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§5.3 平面向量的数量积
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向
量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两
个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的
平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量
积，记作 .
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝
b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，
1 1
我们称上述变换为向量a向向量b ，A1B1叫做向量a在向量b上的 ．记为
.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ ．
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夹角 cos θ＝_____ cos θ＝___________
a⊥b的充要条件 a·b＝0|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于( )
A．1 B. C．3 D．3
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
3．若向量 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则 a·b 的值等于________；a 与 b 夹角的余弦值等于
________．
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知AB＝DC，P为CD上一点，CP＝
3PD，|AB|＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为θ，且cos θ＝，则AP·PB等于( )
A．8 B．－8 C．2 D．－2
(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，BC＝3BD，AM＝2AD，则MC·MB＝________.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线
BD上，则AP·AC的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．4
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若AB·AC＝2AB·AD，则AD·AC＝
________.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于( )
A．1＋2 B.
C. D．3
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命题点2 向量的夹角
例3 若e，e 是夹角为的两个单位向量，则a＝2e＋e 与b＝－3e＋2e 的夹角为( )
1 2 1 2 1 2
A. B.
C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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命题点3 向量的垂直
例4 (2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
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思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知e ，e 是单位向量，且e·e ＝，若向量a满足e·a＝2，则下列选
1 2 1 2 1
项正确的是( )
A．|e－e|＝1 B．e 在e 上的投影向量的模为
1 2 1 2C．e 与e－e 的夹角为 D．a在e 上的投影向量为2e
1 1 2 1 1
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则
t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
题型三 平面向量的实际应用
例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力
为G，两个拉力分别为F ，F ，且|F |＝|F |，F 与F 的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下
1 2 1 2 1 2
列结论正确的是( )
A．|G|＝|F |＋|F |
1 2
B．当θ＝时，|F |＝|G|
1
C．当θ角越大时，用力越省
D．当|F |＝|G|时，θ＝
1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中
的航行速度v 的大小|v|＝10 km/h，水流的速度v 的大小|v|＝4 km/h，设v 和v 所成的角
1 1 2 2 1 2
为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
