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§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
1 2
一对实数λ，λ，使a＝λe ＋ λe.
1 2 1 1 2 2
若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2 1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x ，y)，B(x ，y)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点
1 1 2 2
A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
1 1 2 2 3 3
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λa＋λb＝0，则λ＝λ＝0.( √ )
1 2 1 2
(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( × )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
教材改编题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e＝(0,0)，e＝(1,2)
1 2
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B．e＝(2，－3)，e＝
1 2
C．e＝(3,5)，e＝(6,10)
1 2
D．e＝(－1,2)，e＝(5,7)
1 2
答案 D
解析 由于选项A，B，C中的向量e ，e 都共线，故不能作为基底．而选项D中的向量
1 2
e，e 不共线，故可作为基底．
1 2
2．若P(1,3)，P(4,0)，且P是线段PP 的一个三等分点(靠近点P)，则点P的坐标为( )
1 2 1 2 1
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案 A
解析 设P(x，y)，由题意知P1P＝P1P2，
∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即∴
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是( )
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
答案 C
解析 a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；
b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；
b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；
a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE＝2EO，则ED等
于( )
A.AD－AB B.AD＋AB
C.AD－AB D.AD＋AB
答案 C
解析 因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，且AE＝2EO，
所以EA＝－AC，
所以ED＝EA＋AD＝－AC＋AD＝－(AD＋AB)＋AD＝AD－AB.
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(2)(2023·天津模拟)已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为
AD与BF的交点，若BP＝xa＋yb，则x＋y＝________.
答案 －
解析 因为D，F分别为BC，AC的中点，所以DF是△ABC的中位线，所以＝＝，则BP＝
BA＋AP＝－AB＋AD＝－AB＋×(AB＋AC)＝－a＋b，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和
结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C．若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得MP＝xMA＋yMB
答案 AC
解析 对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B
错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得MP＝xMA＋
yMB，故D错误；由平面向量基本定理知AC正确．
(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹
角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
答案 6
解析 方法一 如图，作平行四边形OBCA ，
1 1
则OC＝OB1＋OA1，
因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，
所以∠BOC＝90°.
1
在Rt△OBC中，∠OCB ＝30°，|OC|＝2，
1 1
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，
所以OC＝4OA＋2OB，所以λ＝4，μ＝2，
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所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由OC＝λOA＋μOB，
得解得所以λ＋μ＝6.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知AB＝(1，－1)，C(0,1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案 D
解析 设D(x，y)，则CD＝(x，y－1)，
2AB＝(2，－2)，
根据CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得
所以点D的坐标为(2，－1)．
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若
CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C．2 D.
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴CA＝(－2,2)，CE＝(－2,1)，DB＝(1,2)，
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∵CA＝λCE＋μDB，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴解得
故λ＋μ＝.
思维升华 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根
据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解
答转化为我们熟知的数量运算．
跟踪训练2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则P
点的坐标为( )
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
答案 A
解析 设P(x，y)，则PN＝(10－x，－2－y)，
PM＝(－2－x,7－y)，
由PN＝－2PM⇒⇒
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示c，则( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
答案 D
解析 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，
所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
则⇒
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所以c＝3a－2b.
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 因为AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，
所以AD＝AB＋BC＋CD＝(4＋x，y－2)，
所以DA＝(－x－4,2－y)，
因为BC∥DA，
所以x(2－y)＝y(－x－4)，
所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
答案 C
解析 ∵A(2,0)，B(4,2)，∴AB＝(2,2)，∵点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，∴AB＝2AP或AB
＝－2AP，故AP＝(1,1)或AP＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1)．
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是xy＝xy.
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，
∵(a＋2b)∥(a－b)，
∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，
c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为( )
A．3 B. C. D．3
答案 C
解析 ∵m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，
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且m∥n，
∴(a－b)2＝(c－)(c＋)，化为a2＋b2－c2＝2ab－6.
∴cos ＝＝＝，解得ab＝6.
∴S ＝absin C＝×6×＝.
△ABC
课时精练
1．如果e ，e 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向
1 2
量的一个基底的是( )
A．e 与e＋e
1 1 2
B．e－2e 与e＋2e
1 2 1 2
C．e＋e 与e－e
1 2 1 2
D．e－2e 与－e＋2e
1 2 1 2
答案 D
解析 对A项，设e ＋e ＝λe ，则无解，故e 与e ＋e 不共线，可以作为平面内所有向量的
1 2 1 1 1 2
一个基底；
对B项，设e －2e ＝λ(e ＋2e)，则无解，故e －2e 与e ＋2e 不共线，可以作为平面内所有
1 2 1 2 1 2 1 2
向量的一个基底；
对C项，设e ＋e ＝λ(e －e)，则无解，故e ＋e 与e －e 不共线，可以作为平面内所有向量
1 2 1 2 1 2 1 2
的一个基底；
对D项，e －2e ＝－(－e ＋2e)，所以e －2e 与－e ＋2e 为共线向量，不能作为平面内所
1 2 1 2 1 2 1 2
有向量的一个基底．
2．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D.
3．已知点P是△ABC所在平面内一点，且PA＋PB＋PC＝0，则( )
A.PA＝－BA＋BC
B.PA＝BA＋BC
C.PA＝－BA－BC
D.PA＝BA－BC
答案 D
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解析 由题意得，PA＋PB＋PC＝0，所以PA＋(AB－AP)＋(AC－AP)＝0，
∴PA＋(AB－AP)＋(BC－BA－AP)＝0，
∴3PA＋BC－2BA＝0，
∴3PA＝2BA－BC，
∴PA＝BA－BC.
4．(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，
所以b＝(－2，－4)，
3a＋b＝(3,6)＋(－2，－4)＝(1,2)，|3a＋b|＝＝.
5.(2022·忻州模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧 上的两个三等分点，AB＝
a，AC＝b，则BD等于( )
A.a－b B．a－b
C．－a＋b D．－a＋b
答案 C
解析 画出图象如图所示，
由于C，D是半圆弧 上的两个三等分点，
所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，
所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，
所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形，
所以BD＝OC＝AC－AO＝AC－AB＝－a＋b.
6．(多选)若ka＋kb＝0，则k＝k＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是( )
1 2 1 2
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0
答案 ACD
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解析 由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若ka＋kb＝0，则k＝k＝0，
1 2 1 2
当a与b共线时，k＝k＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；
1 2
而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；
当a与b中至少有一个为0时，k，k 中至少有一个可以不为零，所以D错误．
1 2
7.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，AP＝xAC＋yBQ，则x等于(
)
A. B.
C. D.
答案 C
解析 分别以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为
2，则A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，
则AP＝(2,1)，AC＝(2,2)，BQ＝(－1,2)，又AP＝xAC＋yBQ，则有2＝2x－y且1＝2x＋2y，
解得x＝.
8．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三
角形，则实数m不可能是( )
A．－2 B. C．1 D．－1
答案 C
解析 各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB－OA＝
(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设
A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构
成三角形．
9．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝________.
答案 －2
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(2,0)，1×0－(－1)×2≠0，
所以a与b不共线，则a与b可以作为平面内的一个基底，
因为ma＋b与2a－nb共线，又ma＋b＝(m＋2，－m)，2a－nb＝(2－2n，－2)，
所以(m＋2)×(－2)＝－m(2－2n)，即mn＝－2.
10．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的
三等分点，且AO＝λAB＋μAC，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
答案 0
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解析 由题意可知，在Rt△ABD中，AB＝，∠ABC＝，
所以BD＝1，所以BD＝BC，
所以AO＝AD＝(AB＋BD)＝＝AB＋(BA＋AC)＝AB＋AC，
又因为AO＝λAB＋μAC，
所以λ＝，μ＝，所以λ－2μ＝－＝0.
11．在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，BM＝a，BN＝b，则BD等于(
)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 B
解析 如图所示，
设AB＝m，AD＝n，且BD＝xa＋yb，
则BD＝xa＋yb＝x·＋y·＝n－m，
又因为BD＝n－m，
所以
解得
所以BD＝a＋b.
12．(2023·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2BD＝CB＋λCA，记△ACB的面
积为S，△ACD的面积为S，则等于( )
1 2
A. B. C. D.
答案 D
解析 依题意作图，如图所示，
设BD＝μBA＝μ(CA－CB)＝－μCB＋μCA，
由条件BD＝CB＋CA,
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得μ＝－，＝μ＝－，BD＝－BA，
∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，
∴＝＝.
13．已知0<θ<π，向量a＝，b＝(1，sin θ)，且a∥b，则θ＝________.
答案
解析 因为a∥b，所以sin2θ＝2cos2，
所以4sin2cos2＝2cos2，
因为0<θ<π，cos ≠0，
所以sin2＝，所以sin ＝，
因为0<θ<π，所以＝，即θ＝.
14．如图，扇形的半径为1，且OA⊥OB，点C在弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，则2x
＋y的最小值是________．
答案 1
解析 由题意得，OA·OB＝0，|OA|＝|OB|＝1，
所以|OC|＝1，
由OC＝xOA＋yOB，等式两边同时平方，
得|OC|2＝x2|OA|2＋y2|OB|2＋2xyOA·OB，
所以1＝x2＋y2，
令∠AOC＝α，则x＝cos α，y＝sin α，α∈，
则2x＋y＝2cos α＋sin α＝sin(α＋θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，θ∈，
因为θ≤α＋θ≤＋θ，所以≤sin(α＋θ)≤1，
所以1≤sin(α＋θ)≤，即2x＋y的最小值为1.
15．(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意 a，b∈E，
t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有( )
A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x}
C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1}
答案 ACD
解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝ta＋(1－t)b，
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则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意．
16.如图，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝，⊙E的半径为1，且E为NK的中点，P为圆
E上的动点，设MP＝λML＋μMN，则λ＋μ的最小值是________．
答案
解析 如图，建立平面直角坐标系，由LM＝6，sin∠MLN＝，解得MN＝，则M，N(3,0)，
L，设P(cos θ，sin θ)，
因为MP＝λML＋μMN， MP＝，ML＝(－6,0)，MN＝.
所以MP＝＝λ(－6,0)＋μ，
即解得
所以λ＋μ＝＋sin θ－cos θ＝＋sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝－1时， λ＋μ取最小值.
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