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第 35 讲 平面向量的基本定理与坐标运算
1、平面向量的基本定理
如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，
1 2 1
λ，使a＝λe ＋ λ e.
2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1 2
2、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3、平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ (x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ (x － x ， y － y )，λa＝ (λ x ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ (x － x ， y － y )，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a∥b⇔x
1
y
2
－ x
2
y
1
＝ 0.
[常用结论与微点提醒]
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么
位置，它们的坐标都是相同的.
1、【2022年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(−2,4)，则|⃑a−⃑b|（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
因为⃑a−⃑b=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|⃑a−⃑b|=√42+(−3) 2=5.
故选：D
2、【2019年新课标2卷文科】已知向量 ，则
A． B．2C．5 D．50
【答案】A
【解析】
由已知， ，
所以 ，
故选A
3、【2018年新课标1卷理科】在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
4、【2021年乙卷文科】已知向量 ，若 ，则 _________．
【答案】
【解析】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，解方程可得： .
故答案为： .
1、（2022·广州一模）已知向量a＝(m，2)，b＝(3，－6)，若a＝λb，则实数m的值是( )
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
【解析】 由a＝λb，得所以m＝－1.
【答案】 B
2、 在△ABC中，BE是边AC上的中线，O是BE的中点，若AB＝a，AC＝b，则AO等于( )
A. a＋b B. a＋b
C. a＋b D. a＋b
【答案】 D
【解析】 因为在△ABC中，BE是边AC上的中线，所以AE＝AC.因为O是BE的中点，所以AO＝（AB＋
AE）＝AB＋AC＝a＋b.
3、如图，向量e ，e ，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a可用基底e ，e 表示为
1 2 1 2
．
【答案】 a＝－2e＋e
1 2
【解析】 以e 的起点为坐标原点，e 所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由题图可得e ＝(1，0)，e ＝
1 1 1 2
(－1，1)，a＝(－3，1).设a＝xe＋ye＝x(1，0)＋y(－1，1)＝(x－y，y)，则解得故a＝－2e＋e.
1 2 1 2
4、已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC＝2AE，则向量EM＝________(用AB，AC表
示)．
【答案】 AB＋AC
【解析】 如图，∵EC＝2AE，
∴EM＝EC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC．
考向一 平面向量基本定理的应用
例1、如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求
AP∶PM与BP∶PN的值．【解析】 设BM＝e，CN＝e，
1 2
则AM＝AC＋CM＝－3e－e，
2 1
BN＝BC＋CN＝2e＋e.
1 2
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe－3λe，
1 2
BP＝μBN＝2μe＋μe，
1 2
故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e＋(3λ＋μ)e.
1 2
又BA＝BC＋CA＝2e＋3e，
1 2
所以由平面向量基本定理，得
解得所以AP＝AM，BP＝BN，
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
变式1、在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝b，以a，b为基底表示
OM．
【解析】：法1 取 的中点 ，连接 ，则 ，
， ， ，
法2 设OM＝ma＋nb (m，n∈R)，
则AM＝OM－OA＝(m－1)a＋nb，
AD＝OD－OA＝b－a＝－a＋b．
因为A，M，D三点共线，所以＝，即m＋2n＝1．
1
而CM＝OM－OC＝m- a＋nb，
4
CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b，
因为C，M，B三点共线，所以＝，
即4m＋n＝1．由 解得
所以OM＝a＋b．
变式2、（2022·山东泰安·高三期末）如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端点），若 ，则 ___________， 的最小值为___________.
【答案】2
【分析】
先得出 ，设出 得出 ，则 ，两问分别
代入计算即可.
【详解】
因为在 中， ，
所以 ,
即 .
因为点 在线段 上移动（不含端点），所以设 .
所以 ，对比 可得 .
代入 ，得 ；
代入 可得 ，根据二次函数性质知当 时，
.故答案为：
方法总结：1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算；
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向
量的形式，再通过向量的运算来解决；
3．既然OM能用a，b表示，那我们不妨设出OM＝ma＋nb；
4．利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．
考向二 二平面向量的坐标运算
例2、已知点A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，AP＝AB＋tAC (t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范
围是 ．
【答案】 (－5，－3)
【解析】 设点P(x，y)，则由 AP＝AB＋tAC (t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1，4)＋t(1，1)＝(1＋t，4＋t)，所
以解得由点P在第二象限，得解得－5＜t＜－3.
变式1、 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
(1) 若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标；
(2) 若OP＝mAB＋nAC (m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n的值．
【解析】 (1) 设点P的坐标为(x，y).
因为PA＋PB＋PC＝0，
所以(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)＝0，
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故OP＝(2，2).
(2) 设点P的坐标为(x，y).
0 0
因为点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
所以AB＝(1，2)，AC＝(2，1).
因为OP＝mAB＋nAC，
所以(x，y)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
0 0
所以两式相减，得m－n＝y－x.
0 0
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y－x＝1，所以m－n＝1.
0 0
变式2、已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，
（1）求3a＋b－3c；
（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量MN的坐标．【解析】：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)
（1）3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
（2）∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
（3）设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
∴M(0，20)．
又∵CN＝ON－OC＝－2b，
∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)．
∴MN＝(9，－18)．
方法总结：求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧
密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先
求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系
数．
考向三 用坐标表示解决共线问题
例3、平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
【解析】(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，
2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，
则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，∴
解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
变式1、已知O为坐标原点，向量OA＝(3，－4)，OB＝(5，－3)，OC＝(4－m，m＋2).若点D（0，m），
求证：对任意实数m，都有AB∥DC.
【解析】 由题意，得AB＝OB－OA＝(2，1)，
CD＝OD－OC＝.
因为2－(m－4)＝0，
所以AB∥DC.
变式2、（1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
【答案】(1) (2)－
【解析】(1)因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，解得λ＝.
(2)AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
方法总结：1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要
条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以
利用坐标对应成比例来求解.
1、（2023·广东广州·统考二模）已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ，即 ，
当 ，即 时，满足 ，而 无意义，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
2、（2022·广东潮州·高三期末）在 的等腰直角 中， 为 的中点， 为 的中点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为原点建立直角坐标系，
设 ， ，则 ， ，
则 ， ，
所以 ，所以 .
故选：A
3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ， ，且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是
B．若 ， ， 不共线，且 ，则 ， ， 、 四点共面
C．对同一平面内给定的三个向量 ， ， ，一定存在唯一的一对实数 ， ，使得 .
D． 中，若 ，则 一定是钝角三角形.
【答案】ACD【解析】对于A，依题意， ， 且 与 不同向共线，求得 ，
解得： 且 ，A错误；
对于B，由 ，则 ，即 ，
于是得 共面，且公共起点C，而 ， ， 不共线， ， ， ， 四点共面，B正确；
对于C，同一平面内不共线的非零向量 ， ， ，才存在唯一的一对实数 ， ，使得 ，否则
不成立，C错误；
对于D，在 中， ，则 ，于是得 是锐角，不能确定
是钝角三角形，D错误.
故选：ACD
4、（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知向量 ，且 ，则m=______.
【答案】2
【解析】因为 ， ，
由 ，得 .
故答案为：2.
5、（清远市高三期末试题）在平行四边形 中， 是线段 的中点，若 ，则
_________.
【答案】
【解析】
四边形 为平行四边形， 为 中点， 为 中点，， ， ，
.
故答案为： .
