 序号 n 之间的对应关系可以用
n n
通项公式
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
递推公式
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{a}的 把数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a}的
n n n
前n项和 前n项和，记作S，即S＝a ＋ a ＋ … ＋ a
n n 1 2 n
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a >a
n＋1 n
递减数列 a <a 其中n∈N*
n＋1 n
项与项间的
常数列 a ＝a
n＋1 n
大小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序
n
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号 n，对应的函数值是 数列的第 n 项 a，记为a＝f(n)．
n n
常用结论
1．已知数列{a}的前n项和S，则a＝
n n n
2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N*)；若a 最小，则(n≥2，n∈N*)．
n n n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念．( × )
(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．( √ )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( √ )
教材改编题
1．(多选)已知数列{a}的通项公式为a＝9＋12n，则在下列各数中，是{a}的项的是( )
n n n
A．21 B．33 C．152 D．153
答案 ABD
解析 由数列的通项公式得，a＝21，a＝33，a ＝153.
1 2 12
2．已知数列{a}的前n项和为S，且S＝n2＋n，则a 的值是( )
n n n 2
A．2 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由题意，S＝22＋2＝6，S＝1＋1＝2，所以a＝S－S＝6－2＝4.
2 1 2 2 1
3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
答案 34
解析 通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此 x＝13
＋21＝34.
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1 (1)已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，S ＝2S－1，则a 等于( )
n n 1 n＋1 n 10
A．128 B．256 C．512 D．1 024
答案 B
解析 ∵S ＝2S －1，∴当n≥2时，S ＝2S －1，两式相减得a ＝2a.当n＝1时，a ＋
n＋1 n n n－1 n＋1 n 1
a ＝2a －1，又a ＝2，∴a ＝1.∴数列{a}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a ＝a×28
2 1 1 2 n 10 2
＝1×28＝256.
(2)已知数列{a}的前n项和为S，且满足S＝2n＋2－3，则a＝________.
n n n n
答案
解析 根据题意，数列{a}满足S＝2n＋2－3，
n n
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当n≥2时，有a＝S－S ＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
n n n－1
当n＝1时，有a＝S＝8－3＝5，不符合a＝2n＋1，故a＝
1 1 n n
思维升华 S 与a 的关系问题的求解思路
n n
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
跟踪训练1 (1)已知正项数列{a}中，＋＋…＋＝，则数列{a}的通项公式为( )
n n
A．a＝n B．a＝n2
n n
C．a＝ D．a＝
n n
答案 B
解析 ∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
两式相减得＝－＝n(n≥2)，
∴a＝n2(n≥2)，①
n
又当n＝1时，＝＝1，a＝1，适合①式，
1
∴a＝n2，n∈N*.
n
(2)设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则S＝__________.
n n 1 n＋1 n n＋1 n
答案 －
解析 因为a ＝S －S ，a ＝SS ，所以由两式联立得S －S ＝SS .因为S≠0，
n＋1 n＋1 n n＋1 n n＋1 n＋1 n n n＋1 n
所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－
1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以S＝－.
n
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{a}满足：a ＝
n 1
1，a ＝a＋n＋1(n∈N*)，则等于( )
n＋1 n
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由a ＝a＋n＋1，得a－a ＝n(n≥2)．又a＝1，
n＋1 n n n－1 1
所以a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a)＋a ＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
(n≥2)，
当n＝1时，a＝1满足上式，
1
则＝＝2.
所以＋＋…＋
＝2×
＝2×
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＝.
所以＝＝1.
命题点2 累乘法
例3 在数列{a}中，a＝1，a＝a (n≥2，n∈N*)，则数列{a}的通项公式为________．
n 1 n n－1 n
答案 a＝
n
解析 ∵a＝a (n≥2)，
n n－1
∴a ＝a ，a ＝a ，…，a＝a.
n－1 n－2 n－2 n－3 2 1
以上(n－1)个式子相乘得，
a＝a···…·＝＝.
n 1
当n＝1时，a＝1，符合上式，∴a＝.
1 n
思维升华 (1)形如a －a＝f(n)的数列，利用累加法．
n＋1 n
(2)形如＝f(n)的数列，利用a＝a···…·(n≥2)即可求数列{a}的通项公式．
n 1 n
跟踪训练2 (1)在数列{a}中，a＝2，a ＝a＋ln，则a 等于( )
n 1 n＋1 n n
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 因为a －a＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
n＋1 n
所以a－a＝ln 2－ln 1，
2 1
a－a＝ln 3－ln 2，
3 2
a－a＝ln 4－ln 3，
4 3
…
a－a ＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
n n－1
把以上各式相加得a－a＝ln n－ln 1，
n 1
则a＝2＋ln n(n≥2)，且a＝2也满足此式，
n 1
因此a＝2＋ln n(n∈N*)．
n
(2)已知数列a，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log a＝________.
1 2 n
答案
解析 由题意知，a＝1，＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)，
1
所以a＝××…××a＝2n－1×2n－2×…×1＝ (n≥2)，当n＝1时，a＝1适合此式，
n 1 1
所以log a＝.
2 n
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且∀n∈N*，a
n＋1
>a
n
，S
n
≥S
6
.请写出一个满足条件的数列
{a}的通项公式a＝________.
n n
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答案 n－6，n∈N*(答案不唯一)
解析 由∀n∈N*，a >a 可知数列{a}是递增数列，又S≥S ，故数列{a}从第7项开始为
n＋1 n n n 6 n
正．而a≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a ＝0，所以a ＝n－6，n∈N*(答案
6 6 n
不唯一)．
命题点2 数列的周期性
例5 若数列{a}满足a＝2，a ＝，则a 的值为( )
n 1 n＋1 2 024
A．2 B．－3 C．－ D.
答案 D
解析 由题意知，a ＝2，a ＝＝－3，a ＝＝－，a ＝＝，a ＝＝2，a ＝＝－3，…，因此数
1 2 3 4 5 6
列{a}是周期为4的周期数列，所以a ＝a ＝a＝.
n 2 024 505×4＋4 4
命题点3 数列的最值
例6 已知数列{a}的通项公式为a＝，其最大项和最小项的值分别为( )
n n
A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－
答案 A
解析 因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，a ＝<0，且单调递减；当n≥4时，a ＝>0，且单调
n n
递减，所以最小项为a＝＝－，最大项为a＝＝1.
3 4
思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11
项是( )
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11
答案 C
解析 由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，
由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11.
(2)已知数列{a}的通项 a ＝，n∈N*，则数列{a}前 20 项中的最大项与最小项分别为
n n n
________．
答案 3，－1
解析 a ＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减．因
n
此数列{a}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项．a ＝3，a ＝－1.
n 11 10
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课时精练
1．已知a＝，那么数列{a}是( )
n n
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 B
解析 a＝1－，将a 看作关于n的函数，n∈N*，易知数列{a}是递增数列．
n n n
2．已知数列{a}的前n项和S 满足SS＝S (n∈N*)，且a＝2，那么a 等于( )
n n n 1 n＋1 1 7
A．128 B．16 C．32 D．64
答案 D
解析 因为数列{a}的前n项和S 满足SS＝S (n∈N*)，a＝2，
n n n 1 n＋1 1
所以S ＝2S ，即＝2，所以数列{S}是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以S ＝
n＋1 n n n
2×2n－1＝2n.所以当n≥2时，a＝S－S ＝2n－2n－1＝2n－1.所以a＝26＝64.
n n n－1 7
3．已知数列{a}满足a＝1，a－a ＝naa (n∈N*)，则a 等于( )
n 1 n n＋1 n n＋1 n
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意，得－＝n，则当n≥2时，－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，所以－＝1＋2
＋…＋(n－1)＝(n≥2)，所以＝＋1＝，即a ＝(n≥2)，当n＝1时，a ＝1适合此式，所以a
n 1 n
＝.
4．设数列{a}满足：a＝2，a ＝1－，记数列{a}的前n项之积为P，则P 等于( )
n 1 n＋1 n n 2 024
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 a ＝2，a ＝1－，得a ＝，a ＝－1，a ＝2，a ＝，…，所以数列{a}是周期为3的
1 n＋1 2 3 4 5 n
周期数列．且P＝－1,2 024＝3×674＋2，所以P ＝(－1)674×aa＝1.
3 2 024 1 2
5．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中
国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列
的第41项为( )
A．760 B．800 C．840 D．924
答案 C
解析 由题意得，大衍数列的奇数项依次为，，，…，易知大衍数列的第41项为＝840.
6．(多选)已知数列{a}的通项公式为a＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是( )
n n
A．数列{a}的最小项是a
n 1
B．数列{a}的最大项是a
n 4
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C．数列{a}的最大项是a
n 5
D．当n≥5时，数列{a}递减
n
答案 BCD
解析 假设第n项为{a}的最大项，则即所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{a}中a
n n 4
与a 均为最大项，且a＝a＝，当n≥5时，数列{a}递减．
5 4 5 n
7．S 为数列{a}的前n项和，且log (S＋1)＝n＋1，则数列{a}的通项公式为________.
n n 2 n n
答案 a＝
n
解析 由log (S ＋1)＝n＋1，得S ＋1＝2n＋1，当n＝1时，a ＝S ＝3；当n≥2时，a ＝S －
2 n n 1 1 n n
S ＝2n，显然当n＝1时，不满足上式．所以数列{a}的通项公式为a＝
n－1 n n
8．若数列{a}的前n项和S ＝n2－10n(n∈N*)，则数列{a}的通项公式a ＝________，数列
n n n n
{na}中数值最小的项是第________项．
n
答案 2n－11 3
解析 ∵S＝n2－10n，∴当n≥2时，a＝S－S ＝2n－11；
n n n n－1
当n＝1时，a＝S＝－9也适合上式．∴a＝2n－11(n∈N*)．
1 1 n
记f(n)＝na＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
n
∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{na}中数值最小的项是第3项．
n
9．在①na －(n＋1)a ＝n(n＋1)；②S ＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线
n＋1 n n
上，并解答．
若数列{a}的前n项和为S，a＝1，且数列{a}满足________．
n n 1 n
(1)求a，a；
2 3
(2)求数列{a}的通项公式．
n
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)选择①：a－2a＝1×2，则a＝4.
2 1 2
2a－3a＝2×3，则a＝9.
3 2 3
选择②：a＝S－S＝2×22－1－1＝6.
2 2 1
a＝S－S＝2×32－1－2×22＋1＝10.
3 3 2
(2)选择①：由na －(n＋1)a＝n(n＋1)，
n＋1 n
得－＝1，
所以＝－＋－＋…＋－a＋a＝n－1＋1＝n，
1 1
所以a＝n2.
n
选择②：当n≥2时，a＝S－S ＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
n n n－1
当n＝1时，a＝S＝1，不符合上式，
1 1
故{a}的通项公式为a＝
n n
10．(2023·长沙模拟)已知数列{c}满足c＝，＝，n∈N*，S 为该数列的前n项和．
n 1 n
(1)求证：数列为递增数列；
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(2)求证：S<1.
n
证明 (1)因为c＝，＝，
1
所以c≠1，c≠0，
n n
两边分别取倒数可得1－＝－，
整理可得－＝2>0，
所以数列为递增数列．
(2)由＝可得＝，即＝c＋，
n
所以c＝－，
n
所以S＝c＋c＋…＋c
n 1 2 n
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＋2，
又≥＝2，所以c ∈，
n＋1
所以<－1，即S<1.
n
11．在数列{a}中，a＝1，a＝(n，a)，b＝(a ，n＋1)，且a⊥b，则a 等于( )
n 1 n n＋1 100
A. B．－ C．100 D．－100
答案 D
解析 因为a＝(n，a)，b＝(a ，n＋1)，且a⊥b，所以na ＋(n＋1)a＝0，所以＝－，所
n n＋1 n＋1 n
以＝－，＝－，…，＝－.以上各式左右分别相乘，得＝－100，因为a ＝1，所以a ＝－
1 100
100.
12．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗
环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
{b}：b＝1＋，b＝1＋，b＝1＋，…，依此类推，其中α∈N*(k＝1,2，…)．则( )
n 1 2 3 k
A．b<b B．b<b
1 5 3 8
C．b<b D．b<b
6 2 4 7
答案 D
解析 方法一 当n取奇数时，
由已知b＝1＋，b＝1＋，
1 3
因为>，所以b>b，
1 3
同理可得b>b，b>b，…，于是可得b>b>b>b>…，故A不正确；
3 5 5 7 1 3 5 7
当n取偶数时，由已知b＝1＋，
2
b＝1＋，
4
因为>，所以b<b，
2 4
同理可得b<b，b<b，…，于是可得b<b<b<b<…，故C不正确；
4 6 6 8 2 4 6 8
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因为>，所以b>b，
1 2
同理可得b>b，b>b，b>b，
3 4 5 6 7 8
又b>b，所以b>b，故B不正确；故选D.
3 7 3 8
方法二 (特殊值法)
不妨取α＝1(k＝1,2，…)，则b＝1＋＝2，
k 1
b＝1＋＝1＋＝1＋＝，
2
b＝1＋＝1＋＝1＋＝，
3
所以b＝1＋＝1＋＝，
4
b＝1＋＝1＋＝，
5
b＝1＋＝1＋＝，
6
b＝1＋＝1＋＝，
7
b＝1＋＝1＋＝.
8
逐一判断选项可知选D.
13．已知数列{a}中，前n项和为S，且S＝a，则的最大值为________．
n n n n
答案 3
解析 ∵S ＝a ，∴当n≥2时，a ＝S －S ＝a －a ，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间
n n n n n－1 n n－1
(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3.
14．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{a}中，a ＝[lg
n n
n]，记S 为数列{a}的前n项和，则a ＝________；S ＝________.
n n 2 024 2 024
答案 3 4 965
解析 ∵a＝[lg n]，
n
∴当1≤n≤9时，a＝[lg n]＝0；
n
当10≤n≤99时，a＝[lg n]＝1；
n
当100≤n≤999时，a＝[lg n]＝2；
n
当1 000≤n≤9 999时，a＝[lg n]＝3.
n
∴a ＝[lg 2 024]＝3，S ＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.
2 024 2 024
15．(2023·郑州模拟)已知数列{a}满足 a ＝2，a ＝a ＋2n(n∈N*)，a ＝a ＋(－
n 2 2n 2n－1 2n＋1 2n
1)n(n∈N*)，则数列{a}第2 024项为( )
n
A．21 012－2 B．21 013－3
C．21 011－2 D．21 011－3
答案 B
解析 由a ＝a ＋(－1)n得a ＝a ＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，又由a ＝a ＋2n得a
2n＋1 2n 2n－1 2n－2 2n 2n－1 2n
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＝a ＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，
2n－2
所以a ＝a ＋22＋(－1)，a ＝a ＋23＋(－1)2，a ＝a ＋24＋(－1)3，…，a ＝a ＋21 012＋
4 2 6 4 8 6 2 024 2 022
(－1)1 011，将上式相加得a ＝a＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)1 011＋22＋23＋…＋21 012＝2＋－1
2 024 2
＝21 013－3.
16．在数列{a}中，已知a ＝1，n2a －S ＝n2a －S (n≥2，n∈N*)，记b ＝，T 为数列
n 1 n n n－1 n－1 n n
{b}的前n项和，则T ＝________.
n 2 025
答案
解析 由n2a－S＝n2a －S (n≥2，n∈N*)，
n n n－1 n－1
得n2a－(S－S )＝n2a ，
n n n－1 n－1
所以(n2－1)a＝n2a ，
n n－1
所以＝×.
令c＝，则c＝c ×，
n n n－1
所以＝.
由累乘法得＝，
又c＝a＝1，
1 1
所以c＝，所以＝，
n
所以a＝，
n
所以b＝＝＝2×，
n
所以T ＝2×＝2×＝.
2 025
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