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专题九 《平面向量》讲义
9.1 线性运算、基本定理和坐标运算
知识梳理 . 线性运算、基本定理和坐标运算
一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 与任一向量平行或共
线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
交换律： ＋ ＝ ＋
结合律：( ＋ )＋ ＝ ＋( ＋ )
（二）减法：共起点，连终点，指向被减
（三）数乘：求实数λ与向量 的积的运算
1.数乘意义：|λ |＝|λ|| |，当λ>0时，λ 与 的方向相同；当λ<0时，λ 与 的方向相反；
当λ＝0时，λ ＝0
2.运算律
（1）λ(μ )＝(λμ)
（2）(λ＋μ) ＝λ ＋μ
（3）λ( ＋ )＝λ ＋λ
3．向量共线定理
向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 ＝λ .
4．平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只
有一对实数λ，λ，使 ＝λ ＋λ .其中，不共线的向量 ， 叫做表示这一平
1 2 1 2
面内所有向量的一组基底
三．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，
1 1 2 2
则a＋b＝(x＋x，y＋y)，
1 2 1 2
a－b＝(x－x，y－y)，
1 2 1 2
λa＝(λx ，λy )，|a|＝.
1 1
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝(x－x，y－y)，
1 1 2 2 2 1 2 1
|AB|＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b xy－xy＝0.
1 1 2 2 1 2 2 1
⇔
题型一 . 线性运算
1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 →
EB=
（ ）3 → 1 → 1 → 3 → 3 → 1 → 1 → 3 →
A． AB− AC B． AB− AC C． AB+ AC D． AB+ AC
4 4 4 4 4 4 4 4
2．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点， → 3 → ，则（ ）
BC= CD
→ 1 → 4 → → 1 → 4 →
A．AD=− AB+ AC B．AD= AB− AC
3 3 3 3
→ 4 → 1 → → 4 → 1 →
C．AD= AB+ AC D．AD= AB− AC
3 3 3 3
3．（2014•新课标Ⅰ）设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则
→ → （ ）
EB+FC=
→ 1 → → 1 →
A． B． AD C． D． BC
AD BC
2 2
4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足 → → → →，则（ ）
16OA−12OB−3OC=0
A． → → → B． → → →
OA=12AB+3AC OA=−12AB+3AC
C． → → → D． → → →
OA=12AB−3AC OA=−12AB−3AC
题型二 . 共线向量基本定理
1．设→，→是不共线的两个平面向量，已知 → → →， → → → ，
a b AB=a−2b BC=3a+kb(k∈R)
若A，B，C三点共线，则k＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若 → → → ，其中 R，则点P一定在（
CB−PB= PA
λ λ∈
）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
3．在△ABC中， → →， → →．若点D满足 → → ，则 → （ ）
AB=c AC=b CD=2DB AD=
2→ 1→ 1→ 2→ 2→ 1→ 1→ 2→
A． b+ c B． b+ c C． b− c D． b− c
3 3 3 3 3 3 3 34．△ABC内一点O满足 → → → →，直线AO交BC于点D，则（ ）
OA+2OB+3OC=0
A． → → → B． → → → C． → → → D． → → →
2DB+3DC=0 3DB+2DC=0 OA−5OD=0 5OA+OD=0
题型三 . 三点共线定理
1．（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 → 2 → ，
AD= DB
→ 1 → →
CD= CA+λCB，则 ＝（ ）
3
λ
2 1 1 2
A． B． C．− D．−
3 3 3 3
2．（2010•大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 → →， → →，
CB=a CA=b
|→|＝1，|→|＝2，则 → （ ）
a b CD=
1→ 2→ 2→ 1→ 3→ 4→ 4→ 3→
A． a+ b B． a+ b C． a+ b D． a+ b
3 3 3 3 5 5 5 5
3．（2008•广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE
的延长线与CD交于点F．若 → →， → →，则 → （ ）
AC=a BD=b AF=
1→ 1→ 2→ 1→ 1→ 1→ 1→ 2→
A． a+ b B． a+ b C． a+ b D． a+ b
4 2 3 3 2 4 3 3
4．（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量 → 和 → ，它们的夹角为120°．如图所示，
OA OB
点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若 → x → y → ，其中x，y R，
OC= OA+ OB
∈
则x+y的最大值是 ．
5．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 → → → ，则 + 的最大值为（ ）
AP= AB+ AD
λ μ λ μ
A．3 B．2√2 C．√5 D．2
6．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区
域内（不含边界）运动，且 → → → ，则x的取值范围是 ；当
OP=xOA+ yOB
1
x=− 时，y的取值范围是 ．
2
题型四 . 坐标运算
3 2
1．已知向量 → （3，﹣2）， → （x，y﹣1）且 → ∥ → ，若x，y均为正数，则 + 的
a= b= a b
x y
最小值是（ ）
8 5
A．24 B．8 C． D．
3 3
2．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，|OC|=2√2，
π → → →
且∠AOC=
4
，设
OC=λOA+OB(λ∈R)
，则 的值为（ ）
λ
2 1 2
A．1 B．− C． D．
3 2 3
3．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一
点，若 → x → y → （xy≠0），则以下说法正确的是： （请将所有正确的
AC= DE+ AP
命题序号填上）
①若点E和A重合，点P和B重合，则x＝﹣1，y＝1；
②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧^DB的中点；
③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y＝3；
④若点E与B重合，点P为^DB上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．课后作业 . 线性运算、基本定理和坐标运算
1．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则 → （ ）
AF=
2 → 1 → 3 → 1 → 1 → 1 → 2 → 1 →
A． AB+ AD B． AB+ AD C． AB+ AD D． AB+ AD
3 3 4 4 2 4 3 2
2．设x R，向量→ （x，1），→ （1，﹣2），且→∥→，则|→ →|＝（ ）
a= b= a b a+b
∈
√5 √10
A． B． C．√5 D．5
2 2
3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足 → → → → → ，若|AB|＝
|OB−OC|=|OB+OC−2OA|
2，|AC|=√3，则△ABC的外接圆的面积为 ．
4．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，
1 4
N，若 → → → → ，则 + 的最小值为（ ）
AB=mAM，AC=nAN，m＞0，n＞0
m n
9
A．2 B．4 C． D．9
2
5．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若 → → → ，则 + ＝ ．
BD= AE+ BE
λ μ λ μ
6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD＝2AD，AE＝2EC，点P是线段
DE上的任意一点，若 → x → y → ，则xy的最大值为（ ）
AP= AB+ AC
1 1 1 1
A． B． C． D．
36 18 12 9
