文档内容
§5.3 平面向量的数量积
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向
量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两
个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的
平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB ＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，
记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是 θ，e与b是方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝
b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，
1 1
我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|
cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝xx ＋ yy
1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) xy － xy ＝ 0
1 2 2 1
|a·b|≤|a||b|
|a·b|与|a||b|的关系 |xx＋yy|≤
1 2 1 2
(当且仅当a∥b时等号成立)
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( × )
(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角．( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
教材改编题
1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(
)
A．0·a＝0
B．a·b＝b·c，则a＝c
C．a·b＝0⇒a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
答案 CD
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
3．已知向量 a，b 满足 3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则 a，b 夹角的余弦值为
________．
答案 －
解析 设a，b的夹角为θ，
依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，
则2a2－3a·b－2b2＝0，
故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，
则cos θ＝－.题型一 平面向量数量积的基本运算
例 1 (1)(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝
________.
答案 0 3
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，
∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知AB＝DC，P为CD上一点，CP＝3PD，|
AB|
＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为θ，且cos θ＝，则AP·PB＝________.
答案 －2
解析 如图所示，
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵CP＝3PD，
∴AP＝AD＋DP＝AB＋AD，
PB＝AB－AP＝AB－AD，
又∵|AB|＝4，|AD|＝3，
cos θ＝，
则AB·AD＝4×3×＝8，
∴AP·PB＝·
＝AB·AD－AD2＋AB2
＝×8－9＋×42＝－2.
教师备选
1．(2019·全国Ⅱ)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案 C
解析 因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，
所以|BC|＝＝1，解得t＝3，
所以BC＝(1,0)，
所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2.
2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若BD＝xBA
＋yBC，则x＋y＝________；②BD·BM＝________.
答案 1
解析 ①∵M是BC的中点，
∴BM＝BC，
∵D是AM的中点，
∴BD＝BA＋BM＝BA＋BC，
∴x＝，y＝，∴x＋y＝.
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，且BM＝1，
∴BD·BM＝|BD||BM|cos∠DBM＝|BM|2＝1.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋
c·a＝________.
答案 －
解析 由已知可得(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
(2)(2020·北京)已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP＝(AB＋AC)，则|PD|＝
________；PB·PD＝________.
答案 －1
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
∵AP＝(AB＋AC)，
∴P为BC的中点．∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，
∴|PD|＝，PB＝(0，－1)，PD＝(－2,1)，
∴PB·PD＝－1.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|
a－3b|＝________.
答案 2 6
解析 因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×＝12，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，
(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144
＝108，
所以|a＋b|＝2，|a－3b|＝6.
命题点2 向量的夹角
例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(
)
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝
＝＝.
命题点3 向量的垂直
例4 (2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案
解析 方法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，
即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，
∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
方法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，
从而λ＝＝＝＝.
教师备选
1．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )A. B. C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，
∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，
∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴cos α＝，∵α∈[0，π]，
∴α＝.
2．已知e，e 是两个单位向量，且|e＋e|＝，则|e－e|＝________.
1 2 1 2 1 2
答案 1
解析 由|e＋e|＝，两边平方，
1 2
得e＋2e·e＋e＝3.又e，e 是单位向量，
1 2 1 2
所以2e·e＝1，
1 2
所以|e－e|2＝e－2e·e＋e＝1，
1 2 1 2
所以|e－e|＝1.
1 2
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出
所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 方法一 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
则c＝(，)，
∴cos〈a，c〉＝＝，
∴sin〈a，c〉＝.方法二 a·c＝a·(a＋b)
＝a2＋a·b＝，
|c|＝＝＝＝3，
∴cos〈a，c〉＝＝＝，
∴sin〈a，c〉＝.
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点 P(cos α，sin α)，P(cos β，－sin
1 2
β)，P(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则( )
3
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP1|＝|AP2|
C.OA·OP3＝OP1·OP2
D.OA·OP1＝OP2·OP3
答案 AC
解析 由题意可知，
|OP1|＝＝1，
|OP2|＝＝1，
所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；
取α＝，则P，
1
取β＝，
则P，
2
则|AP1|≠|AP2|，故B错误；
因为OA·OP3＝cos(α＋β)，
OP1·OP2＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
因为OA·OP1＝cos α，
OP2·OP3＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)
＝cos(α＋2β)，
取α＝，β＝，
则OA·OP1＝，OP2·OP3＝cos ＝－，
所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误．
题型三 平面向量的实际应用
例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图
所示)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F ，F ，若|F |＝|F |，且F 与
1 2 1 2 1
F 的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
2A．|F |的最小值为|G|
1
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F |＝|G|
1
D．当θ＝时，|F |＝|G|
1
答案 ACD
解析 由题意知，F ＋F ＋G＝0，
1 2
可得F ＋F ＝－G，两边同时平方得
1 2
|G|2＝|F |2＋|F |2＋2|F ||F |cos θ
1 2 1 2
＝2|F |2＋2|F |2cos θ，
1 1
所以|F |2＝.
1
当θ＝0时，|F | ＝|G|；
1min
当θ＝时，|F |＝|G|；
1
当θ＝时，|F |＝|G|，故A，C，D正确；
1
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．
教师备选
若平面上的三个力F ，F ，F 作用于一点，且处于平衡状态，已知|F |＝1 N，|F |＝ N，F
1 2 3 1 2 1
与F 的夹角为45°，求：
2
(1)F 的大小；
3
(2)F 与F 夹角的大小．
3 1
解 (1)∵三个力平衡，
∴F ＋F ＋F ＝0，
1 2 3
∴|F |＝|F ＋F |＝
3 1 2
＝
＝＝1＋.
(2)方法一 设F 与F 的夹角为θ，
3 1
则|F |＝，
2
即＝，
解得cos θ＝－，
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝.
方法二 设F 与F 的夹角为θ，
3 1由余弦定理得
cos(π－θ)＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头
A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν|＝10 km/h，水流速度的大小为|
1
ν|＝6 km/h.设ν 与ν 的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到
2 1 2
北岸的位置应( )
A．在A′东侧 B．在A′西侧
C．恰好与A′重合 D．无法确定
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得ν＝(－5，5)，ν＝(6,0)，
1 2
所以ν＋ν＝(1,5)，
1 2
说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧．
极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式a·b＝.
如图所示．(1)在平行四边形ABDC中，AB＝a，AC＝b，则a·b＝(|AD|2－|BC|2)．
(2)在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AM为中线，则a·b＝|AM|2－|BC|2.
例1 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
答案 －16
解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB·AC＝AM2－MB2＝32－52＝－16.
例2 已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则PA·PB的
最小值是________．
答案 1
解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，PA·PB有最小值，
即
PA·PB＝PO2－OB2＝()2－12＝1.
例3 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的
最大值是( )
A．1 B．2 C. D.
答案 C
解析 如图所示，
设OA⊥OB，
记OA＝a，OB＝b，OC＝c，
M为AB的中点，
由极化恒等式有(a－c)·(b－c)＝CA·CB
＝|CM|2－＝0，
∴|CM|2＝＝，
可知MC是有固定起点，固定模长的动向量．
点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上，
所以|c|的最大值为圆的直径长，即为.
课时精练
1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
答案 D
解析 由题意得|a|＝|b|＝1，
设a，b的夹角为θ＝60°，
故a·b＝|a||b|cos θ＝.
对A项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2
＝＋2＝≠0；
对B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2
＝2×＋1＝2≠0；
对C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2
＝－2＝－≠0；
对D项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.
2．(2022·石家庄模拟)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2,1)，b∥c，a·c＝4，则|c|等于( )
A．2 B．4
C．5 D．4
答案 A
解析 因为b∥c，
所以c＝λb＝(2λ，λ)(λ∈R)，
又a·c＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c＝(4,2)，|c|＝＝2.
3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为(
)
A. B. C. D.
答案 D
解析 |a＋b|＝|a－b|＝2|a|，等号左右同时平方，
得|a＋b|2＝|a－b|2＝4|a|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b＝4|a|2，
所以a·b＝0且|b|2＝3|a|2，
所以|a－b|＝
＝＝|b|，
所以cos〈a－b，b〉＝
＝＝－，
因为〈a－b，b〉∈[0，π]，所以〈a－b，b〉＝.
4．已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A.或
B.或
C.
D.
答案 A
解析 由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±＝±.
5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有( )
A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b≤|a|·|b|
D．|a－b|≤|a|＋|b|
答案 ACD
解析 根据数量积的分配律可知A正确；
选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，
故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．
6．(多选)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－
b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
答案 CD
解析 对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，
又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
·＝b，B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．
7．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
答案 －
解析 c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
8．(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案
解析 将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝＝
＝＝.
9．(2022·长沙模拟)在△ABC中，BC的中点为D，设向量AB＝a，AC＝b.
(1)用a，b表示向量AD；
(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，求AB·AD的值．
解 (1)AD＝(AB＋AC)
＝a＋b，所以AD＝a＋b.
(2)AB·AD＝a·
＝a2＋a·b
＝×32＋×3×2×cos 60°＝6，
所以AB·AD＝6.
10．(2022·湛江模拟)已知向量m＝(sin x，cos x－1)，n＝(cos x，cos x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝，CD为
∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．
解 (1)f(x)＝m·n
＝sin x·cos x＋cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin－.
令2x＋∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)f(C)＝sin－＝0，
sin＝，又C∈，
所以C＝.
在△ACD中，CD＝，
在△BCE中，
BE＝＝.
11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则AC·BD
等于( )
A．12 B．－12
C．20 D．－20
答案 B
解析 如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴AC·BD＝(AD＋DC)·BD
＝AD·BD＋DC·BD
＝|AD||BD|cos∠BDA－|DC||BD|cos∠BDC
＝|AD|2－|DC|2＝4－16＝－12.
12．在△ABC中，已知·BC＝0，且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案 A
解析 ，分别为与AB，AC方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量＋所在的直线
为∠BAC的平分线．
因为·BC＝0，
所以∠BAC的平分线垂直于BC，
所以AB＝AC.
又·＝·cos∠BAC
＝，
所以cos∠BAC＝，∠BAC＝60°.
所以△ABC为等边三角形．
13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条
绳上的拉力分别是F ，F ，且F ，F 与水平夹角均为45°，|F |＝|F |＝10 N，则物体的重力
1 2 1 2 1 2
大小为________ N.
答案 20
解析 如图所示，∵|F |＝|F |＝10 N，
1 2
∴|F ＋F |＝10×＝20 N，
1 2
∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB
于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2BE＋DF|的值为________；(DE＋DF)·DA的最小值为
________．
答案 1
解析 设BE＝x，x∈，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，
DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2BE＋DF)2＝4BE2＋4BE·DF＋DF2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2BE＋DF|＝1，
∵(DE＋DF)·DA＝(DE＋DF)·(DE＋EA)＝DE2＋DF·EA＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1
＝52＋，
∴当x＝时，(DE＋DF)·DA的最小值为.
15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的
向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是( )
⊗
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)
⊗ ⊗
C．(a＋b) c＝a c＋b c
⊗ ⊗
D．若e是单位向量，则|a e|≤|a|＋1
⊗ ⊗ ⊗
答案 AD
⊗
解析 当a，b共线时，a b＝|a－b|＝|b－a|＝b a，当a，b不共线时，a b＝a·b＝b·a＝
b a，故A正确； ⊗ ⊗ ⊗
当⊗λ＝0，b≠0时，λ(a b)＝0，(λa) b＝|0－b|≠0，故B错误；
当a＋b与c共线时，⊗则存在a，b与⊗c不共线，(a＋b) c＝|a＋b－c|，a c＋b c＝a·c＋
b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；
⊗ ⊗ ⊗当e与a不共线时，|a e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a e|＝|a
－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤ ⊗|u|＋1，故D正确． ⊗
16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c.
解 (1)m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C,0
