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必刷小题 10 平面向量与复数
一、单项选择题
1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于( )
A．－3 B．0 C．3 D．3或－3
答案 D
解析 由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.
2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝＝5，
所以z＝＝＝＝1＋2i，
所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．0
答案 B
解析 因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.
4．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为.
5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点
M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，连接AO，由O为BC的中点可得，AO＝(AB＋AC)＝AM＋AN，
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∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，即m＋n＝2.
6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|
a×b|等于( )
A．8 B．－8 C．8或－8 D．6
答案 A
解析 由已知可得cos θ＝＝－，
∵0≤θ≤π，∴sin θ＝＝，
∴|a×b|＝|a|·|b|sin θ＝8.
7．(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
点，且DE＝3EF，则AF·BC的值为( )
A．－ B. C．1 D．－8
答案 B
解析 如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，
由于△ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，A，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴D，E，设F(x，y)，DE＝，EF＝，∵DE＝3EF，∴⇒⇒F，AF＝，BC＝(1,0)，AF·BC＝.
8．(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则
PA·PC的最小值是( )
A．－ B．－ C．－1 D．－
答案 C
解析 如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，C(1,0)，
设P(x，y)，则PA＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，
∴PA·PC＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时，取等号．
故PA·PC的最小值是－1.
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二、多项选择题
9．(2022·潍坊模拟)若复数z ＝2＋3i，z ＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是
1 2
( )
A.∈R
B.＝·
C．若z＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2
1
D．若，在复平面内对应的向量分别为OA，OB(O为坐标原点)，则|AB|＝5
答案 BC
解析 对于A，＝＝＝＝－i，A错误；
对于B，∵z·z＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴＝－5＋i；
1 2
又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B正确；
对于C，∵z＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；
1
对于D，由题意得OA＝(2，－3)，OB＝(－1，－1)，∴AB＝OB－OA＝(－3,2)，
∴|AB|＝＝，D错误．
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－
b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
答案 CD
解析 对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
·＝b，B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．
11．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形
的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一
半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．
下列四个选项中结论正确的是( )
A.GH＝2OG
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B.GA＋GB＋GC＝0
C．设BC边的中点为D，则有AH＝3OD
D.OA＝OB＝OC
答案 AB
解析 如图，
对于A项，由题意得AG＝2GD，AH⊥BC，
所以GH＝2OG，所以A选项正确；
对于B项，设D为BC的中点，
GB＋GC＝2GD＝－GA，
所以GA＋GB＋GC＝0，所以B选项正确；
对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，
所以AG＝2GD，GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以AH＝2OD，故C选项错误；
对于D项，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D选项错误．
12．(2023·潍坊模拟)已知向量OP＝(1,2)，将OP绕原点O旋转－30°，30°，60°到OP1，
OP2，OP3的位置，则下列说法正确的是( )
A.OP1·OP3＝0
B．|PP1|＝|PP2|
C.OP·OP3＝OP1·OP2
D．点P 的坐标为
1
答案 ABC
解析 由题意作图如图所示，
∵OP1⊥OP3，∴OP1·OP3＝0，故选项A正确；
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∵PP 与PP 所对的圆心角相等，∴|PP1|＝|PP2|，故选项B正确；
1 2
∵OP·OP3＝|OP||OP3|cos 60°＝.
OP1·OP2＝|OP1||OP2|cos 60°＝，故选项C正确；
若点P 坐标为，
1
则|OP1|＝≠，故选项D错误．
三、填空题
13．设{e ，e}为基底，已知向量AB＝e －ke ，CB＝2e －e ，CD＝3e －3e ，若A，B，D三
1 2 1 2 1 2 1 2
点共线，则k的值是________．
答案 2
解析 因为AB＝e－ke，CB＝2e－e，CD＝3e－3e，
1 2 1 2 1 2
所以BD＝CD－CB＝e－2e，
1 2
若A，B，D三点共线，则AB∥BD，
所以存在实数λ使得AB＝λBD，
故e－ke＝λ(e－2e)，所以λ＝1，k＝2.
1 2 1 2
14．已知i是虚数单位，则＝________.
答案
解析 因为i2 021＝i，2 022＝2 022＝2 022＝i2 022＝i2＝－1，
所以＝|－1＋i|＝＝.
15.(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝3DC，E为边BC的中点，若AE＝λAB＋
μAD，则λ＋μ＝________.
答案
解析 连接AC，如图所示，
AE＝AB＋AC＝AB＋(AD＋DC)＝AB＋，
所以AE＝AB＋AD，
则λ＋μ＝＋＝.
16．(2023·济宁模拟)等边△ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PA·PB＋
PB·PC的最大值为________．
答案 8
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解析 ∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，
∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(2,0)，B(－1，)，C(－1，－)，
设P(2cos θ，2sin θ)，
则PA＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PB＝(－1－2cos θ，－2sin θ)，PC＝(－1－2cos θ，－－
2sin θ)，
则PA·PB＋PB·PC＝(2－2cos θ)(－1－2cos θ)＋2sin θ(2sin θ－)＋(2cos θ＋1)2＋(2sin θ－)
(2sin θ＋)＝4＋2cos θ－2sin θ＝4＋4cos，
∴0≤PA·PB＋PB·PC≤8，
则PA·PB＋PB·PC的最大值为8.
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