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第七章：空间向量与立体几何（模块综合调研卷）
3．圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆
锥内切球半径为（ ）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
A． B．
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将 C． D．
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
4．已知正方体 中，E为 中点，则异面直线 与
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目
所成角的余弦值为（ ）
的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域
内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出
的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．在正方体 中，E，F分别是 ， 的中点，则 A． B． C． D．
（ ）
A． B． 平面BCE
5．如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是
C． D． 平面
西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，
2．已知 是三个不同的平面， 为两条不同直线，则下列说法
现有一个揽月阁模型塔底宽 ，塔顶宽约 ，侧面面积为
正确的是：（ ）.
，据此计算该揽月阁模型体积为（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则A．1400 B．2800 C． D． 8．在直四棱柱 中， ， ，点
8400
在侧面 内，且 ，则点 轨迹的长度为（ ）
6．在四面体 中， 与 互相垂直， ，且
，则四面体体积的最大值为（ ） A． B． C． D．
A．4 B．6 C．8 D．
4.5
7．已知三棱锥 中， ，则三棱 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出
的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分
锥 的外接球的体积为（ ）
分，有选错得 0 分）
9．如图，点 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图
A． B． C． D．
中满足 平面 的是（ ）
A． B．
A．若 ，则异面直线 和 所成的角的余弦值为
C． D．
10．如图，在正三棱柱 中，E，F分别为 ， 的中点， B．若 ，则点C到平面 的距离为
，则下列说法正确的是（ ） C．存在 ，使得 平面
D．若三棱柱 存在内切球，则14．已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值
11．在棱长为1的正方体 中， 为棱 上一点，且
为 .
， 为正方形 内一动点（含边界），则下列说法中正确
的是（ ）
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15
分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
A．若 平面 ，则动点 的轨迹是一条长为 的线段
15．如图，在直三棱柱 中，D，E，F分别为AB，BC，
B．不存在点 ，便得 平面
的中点．
C．三棱锥 的最大体积为
D．若 且 与平面 所成的角最大时，三棱锥
的体积为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知圆锥的底面周长为 ，其侧面积与半径为 的球的表面积相
(1)证明： 平面 ；
等，则该圆锥的体积为 ．
13．若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点 (2)若 ， ， ，求点E到平面 的距离．
共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相
等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体
16．如图1，在菱形 中，
过A，B，C三点的截面面积为 ，则其棱切球（球与各棱相切）的表
，沿 将 向
面积为 .
上折起得到棱锥 .如图2所示，设二面角 的平面角
为 .上靠近 的三等分点.
(1)求四面体 的体积；
(2)是否存在侧棱 上一点 ，使面 与面 所成角的正切值为
(1)当 为何值时，三棱锥 和四棱锥 的体积之比为 ； ？若存在，请描述点 的位置；若不存在，请说明理由.
(2)当 时，求平面 与平面 所成角 的正弦值. 19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有
三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线 ， ， 构成的三
17．如图所示，在等腰梯形 中， ， ，
面角 ，记 ， ， ，二面角
，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将 沿AE折起，使
的大小为 ，则 .如图2，四棱
点D到达点P的位置（ 平面 ）．
柱 中， 为菱形， ， ，
，且 点在底面 内的射影为 的中点 .
(1)求证：平面 平面PBC；
(2)若 ，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直
线PC与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求Q在线段PB上的
位置；若不存在，说明理由． (1)求 的值；
18．正四棱锥 中， ， ，其中 为底面中心， 为 (2)直线 与平面 内任意一条直线夹角为 ，证明： ；(3)在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的
位置；若不存在，说明理由.
